简谐运动的表达式动力学表达式
简谐运动及其描述(精品课件)
刻，质点位移大小相等、方向
相同
运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)
3．基本特征 回复力F与位移x大小成正比，回复力的方向与位移方 向相反．此式一方面向我们描述了简谐运动的动力学特征， 另一方面也向我们提供了判断物体是否做简谐运动的依 据．
►疑难详析◄ 1．当物体振动经过平衡位置时，物体受到的合外力
不一定等于零，物体不一定处于平衡状态．例如单摆经过
个运动周期的时间内通过的路程是振幅的4倍，在半个周期 的时间内通过的路程是振幅的2倍，但是在四分之一周期时
间内通过的路程就不一定等于振幅．当物体从平衡位置和
最大位移之间的某一位置开始运动四分之一周期时间通过 的路程就不等于振幅了．
2．判断各时刻振子的速度方向 在简谐运动图象中，用做曲线上某点切线（斜率）的
出的①②③④四条振动图线，可用于表示振动的图象是 (
时t＝0，则图象为①
)
A．若规定状态a B．若规定状态b
时t＝0，则图象为②
C．若规定状态c 时t＝0，则图象为③
D．若规定状态d
时t＝0，则图象为④
图3
[答案] AD
一质点做简谐运 动的图象如图4所示，下列说法正确的 是 速度为负 ( ) A．在0.035 s时，速度为正，加
注意： A．简谐运动的图象不是振动质点的轨迹．
B．简谐运动的周期性，体现在振动图象上是曲线的
重复性．简谐运动是一种复杂的非匀变速运动．但运动的 物点具有简单的周期性、重复性、对称性．所以用图象研
究要比用方程要直观、简便．
►疑难详析◄ 1．振幅与位移、路程的关系
位移的大小总小于等于振幅，做简谐运动的物体在一
发现树枝在10 s内上下振动了12次，将50 g的砝码换成500 g 砝码后，他发现树枝在15 s内上下振动了6次，你估计鸟的
高中物理【机械振动】知识点、规律总结
一、简谐运动 1．概念：质点的位移与时间的关系遵从_正__弦__函__数___的规律，即它的振动图象(x -t 图象)是一条_正__弦__曲___线__． 2．简谐运动的表达式 (1)动力学表达式：F＝___－__k_x__，其中“－”表示回复力与__位__移__的方向相反． (2)运动学表达式：x＝Asin(ωt＋φ)，其中 A 代表振幅，ω＝__2_π_f___表示简谐运动的 快慢，(ωt＋φ)代表简谐运动的_相__位___，φ 叫做初相．
3．做简谐运动的物体经过平衡位置时，回复力一定为零，但所受合外力不一定为 零，如单摆．
4．物体做受迫振动的频率一定等于驱动力的频率，但不一定等于系统的固有频率， 固有频率由系统本身决定．
考点一 简谐运动的特征
师生互动
受力特征 回复力 F＝－kx，F(或 a)的大小与 x 的大小成正比，方向相反
靠近平衡位置时，a、F、x 都减小，v 增大；远离平衡位置时，a、F、x 运动特征
4．周期公式：T＝2π
l g.
5．单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长 l 和重力加速度 g，与振幅和振子(小
球)质量都没有关系．
四、受迫振动及共振
1．受迫振动 (1)概念：物体在_周__期__性___驱动力作用下的振动． (2)振动特征：受迫振动的频率等于_驱__动__力___的频率，与系统的_固__有__频__率___无关． 2．共振 (1)概念：当驱动力的频率等于_固__有__频__率___时，受迫振动的振幅最大的现象． (2)共振的条件：驱动力的频率等于_固__有__频__率___． (3)共振的特征：共振时_振__幅___最大．
受迫振动
共振
由驱动力提供
振动物体获得的能量 最大
简谐运动的表达式动力学表达式
性，在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势 能相等，位移、回复力、加速度大小相等，方向 相反,速度大小相等，方向可能相同，也可能相 反,振动过程相对平衡位置两侧的最大位移值相等.
3.周期性——简谐运动的物体经过相同时间t=nT(n) 为整数,必回复到原来的状态,经时间t=(2n+1) T2 (n为整数)，则物体所处的位置必与原来的位置 关于平衡位置对称，因此在处理实际问题中，
图2 3.简谐运动的能量
简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能 守恒，振动能量与 振幅 有关， 振幅 越大， 能量越大.
二、简谐运动的两种基本模型
弹簧振子（水 平）
单摆
模型示意图
条件 平衡位置
回复力
忽略弹簧质量、 无摩擦等阻力
细线不可伸长、质量 忽略、无空气等阻力、 摆角很小
弹簧处于原长处
最低点
度方向上的力充当向心力，即F向=F-mgcosθ；摆 球重力在平行于速度方向上的分力充当摆球的回复
力.当单摆做小角度摆动时，由于F回=-mgsinθ= - mg x=-kx，所以单摆的振动近似为简谐运动.
l
3.单摆的周期公式 (1)单摆振动的周期公式T=2π l ,该公式提供了
g
一种测定重力加速度g的方法. (2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离, 要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在
2. 简谐运动的描述 （1）描述简谐运动的物理量 ①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的 有向线段表示振动位移，是矢量. ②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离， 是标量，表示振动的强弱. ③周期T和频率f:做简谐运动的物体完成 一次 全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单 位时间内完成 全振动的次数 ；它们是表示振动 快慢的物理量.二者互为倒数关系.
谐振子
O
2) 由： A
02
2 0
和已知条件：
2
0
x0
b
x0
mg k
0.05
m
b
O' 0
x0
可得：A 0.07 m
x
3)
由
tg 0
0 0
1
和初速度为负值，可知：0 4
4) (t) Acos(t ) 0.07cos(4t 4) (m)
5) E 1 kA2 0.039 (J) 6) 做图略
x0
和速度
0，由：
x0
Acos Asin
0
联立可得：
A
x02
2 0
2
tg1( 0 ) x0
简谐运动实例：
( 1 ) 单摆
准弹性力：
l
1. 细线质量不计 约
ft mg
定 2. <5 以保证sin 由牛顿定律：
m
ft
3. 阻力忽略不计
ft
பைடு நூலகம்
mg
mat
m
l
ml
d2
dt 2
mg
d2g 0
dt2 l
一个作简谐运动的质点所受的沿位移方向的合外力 与它对于平衡位置的位移成正比而反向。这样的力称为 恢复力(Restoring Forces)。
2. 动力学方程 (以水平弹簧振子为例)
由 f ma m d2 x dt2
及 f kx 得
f
k
m
0x
x
弹簧振子
d2 x m d t 2 kx
d 2x dt2
§4.2 谐振子(动力学部分) (Harmonic Oscillator)
2020版新一线高考物理(人教版)一轮复习教学案：第14章 第1节 机械振动 含答案
第1节机械振动知识点一| 简谐运动的特征1．简谐运动(1)定义：如果质点所受的力与它偏离平衡位置位移的大小成正比，并且总是指向平衡位置，质点的运动就是简谐运动。
(2)平衡位置：物体在振动过程中回复力为零的位置。
(3)回复力①定义：使物体返回到平衡位置的力。
②方向：总是指向平衡位置。
③来源：属于效果力，可以是某一个力，也可以是几个力的合力或某个力的分力。
2．简谐运动的两种模型[(1)简谐运动的平衡位置就是质点所受合力为零的位置。
(×)(2)做简谐运动的质点先后通过同一点，回复力、速度、加速度、位移都是相同的。
(3)做简谐运动的质点，速度增大时，其加速度一定减小。
(√)简谐运动的“五个特征”1．动力学特征：F ＝－kx ，“－”表示回复力的方向与位移方向相反，k 是比例系数，不一定是弹簧的劲度系数。
2．运动学特征：简谐运动的加速度的大小与物体偏离平衡位置的位移的大小成正比，而方向相反，为变加速运动，远离平衡位置时，x 、F 、a、E p 均增大，v 、E k 均减小，靠近平衡位置时则相反。
3．运动的周期性特征：相隔T 或nT 的两个时刻，振子处于同一位置且振动状态相同。
4．对称性特征(1)相隔T 2或(2n ＋1)2T (n 为正整数)的两个时刻，振子位置关于平衡位置对称，位移、速度、加速度大小相等，方向相反。
(2)如图所示，振子经过关于平衡位置O 对称的两点P 、P ′(OP ＝OP ′)时，速度的大小、动能、势能相等，相对于平衡位置的位移大小相等。
(3)振子由P 到O 所用时间等于由O 到P ′所用时间，即t PO ＝t OP′。
(4)振子往复过程中通过同一段路程(如OP 段)所用时间相等，即t OP ＝t PO 。
5．能量特征：振动的能量包括动能E k 和势能E p ，简谐运动过程中，系统动能与势能相互转化，系统的机械能守恒。
[典例] (多选)如图所示，一轻质弹簧上端固定在天花板上，下端连接一物块，物块沿竖直方向以O 点为中心点，在C 、D 两点之间做周期为T 的简谐运动。
高中物理复习：简谐运动规律
做机械振动的物体的偏离平衡位置的位移x 随时间t 做正弦规律变化时，物体的运动就被称之为简谐运动，其基本规律是sin()x A t ωϕ=+，其中ω为简谐运动的圆频率，由振动系统本身决定，A 为振幅，φ为初相位，这两者由振动系统的初始状态决定。
一、求导角度理解已知位移随时间的变化规律，即可根据x v t ∆=∆和v a t∆=∆得出振动物体的速度、加速度随时间的变化规律，这需要用到求导的知识。
1、简谐运动的速度规律：由x v t∆=∆得m cos()cos()v x A t v t ωωϕωϕ'==+=+，其中m v A ω=。
2、简谐运动的加速度规律：由v a t ∆=∆得2m sin()sin()a v A t a t ωωϕωϕ'==-+=-+，其中2m a A ω=。
由上述分析可知，振动物体的位移x 和速度v 这两个物理量中，一个振动量按正弦规律变化，另一个振动量就按余弦规律变化，而且有2a x ω=-，即振动物体的加速度a 大小正比于物体偏离平衡位置的位移x ，方向与位移x 的方向相反。
二、从运动方程角度理解将2a x ω=-写成微分方程，即222d d x x t ω=-，由数学知识可知，这个方程的解为sin()x A t ωϕ=+，其中A 为振幅，φ为初相位，这两者由振动系统的初始状态决定。
三、从动力学角度理解由牛顿第二定律，有2F ma m x ω==-，令2k m ω=，可得F kx =-，即做简谐运动的物体的回复力F 大小正比于物体偏离平衡位置的位移x ，方向与位移x 的方向相反。
将2k m ω=变形，可得ω=，则振动系统的周期为2πT ω==，此即为做简谐运动的物体的周期公式，由这个公式可以看出，简谐运动的周期仅仅由振动系统本身决定——振动物体的质量m 和比例系数k 。
对于弹簧振子模型，可以这样理解T =相同的回复力引起的加速度越小，振子回到平衡位置的时间就会越长；从最大位移处回到平衡位置过程中，弹簧的劲度系数越小，则相同位移处的回复力越小，振子的加速度越小，振子回到平衡位置的时间就会越长。
振动
旋转矢量
x = Acosω t x
0 x
x = Acos ω t ） （ 2
π
x
0
π
2
x
2π x = Acos ω t + ） （ 3
x
0
2π 3
x
例题1 一质点沿x 轴作简谐振动，振幅为12 例题1 一质点沿 轴作简谐振动，振幅为 cm，周期 ， 位移为6 为2s。当t = 0 时, 位移为 cm，且向 轴正方向运动。 。 ，且向x 轴正方向运动。 求（1）振动方程。（2）如果在某时刻质点位于 =- 6 ）振动方程。 ）如果在某时刻质点位于x cm，且向 轴负方向运动，求从该位置回到平衡位置 ，且向x 轴负方向运动， 所需要的时间。 所需要的时间。
x1 = Acos (ω t +1 )
-A
-A/2
o
A/2
A
A 2 = Acos (ω t +1 ) →ω t +1 = ±π 3 v1 = ω Asin (ω t +1 ) < 0
sin (ω t +1 ) > 0
ω t +1 = π 3
A 2 = Acos(ω t +2 )
→ ω t +2 = ± 2π 3
2π = π (rad / s) 解： （1） A=12cm , T=2s ， ω = ） T
简谐振动表达式为： 简谐振动表达式为： x =0.12 cos (πt + ) y
初始条件： 初始条件： t = 0 时， x0 = 0.06m , v0 > 0
由旋转矢量图得： =
π
3
振动方程： 振动方程： x = 0.12cos(π t
9-3 简谐运动的图示法
第九章 振 动
5 t ＝0 24 3
3)到达点P相应位置所需时间
t P＝ .6s 1
9
物理学
第五版
物理学
第五版
9-3 简谐运动的图示法
二 简谐运动的矢量图示法
旋转矢量：自
原点O作一矢量 A ( A A )，且 A
在Oxy平面内绕点O 作逆时针匀角速转
v
0.08 0.04
x/m
o
0.04
0.08
28
第九章 振 动
物理学
第五版
物理学
第五版
9-3 简谐运动的图示法
法二
t
时刻
t
π3 π3
起始时刻
x/m
0.08
2 3
0.08 0.04
o
0.04
π t 3
π3 1 t T T 2π 6
第九章 振 动
0.667 s
29
x/m
x A cos( t )
解一（解析法）：
0.10 0.05
0
P 4.0 t/s
A 0.10m t 0 0 x0 0.05m
0.05 0.10 cos
＝
v0 A sin 0
t1 4.0s x1 0m
，
3 π 0 0.10 cos(4 )
x/m
0.10 0.05
0
P t/s
4.0
第九章 振 动
21
物理学
第五版
物理学
第五版
9-3 简谐运动的图示法
x/m 0.10 0.05 0 P
x A cos( t )
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B.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动速度的大小相
等、方向相反，则Δt一定等于T/2的整数倍
C.若Δt=T，则在t时刻和(t+Δt)时刻振子运动
的加速度一定相等
D.若Δt=T/2,则在t时刻和(t+Δt)时刻弹簧的长
度一定相等
精选课件
15
解析 弹簧振子做简谐运动的图
象如右图所示，图中A点与B、E、 F、I等点的振动位移大小相等,方 向相同.由图可知，A点与E、I等点对应的时间差为 T或T的整数倍，A点与B、F等点对应的时间差不为T 或T的整数倍，因此A选项不正确. 图中A点跟B、C、F、G等点的振动速度大小相等， 方向相反,由图可知A点与C、G等点对应的时间差 为T/2或T/2的整数倍,A点与B、F等点对应的时间 差不为T/2或T/2的整数倍,因此B选项不正确;如果 t时刻和(t+Δt)时刻相差为一个周期T,则这两个时 刻振动情况完全相同,加速度一定相等,选项C正
在图中t1时刻质点位移x1为正，则加速度a1为负；
t2时刻质点位移x2为负，则加速度a2为正，又因
为|x1|>|x2|,所以|a1|>|a2|.
精选课件
14
题型探究
题型1 简谐运动的规律
【例1】一弹簧振子做简谐运动，周期为T,则正确
的说法是
（）
A.若t时刻和(t+Δt)时刻振子运动位移的大小相
等、方向相同，则Δt一定等于T的整数倍
精选课件
12
热点三 振动图像
1.物理意义：表示振动物体的位移随时间变化的
规律.
特别提示：振动图象不是质点的运动轨迹.
2.应用
(1)确定振动物体在任意时刻的位
移.如图5中，对应t1、t2时刻的位
移分别为x1=+7 cm,x2=-5 cm.
(2)确定振动的振幅.如图振幅是
图5
10 cm.
精选课件
13
(3)确定振动周期和频率.振动图象上一个完整
选修3-4
第十二章 机械振动 机械波
第1课时 机械振动
考点自清
一、简谐运动
1.概念
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数的规
律，即它的振动图象（x-t图象）是一条正弦曲
线，这样的振动叫做简谐运动.
精选课件
1
2. 简谐运动的描述 （1）描述简谐运动的物理量 ①位移x：由平衡位置指向振动质点所在位置的 有向线段表示振动位移，是矢量. ②振幅A：振动物体离开平衡位置的最大距离， 是标量，表示振动的强弱. ③周期T和频率f:做简谐运动的物体完成 一次 全振动所需要的时间叫周期，而频率则等于单 位时间内完成 全振动的次数 ；它们是表示振动 快慢的物理量.二者互为倒数关系.
要注意多解的可能性或需要写出解答结果的
通式.
精选课件
9
热点二 对单摆的理解
1.单摆及成立条件
如图4所示，一根轻细线，悬挂着一个小
球，就构成所谓的单摆.能够视为单摆需
要满足两个条件：(1)和小球的质量m相 图4 比，线的质量可以忽略；(2)小球可视为质点，
如果小球不能视为质点，则单摆半径为悬点到重
心的距离.
1.回复力——F=-kx.（判断一个振动是不是简谐运
动的依据）
2.对称性——简谐振动物体具有对平衡位置的对称
性，在关于平衡位置对称的两个位置，动能、势
能相等，位移、回复力、加速度大小相等，方向
相反,速度大小相等，方向可能相同，也可能相
反,振动过程相对平衡位置两侧的最大位移值相等.
精选课件
8
3.周期性——简谐运动的物体经过相同时间t=nT(n) 为整数,必回复到原来的状态,经时间t=(2n+1)T2 (n为整数)，则物体所处的位置必与原来的位置 关于平衡位置对称，因此在处理实际问题中，
做受迫振动的物体，它的周期（或频率）等于
驱动力 的周期（或频率），而与物体的固有周 期（或频率） 无 关.
2.共振：做受迫振动的物体，它的
固有频率与驱动力的频率越接近，
其振幅就越大，当二者 相等 时，
振幅达到最大，这就是共振现象.
共振曲线如图3所示.ຫໍສະໝຸດ 图3精选课件7
热点聚焦
热点一 简谐运动规律及应用
2.单摆的受力特征
当单摆做小角度摆动时，其受力情况为：受到一
个恒定的竖直向下的重力mg和一个变化的始终沿
绳方向指向悬点的拉力F，垂直于速
精选课件
10
度方向上的力充当向心力，即F向=F-mgcosθ；摆 球重力在平行于速度方向上的分力充当摆球的回复 力.当单摆做小角度摆动时，由于F回=-mgsinθ= - mg =x-kx，所以单摆的振动近似为简谐运动.
弹簧处于原长处
最低点
摆球重力沿与摆线 弹簧的弹力提供 垂直（即切向）方
向的分力
精选课件
5
周期公式
m
T=2π k (不作要求)
T=2π
l g
能量转化
弹性势能与动 重 力 势 能 与
能 的 相 互 转 化 ，动 能 的 相 互 机 械 能 守 转化，机械能
恒
守恒
精选课件
6
三、受迫振动和共振
1.受迫振动：物体在 周期性驱动力 作用下的振动.
l
3.单摆的周期公式 (1)单摆振动的周期公式T=2π l ,该公式提供了
g
一种测定重力加速度g的方法. (2)l为等效摆长,表示从悬点到摆球重心的距离, 要区分摆长和摆线长，悬点实质为摆球摆动所在 圆弧的圆心. (3)g为当地重力加速度.
精选课件
11
特别提示 如单摆没有处于地球表面或所处环境为非平衡 态，则g为等效重力加速度，大体有这样几种情 况(1)不同星球表面g=GM/r2;(2)单摆处于超重或 失重状态等效g=g0±a,如轨道上运行的卫星a=g0 完全失重,等效g=0;(3)不论悬点如何运动还是受 别的作用力，等效g的取值等于在单摆不摆动 时，摆线的拉力F与摆球质量的比值，即等效 g=F/m.
的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开的“长度”
表示周期.
由图可知，OD、AE、BF的间隔都等于振动周 期，T=0.2 s，频率f = 1 =5 Hz.
T
(4)确定各质点的振动方向.例如图中的t1时刻， 质点正远离平衡位置向位移的正方向运动;在t3 时刻，质点正向着平衡位置运动.
(5)比较各时刻质点加速度的大小和方向.例如
精选课件
2
(2)简谐运动的表达式 动力学表达式：F=-kx
运动学表达式：x=Asin(ωt+ )
(3)简谐运动的图象 ①物理意义：表示振子的位移随时间变化的规 律，为正弦（或余弦）曲线. ②从平衡位置开始计时，函数表达式为x=
Asinωt,图象如图1.
图1
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3
从最大位移处开始计时，函数表达式为x=
Acosωt，图象如图2.
图2 3.简谐运动的能量
简谐运动过程中动能和势能相互转化，机械能 守恒，振动能量与 振幅 有关， 振幅 越大， 能量越大.
精选课件
4
二、简谐运动的两种基本模型
弹簧振子（水 平）
单摆
模型示意图
条件 平衡位置
回复力
忽略弹簧质量、 无摩擦等阻力
细线不可伸长、质量 忽略、无空气等阻力、 摆角很小