普朗克公式推导斯忒藩-玻尔兹曼定律和维恩位移定律
维恩位移定律推导
维恩位移定律推导维恩位移定律是热辐射领域中的一个基本定律，描述了黑体辐射中波长和温度之间的关系。
这个定律最初由德国物理学家维尔纳·维恩于1893年提出，并于1900年被瑞典物理学家维尔纳·普朗克用量子理论进行修正和推广。
维恩位移定律的推导主要是根据黑体辐射的性质和波动理论进行的，下面我们来详细阐述。
为了推导维恩位移定律，首先要了解黑体辐射的性质。
黑体是一种能够吸收所有入射辐射的物体，漫反射和完全吸收所有波长的光谱。
黑体辐射的光谱可以通过热诱导来观察，即将一个黑体加热到高温，使其发出可见光波长范围内的光。
然后，使用光谱仪来分析这些辐射，我们可以得到一个连续的能量分布。
根据电磁波理论，电磁辐射的能量与频率有关。
我们通过分析黑体辐射的能谱，可以得到一个关于频率（或波长）的分布函数。
这个函数描述了不同频率（波长）的电磁辐射的能量密度。
接下来，我们将使用波动理论来推导维恩位移定律。
根据波动理论，一个波动物体的波长和频率之间的关系可以通过传播速度来表示。
对于电磁波，它的传播速度等于光速。
根据光速的定义，我们知道v=c/λ，其中v是波长，c是光速。
考虑到黑体辐射中各个频率的辐射能量密度不同，我们以u(v)来表示单位频率内的能量密度。
维恩位移定律表明，黑体辐射的峰值频率与温度有关。
为了推导这个定律，我们假设黑体辐射服从玻尔兹曼分布定律。
根据玻尔兹曼分布定律，单位体积内不同频率（波长）的辐射能量密度与温度的关系为：u(v) = A * v^3 / (exp(Bv/T)-1)其中A和B是常数，v是频率，T是温度。
根据这个式子，我们可以看出温度越高，能量密度越大。
根据维恩位移定律，黑体辐射的峰值频率对应于最大的能量密度。
我们要找到这个峰值频率所对应的温度。
为了找到峰值频率，我们对玻尔兹曼分布定律的右侧取对数，并对v取导数，得到：ln(u(v)) = ln(A) + 3ln(v) - ln(exp(Bv/T)-1)对ln(u(v))关于v求导，并令导数等于零，可以得到最大值频率对应的v值。
大学物理 量子物理基础知识点总结
大学物理 量子物理基础知识点1.黑体辐射（1）黑体：在任何温度下都能把照射在其上所有频率的辐射全部吸收的物体。
（2）斯特藩—玻尔兹曼定律：4o M T T σ（）= （3）维恩位移定律：m T b λ= 2.普朗克能量量子化假设（1）普朗克能量子假设：电磁辐射的能量是由一份一份组成的，每一份的能量是：h εν= 其中h 为普朗克常数，其值为346.6310h J s -=⨯⋅ （2）普朗克黑体辐射公式：2521M T ()1hckthc eλπλλ=-（,）3.光电效应和光的波粒二象性（1）遏止电压a U 和光电子最大初动能的关系为：212a mu eU = （2）光电效应方程： 212h mu A ν=+ （3）红限频率：恰能产生光电效应的入射光频率： 00V A K hν== （4）光的波粒二象性（爱因斯坦光子理论）：2mc hεν==；hp mc λ==；00m =其中0m 为光子的静止质量，m 为光子的动质量。
4.康普顿效应： 00(1cos )hm cλλλθ∆=-=- 其中θ为散射角，0m 为光子的静止质量，1200 2.42610hm m cλ-==⨯，0λ为康普顿波长。
5.氢原子光谱和玻尔的量子论：（1）里德伯公式: ()22111T T HR m n n m m nνλ==-=->（）()(), % （2）频率条件: k nkn E E hν-=(3) 角动量量子化条件：,1,2,3...e L m vr n n ===其中2hπ=，称为约化普朗克常量，n 为主量子数。
（4）氢原子能量量子化公式： 12213.6n E eVE n n=-=- 6.实物粒子的波粒二象性和不确定关系 （1）德布罗意关系式： h h p u λμ==（2）不确定关系: 2x p ∆∆≥； 2E t ∆∆≥7.波函数和薛定谔方程（1）波函数ψ应满足的标准化条件：单值、有限、连续。
（2）波函数的归一化条件: (,)(,)1Vr t r t d ψψτ*=⎰（3）波函数的态叠加原理: 1122(,)(,)(,)...(,)iiir t c r t c r t c r t ψψψψ=++=∑（4）薛定谔方程: 22(,)()(,)2i r t U r r t t ψψμ⎡⎤∂=-∇+⎢⎥∂⎣⎦8.电子自旋和原子的壳层结构（1）电子自旋： 1,2S s ==；1,2z s s S m m ==±注：自旋是一切微观粒子的基本属性.（2）原子中电子的壳层结构①原子核外电子可用四个量子数(,,,l s n l m m )描述：主量子数：0,1,2,3,...n = 它主要决定原子中电子的能量。
普朗克定律 ppt课件
普朗克公式可改写为： M0(x,T)Ch 1k4c4T 44exx 31
黑体的总辐出度：
M 0 ( T ) 0 M 0 ( T )d C h 1 k 4 c 4 T 4 4 0 e x x 3 1 d x
其中：
0 e x x 3 1 d x 0 1 e x e x 3 xd x 0 e x x 3 n 0 e nd x x
b hc2 .89 1 7 3 0 m 8K 4 .96 k51
可见由普朗克公式可推导得出维恩位移定律。
普朗克定律
三、实验仪器
WGH—10黑体实验装置 （包括光源、电源）
电脑及配套数据处理软件
普朗克定律
WGH-10型黑体实验装置，由光栅单色仪，接收 单元，扫描系统，电子放大器，A/D采集单元， 电压可调的稳压溴钨灯光源，计算机及输出设备 组成。该设备集光学、精密机械、电子学、计算 机技术于一体。光路图如图 ：
01 234 5
绝对黑体的辐出度按波长分布曲线
：如何从理论上找到符合实验曲线的函数式
M 0 (T )f(,T )
维恩经验公式
M 0(T)C 1 5e C T 2
这个公式与实验曲线波长短处符合得很好，但在波长 很长处与实验曲线相差较大。
普朗克定律
瑞利--金斯经验公式
普朗克定律
黑体辐射实验
普朗克定律
一、实验目的
1、了解和掌握黑体辐射的光谱分布——普朗克辐射 定律
2、了解和掌握黑体辐射的积分辐射——斯忒藩玻尔 兹曼定律
3、了解和掌握维恩位移定律
重点：WGH—10黑体实验仪的原理和使用方法 难点：通过实验掌握黑体辐射的光谱分布规律
普朗克定律
二、实验原理
1. 热辐射现象
斯忒藩—玻尔兹曼定律
斯忒藩—玻尔兹曼定律摘要：一、斯忒藩—玻尔兹曼定律的背景与意义1.定律的起源2.对热力学与统计物理学的贡献二、斯忒藩—玻尔兹曼定律的公式与解释1.公式表述2.物理意义及推导过程三、斯忒藩—玻尔兹曼定律的应用领域1.气体动理论2.固体物理3.宇宙学四、斯忒藩—玻尔兹曼定律与其他定律的关系1.与麦克斯韦- 波尔兹曼分布律的联系2.与费米气体和玻色气体的区别正文：斯忒藩—玻尔兹曼定律，又称斯忒藩- 玻尔兹曼方程，是描述理想气体分子碰撞过程的一个基本定律。
它是以奥古斯特·斯忒藩和路德维希·玻尔兹曼两位物理学家的名字命名的，他们分别于1865 年和1872 年独立提出了这一定律。
这一定律在热力学和统计物理学领域有着重要的地位，并对气体动理论、固体物理以及宇宙学等领域产生了深远的影响。
斯忒藩—玻尔兹曼定律的公式表述为：Σ(i=1 至∞)pid2 =8πkT/√(NkT)，其中Σ表示对所有自由度求和，i表示自由度；pid2表示第i 个自由度的动能；k为玻尔兹曼常数；T为绝对温度；N为气体分子数。
该公式描述了在给定温度下，气体分子的总动能与分子数之间的关系。
在物理意义上，斯忒藩—玻尔兹曼定律表示了在一定温度下，气体分子的平均动能与分子数成正比。
当气体温度升高时，分子的平均动能也会增加。
这一定律揭示了气体动理论的基本规律，为研究气体性质提供了理论基础。
此外，斯忒藩—玻尔兹曼定律在固体物理、宇宙学等领域也有着广泛的应用。
在固体物理中，它有助于研究电子与晶格振动的相互作用，从而解释固体的热力学性质。
在宇宙学中，斯忒藩—玻尔兹曼定律可以用于估算宇宙背景辐射的温度，从而揭示宇宙的演化过程。
热辐射基本定律
选择性吸收和穿透实例：温室效应、物体的颜色等
温室效应：利用了玻璃对辐射能吸收的选择性 （对λ＜3μm的辐射能穿透比很大， 对λ＞3μm的辐射能穿透比很小）
物体的颜色变化：取决于物体表面对可见光的选择 性吸收特性
辐射力的概念
(1) (全色)辐射力E
——单位时间内物体的单位表面积向半球空间的所
有方向辐射出去的全部波长范围内的能量, W/m2。
表征物体表面向外界发射辐射能本领的大小。
(2) 单色辐射力E λ（光谱辐射力） ——单位时间内物体的单位表面积向半球空间的所
有方向辐射出去的在包含λ在内的单位波长内的能
量，W/m3。 (3) E与E λ的关系：
3、吸收比α ——物体对投入辐射所吸收的百分比. (表征物体表面对外来能量的反应)
按定义: G ; 即：
G
1
0
(,T1)G(,T2 )d
0 (,T1) (,T2 )Eb (T2 )d
0 G(,T2 )d
0 (,T2 )Eb (T2 )d
α的数值取决于： (1) 吸收辐射物体本身的状况(表面1的性质和温度); (2) 投入辐射的特性(能量按波长的分布) (即表面2的性
E 0 Ed
对于黑体 ,则有 : Eb
0 Eb d
8.2.1 斯忒藩—玻耳兹曼定律（四次方定律） ——反映黑体的(全色)辐射力与温度的关系
Eb T 4
或Eb
C0
(T ) 100
4
其中： σ——黑体辐射常数(5.67×10-8W/m2.K4) C0——黑体辐射系数(5.67W/m2.K4)
8.2.2 普朗克定律
黑体辐射
式中：W0 为黑体总辐射通量密度，单位（W²cm-2）；σ为斯忒藩-玻耳兹曼常量，（σ=（5.6697±0.0029）³10-2W²cm-2²k-4）式（2-7）为斯忒藩-玻耳兹曼定律，即黑体总辐射通量密度随温度的增加而迅速增大，它与温度的四次方成正比。
因此，温度只要有微小变化，就会引起辐射通量密度很大的变化，在用红外装置测定温度时，就是根据此定律作为理论依据的。
从图 2-10 中可以看到黑体辐射均有个极大值，它所对应的波长λmax，若对（2-6）式的 Wλ（λ，T）求波长的偏微分，并求极值，即可得到λmax。
?W? (?，T) ? 0??经整理可得：λmax²T=b（2 - 8）式中：λmax 为辐射通量密度的峰值波长；b 为常数，b=2897.8±0.4（μm²k）。
（2-9）式称为维恩位移定律，它说明随着温度的升高，辐射最大值对应的峰值波长向短波方向移动，表 2-4 给出不同温度时λmax 的数值。
表 2-4 不同温度时黑体辐射的峰值波长T(K) 273 300 310 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000λ maxμm 10.61 9.66 9.34 2.90 1.45 0.97 0.72 0.58 0.48 0.41上述讨论的是黑体辐射，自然界一般物体不是黑体，但在某一确定温度T 时，物体最强辐射所对应的波长λmax，也可以用维恩位移公式计算出近似值。
如：人体表面平均温度为37°（即 310K），其发射到空间的电磁辐射的峰值波长为外波段。
9.34即人体辐射的峰值波长位于热红二、地物的发射光谱特性任何地物当温度高于绝对温度OK 时，组成物质的原子、分子等微粒，在不停地做热运动，都有向周围空间辐射红外线和微波的能力。
通常地物发射电磁辐射的能力是以发射率作为衡量标准。
地物的发射率是以黑体辐射作为基准。
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2023年光学教程第三版（姚启钧著）课后题答案下载2023年光学教程第三版（姚启钧著）课后题答案下载本教程以物理光学和应用光学为主体内容。
第1章到第3章为应用光学部分，介绍了几何光学基础知识和光在光学系统中的传播和成像特性，注意介绍了激光系统和红外系统;第4～8章为物理光学部分，讨论了光在各向同性介质、各向异性介质中的传播规律，光的干涉、衍射、偏振特性及光与物质的相互作用，并结合介绍了DWDM、双光子吸收、Raman放大、光学孤子等相关领域的应用和进展。
第9章则专门介绍航天光学遥感、自适应光学、红外与微光成像、瞬态光学、光学信息处理、微光学、单片光电集成等光学新技术。
光学教程第三版（姚启钧著）：内容简介绪论0.1 光学的研究内容和方法0.2 光学发展简史第1章光的干涉1.1 波动的独立性、叠加性和相干性1.2 由单色波叠加所形成的干涉图样1.3 分波面双光束干涉1.4 干涉条纹的可见度光波的时间相干性和空间相干性 1.5 菲涅耳公式1.6 分振幅薄膜干涉(一)——等倾干涉1.7 分振幅薄膜干涉(二)——等厚干涉视窗与链接昆虫翅膀上的彩色1.8 迈克耳孙干涉仪1.9 法布里一珀罗干涉仪多光束干涉1.10 光的干涉应用举例牛顿环视窗与链接增透膜与高反射膜附录1.1 振动叠加的三种计算方法附录1.2 简谐波的表达式复振幅附录1.3 菲涅耳公式的推导附录1.4 额外光程差附录1.5 有关法布里一珀罗干涉仪的(1-38)式的推导附录1.6 有同一相位差的多光束叠加习题第2章光的衍射2.1 惠更斯一菲涅耳原理2.2 菲涅耳半波带菲涅耳衍射视窗与链接透镜与波带片的比较2.3 夫琅禾费单缝衍射2.4 夫琅禾费圆孔衍射2.5 平面衍射光栅视窗与链接光碟是一种反射光栅2.6 晶体对X射线的'衍射视窗与链接与X射线衍射有关的诺贝尔奖附录2.1 夫琅禾费单缝衍射公式的推导附录2.2 夫琅禾费圆孔衍射公式的推导附录2.3 平面光栅衍射公式的推导习题第3章几何光学的基本原理3.1 几个基本概念和定律费马原理3.2 光在平面界面上的反射和折射光导纤维视窗与链接光导纤维及其应用3.3 光在球面上的反射和折射3.4 光连续在几个球面界面上的折射虚物的概念 3.5 薄透镜3.6 近轴物近轴光线成像的条件3.7 共轴理想光具组的基点和基面视窗与链接集成光学简介附录3.1 图3-6中P1和JP1点坐标的计算附录3.2 棱镜最小偏向角的计算附录3.3 近轴物在球面反射时物像之间光程的计算附录3.4 空气中的厚透镜物像公式的推导习题第4章光学仪器的基本原理4.1 人的眼睛4.2 助视仪器的放大本领4.3 目镜4.4 显微镜的放大本领4.5 望远镜的放大本领视窗与链接太空实验室——哈勃太空望远镜4.6 光阑光瞳4.7 光度学概要——光能量的传播视窗与链接三原色原理4.8 物镜的聚光本领视窗与链接数码相机4.9 像差概述视窗与链接现代投影装置4.10 助视仪器的像分辨本领视窗与链接扫描隧显微镜4.11 分光仪器的色分辨本领习题第5章光的偏振5.1 自然光与偏振光5.2 线偏振光与部分偏振光视窗与链接人造偏振片与立体电影 5.3 光通过单轴晶体时的双折射现象 5.4 光在晶体中的波面5.5 光在晶体中的传播方向5.6 偏振器件5.7 椭圆偏振光和圆偏振光5.8 偏振态的实验检验5.9 偏振光的干涉5.10 场致双折射现象及其应用视窗与链接液晶的电光效应及其应用5.11 旋光效应5.12 偏振态的矩阵表述琼斯矢量和琼斯矩阵附录5.1 从沃拉斯顿棱镜出射的两束线偏振光夹角公式(5-15)的推导习题第6章光的吸收、散射和色散6.1 电偶极辐射对反射和折射现象的解释6.2 光的吸收6.3 光的散射视窗与链接光的散射与环境污染监测6.4 光的色散6.5 色散的经典理论习题第7章光的量子性7.1 光速“米”的定义视窗与链接光频梳7.2 经典辐射定律7.3 普朗克辐射公式视窗与链接诺贝尔物理学奖7.4 光电效应7.5 爱因斯坦的量子解释视窗与链接双激光束光捕获7.6 康普顿效应7.7 德布罗意波7.8 波粒二象性附录7.1 从普朗克公式推导斯忒藩一玻耳兹曼定律附录7.2 从普朗克公式推导维恩位移定律习题第8章现代光学基础8.1 光与物质相互作用8.2 激光原理8.3 激光的特性8.4 激光器的种类视窗与链接激光产生106T强磁场8.5 非线性光学8.6 信息存储技术8.7 激光在生物学中的应用视窗与链接王淦昌与惯性的束核聚变习题主要参考书目基本物理常量表光学教程第三版（姚启钧著）：目录点击此处下载光学教程第三版（姚启钧著）课后题答案。
普朗克定律
2441.4 1775.7 1517.6 1382.2 1259.3
E T 的理论值与实测值相差不大 2、验证斯忒藩－玻耳兹曼定律。
选择黑体辐射定律菜单下斯忒藩－玻耳兹曼定律。 选择5个寄存器中的数据，再单击单确击定。
相对误差=1.16% 3、验证维恩位移定律 。
选择验证黑体辐射定律菜单下维恩位移定律。 选择5个寄存器中的数据，再单击确定。
软件中存了一条色温为2940K的溴钨灯的标准能量线
5、点击“传递函数”、“修正为黑体”√为
6．在表1中任选一工作电流，点击黑体扫描，输入相对 应的色温，记录溴钨灯光源在传递函数修正和黑体修正 后的全谱存于寄存器－内 ，然后归一化，如图所示。
7、改变溴钨灯工作电流，在表1中任选4个选电选择择流归值一，化分别
c2
3
h
e
1
kT
1
普朗克得到上述公式后意识到，如果仅仅是一个 侥幸揣测出来的内插公式，其价值只能是有限的。 必须寻找这个公式的理论根据。他经过深入研究后 发现：必须使谐振子的能量取分立值，才能得到上 述普朗克公式。
能量子假说：辐射黑体分子、原子的振动可看作 谐振子，这些谐振子可以发射和吸收辐射能。但是这些 谐振子只能处于某些分立的状态，在这些状态中，谐振 子的能量并不象经典物理学所允许的可具有任意值。相 应的能量是某一最小能量ε（称为能量子）的整数倍， 即：ε, 1ε, 2ε, 3ε, ... nε. n为正整数，称为量子数。
维恩经验公式
M0
(T
)
C e 5
C2
T
1
这个公式与实验曲线波长短处符合得很好，但在波长 很长处与实验曲线相差较大。
瑞利--金斯经验公式
M 0 (T ) C34T
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即 则
λm =
hc hc 1 = kTx m 4.956k T
λmT = b
hc b= = 2.897 × 10 − 3 m ⋅ k 4.956k
其中
2 2 2
（1） ）
hc dx dλ = − 2 kTx
将（1）式代入普朗克公式，得 ）式代入普朗克公式，
（1） ）
c1λ−5 c1 x5 c1 x5 c1k5T 5 x5 1 1 MB (λ,T) = x = 5 5 ⋅ x = ⋅ x = 5 5 ⋅ x = MB ( x,T) 5 e − 1 x λ e − 1 hc e − 1 h c e − 1 kT
c1 k 4 4 M B (T ) = 6.494 4 4 T = σT 4 h c
c1 k 4 8 2 4 其中 σ = 6.494 4 4 = 5.710 × 10 − W / m ⋅ k h c 为了推导维恩位移定律，需求出（ ） 为了推导维恩位移定律，需求出（2）式的极大值 x max
d e x − 1 5x 4 − x 5e x M B (x, T ) = ⋅ =0 5 5 x 2 dx (e − 1) h c c1 k 5T 5
(
)
(
)
由此可得
5e − xe − 5 = 0
x x
的超越方程， ，这是x的超越方程，可用作图法求解。 这是 的超越方程 可用作图法求解。
将上式改为
5 − x = 5e − x ，作直线 y = 5 − x
y = 5e − x ，它们的交点就是方程的解。可得 它们的交点就是方程的解。 和负指数曲线
由普朗克公式
M B (λ , T ) = 2π λ ⋅
2 −5
1 e
hc kλ T
−1
推导斯忒藩－ 推导斯忒藩－玻尔兹曼定律和 维恩位移定律 hc 2 x= C1 = 2πhc 令 kλT 则 λ = hc kTx
k 2 hc hc k T x dx= − 2 dλ = − ⋅ 2 2 dλ = − Tx dλ hc kT h c kλ T
因此黑体在一定温度T时的辐出度是： 因此黑体在一定温度 时的辐出度是： 时的辐出度是
M B (T ) = ∫ M B (λ , T )dλ =
∞ 0
c1 k 4T 4 h c
4 4
∫
∞
0
dx e −1
x
x
3
x max
查表可得
∫
∞
0
x3 dx = 6.494 x e −1
于是可得斯忒藩－ 于是可得斯忒藩－玻尔兹曼定律