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高中数学必修一知识点整理
高中数学 必修1知识点总结第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示● 什么是集合集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。
● 常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集。
集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合。
②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合。
③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素。
④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合。
● 集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集。
②含有无限个元素的集合叫做无限集。
③不含有任何元素的集合叫做空集(∅)。
【1.1.2】集合间的基本关系● 已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集。
交集、并集、补集 名称 记号 意义性质 示意图交集A B{|,x x A ∈且}x B ∈（1）A A A = （2）A ∅=∅ （3）A B A ⊆ A B B ⊆ BA并集A B{|,x x A ∈或}x B ∈（1）A A A = （2）A A ∅= （3）A B A ⊇ A B B ⊇BA补集UA {|,}x x U x A ∈∉且1()U A A =∅2()U A A U =【补充】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a <> {|}x a x a -<< ||(0)x a a >>|x x a <-或}x a >||,||(0)ax b c ax b c c +<+>>把ax b +看成一个整体，化成||x a <，||(0)x a a >>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图象O一元二次方程20(0)ax bx c a ++=>的根21,242b b ac x a-±-=（其中12)x x <122b x x a==-无实根20(0)ax bx c a ++>>的解集1{|x x x <或2}x x >{|x }2b x a≠-R20(0)ax bx c a ++<>12{|}x x x x <<∅ ∅()()()UU U A B A B =()()()UU U A B A B =〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念● 函数、区间的概念及其表示方法：函数：①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．区间及表示法：①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．● 求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． ● 求函数的值域或最值：求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法● 函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． ● 映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值● 函数的单调性①定义及判定方法函数的 性 质定义 图象 判定方法函数的 单调性 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．● 打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、(0,]a 上为减函数． ● 最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1。
高中数学必修一第一单元知识点
第一章 集合与函数的概念一、集合1、常用的一些数集表示方法：N 表示自然数集，N*或N +表示正整数集，Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集.2、集合三大特性：确定性、互异性、无序性确定性：对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
互异性：任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
无序性：集合中的元素是同等的，没有先后依次，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列依次是否一样。
集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示方法：列举法与描述法列举法：将集合中的元素一一列举出来（元素用逗号隔开，元素不论次序均放在大括号） 例：book 中的字母表示成集合 {b,o,o,k } {b,o,k }描述法：用确定的条件来表示某些对象是否属于这个集合。
例：book 中的字母表示成集合 A={X|X 是book 中的字母}全部奇数组成的组合 A={X ∈R|X =2K +1}中间的|不能省略，不要遗忘X ∈R 或者X ∈Z ，除非上下文明确表示4、集合相等只要集合中的元素完全相等，两个集合就相等。
5、集合的分类有限集：含有有限个元素的集合。
例：{1,8,9,3,5}无限集：含有无限个元素的集合。
例：{X ∈R|X >2}空集：不含有任何元素的集合。
记做 ∅≠{0}二、集合间的基本关系1、子集、真子集、集合相等子集：对于两个集合A 、B ，假如集合A 中的任一元素都是集合B 中的元素，则称集合A 为集合B 的子集。
记A ⊆B 或者B ⊇A 1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合真子集：A ⊆B 且B 中至少一个元素不属于A 。
记A ⊂≠B B A A （B ）集合相等：A=B，空集是任何集合的真子集。
已知集合A有n(n≥1)个元素，则它有2n个子集，它有2n−1个真子集，它有2n−1个非空子集，它有2n−2个非空真子集任何一个集合都是本身的子集∈、⊂、⊆等集合的运用2、集合的基本运算（交集、并集、补集）交集：A∩B {x|x∈A且x∈B }并集：A∪B {x|x∈A或x∈B }补集：C U A{x|x∈U且x∉A }二、函数1、函数表示：y=f(x), x∈Ax叫自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y叫做函数值（因变量），函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域定义域留意事项：(1)分式的分母不等于零；(2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必需大于零；(4)指数、对数式的底必需大于零且不等于1.(5)假如函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.(6)指数为零底不行以等于零，(7)实际问题中的函数的定义域还要保证明际问题有意义.相同函数的推断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；②定义域一样(两点必需同时具备)函数题目首先考虑定义域2、映射映射可以一对一，多对一，但是不行以多对一。
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第一章 集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A{|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0)ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O 一元二次方程20(0)ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0)ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示 【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数． （2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞． 注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义． （4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系． （6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质 【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减） （4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法 函数的 性 质定义图象判定方法 函数的 奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象． 利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系． （3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。
2019新人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语知识点总结
2019新人教版高中数学必修第一册第1章集合与常用逻辑用语知识点总结的表示法是将a放在大括号中，表示一个只含有a这一个元素的集合。
2）描述法中，要注意符号的使用和表达的准确性。
3）在交集与并集的性质中，要注意交集和并集的交换律和结合律。
4）在全集和补集的性质中，要注意补集的定义和符号的使用。
第一章集合和常用逻辑用语1.1 集合的含义和表示集合是由一些元素组成的总体。
元素具有确定性、互异性和无序性。
我们通常用大写的拉丁字母A、B、C等表示集合，用小写拉丁字母a、b、c等表示元素。
如果元素x在集合A中，我们称x属于A，记为x∈A，否则称x不属于A，记作x∉A。
常用的数集有非负整数集（即自然数集）记作N，正整数集记作N*或N+，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R。
集合的表示法有列举法、描述法和图示法。
列举法是把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
描述法是用集合所含元素的公共特征表示集合的方法，可以用语言描述法和数学式子描述法。
图示法是用Venn图表示集合和元素之间的关系。
1.2 集合间的基本关系集合间有“包含”关系和“相等”关系。
如果集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，则A叫做B的子集，记为A⊆B，例如N⊆Z。
子集的个数为2的n次方（n为集合中元素个数）。
如果A是B的子集，而且B中存在元素不属于A，则A叫B的真子集。
真子集的个数为2的n次方减1（n为集合中元素个数）。
如果A是B的子集，B也是A的子集，则称A与B相等。
空集是不含任何元素的集合，用∅来表示。
空集∅是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
1.3 集合的基本运算集合有交集和并集两种基本运算。
交集是指集合A和集合B中共同拥有的元素组成的集合，记为A∩B。
并集是指集合A和集合B中所有元素组成的集合，记为A∪B。
交集和并集有交换律和结合律。
全集是指包含所有元素的集合，通常用U来表示。
补集是指集合A中不属于集合B的元素组成的集合，记为CBA。
人教版高中数学必修1 第一章知识点
• 10．函数最大（小）值（定义见课本）
（1）利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）
值. （2）利用图象求函数的最大（小）值 （3）利用函数单调性的判断函数的最大（小）值：如果函 数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减则 函数y=f(x)在x=b处有最大值f(b)；如果函数y=f(x)在区间[a，b] 上单调递减，在区间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有
映射。记作“f：A→ B”
• 给定一个集合A到B的映射，如果a∈A,b∈B.且元 素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a 的象，元素a叫做元素b的原象
• 7．函数单调性 • （1）增函数 • 设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间 D内的任意两个自变量a，b，当a<b时，都有f(a)<f(b)，那
• 9、函数的解析表达式
（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要
求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之
间的对应法则，二是要求出函数的定义域.
（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、 换元法、消参法等，如果已知函数解析式的构造时， 可用待定系数法；已知复合函数f[g(x)]的表达式时， 可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表 达式较简单时，也可用凑配法；若已知抽象函数表 达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)
点(x，y)，均在C上 . 即记为C={ P(x,y) | y= f(x) , x∈A },
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能
是由与任意平行与Y轴的直线最多只有一个交点的若
干条曲线或离散点组成。
• (2) 画法
A、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y的一些对
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人教版高中数学必修一教材用书第一章 集合与函数概念1．1集__合1．1.1 集合的含义与表示 第一课时 集合的含义[提出问题] 观察下列实例： (1)某公司的所有员工；(2)平面内到定点O 的距离等于定长d 的所有的点；(3)不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，x 2≤9的整数解；(4)方程x 2－5x ＋6＝0的实数根； (5)某中学所有较胖的同学．问题1：上述实例中的研究对象各是什么？ 提示：员工、点、整数解、实数根、较胖的同学． 问题2：你能确定上述实例的研究对象吗？ 提示：(1)(2)(3)(4)的研究对象可以确定．问题3：上述哪些实例的研究对象不能确定？为什么？提示：(5)的研究对象不能确定，因为“较胖”这个标准不明确，故无法确定． [导入新知] 元素与集合的概念 定义表示元素 一般地，我们把研究对象统称为元素 通常用小写拉丁字母a ，b ，c ，…表示 集合把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)通常用大写拉丁字母A ，B ，C ，…表示[化解疑难]准确认识集合的含义(1)集合的概念是一种描述性说明，因为集合是数学中最原始的、不加定义的概念，这与我们初中学过的点、直线等概念一样，都是用描述性语言表述的．(2)集合含义中的“元素”所指的范围非常广泛，现实生活中我们看到的、听到的、闻到的、触摸到的、想到的各种各样的事物或一些抽象的符号等，都可以看作“对象”，即集合中的元素.元素的特性及集合相等[提出问题]问题1：“知识点一”中的实例(3)组成的集合的元素是什么？提示：2,3.问题2：“知识点一”中的实例(4)组成的集合的元素是什么？提示：2,3.问题3：“知识点一”中的实例(3)与实例(4)组成的集合有什么关系？提示：相等．[导入新知]1．集合相等只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合相等．2．集合元素的特性集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．[化解疑难]对集合中元素特性的理解(1)确定性：作为一个集合的元素必须是明确的，不能确定的对象不能构成集合．也就是说，给定一个集合，任何一个对象是不是这个集合的元素是确定的．(2)互异性：对于给定的集合，其中的元素一定是不同的，相同的对象归入同一个集合时只能算作集合的一个元素．(3)无序性：对于给定的集合，其中的元素是不考虑顺序的．如由1,2,3构成的集与3,2,1构成的集合是同一个集合.元素与集合的关系及常用数集的记法[提出问题]某中学2017年高一年级20个班构成一个集合．问题1：高一(6)班、高一(16)班是这个集合中的元素吗？提示：是这个集合的元素．问题2：高二(3)班是这个集合中的元素吗？为什么？提示：不是．高一年级这个集合中没有高二(3)班这个元素． [导入新知]1．元素与集合的关系(1)如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a ∈A . (2)如果a 不是集合A 中的元素，就说a 不属于集合A ，记作a ∉A . 2．常用的数集及其记法常用的数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 记法NN *或N ＋ZQR[化解疑难]1．对“∈”和“∉”的理解(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如R ∈0是错误的． 2．常用数集关系网集合的基本概念[例1] (1)下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点A 的距离等于1的点的全体；④正三角形的全体；⑤2的近似值的全体．其中能构成集合的组数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5(2)判断下列说法是否正确，并说明理由． ①某个公司里所有的年轻人组成一个集合； ②由1，32，64，⎪⎪⎪⎪－12，12组成的集合有五个元素； ③由a ，b ，c 组成的集合与由b ，a ，c 组成的集合是同一个集合．[解] (1)选A “接近于0的数”“比较小的正整数”标准不明确，即元素不确定，所以①②不是集合．同样，“2的近似值”也不明确精确到什么程度，因此很难判定一个数，比如2是不是它的近似值，所以⑤也不是一个集合．③④能构成集合．(2)①不正确．因为“年轻人”没有确定的标准，对象不具有确定性，所以不能组成集合． ②不正确．由于32＝64，⎪⎪⎪⎪－12＝12，由集合中元素的互异性知，这个集合是由1，32，12这三个元素组成的．③正确．集合中的元素相同，只是次序不同，但它们仍表示同一个集合． [类题通法]判断一组对象能否组成集合的标准及其关注点(1)标准：判断一组对象能否组成集合，关键看该组对象是否满足确定性，如果此组对象满足确定性，就可以组成集合；否则，不能组成集合．(2)关注点：利用集合的含义判断一组对象能否组成一个集合，应注意集合中元素的特性，即确定性、互异性和无序性．[活学活用]判断下列每组对象能否构成一个集合． (1)著名的数学家；(2)某校2017年在校的所有高个子同学； (3)不超过20的非负数；(4)方程x 2－9＝0在实数范围内的解； (5)平面直角坐标系内第一象限的一些点．解：(1)“著名的数学家”无明确的标准，对于某个人是否“著名”无法客观地判断，因此“著名的数学家”不能构成一个集合．(2)与(1)类似，也不能构成集合．(3)任给一个实数x ，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”，即“0≤x ≤20”与“x ＞20或x ＜0”两者必居其一，且仅居其一，故“不超过20的非负数”能构成集合．(4)类似于(3)，也能构成集合．(5)“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合.元素与集合的关系[例2] (1)设集合A 只含有一个元素a ，则下列各式正确的是( )A．0∈A B．a∉AC．a∈A D．a＝A(2)下列所给关系正确的个数是()①π∈R；②3∉Q；③0∈N*；④|－4|∉N*.A．1 B．2C．3 D．4[解析](1)由元素与集合的关系可知，a∈A.(2)①π∈R显然是正确的；②3是无理数，而Q表示有理数集，∴3∉Q，正确；③N*表示不含0的自然数集，∴0∉N*，③错误；④|－4|＝4∈N*，④错误，所以①②是正确的．[答案](1)C(2)B[类题通法]判断元素与集合间关系的方法判断一个对象是否为某个集合的元素，就是判断这个对象是否具有这个集合的元素具有的共同特征．如果一个对象是某个集合的元素，那么这个对象必具有这个集合的元素的共同特征．[活学活用]给出下列说法：①R中最小的元素是0；②若a∈Z，则－a∉Z；③若a∈Q，b∈N*，则a＋b∈Q.其中正确的个数为()A．0B．1C．2 D．3解析：选B实数集中没有最小的元素，故①不正确；对于②，若a∈Z，则－a也是整数，故－a∈Z，所以②也不正确；只有③正确.集合中元素的特性及应用[例3]已知集合A中含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值．[解]若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，a＝a2，集合A中有一个元素，∴a≠1.当a＝－1时，集合A 中含有两个元素1，－1，符合互异性．∴a ＝－1. [类题通法]关注元素的互异性根据集合中元素的确定性，可以解出字母的所有可能取值，但要时刻关注集合中元素的三个特性，尤其是互异性，解题后要注意进行检验．[活学活用]已知集合A 中含有三个元素1,0，x ，若x 2∈A ，求实数x 的值．解：∵x 2∈A ，∴x 2是集合A 中的元素．又∵集合A 中含有3个元素，∴需分情况讨论：①若x 2＝0，则x ＝0，此时集合A 中有两个元素0，不符合互异性，舍去；②若x 2＝1，则x ＝±1.当x ＝1时，此时集合A 中有两个元素1，舍去；当x ＝－1时，此时集合A 中有三个元素1,0，－1，符合题意；③若 x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1，不符合互异性，都舍去．综上可知，x ＝－1.1.警惕集合元素的互异性[典例] 若集合A 中有三个元素x ，x ＋1,1，集合B 中也有三个元素x ，x 2＋x ，x 2，且A ＝B ，则实数x 的值为________．[解析] ∵A ＝B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2.解得x ＝±1.经检验，x ＝1不适合集合元素的互异性，而x ＝－1适合． ∴x ＝－1. [答案] －1 [易错防范]1．上面例题易由方程组求得x ＝±1后，忽视对求出的值进行检验，从而得出错误的结论．(2)若－2∈A ，求实数x .解：(1)由集合中元素的互异性可知，x ≠3，且x ≠x 2－2x ，x 2－2x ≠3. 解得x ≠－1且x ≠0，且x ≠3. (2)∵－2∈A ，∴x ＝－2或x 2－2x ＝－2. 由于x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1， ∴x ＝－2.11．数集M 满足条件：若a ∈M ，则1＋a1－a∈M (a ≠±1且a ≠0)．若3∈M ，则在M 中还有三个元素是什么？解：∵3∈M ， ∴1＋31－3＝－2∈M ， ∴1＋(－2)1－(－2)＝－13∈M ，∴1＋⎝⎛⎭⎫－131－⎝⎛⎭⎫－13＝2343＝12∈M .又∵1＋121－12＝3∈M ，∴在M 中还有元素－2，－13，12.12．数集A 满足条件：若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)．(1)若2∈A ，试求出A 中其他所有元素；(2)自己设计一个数属于A ，然后求出A 中其他所有元素；(3)从上面两小题的解答过程中，你能悟出什么道理？并大胆证明你发现的这个“道理”．解：根据已知条件“若a ∈A ，则11－a ∈A (a ≠1)”逐步推导得出其他元素．(1)其他所有元素为－1，12.(2)假设－2∈A，则13∈A，则32∈A.其他所有元素为13，32.(3)A中只能有3个元素，它们分别是a，11－a，a－1a，且三个数的乘积为－1.证明如下：由已知，若a∈A，则11－a∈A知，11－11－a＝a－1a∈A，11－a－1a＝a∈A.故A中只能有a，11－a，a－1a这3个元素．下面证明三个元素的互异性：若a＝11－a，则a2－a＋1＝0有解，因为Δ＝1－4＝－3<0，所以方程无实数解，故a≠11－a.同理可证，a≠a－1a，11－a≠a－1a.结论得证．第二课时集合的表示列举法[提出问题]观察下列集合：(1)中国古代四大发明组成的集合；(2)20的所有正因数组成的集合．问题1：上述两个集合中的元素能一一列举出来吗？提示：能．(1)中的元素为造纸术、印刷术、指南针、火药，(2)中的元素为1,2,4,5,10,20.问题2：如何表示上述两个集合？提示：用列举法表示．[导入新知]列举法把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．[化解疑难]使用列举法表示集合的四个注意点(1)元素间用“，”分隔开，其一般形式为{a1，a2，…，a n}；(2)元素不重复，满足元素的互异性；(3)元素无顺序，满足元素的无序性；(4)对于含有有限个元素且个数较少的集合，采取该方法较合适；若元素个数较多或有无限个且集合中的元素呈现一定的规律，在不会产生误解的情况下，也可以列举出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.描述法[提出问题]观察下列集合：(1)不等式x－2≥3的解集；(2)函数y＝x2－1的图象上的所有点．问题1：这两个集合能用列举法表示吗？提示：不能．问题2：如何表示这两个集合？提示：利用描述法．[导入新知]描述法(1)定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．(2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．[化解疑难]1．描述法表示集合的条件对于元素个数不确定且元素间无明显规律的集合，不能将它们一一列举出来，可以将集合中元素的共同特征描述出来，即采用描述法．2．描述法的一般形式它的一般形式为{x∈A|p(x)}，其中的x表示集合中的代表元素，A指的是元素的取值范围；p(x)则是表示这个集合中元素的共同特征，其中“|”将代表元素与其特征分隔开来．一般来说，集合元素x的取值范围A需写明确，但若从上下文的关系看，x∈A是明确的，则x∈A可以省略，只写元素x.用列举法表示集合[例1] (1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,9}，若x ∈A 且x ∉B ，则x ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．9(2)用列举法表示下列集合：①不大于10的非负偶数组成的集合； ②方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合； ③直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合；④方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解．[解] 选B (1)∵x ∈A ， ∴x ＝1,2,3.又∵x ∉B ，∴x ≠1,3,9，故x ＝2.(2)①因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的非负偶数集合是{0,2,4,6,8,10}．②方程x 2＝x 的实数解是x ＝0或x ＝1，所以方程x 2＝x 的所有实数解组成的集合为{0,1}． ③将x ＝0代入y ＝2x ＋1，得y ＝1，即交点是(0,1)，故直线y ＝2x ＋1与y 轴的交点组成的集合是{(0,1)}．④解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x －y ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1.∴用列举法表示方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝－1的解集为{(0,1)}．[类题通法]用列举法表示集合的步骤(1)求出集合的元素；(2)把元素一一列举出来，且相同元素只能列举一次； (3)用花括号括起来．[活学活用]已知集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，对任意a∈A，有|a|∈B，且B中只有4个元素，求集合B.解：对任意a∈A，有|a|∈B.因为集合A＝{－2，－1,0,1,2,3}，由－1，－2,0,1,2,3∈A，知0,1,2,3∈B.又因为B中只有4个元素，所以B＝{0,1,2,3}.用描述法表示集合[例2](1)用符号“∈”或“∉”填空：①A＝{x|x2－x＝0}，则1____A，－1____A；②(1,2)________{(x，y)|y＝x＋1}．(2)用描述法表示下列集合：①正偶数集；②被3除余2的正整数的集合；③平面直角坐标系中坐标轴上的点组成的集合．[解](1)①将1代入方程，成立；将－1代入方程，不成立．故1∈A，－1∉A.②将x＝1，y＝2代入y＝x＋1，成立，故填“∈”．(2)①偶数可用式子x＝2n，n∈Z表示，但此题要求为正偶数，故限定n∈N*，所以正偶数集可表示为{x|x＝2n，n∈N*}．②设被3除余2的数为x，则x＝3n＋2，n∈Z，但元素为正整数，故x＝3n＋2，n∈N.所以被3除余2的正整数集合可表示为{x|x＝3n＋2，n∈N}．③坐标轴上的点(x，y)的特点是横、纵坐标中至少有一个为0，即xy＝0，故坐标轴上的点的集合可表示为{(x，y)|xy＝0}．[答案](1)①∈∉②∈[类题通法]利用描述法表示集合应关注五点(1)写清楚该集合代表元素的符号．例如，集合{x∈R|x<1}不能写成{x<1}．(2)所有描述的内容都要写在花括号内．例如，{x∈Z|x＝2k}，k∈Z，这种表达方式就不符合要求，需将k ∈Z 也写进花括号内，即{x ∈Z|x ＝2k ，k ∈Z}．(3)不能出现未被说明的字母．(4)在通常情况下，集合中竖线左侧元素的所属范围为实数集时可以省略不写．例如，方程x 2－2x ＋1＝0的实数解集可表示为{x ∈R|x 2－2x ＋1＝0}，也可写成{x |x 2－2x ＋1＝0}．(5)在不引起混淆的情况下，可省去竖线及代表元素，如{直角三角形}，{自然数}等． [活学活用] 下列三个集合： ①A ＝{x |y ＝x 2＋1}； ②B ＝{y |y ＝x 2＋1}； ③C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}． (1)它们是不是相同的集合？ (2)它们各自的含义分别是什么？解：(1)由于三个集合的代表元素互不相同，故它们是互不相同的集合．(2)集合A ＝{x |y ＝x 2＋1}的代表元素是x ，且x ∈R ，所以{x |y ＝x 2＋1}＝R ，即A ＝R ；集合B ＝{y |y ＝x 2＋1}的代表元素是y ，满足条件y ＝x 2＋1的y 的取值范围是y ≥1，所以{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}的代表元素是(x ，y )，是满足y ＝x 2＋1的数对．可以认为集合C 是坐标平面内满足y ＝x 2＋1的点(x ，y )构成的集合，其实就是抛物线y ＝x 2＋1的图象.集合表示的应用[例3] (1)集合A ＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为( ) A ．{x |x ＝2n ±1，n ∈N} B ．{x |x ＝(－1)n (2n －1)，n ∈N} C ．{x |x ＝(－1)n (2n ＋1)，n ∈N} D ．{x |x ＝(－1)n －1(2n ＋1)，n ∈N}(2)设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪62＋x ∈N .①试判断元素1,2与集合B 的关系； ②用列举法表示集合B .[解] 选C (1)观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.(2)①当x ＝1时，62＋1＝2∈N ； 当x ＝2时，62＋2＝32∉N.所以1∈B,2∉B . ②∵62＋x∈N ，x ∈N ， ∴2＋x 只能取2,3,6.∴x 只能取0,1,4.∴B ＝{0,1,4}． [类题通法]判断元素与集合间关系的方法(1)用列举法给出的集合，判断元素与集合的关系时，观察即得元素与集合的关系． 例如，集合A ＝{1,9,12}，则0∉A,9∈A .(2)用描述法给出的集合，判断元素与集合的关系时就比较复杂．此时，首先明确该集合中元素的一般符号是什么，是实数？是方程？…，其次要清楚元素的共同特征是什么，最后往往利用解方程的方法判断所给元素是否满足集合中元素的特征，即可确定所给元素与集合的关系．[活学活用]用列举法表示集合A ＝{(x ，y )|y ＝x 2，－1≤x ≤1，且x ∈Z}． 解：由－1≤x ≤1，且x ∈Z ，得x ＝－1,0,1，当x ＝－1时，y ＝1；当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝1. ∴A ＝{(－1,1)，(0,0)，(1,1)}．1.集合与方程的综合应用[典例] 集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R}中只有一个元素，求a 的取值范围． [解] 当a ＝0时，原方程变为2x ＋1＝0， 此时x ＝－12，符合题意；[随堂即时演练]1．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9的解集是( )A ．(－5,4)B ．(5，－4)C ．{(－5,4)}D ．{(5，－4)}解析：选D 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝1，x 2－y 2＝9，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝－4，故解集为{(5，－4)}．2．下列四个集合中，不同于另外三个的是( ) A ．{y |y ＝2} B ．{x ＝2}C ．{2}D ．{x |x 2－4x ＋4＝0}解析：选B 集合{x ＝2}表示的是由一个等式组成的集合，其他选项所表示的集合都是含有一个元素2.3．给出下列说法：①平面直角坐标内，第一、三象限的点的集合为{(x ，y )|xy >0}； ②方程x －2＋|y ＋2|＝0的解集为{2，－2}； ③集合{(x ，y )|y ＝1－x }与集合{x |y ＝1－x }是相等的． 其中正确的是________(填序号)．解析：直角坐标平面内，第一、三象限的点的横、纵坐标是同号的，且集合中的代表元素为点(x ，y )，故①正确；方程x －2＋|y ＋2|＝0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，y ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－2，解为有序实数对(2，－2)，解集为{(2，－2)}或⎩⎪⎨⎪⎧(x ，y )⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎬⎪⎫⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝2，y ＝－2，故②不正确； 集合{(x ，y )|y ＝1－x }的代表元素是(x ，y )，集合{x |y ＝1－x }的代表元素是x ，前者是有序实数对，后者是实数，因此这两个集合不相等，故③不正确．答案：①4．已知A ＝{－1，－2,0,1}，B ＝{x |x ＝|y |，y ∈A }，则B ＝________. 解析：∵|－1|＝1，|－2|＝2，且集合中的元素具有互异性，11．(1)已知集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪61＋x ∈Z，求M ； (2)已知集合C ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫⎪⎪61＋x ∈Z x ∈N ，求C .解：(1)∵x ∈N ，61＋x ∈Z ，∴1＋x 应为6的正约数． ∴1＋x ＝1,2,3,6，即x ＝0,1,2,5. ∴M ＝{0,1,2,5}． (2)∵61＋x ∈Z ，且x ∈N ，∴1＋x 应为6的正约数，∴1＋x ＝1,2,3,6，此时61＋x 分别为6,3,2,1，∴C ＝{6,3,2,1}．12．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ，y )⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 2－2x －1，y ＝0有且只有一个元素，试求出实数k 的值，并用列举法表示集合A .解：当k ＝0时，方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx 2－2x －1，y ＝0可化为⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x －1，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝0，此时集合A 为－12，0；当k ≠0时，要使集合A 有且只有一个元素，则方程kx 2－2x －1＝0有且只有一个根，所以⎩⎪⎨⎪⎧k ≠0，Δ＝(－2)2＋4k ＝0，解得k ＝－1，代入⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx 2－2x －1，y ＝0中得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2－2x －1，y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝－1，y＝0，即A＝{(－1,0)}．综上可知，当k＝0时，A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝⎛⎭⎫－12，0；当k＝－1时，A＝{(－1,0)}．1．1.2集合间的基本关系子集[提出问题]具有北京市东城区户口的人组成集合A，具有北京市户口的人组成集合B. 问题1：集合A中元素与集合B有关系吗？提示：有关系，集合A中每一个元素都属于集合B.问题2：集合A与集合B有什么关系？提示：集合B包含集合A.[导入新知]子集的概念定义一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集记法与读法记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A含于B”(或“B包含A”)图示结论(1)任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.(2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C[化解疑难]对子集概念的理解(1)集合A是集合B的子集的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B.例如{0,1}⊆{－1,0,1}，则0∈{0,1}，0∈{－1，0,1}．(2)如果集合A中存在着不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，此时记作A B或B⊉A.(3)注意符号“∈”与“⊆”的区别：“⊆”只用于集合与集合之间，如{0}⊆N，而不能写成{0}∈N；“∈”只能用于元素与集合之间，如0∈N，而不能写成0⊆N.集合相等[提出问题]设A＝{x|x是有三条边相等的三角形}，B＝{x|x是等边三角形}．问题1：三边相等的三角形是何三角形？提示：等边三角形．问题2：两集合中的元素相同吗？提示：相同．问题3：A是B的子集吗？B是A的子集吗？提示：是．是.[导入新知]集合相等的概念如果集合A是集合B的子集(A⊆B)，且集合B是集合A的子集(B⊆A)，此时，集合A 与集合B中的元素是一样的，因此，集合A与集合B相等，记作A＝B.[化解疑难]对两集合相等的认识(1)若A⊆B，且B⊆A，则A＝B；反之，如果A＝B，则A⊆B，且B⊆A.这就给出了证明两个集合相等的方法，即欲证A＝B，只需证A⊆B与B⊆A同时成立即可．(2)若两集合相等，则两集合所含元素完全相同，与元素排列顺序无关.真子集[提出问题]给出下列集合：A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}．问题1：集合A与集合B有什么关系？提示：A⊆B.问题2：集合B中的元素与集合A有什么关系？提示：集合B中的元素a，b，c都在集合A中，但元素d，e不在集合A中．[导入新知]真子集的概念定义如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，我们称集合A 是集合B的真子集记法记作A B(或B A)图示结论(1)A B且B C，则A C；(2)A⊆B且A≠B，则A B[化解疑难]对真子集概念的理解(1)在真子集的定义中，A B首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.(2)若A不是B的子集，则A一定不是B的真子集.空集[提出问题]一个月有32天的月份组成集合T.问题1：含有32天的月份存在吗？提示：不存在．问题2：集合T存在吗？是什么集合？提示：存在．是空集．[导入新知]空集的概念定义我们把不含任何元素的集合，叫做空集记法∅规定空集是任何集合的子集，即∅⊆A特性(1)空集只有一个子集，即它的本身，∅⊆∅(2)A≠∅，则∅A[化解疑难]∅与{0}的区别(1)∅是不含任何元素的集合；(2){0}是含有一个元素0的集合，∅{0}．集合间关系的判断[例1](1)下列各式中，正确的个数是()①{0}∈{0,1,2}；②{0,1,2}⊆{2,1,0}；③∅⊆{0,1,2}；④∅＝{0}；⑤{0,1}＝{(0,1)}；⑥0＝{0}．A．1B．2C．3D．4(2)指出下列各组集合之间的关系：①A＝{－1,1}，B＝{(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}；②A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；③M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[解](1)选B对于①，是集合与集合的关系，应为{0}{0,1,2}；对于②，实际为同一集合，任何一个集合是它本身的子集；对于③，空集是任何集合的子集；对于④，{0}是含有单元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以∅{0}；对于⑤，{0,1}是含有两个元素0与1的集合，而{(0,1)}是以有序数组(0,1)为元素的单元素集合，所以{0,1}与{(0,1)}不相等；对于⑥，0与{0}是“属于与否”的关系，所以0∈{0}．故②③是正确的．(2)①集合A的代表元素是数，集合B的代表元素是有序实数对，故A与B之间无包含关系．②等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故A B.③法一：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故N M.法二：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以N M.[类题通法]判断集合间关系的方法(1)用定义判断首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A不是B的子集；其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A，若是，则B⊆A，否则B 不是A的子集；若既有A⊆B，又有B⊆A，则A＝B.(2)数形结合判断对于不等式表示的数集，可在数轴上标出集合的元素，直观地进行判断，但要注意端点值的取舍．[活学活用]已知集合M＝{x|x＝1＋a2，a∈N*}，P＝{x|x＝a2－4a＋5，a∈N*}，则M与P的关系为()A．M＝P B．M⊆PC．P⊆M D．M P解析：选D①对于任意x∈M，x＝1＋a2＝(a＋2)2－4(a＋2)＋5，∵a∈N*，∴a＋2∈N*，∴x∈P，由子集定义知M⊆P.②∵1∈P，此时a2－4a＋5＝1，即a＝2∈N*，而1∉M，∴1＋a2＝1在a∈N*时无解．综合①②知，M P.有限集合子集的确定[例2](1)已知集合A＝{x|0≤x＜3且x∈N}，则A的真子集的个数是()A．16 B．8C．7 D．4(2)满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M有________个．[解析](1)∵A＝{x|0≤x＜3且x∈N}＝{0,1,2}，∴集合A的真子集的个数为23－1＝7.(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M共有7个．[答案](1)C(2)7[类题通法]公式法求有限集合的子集个数(1)含n个元素的集合有2n个子集．(2)含n个元素的集合有(2n－1)个真子集．(3)含n个元素的集合有(2n－1)个非空子集．(4)含有n个元素的集合有(2n－2)个非空真子集．(5)若集合A有n(n≥1)个元素，集合C有m(m≥1)个元素，且A⊆B⊆C，则符合条件的集合B有2m－n个．[活学活用]已知集合A{x∈N|－1＜x＜3}，且A中至少有一个元素为奇数，则这样的集合A共有多少个？并用恰当的方法表示这些集合．解：这样的集合共有3个．∵{x∈N|－1＜x＜3}＝{0,1,2}，A{0,1,2}且A中至少有一个元素为奇数，∴当A中含有1个元素时，A可以为{1}；当A中含有2个元素时，A可以为{0,1}，{1,2}.集合间关系的应用[例3]已知集合A＝{x|x<－1或x>4}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}．若B⊆A，求实数a的取值范围．[解]当B＝∅时，只需2a>a＋3，即a>3；当B≠∅时，根据题意作出如图所示的数轴，可得⎩⎪⎨⎪⎧a＋3≥2a，a＋3<－1或⎩⎪⎨⎪⎧a＋3≥2a，2a>4，解得a<－4或2<a≤3.综上可得，实数a的取值范围为{a|a<－4或a>2}．[类题通法]利用集合关系求参数应关注三点(1)分析集合关系时，首先要分析、简化每个集合．(2)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误．一般含“＝”用实心点表示，不含“＝”用空心点表示．(3)此类问题还要注意“空集”的情况，因为空集是任何集合的子集．[活学活用]已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．解：①当a＝0时，A＝∅，满足A⊆B.②当a>0时，A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪1a<x<2a.又∵B＝{x|－1<x<1}且A⊆B，如图作出满足题意的数轴：∴⎩⎨⎧a>0，1a≥－1，2a≤1，∴a≥2.③当a<0时，A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x⎪⎪2a<x<1a.∵A⊆B，如图所示，∴⎩⎨⎧a<0，2a≥－1，1a≤1，∴a≤－2.综上所述，a的取值范围是{a|a＝0或a≥2或a≤－2}．2.利用集合的包含关系求参数[典例]已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m－6≤x≤2m－1}，若A⊆B，求实数m的取值范围．[解]∵A⊆B，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m－1>m－6，m－6≤－2，2m－1≥5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m>－5，m≤4，m≥3，故3≤m≤4.∴m的取值范围是{m|3≤m≤4}．[多维探究]1．本例中，若B⊆A，求实数m的取值范围．解：①当B＝∅时，m－6>2m－1，即m<－5；②当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧m －6≤2m －1，m －6≥－2，2m －1≤5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ≥－5，m ≥4，m ≤3，即m ∈∅.故实数m 的取值范围是{m |m <－5}．2．在本例中，若将“A ⊆B ”改为“A B ”，求实数m 的取值范围．解：∵A ≠B ，∴两不等式端点不可能同时成立，但最终答案与本例一致． 3．若将本例中的不等式变为方程，试解决如下问题：已知集合A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R}，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：A ＝{x |x 2＋4x ＝0}＝{0，－4}， ∵B ⊆A ，∴B ＝∅或B ＝{0}或B ＝{－4}或B ＝{0，－4}．①当B ＝∅时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0无实数根， 则Δ<0，即4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0. ∴a <－1.②当B ＝{0}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－1＝0，∴a ＝－1.③当B ＝{－4}时，有⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝0，a 2－8a ＋7＝0，无解．④当B ＝{0，－4}时，由一元二次方程的根与系数的关系可得a ＝1. 综上所述，实数a 的取值范围是{a |a ＝1或a ≤－1}．[随堂即时演练]1．下列六个关系式：①{a，b}＝{b，a}；②{a，b}⊆{b，a}；③∅＝{∅}；④{0}＝∅；⑤∅{0}；⑥0∈{0}．其中正确的个数是()A．1B．3C．4 D．6解析：选C①正确，集合中元素具有无序性；②正确，任何集合是自身的子集；③错误，∅表示空集，而{∅}表示的是含∅这个元素的集合，是元素与集合的关系，应改为∅∈{∅}；④错误，∅表示空集，而{0}表示含有一个元素0的集合，并非空集，应改为∅{0}；⑤正确，空集是任何非空集合的真子集；⑥正确，是元素与集合的关系．2．已知A＝{x|x是菱形}，B＝{x|x是正方形}，C＝{x|x是平行四边形}，那么A，B，C 之间的关系是()A．A⊆B⊆C B．B⊆A⊆CC．A B⊆C D．A＝B⊆C解析：选B集合A，B，C关系如图．3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.解析：∵B⊆A，B＝{3,4}，A＝{－1,3，m}，∴m∈A，∴m＝4.答案：44．已知A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，定义某种运算：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中最大的元素是________，集合A*B的所有子集的个数为________．解析：由题意知A*B＝{2,3,4,5}，∴A*B中最大的元素是5，集合A*B有4个元素，∴所有子集个数为24＝16.答案：5165．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a}．(1)若A是B的真子集，求a的取值范围；(2)若B是A的子集，求a的取值范围；(3)若A ＝B ，求a 的取值范围． 解：(1)若A 是B 的真子集，即AB ，则a >2，即a 的取值范围是{a |a ＞2}．(2)若B 是A 的子集，即B ⊆A ，则a ≤2，即a 的取值范围是{a |a ≤2}． (3)若A ＝B ，则必有a ＝2.[课时达标检测]一、选择题1．设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2＋14，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 4＋12，k ∈Z ，k ∈Z ，则正确的是( ) A ．M ＝N B ．M NC ．M ND ．M 与N 的关系不确定解析：选B 集合M 中的元素x ＝k 2＋14＝2k ＋14(k ∈Z)，集合N 中的元素x ＝k 4＋12＝k ＋24(k ∈Z)，而2k ＋1为奇数，k ＋2为整数，因此MN .2．已知集合M ＝{x |－5<x <3，x ∈Z}，则下列集合是集合M 的子集的为( ) A ．P ＝{－3,0,1} B ．Q ＝{－1,0,1,2}C ．R ＝{y |－π<y <－1，y ∈Z}D ．S ＝{x ||x |≤3，x ∈N}解析：选D 先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M ＝{－2，－1,0,1}，集合R ＝{－3，－2}，集合S ＝{0,1}，不难发现集合P 中的元素－3∉M ，集合Q 中的元素2∉M ，集合R 中的元素－3∉M ，而集合S ＝{0,1}中的任意一个元素都在集合M 中，所以S ⊆M ，且SM .3．已知集合P ＝{x |x 2＝1}，Q ＝{x |ax ＝1}，若Q ⊆P ，则a 的值是( ) A ．1 B ．－1 C ．1或－1D ．0,1或－1解析：选D 由题意，当Q 为空集时，a ＝0；当Q 不是空集时，由Q ⊆P ，知a ＝1或a ＝－1.4．已知非空集合P 满足：①P ⊆{1,2,3,4,5}，②若a ∈P ，则6－a ∈P ，符合上述条件的集合P 的个数是( )A ．4B ．5。
高中数学必修一章知识点总结第一章 集合与函数概念
高中数学必修一章知识点总结第一章 集合与函数概念一、集合相关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：⑴、元素的确定性； ⑵、元素的互异性； ⑶、元素的无序性说明：①、对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
②、任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。
③、集合中的元素是平等的，没有先后顺序，所以判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。
④、集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。
3、集合的表示：{ … }⑴、用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）：N ；正整数集：*N 或+N ； 整数集：Z ；有理数集：Q ；实数集：R;⑵、集合的表示方法：列举法 描述法 韦恩图示法 区间法Ⅰ、列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
例{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} Ⅱ、描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。
用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。
①、语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}、{我校的篮球队员}②、数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x xⅢ、韦恩图示法：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法。
Ⅳ、区间法：用来表示诸如定义域、值域、方程或不等式的解集的方法。
4、元素与集合的关系：集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A 记作A a ∈ ，相反，a 不属于集合A 记作 A a ∉。
5、集合的分类：⑴、按元素的属性分类①、数集 元素是数的集合②、点集 元素是点的集合③、序数对 元素是有序实数对的集合⑵、按集合中元素的个数分类①、有限集 含有有限个元素的集合②、无限集 含有无限个元素的集合③、空集 不含任何元素的集合 例：}5|{2-=x x 二、集合间的基本关系1、“包含”关系—子集结论：对于两个集合A 、B ，如果集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A 是集合B 的子集，即B A ⊆。
高中数学必修一第一章知识点
偶与偶
+加
奇
偶
—减
奇
偶
乘
偶
奇
偶
除
偶
奇
偶
注：“性质法”中的结论只有在两个函数的公共定义域内才成立。
第一章集合与函数概念重要知识点
一、集合有关概念
1.集合的含义：把一些元素组成的总体叫做集合。
2.集合的中元素的三个特性：
(1)元素的确定性如：世界上最高的山
(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
注意：常用数集及其记法：
（2）奇函数
一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)=—f(x)，那么f(x)就叫做奇函数．
（3）判断函数奇偶性的步骤
首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；
确定f(－x)与f(x)的关系；
作出相应结论：；若f(－x) =－f(x)，则f(x)是奇函数；
若f(－x) = f(x)，则f(x)是偶函数.
②对应法则
③值域： 的取值范围
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，
那么这两个函数相等
3．区间的概念
区间的分类：
开区间： ，
闭区间： ，
半开半闭区间： ，或 ，分别表示为 ，
五．函数的性质
1.函数的单调性(局部性质)
（1）增函数
设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数.区间D称为y=f(x)的单调增区间.
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第一章集合与函数概念〖1.1 〗集合【1.1.1 】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性.（2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N 或N 表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象 a 与集合M 的关系是a M ，或者a M ，两者必居其一.（4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.③描述法：{ x| x 具有的性质}，其中x为集合的代表元素.④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合.（5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集. ②含有无限个元素的集合叫做无限集. ③不含有任何元素的集合叫做空集( ).【1.1.2 】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等名称记号意义性质示意图A B(1)A A子集B （或A)A 中的任一元素都属于B(2) A(3)若A B且B C ，则A C(4)若A B且B A ，则A BA(B)B A或真子集A B（或B A ）A B，且 B 中至少有一元素不属于 AA（A为非空子集）（1）(2)若A B且B C ，则A CB A集合相等 A B A 中的任一元素都属于B，B 中的任一元素都属于 A(1)A B(2)B AA(B)n 个子集，它有2n 1个真子集，它有2n 1个非空子集，（7）已知集合 A 有n(n 1) 个元素，则它有 2n 它有2 2非空真子集.（8）交集、并集、补集1【1.1.3 】集合的基本运算名称记号意义性质示意图A B 交集{ x |x A, 且（1）A A A（2）AA B（3）A B Ax B}A B BA B 并集{ x |x A, 或（1）A A A（2）A AA B（3）A B Ax B}A B B1 A (e U A)2 ( )A e A UU补集e U A {x|x U ,且x A} 痧U (A B) ( U A) (?U B)痧U (A B) ( U A) (?U B)【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集| x|a(a 0) { x | a x a}| x|a(a 0) x | x a 或x a}把ax b 看成一个整体，化成| x | a ，|ax b | c,| ax b | c(c 0)| x | a(a 0) 型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式2 4b ac0 0 0二次函数2 ( 0)y ax bx c aO 的图象一元二次方程2 0( 0) ax bx c a x1,22b b 4 a c2abx x1 2 2a无实根（其中x1 x2 )2 0( 0) ax bx c a的解集b{ x|x x 或x x2} { x | x }12aR 22 0( 0) ax bx c a的解集{ x | x x x }1 2〖1.2 〗函数及其表示【1.2.1 】函数的概念（1）函数的概念①设A、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合 A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数 f (x) 和它对应，那么这样的对应（包括集合 A ，B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A到B 的一个函数，记作 f : A B．②函数的三要素: 定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设a,b 是两个实数，且 a b，满足a x b的实数x 的集合叫做闭区间，记做[a,b] ；满足a x b的实数x 的集合叫做开区间，记做(a,b) ；满足a x b，或a x b的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[ a,b) ，(a,b] ；满足x a, x a, x b, x b 的实数x 的集合分别记做[a, ),( a, ),( , b],( ,b) ．注意：对于集合{ x | a x b} 与区间(a, b) ，前者a 可以大于或等于 b ，而后者必须a b．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①f (x) 是整式时，定义域是全体实数．②f (x) 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③f (x) 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1．⑤y tan x 中，( )x k k Z ．2⑥零（负）指数幂的底数不能为零．⑦若f (x)是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知f (x) 的定义域为[ a, b] ，其复合函数 f [ g( x)]的定义域应由不等式 a g(x) b 解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论．⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值．③判别式法：若函数y f ( x) 可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2a( y) x b( y) x c( y) 0 ，则在a(y) 0时，由于x, y 为实数，故必须有b y a yc y ，从而确定函数的值域或最值．2 ( ) 4 ( ) ( ) 0④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值．⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值．⑧函数的单调性法．【1.2.2 】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A、B 是两个集合，如果按照某种对应法则 f ，对于集合 A 中任何一个元素，在集合 B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B的对应法则 f ）叫做集合A到B 的映射，记作 f : A B ．②给定一个集合 A 到集合B 的映射，且a A,b B ．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素 a 叫做元素b的原象．〖1.3 〗函数的基本性质【1.3.1 】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质如果对于属于定义域I 内某（1）利用定义个区间上的任意两个自变量的值x 2 , 当x．1、x1．<．x．2．时，都y y=f(X)f(x )2（2）利用已知函数的单调性有f．(x．．．)．<．f(．x．．．)．，那么就说1 2f(x) 在这个区间上是增函数．．．．f(x )1（3）利用函数图象（在某个区间图o x1 x 2x 象上升为增）函数的（4）利用复合函数单调性（1）利用定义如果对于属于定义域I 内某y y=f(X)（2）利用已知函数的个区间上的任意两个自变量11、x ．<．x．的值x2，当x．2．时，都有f．(x．．12．)．，那么就说f(x )1f(x )2单调性（3）利用函数图象（在某个区间图f(x) 在这个区间上是减函数．．．．o x x1 2x 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数y f [ g( x)] ，令u g( x) ，若y f (u)为增，u g( x)为增，则y f [ g (x)]为增；若y f (u)为减，u g( x)为减，则y f [ g (x)]为增；若y f (u) 为增，u g( x)为减，则y f [ g( x)]为减；若y f (u)为减，u g(x)为增，则y y f [ g (x)]为减．a （2）打“√”函数( ) ( 0)f x x ax 的图象与性质f (x)分别在( , a]、[ a,) 上为增函数，分别在ox [ a, 0) 、(0, a]上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数y f (x) 的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）（2）存在x I ，使得 f (x0) M ．那么，我们称M 是函数 f (x) 的最大值，记作0f max (x) M ．5②一般地，设函数y f (x) 的定义域为I，如果存在实数m满足：（1）对于任意的x I ，都有f (x) m ；（2）存在x0 I ，使得 f ( x0 ) m ．那么，我们称m 是函数f (x) 的最小值，记作f max (x) m ．【1.3.2 】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的定义图象判定方法性质如果对于函数f(x) 定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有．f(．－．x．．)=．－．判断定义域是否关于f(x)．．．．,那么函数f(x) 叫做奇．函．原点对称）数．．（2）利用图象（图象关于原点对称）函数的奇偶性如果对于函数f(x) 定义域内（1）利用定义（要先任意一个x，都有f(－．x．．)=．f．(x．)．．,．．判断定义域是否关于那么函数f(x) 叫做偶．函．数．．原点对称）（2）利用图象（图象关于y轴对称）②若函数 f (x)为奇函数，且在x 0处有定义，则f (0) 0．③奇函数在y轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域；②化解函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）；④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象．①平移变换y f x y f x h( ) h 0, h ( )左移个单位右移| 个单位 h0, h|y f x y f x k( ) k k ( )0,上移个单位下移| 个单位 k0, k|伸y f (x) y f ( x)1,缩6y f x y Af x( ) 0 A 1,缩( )A 1,伸③对称变换x轴y f (x) y轴y f ( x) y f (x) y f (x)原点直线 1y xy f (x) y f ( x) y f ( x) y f (x)去掉轴左边图象yy f (x) y f (| x |)保留y轴右边图象，并作其关于y轴对称图象保留轴上方图象y f x y f x( ) x | ( ) |将轴下方图象翻折上去x（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．7。