第8讲——巧解分数应用题
抓住不变量 巧解分数应用题
ｈｔ ：／ ｔ ／ ｐ ｗｗｗ． ｄ ．ｅ．ｎ ｊ ｍｅ ｕｎ ｔ ｃ
说 明 由例 Ｊ 『 、例 ２可 知 ，总量
是不 变量 时 ，通 常把 总量看 作单位
“ ” 的量 。
二 、部 分 量 是 不 变 量
例
五 年级有 学生 人 ，其
这本小说有 多少页？ 分析 与解 本题 中，饭前 、饭后 已看 的页数和 未看 的页 数 都在 变 ，但 小说 的总页 数是 不变 的，把 总页数 看作单 位
“ ”
。
晚饭 前，已看 的页数 占总页数的
，晚饭后 ，已看
一 ）
的页数 占总页数 的
＝ ４ ８ （ ） ４ 页 。
，总页 数为 ：８ （ ÷
Ｊ尾 放 入 乙缸 时 ， 乙缸 中 的 金 鱼 『
是总尾数 的 １；从 乙缸 中取 出 Ｊ 『 尾放入 甲缸 时 ，乙缸 中的金鱼是
总尾 数 的 ÷ （ ＋ ２ ＝了 。两 ） １ 种情 况 ， 乙缸 中 的金鱼 相 差 ＋ ＝ ２
（ ，这 ２尾就是总尾数 的÷ 一 尾）
盆
专＝ 。 以 尾 为 （＋ ＝１ 所 总 数 ：Ｊ ＝ 『
Ｊ 『 （ ）÷ ÷一÷）＝ １ 尾） ２（ 。
甲缸 原有 ： ２ ＋ ＝ ７ （ ） 尾
乙缸原有 ： ２— ７＝ ５ （ ） 尾 例 ２小芳在看一本小说 ，晚饭 前 ，已看 的页数是未看的
专， 饭 ， 又 了 页 这 已 的 数 未 的 晚 后 她 看 ８ ， 时 看 页 是 看 寺，
分析 与解 、 本题 中 ，葡萄含水量在变 ，葡萄 的总重量 也
泰 ０ 千誉 在变 ，但 １０ 克葡 萄中所含 的干物质 并没有变 ，抓住这个
找准单位1,巧解分数应用题
找准单位“1” ，巧解分数应用题进入小学六年级，我们经常要与分数打交道，其中解分数应用题是学生的障碍物，原因归结于不能正确找准单位“1”。
找准单位“1”解分数（百分数）应用题的关键，也是教师教学此类应用题的重点和难点。
每一道分数应用题中总是有关键句（含有分率的句子）。
一、部分数和总数的关系在同一整体中，部分数和总数作比较关系时，部分数通常作为比较量，而总数则作为标准量，那么总数就是单位“1”。
例题1.我国人口约占世界人口的30%，“世界人口”是总数，“我国人口”是部分数，所以，“世界人口”就是单位“1”。
例题2.食堂买来100千克白菜，吃了54，吃了多少千克？在这里，食堂一共买来的白菜是总数，吃掉的是部分数，所以100千克白菜就是单位“1”。
解答这类分数应用题，只要找准总数和部分数，确定单位“1”就很容易了。
二、两种数量比较，找关键词分数应用题中，两种数量相比的关键句非常多。
有的是“比”字句，有的则没有“比”字，而是带有指向性特征的“占”、“是”、“相当于”。
在含有“比”字的关键句中，比后面的那个数量通常就作为标准量，也就是单位“1”。
例题1：六（2）班男生比女生多51。
就是以女生人数为标准（单位“1”），男生比女生多的人数作为比较量。
在另外一种没有比字的两种量相比的时候，我们通常找到分率，看“占”谁的，“相当于”谁的，“是”谁的几分之几。
这个“占”，“相当于”，“是”后面的数量——谁就是单位“！”。
例题2：一个长方形的宽是长的54。
在这关键句中，很明显是以长作为标准，宽和长相比较，也就是说长是单位“1”。
例题3：今年的产量相当于去年的倍。
那么相当于后面的去年的产量就是标准量，也就是单位“1”。
三、原数量与现数量有的关键句中不是很明显地带有一些指向性特征的词语，也不是部分数和总数的关系。
这类分数应用题的单位“1”比较难找。
例题1：水结成冰后体积增加了，冰融化成水后，体积减少了。
象这样的水和冰两种数量到底谁作为单位“1”？两句关键句的单位“1”是不是相同？用上面讲过的两种方法不容易找出单位“1”。
转化“分率”巧解分数应用题
转化“分率”巧解分数应用题州民族实验小学 王炼分数应用题的数量关系复杂，变化大，比较抽“象，在解答一些复杂的分数（百分数）应用题时，利用分率（百分率）的有关知识，将分率作适当的转化，可使题目的数量关系明朗，由间接变直接，由抽象变为具体，从而使问题得到顺利解决。
同时，也掌握了多种解题方法。
一、 统一单位“１”，改变原分率“分率”是一个相对数，分数应用题中，学生常常被几个分率所迷惑，一时找不到单位“１”搞不清分率分率相对应的量，而感到困难。
在解答某些复杂的分数应用题时，为使分率解与某一标准量相对应，我们可以根据分率的意义改变原来的分率，使题目的数量关系明朗化，从学生的顺向思维入手，变难为易。
如：现有两筐苹果共５０个，若从第一筐取出（31），从第二筐取出（21）这时，第一筐里的个数是第二筐的２倍，求原来两筐里的苹果各有多少个？根据已知条件，从第一筐里取出（31），便知第一筐还剩（32），第二筐取出（21），还剩（21），这时老师可引导学生想一想“第一筐剩下的”和“第二筐剩下的”有什么联系？再结合条件可知：第一筐剩下的苹果数是第二筐剩下的苹果数２倍，从而列出等量关系式：第一筐的（１﹣31）﹦第二筐的（１﹣21）×2。
可求出第一筐苹果是第二筐苹果的23，（或第二筐苹果是第一筐苹果的32），这样便可确定第一筐苹果的个数为单位“１”（或第二筐苹果的个数为单位“１”，最后根据两筐苹果共有５０个列出：第一筐苹果的个数＋第二筐苹果的个数＝５０（个）。
我们已经知道，第一筐苹果是第二筐苹果的23（或第二筐苹果是第一筐的32），所以，第二筐苹果的个数的23＋第二筐苹果的个数＝50（个）或第一筐苹果的个数的32＋第一筐苹果的个数＝50（个），经过这样的转变之后，利用量率对应列式：解法一：（1-31）÷[（1-21）×2]= 32 50÷（1+32） ＝50÷35 ＝30（个） 50-30=20（个）解法二：（1-21）×2÷（1-31）=23 50÷（1+23） ＝50÷25 ＝20（个） 50-20=30（个）答：第一筐苹果有３０个，第二筐苹果有２０个。
如何巧解分数应用题
如何巧解分数应用题一、总量不变例1：某校五年级一班学生参加大扫除的人数是未参加的41，后来又有2个同学参加，这时参加的人数是未参加人数的31，该班有学生多少人?分析解答：这班学生分为两部分：参加大扫除和未参加大扫除的。
后来又有两个同学参加，现在参加大扫除人数和未参加大扫除人数都在变化，而五年级总人数没变。
把五年级总人数看作单位“1”，原来参加大扫除占单位“1”的1÷（1+4）=51，现在参加大扫除占单位“1”的1÷（1+3）=41，所以2个同学占单位“1”的（41－51）=201。
全班学生就是 2÷201=40(人)。
二、部分量不变例2：有科技书和文艺书360本，其中科技书占总数的91，现在又买来一些科技书，此时科技书占总数的61。
又买来多少本科技书？分析解答：由于又买进一些科技书，科技书的数量增加了，两种书的总数也随着增加，只有文艺书的数量未变，可以先求出文艺书的数量：360×(1-91)=320(本).根据现在科技书占总数的61,知道文艺书占新总数的(1-61)=65,可以求出新的总数：320÷65=384（本），最后求出又买来科技书本数：384-360=24（本）。
三、差量不变例3：苹果比雪梨多240千克，苹果和雪梨都卖出100千克后，雪梨是苹果的107，苹果和雪梨原来各有多少千克？ 分析解答：苹果和雪梨相差240千克，两种量都减少100千克后，它们的差是保持不变的，仍然相差240千克，这个数量占现在苹果的1－107=103，因此，把现在的苹果看作单位“1”，用240÷103=800（千克），求出现在苹果的数量，用800+100=900（千克）就可求出原来苹果的数量，最后用900-240=660（千克）就可求出原来雪梨的数量。
总而言之，同学们若能注意数量之间的变化，善于抓住不变量。
解答时把单位“1”往不变量上统一，往往可以很快找到解题的途径，所以“变中抓不变”的思想是一种重要的思考问题的方法。
巧解分数乘除法应用题
六年级 《 数学 》（ 上册 ）３ ６页的一道习题为例来说 明如何依 据
关系式来列式计算 。
教学片段六 ：
此题相 比较上一题 ，没有 明确给 出 “ 谁是谁 的几分之几 ” ，
但是通过理解题意也不难看出， 这里的 “ 是三年级的昙 ”其实
就是 “ 四年级学生数是 三年级 的 ” ， “ 谁 的 呢？…‘ 三年级 的” ，
）
题 目：花园里有 菊花 ５ ｏ棵 ，菊花 比兰花多 ，兰花有多少
棵？
分析： 此题中 ， 相 关联 的两个量 是 ， “ 菊花棵数和兰花棵数” ，
它们的关系是 “ 菊花比兰花多｛ ” ， 参照的量 （ 也就是单位 １ ）
斗
多少棵？
是兰花棵数， 这里的 “ 多｛” ，刚好是单位 １ 的｛， 也就是兰花 珥 ４
式 为 ：一 堆 沙 的总 重 量 一用 去 的重 量 ＝ 剩 下 的重 量 。
教学片段三 ：
题 目：一 堆 沙 子 ，运 走 了 ，还 剩 ８ ０吨 ，这 堆 沙 子 原 来 有 多少 吨？
解 ：设这堆沙原来有 ｘ 吨 ，那么用去的为 ｘ 吨 ，根据题
意 可 列 方 程 为 ：Ｘ一 ｘ ＝ １ ４ ０
所 以单 位 １ 就 是 三 年 级 的学 生 人 数 了 。 ２ 、“ 比谁 多 （ 或 少 ）几 分 之 几 … ‘ 谁”就是单位 “ １ ” 。
题 目： 一堆沙， 用去｛后，还剩下 １ ４ ０吨，这堆沙原来有
‘ ｜
多少 吨？
分 析 ：解此题的关键就是要找准单位一 ，列 出关系式 ，通
就在 “ 运 走了 ” ”这个已 知条件中， “ 运走了 谁的昙 ”呢？学生
不难看出 ，是 “ 这堆沙子的 ，那单位 … １ ’不就不言而喻了 。
巧解分数应用题应用“份数”来解决分数应用题
巧解分数应用题应用“份数”来解决分数应用题作者：吴江来源：《学校教育研究》2018年第26期一、解题前知识准备1.认识“三个量”在分数应用题中，一般有“三个量”，它们分别是：标准量（即单位“1”的量）、比较量和对应分数（即对应分率，以下简称分率）。
2.判断“三个量”在分数应用题中，一般都有一个关键的字眼，比如“是”“在”“比”和“相当于”等，这些字眼一般把比较量和标准量分离开来，关键字眼前面的量是比较量，关键字眼后面的量是标准量，不带单位的分数就是分率（带有单位的分数不是分率，只是一个具体的数）。
举例说明：小红的年龄是妈妈的1/5。
在这句话中，关键的字眼是“是”“是”前面的量是“小红的年龄”，它是比较量，“是”后面的量是“妈妈的年龄”，它是标准量，标准量的几分之几是分率，所以，这里的1/5就是分率。
我总结成一句话就是：“前‘比’后‘标’”。
意思就是，关键字眼前面的量是比较量，关键字眼后面的量是标准量。
只要教会学生理解了这句话的意思，只要遇到一个分数应用题，就会很容易的判断出题目中哪个量是标准量，哪个量是比较量了。
3.会画简易的线段图在解决分数应用题的时候，常常借助于线段图来帮助我们理解分析题意。
一般来说，为了便于比较分析，表示标准量的线段通常画在上方，表示比较量的线段通常画在下方。
二、方法应用下面我以人教版2013年教育部审定通过的义务教育教科书六年级数学上册（以下简称人教版教科书）第16页练习三第2题为例，具体说明应用“份数”来解决分数应用题。
例1：海象的寿命大约是40年，海狮的寿命是海象的。
海狮的寿命大约是多少年？分析思路：在这道题中，关键字眼是“是”，海狮的寿命3/4是比较量，海象的寿命是标准量，分率是。
用线段图来分析表示3/4如下：从线段图可以看出，“海象的寿命40年”是标准量，也是本题的已知量，它对应的份数是4份，“海狮的寿命”是比较量，也是本题的未知量，它对应的份数是3份，題目要求的就是3份是多少年？解答方法为：40÷4=10（年）10×3=30（年）答：海狮的寿命大约是30年。
六年级数学专题加以：分数应用题
— 1 —六年级数学专题加以：分数应用题巧解分数应用题(一)巧点睛一 方法和技巧(1)求一个数的几分之几是多少(用乘法解); (2)求一个数是另一个数的几分之几(用除法解)(3)已知一个数的几分之几是多少，求这个数(用除法或列方程解).一、从不同的角度找对应分率例1リ甲数比乙数多31，同:乙数比甲数少几分之几?二、巧用最小公倍数解题【例2】张阳拿了50元钱买回四本书(书定价的最小单位是角)，回家一算，《数学奥林匹克解题辞典恰好占用去钱的一半，其余一半里有103用去买(现代汉语小词典)，用去买(学生英汉词典》.他最后剩下了多少钱?买第四本书花了多少钱?— 6 —做一做2：某小学一至六年级共有780名学生.在参加数学兴趣小组学习的学生中，恰有178是六年级的学生，有要239是五年级的学生.那么，该校没有参加数学兴趣小组的学生有多少人?【例3】某粮库上午运走全部存粮的31又2000袋，下午又运进粮食6000袋，现在粮库中的存粮比原来少61.若原来粮库的存粮共有n 袋，那么n 等于多少?做一做3：一个书店原有若干书，第一天运来原有书的51多500本，第二天运走原有书的31，这时还有书1800本，问原有书多少本?— 1 —【例4】某班女生人数是男生人数的54，后又转来1名女生，结果女生人数是男生人数的65.求现在全班学生的人数.做一做4：五(一)班原计划抽51的人参加大扫除，临时又有2人主动参加，使实际参加大扫除的人是余下人数的31.原计划要抽出多少人参加大扫除?【例5】小莉和小刚分別有一些玻璃球，如果小莉给小刚24个，则小莉的玻璃球比小刚少73；如果小刚给小莉24个，则小刚的玻璃比小莉少85.则小莉和小刚原来共有玻璃球多少个？做一做5：六年级一班召开班会.一个男生上台向老师报告说:“台下男生人数是女生的54”男生下台后，一位女生上台说：“台下男生人数只有女生的87，求六年级一班共有多少人?— 6 —例6：某车间三个小组共做一批零件，第一小组做了总数的72，第二小组做了1600个零件，第三小组做的零件是前两个小组总和的一半.求这批零件共有多少个.做一做6：一批水果，其中苹果质量比总数的31多40千克，香蕉660千克，其余的是橘子.已知橘子质量相当于苹果和香蕉总质量的41，则苹果共有多少千克?【例7】甲、乙两班的学生人数相等.两班均有一些同学参加课外天文小组，甲班参加天文小组的人数恰好是乙班没有参加人数的31，乙班参加天文小组的人数恰好是甲班没有参加人数的41.问:甲班没有参加的人数是乙班没有参加人数的几分之几?— 1 —做一做7：某校毕业生共分9个班，每班人数相等.已知一班的男生比二、三班两个班的女生总数多1;四、五、六三个班的女生总数比七、八、九三个班的男生总数多1，那么该校毕业生中男、女生人数比是 .1.小华看一本故事书，每天看15页，4天后还剩全书的73没看，这本故事书有多少页?2. 某筑路队修一条公路，第一天修了全长的41，第二天与第一天所修路程的比是4:3，还剩下500米没修.求这条公路全长多少米.— 6 —3.某小学六年级参加数学竞赛的学生约有二百多人.竞赛后统计成绩:得90分～100分的占参赛总人数的71；得80分～89分的占参赛总人数的51；得70分～79分的占参赛总人数的31.那么，得70分以下的有多少人?4.学校阅览室里共有36名学生在看书，其中女生占94，后来又有几名女生来看书，这时女生人数占所有看书人数的199.问:后来又有几名女生来看书?— 1 —5.一个书架有上、下两层书，上层书的数量是下层书的321.如果从上层中取14本到下层，上层书的数量就是下层的21.问:原来上层有多少本书?6.某图书馆有科技书和文艺书630本，其中科技书占51，后来又买来一部分科技书，这时科技书占总数的103.问又买来科技书多少本?7.游泳班共有若干人，其中女生103，若再增加15名女生，则女生将占总数的2511.这个游冰班中原有女生多少人?— 6 —8、某校六年级两个班共有学生109人，已知甲班男生占甲班人数的116，乙班女生占乙班人数的94，那么，甲、乙两班共有男生多少人?9. 小明买了一件上衣和两条裤子，小亮也买了一件同样的上衣和一条同样的裤子，他们用去钱数的比为4∶3，已知一件上衣是70元，求一条裤子的价钱.— 1 —10.一瓶酒精，当用去酒精的一半后，连瓶共重700克;如果用去酒精的31后，连瓶共重800克.求瓶子的重量.11.红旗商场运到一批西装，按出厂价加上运费、营业费和利润出售，运费是出厂价的181，营业费和利润一共是出厂价的181・已知这种西装每件售价是123元，求出厂价是多少.— 6 —12. 果园里西红柿获得丰收，摘下全部的83时，装满了若干筐还多24千克；摘完其余部分时，又刚好装满6管.共摘西红柿多少千克?13.老王叫小王进城卖瓜，车上有两筐同样数量的瓜，一筐大瓜，一筐小瓜.老王交代儿子:“大 瓜一元两个，小瓜一元三个.”小王想这太麻烦，他卖两元5个.回来交钱，老王发现少卖4元钱.问:卖了多少瓜?巧解分数应用题(二) 【例1】甲、乙两组共有54人，甲组人数的41与乙组人数的51相等.甲组比乙组少多少人？— 1 —【做一做1】有两个书架，甲书架存书的41等于乙书架存书的52，甲书架比乙书架多存120本书、向乙书架存书多少本?【例2】甲、乙、丙三个合买一台电视机，甲付钱数的21等于乙付钱数的31，又等于丙付钱数的73・已知丙比甲多付了120元，问:买这台电视机共需要付多少钱?【做一做2】甲、乙两人去看电影，一张电影票标价是甲所有钱的256，是乙所有钱的53，当他们各自买了电影票后，甲剩下的钱比乙剩下的钱多30元.求甲、乙两人在买电影票前各有多少钱?【例3】某校男生人数的41比女生人数的31多50人，男生人数的43是女生人数的两倍.男生、女生各多少人?【做一做3】姐妹两人共养兔100只.姐姐养的31比妹养的101多16只，求姐妹两人各养兔多少只.— 6 —【例4】五年级三个班共有37人参加数学竞赛，其中一班参加人数的41比二班参加人数的51多1人；ー班参加人数的41与二班参加人数的51的和等于三班参加人数的31，问 一、二、三班各有多少人参加竞赛?【做一做4】甲、乙、丙三个班共捐4850元给灾区，甲班捐的钱的21比乙班捐的钱的31多50元，甲班捐的21与乙班捐的钱的31等于丙班钱数的41，问，甲、乙、丙三个班各捐多少钱?【例5】老王体重的与小李体重的相等，老王体重的比小李体重的之轻1.5千克问;老王与小李两人的体重分别是多少千克?【做一做5】李明钱的43与张华的32相等，李明钱的53比张华的65少6元，问李明和张华两人各有多少钱?— 1 —【例6】足球赛门票15元一张，降价后观众增加了一半，收入增加了51.问;一张门票降价多少元?【做一做6】某公司彩电按原价格销售，每台获利润60元;现在降价销售，结果彩电销量 增加了一倍，获得的总利润增加了0.5倍.问:每台彩电降价多少元?— 6 —C 级(选学)决胜总决赛·勇夺冠军【例7】一汽车从甲地到乙地，如果把车速提高51，可提前1小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将速度提高41，提前32小时到达.那么，甲、乙两地相距多少千米? 【做一做7】某エ厂生产一批产品，在完成了73后，引进了新技术，效率提升了41，结果比预定时间缩短了8天就完成了生产任务.问:生产这批产品共用了几天?巧练习 1.有120个皮球，分给两个班使用，一班分到的31与二班分到的21相等，求两个班各分到多少个皮球？— 1 —2.六(一)班女生比男生人数的32多4人，如果男生减少3人，女生增加4人，那么男、女生人数相等.问:六(一)班男、女各多少人?3.兄弟两人养鸡100只，如果研研的鸡卖掉201，那么就比弟弟的鸡还多17只.兄弟两人原来各养了多少只鸡?— 6 —4. 甲、乙两个工程队合控了一条长300米的水果，甲队挖的52比乙队的41多55米，甲、乙两个工程队各挖了多少米?5.有甲、乙两筐橘子，甲筐比乙筐轻7千克，甲筐卖出53，乙筐卖出1611后，两筐剩下的橘子重量相等，问:原来两筐各有多少千克橘子?(要求:一题多解)— 1 —6.小明和小芳各走一段路，小明走的路程比小芳多51，小芳用的时间比小明多81，求小明和小芳的速度比.7.小东放学回家需走10分钟，小敏放学回家需走14分钟，已知小敏回家的路程比小东回家的路程多61，小东每分钟比小敏多走12米，那么，小敏回家的路程是多少米?8、一只木箱里装着红、黄、蓝三种领色的球，红球个数的32与黄球个数同样多，黄球个数的32再加3个与蓝球个数同样多，红球比蓝球多32个，求木箱里共装有多少个球 ？— 6 —9. 小明骑车从A 地到B 地，若每小时多行驶2千米，则到达所用时间是原来时间的87；若每小时少行驶2千米，则比原定时间晚32小时到达，那么，A 、B 两地的路程是多少?10.原计划10天完成组装一批电脑的任务，由于工人们努力工作，每天比原计划多组装7台，实际只用了原计划天数的54就成了任务，这批电脑共有多少台?— 1 —1.甲、乙、丙、丁四位工人按劳动工种分一笔奖金，甲分得的奖金是乙、丙、丁三人奖金和的21・乙分得的奖金是甲、丙、丁奖金和的31，丙分得的奖金是甲、乙、丁奖金和的41.已知丁分到奖金15600元，这笔奖金共有多少元?12.有一辆车，其前轮周长为1265米，后轮周长为319米.问：前进多少米，才能使前轮转的圆数比后轮转的四数多99圈?— 6 — 13.王师傅加工一批零件，若每小时多加工12个零件，则所用时间比原计划少91;若每小时少加工16个零件，则所用时间比原来多53小时.这批零件共有多少个?。
抓住不变量-巧解分数应用题
分数应用题——抓住不变量专项练习
一、基本练习
①甲是20，乙是30，甲是乙的) () (，乙是甲的)
() ( ②合唱队男生人数是总人数的51，那么男生人数是女生人数的)
() ( ③甲是乙的52，那么甲是甲乙和的) () (，乙是甲乙和的)
() ( ④甲是乙的
74，那么甲是甲乙之差的) () ( 二、总量是不变量
1、甲、乙两车间的人数之比是3:7，从乙车间抽调42人到甲车间后，甲、乙两车间的人数之比是2:3，求甲、乙两车间原来一共有多少人？
2、小明放一群鸭子，岸上的只数是水中的
4
3，从水中上岸9只后，水中的只数与岸上的只数同样多，这群鸭子有多少只?
3、五年一班有5
1的同学参加夏令营，后来又有2名同学参加，这时参加夏令营的人数是不参加的31，五年一班有多少人参加了夏令营？
4、甲、乙两人原有钱的比是3：4，后来甲又给乙50元，这时甲钱是乙的
2
1，原来两人各有多少元钱?
三、其中一个量是不变量
5、五年一班女生人数是男生人数的
119，后来又转进2名女生，这时女生人数是男生人数的11
10，五年一班现在共有学生多少人？
6、某厂共有职工120人，其中女职工占全厂的5
1，后来这个厂又从下岗女工中招收了一些人，这时女职工人数占全厂的41，这个厂现有职工多少人？新招收的女工多少人？
7、一杯盐水，盐占盐水的51，再加入16克盐后，盐占盐水的4
1，原来盐水有多少千克？
8、张庄小学六年级学生中女生占
127，后来又转来了15名女生，这样女生占六年级总人数的53，六年级原来有多少名学生？。
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第8讲——巧解分数应用题（三）本讲介绍的分数应用题是较灵活的两种类型，要求同学们能迅速地抓住问题本质，灵活解答。
（1） 通过假设来改变题目中的条件或减少未知量的个数，使得数量关系变得明朗，列式变得简单，推理变得简捷，解题变得容易，这样的解题方法叫做假设法。
（2） 推理的方向与事物发展的方向相反，把事物发展的结果作为推理的起点，逐步还原，以求出最初情况，这种推理方法叫做逆推法。
一、从“结论”入手倒推例1、食堂买来一批面粉，第一天吃了这批面粉总量的101，第二天吃了余下面粉总量的91；以后7天，每天分别吃去当天面粉总量的81，71，61，…,31,21;第10天吃了4袋，正好把所有的面粉都吃完了。
问：这批面粉原来共有多少袋？分析与解1 根据题意，从地10天，第9天……倒推回去，列式求出这批面粉的总袋数。
4÷(1-21)÷(1-31)÷(1-41)÷…÷(1-101)=4÷21÷32÷43÷…÷109=4×12×23×34×…×910=40(袋)分析与解2 这批面粉共吃了10天，把这堆面粉平均分成了10堆。
第1天吃了这批面粉的101，即正好吃了一堆，还剩9堆；第2天吃了余下的91，也正好吃了1堆，这时还剩下8堆；第3天吃了再剩下的81，也正好是吃了1堆……这样每天吃的都是一堆。
第10天吃了4袋，因此，这批面粉共有4×10=40（袋） 答：这批面粉原来共有40袋。
做一做：山顶有棵桃树，一只猴子第一天偷吃了101，以后8天分别偷吃了当天树上桃子的91，81，…,31,21，最后树上只剩下10个桃子。
问：树上原来有多少个桃子？例2、一堆西瓜，第一次卖出总个数的41又4个，第二次卖出余下的21又2个，第三次卖出第二次余下的21又2个，还剩下2个。
问：这堆西瓜共有多少个？解： （1）在第三次卖出去以前有多少个西瓜？（2+2）÷（1-21）=8（个）（2）在第二次卖出去以前有多少个西瓜？（8+2）÷（1-21）=20（个）（3）在第一次卖出去以前有多少个西瓜？（20+4）÷（1-41）=32（个）综合算式得：｛［（2+2）÷21+2］÷21+4｝÷（1-41）=32（个） 答：这堆西瓜共有32个。
做一做：小贩把他所有西瓜的21又半个卖给第一个21顾客，把余下的21又半个卖给第二个顾客，就这样，他把所余西瓜的21又半个卖给以后的各个顾客，卖给第七个人以后，他已经一个西瓜也没有了。
问：这个小贩原来共有西瓜多少个？例3、今有甲、乙、丙三堆棋子98枚，先从甲堆中分棋子给另外两堆，使这两堆棋子数各增加一倍，再把乙堆棋子照这样分配一次，最后把丙堆棋子也这样分配一次，结果甲堆棋子数是丙堆棋子数的54，乙堆棋子数是丙堆棋子数的1157。
问：三堆棋子中原来最多的一堆棋子是多少枚？解：设丙堆棋子有x 枚，则有甲堆棋子有54x 枚，乙堆棋子有1157x 枚。
列方程得 x+54x+1157x=98 x=30甲堆现有 30×54=24（枚） 乙堆现有 30×1157=44（枚） 棋子的变化情况列表如右：答：三堆中原来最多的一堆棋子是52枚。
小结 以上几个例题都是逆推思考的类型，它的基本思路都是从结论出发，逐步寻找满足问题的条件，借助图形和表格是基本的辅助方法。
做一做： 有A 、B 、C 、D 、E 五筐苹果，各筐苹果的数量不等。
如果把B 筐苹果的21放入A 筐，C 筐苹果的31放入B 筐，D 筐苹果的41放入C 筐，E 筐苹果的61放入D 筐，那么最后五筐苹果都是30千克。
问：每筐苹果原来各有多少千克？二、从条件入手到假设法解题例4、甲、乙两班共有84人，甲班人数的85与乙班人数的43共有58人。
问两班各有多少人？分析与解 已知两班的总人数，，如果甲、乙两班各取本班相同的“份数”，那么这个相同的“份数”就是两班总人数的几分之几。
借助假设法有甲班人数的43和乙班人数的43（即两班总人数的43）是：84×43=63（人），（63-58）人就恰好是甲班的（43-85）。
甲班人数：（84×43-58）÷（43-85）=5÷81=40（人）乙班人数：84-40=44（人） 答：甲班有40人，乙班有44人。
做一做4 学校买来排球和足球共64个，从中借出排球个数的41和足球个数的31后，还剩下46个。
问：两种球原来各有多少个？例5、某商场的彩色电视机和黑白电视机共有250台，如果彩色电视机卖出91，那么彩色电视机还比黑白电视机多5台。
问：两种电视机原来各有多少台？分析与解：根据题意，作出下图：从图中可以看出来，假设黑白电视机增加5台，就和彩色电视机卖出的91后剩下的台数同样多。
以彩色电视机为单位“1”，黑白电视机增加5台后，相当于彩色电视机的（1-91）。
彩色电视机的数量为：（250+5）÷（1+1-91）=255÷917=135（台）。
黑白电视机的数量为：250-135=115（台）答：彩色电视机原有135台，黑白电视机原有115台。
小结 例4、例5都是对题中某些条件作出一些假设，从而迅速简捷地得到题解。
做一做5 学校有排球和足球共21个，排球借出61后比足球还多一个，那么，排球和足球原来各有多少个？例6、育才小学上学期有男、女同学共750人，本学期男同学增加61，女同学减少51，共有710人，本学期男、女同学各有多少人？ 分析与解 假设本期女同学不是减少51，而是增加61，则本学期应该有750×（1+61）=875（人），比实际多875-710=165人。
这165是假设女同学增加61后多出了的人数，而实际女生应该减少51，所以相差的165人是女同学的51+61=3011。
女同学数有：［750×（1+61）-710］÷（51+61）×（1-51）=165÷3011×54=360（人） 男同学人数有：710-360=350（人）。
答：本学期女同学有360人，男同学有350人。
做一做6：黄金放在水里称，重量减轻191；白银放在水里称，重量减轻101。
一块金银合金重770克，放在水里称，重量减轻50克。
问：这块合金含黄金、白银各多少克？例7、有一堆桃子，第一只猴子把它平均分成4堆，还多一个它先吃掉这一个，拿四堆中的一堆离去。
第二只猴子又把剩下的桃子平均分成4堆。
还多一个，它也吃掉这一个，拿四堆中的一堆离去。
第三、四只猴子来了，也都如此行事。
问：原来至少有多少个桃子？分析：我们把假设法和逆推法结合起来分析。
因为这对桃子的个数（设为a ）除以4余1，假设这对桃子增加3个，则a+3个刚好平均分成4份。
设每份为a 1个，则a 1比原来第一只猴子分的每份多1个，第一只猴子拿a 1个离去就相当于原来吃一个拿走一堆；剩下的3堆比原来的3堆多3个，所以第二只猴子来分时就刚好平均分成4份，设每一份为a 2，则a 2比原来第二只猴子分的每堆多1个……这个过程，如下所示：（a ＋3） a 1＋a 1＋a 1＋a 1离去 3a 1a 2＋a 2＋a 2＋a 2离去 3a 2a 3＋a 3＋a 3＋a 3离去 3a 3a 4＋a 4＋a 4＋a 4离去 3a 4再从最后结果开始逆推：3a 3可以平均分成4份，所以a 3为4的倍数。
又因为4a 3=3a 2，所以a 2为16的倍数；4a 2=3a 1，所以a 1为64的倍数；4a 1=a+3,所以a+3为256的倍数，a 至少为256=3=253（个）。
求剩下的个数时，先“借”3个与253个放在一起分。
因为第一只猴子拿走256个的41（相当于原来的吃一个拿走1个），还剩下（256×43）个，第二只猴子拿走后还剩下（256×43×43）个……本题解法是：这堆桃子原来的个数最少是：44-3=253（个）。
剩下的个数为：44×43×43×43-3=78（个）。
答：这堆桃子原来至少有253个，最后剩下78个。
做一做7：某班在课堂上进行计算游戏，老师首先在黑板上写一个大于2000而小于3000的整数，第1个学生将老师写的数减1，然后乘以43，将所得结果写在黑板上；第2个学生再将第1个学生所写的数3，再写到黑板上。
以此类推，全部写完后发现前5减1，然后乘以4个学生写的都是整数，那么第5个学生在黑板上写的数是多少？巧练习——温故知新（八）1、有七根竹竿排成一行，第一根竹竿长1米，其余每根长都是前一根的一半，问：这七根竹竿的总长是几米？1后，售价为81元，问：原价是多少？2、某种商品连续两次各降价101，那么就比弟弟的鸡3、兄弟两人养鸡100只，如果哥哥的鸡卖掉20还多17只。
兄弟两人原来各养了多少只鸡？2比乙队4、甲、乙两个工程队合挖了一条300米的水渠，甲队挖的51多55米。
问：甲、乙两个工程队各挖了多少米？的411后，两筐5、有甲、乙两筐橘子，甲筐比乙筐轻7千克，乙筐卖出16剩下的橘子重量相等。
问：原来两筐各有多少千克橘子？6、某校六年级有两个班，共种100棵树，二班种的棵数的101比一班种的棵树的31少16棵。
问：两个班各种多少棵树？7、有甲、乙两个水杯，甲杯有1000克水，乙杯是空的。
第一次将甲杯中水的21倒入乙杯；第二次又将乙杯中水的31倒回甲杯；第三次又将甲杯中水的41倒入乙杯中；第四次又将乙杯中水的51倒回甲杯。
照这样来回倒下去，则第2003次之后甲杯例的水还剩多少克？8、有一筐苹果，把它们三等分后还剩下两个；取出其中两份，再将它们三等分后还剩下两个；然后又取出其中两份，再将它们三等分后还剩两个。
问：这筐苹果至少有多少个？9、张宏买了一堆橘子，第一天吃了31又31个，第二天吃去剩下的41又41个，这时剩下5个橘子。
问：张宏买了多少个橘子？每天各吃多少个橘子？10、耕一块地，第一天耕的比这块地的31多2公顷，第二天耕的比剩下的21少1公顷，这时还剩下38公顷地没耕。
问：这块地共有多少公顷？11、张强和刘伟两次交换卡片，每次都是用张强全部卡片的71 来交换刘伟全部卡片的21。
如果第一次交换后张强剩下945张，第二次交换后刘伟剩220张，问：原来两人各有卡片多少张？12、甲、乙两人各有钱若干元，甲拿出61给乙后，乙又拿出51给甲，这时甲、乙的钱数均为480元，则原来＿＿＿＿比＿＿＿＿的钱多，多＿＿＿＿元。
13、一满杯水溶有10克糖，摇匀后喝去32；添入6克糖，加满水摇匀，再喝去32；再添入6克糖，加满水摇匀，再喝去32。