数学建模最佳旅游路线的选择模型资料

2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： B我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：12所属学校（请填写完整的全名）：鲁东大学参赛队员(打印并签名) ：1. 张亭2. 任雪雪3. 卜范花指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：日期： 2010 年 8 月 2 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：最佳旅游路线的选择模型摘要：本文研究的是最佳旅游路线的选择问题，此问题属于旅行商问题，我们建立了路径最短，花费最少，省钱、省时、方便三个模型。

根据周先生的不同需求，我们用改良圈算法和多目标规划解决了该问题，之后我们结合实际情况对三个模型进行科学地误差分析，并分析了该算法的复杂性。

针对问题一，题目中给出了100个城市的经纬度，要求我们为周先生设计一条最短的旅行路线，即从驻地出发，经过每个城市恰好一次，再回到驻点。

由此可知，此问题属于旅行商问题。

首先，我们按附件所给各城市的顺序编号1,2,,100L ，以两城市间的直线距离代替实际距离。

然后，我们运用改良圈算法求解旅行商问题，以任意两点之间的最短距离矩阵为权重，利用1100100(,)w i j ⨯邻接矩阵构造无向图1UG ，据题意不知周先生的起始地点，因此利用Matlab 软件重复进行100次改良圈算法即以每一个城市为出发点，从100个Hamilton 圈得到了最优圈1circle ，即最短的旅行路线。

其最短的旅游线路长度为87376公里。

针对问题二，该问题的目的是为周先生设计最经济的旅行方案，我们同样运用问题一所建的改良圈算法模型，将模型一中的权值矩阵“最短距离”换为“最少花费”，建立模型二。

本题规定周先生旅游的起始城市为第一个城市，同样利用费用矩阵2100100(,)w i j ⨯构造无向图2UG ，再利用Matlab 软件进行1次改良圈算法，就会得到最优圈2circle ，即花费最少的旅行路线，其最少花费为140430元。

针对问题三，这里根据周游退休后以享受为主，在模型一、模型二结果的基础上，我们设定原则：优先考虑方便，当两地乘坐飞机所用的费用比乘坐豪华大巴所用费用高不出某个范围时，则乘坐飞机。

此处通过动态规划来实现此方案，在最经济、最短的路线的基础之上，通过改换乘坐方式，使最终的花费偏离出最小花费的值在我们的允许范围内，从而达到了省钱、省时又方便的目的。

最终得到满足周游先生自身需要的旅行方案。

之后我们结合实际情况对三个模型进行科学误差分析，并分析了所用算法的复杂性，同时对我们解决旅行商所采用的算法进行了评价，这使我们对旅行商问题有了更深一步的理解。

关键词：旅行商问题；改良圈算法；动态规划；误差分析；1 问题重述周先生退休后想到各地旅游，计划到100个城市旅游。

需要我们按下面要求制定出行方案。

（1）按地理位置（经纬度）设计最短路旅行方案。

数据见Matlab 的mat 数据文件（文件名为第2题），其中0x 表示对应点的经度，0y 表示对应点的纬度。

（2）假设任意两个城市之间都有豪华大巴和飞机航线，乘坐飞机的价格是两点间距离倍（单位：元），豪华大巴的价格是分段的，在500公里之内是距离的2倍，超过500公里且在1000公里之内的是距离的倍，超过1000公里的是距离的倍，如果2010年5月1日零时周先生从第一个城市出发，每个城市停留24小时，可选择航空、豪华大巴，设计最经济的旅行方案。

（3）假设豪华大巴和飞机都可以随到随走，飞机的速度是1000公里/小时，豪华大巴的速度是100公里/小时，要综合考虑省钱、省时又方便，设定你的评价准则，建立数学模型，修订你的方案。

（4）对算法作复杂性、可行性及误差分析。

（5）关于旅行商问题提出对所采用的算法的理解及评价。

2 条件假设与符号约定条件假设（1）假设在旅途中的车速一定，且不考虑突发事件干扰飞机或豪华大巴的行程； （2）假设本题所涉及的城市中，每两个城市之间都有直达的航班和豪华大巴； （3）假设两城市之间距离用城市之间的直线距离来表示； （4）假设不考虑买不上票和机车晚点等情况； （5）假设不考虑机票和豪华大巴打折情况。

符号约定n ：表示城市的个数；ij d ：两个城市i j 与之间的距离，11100i j <+<<；C ：初始圈；ij C C ：的改良圈，11100i j <+<<；100100(,)F i j ⨯：任意两点之间所花费的最小费用构成的距阵；3 问题分析问题一题目中给出了100个城市的经纬度，要求我们为周游设计一条最短的旅行路线，即从驻地出发，经过每个城市恰好一次。

由此可知，此问题是属于旅行商问题，我们可以考虑运用改良圈算法求解此问题。

按附件所给各城市的顺序编号1,2,,100L ，用两城市间的直线距离代表两城市的距离，我们可以考虑以任意两点之间的最短距离为权重，利用100100(,)w i j ⨯构造无向图1UG ，考虑到没有给出起点，如果以某一城市为出发点，利用改良圈算法得到的最优圈未必是最优解，所以我们将利用Matlab 软件编程重复进行100次改良圈算法，将会得到最优圈1circle ，从而保证最优解，即最短的旅行路线。

用终点返回起点构成的闭合回路最为最短路线的长度。

这样就会为周游先生设计一条最短的旅游线路。

问题二本问题的目标是给周游先生设计最经济的旅行方案，我们考虑可以同样运用问题一所建的模型，将模型一中的权值“最短距离”换为“最少花费”，建立模型二。

本题规定了周游先生旅游的起始城市为第一个城市，因此同样利用100100(,)w i j ⨯构造无向图2UG ，再利用Matlab 软件进行1次改良圈算法，就会得到最优圈2circle ，即花费最少的旅行路线。

用终点返回起点构成的闭合回路作为花费最少的旅游路线。

这样就会为周游先生设计一条最经济的旅游线路。

问题三针对问题三，这里根据周游退休后以享受为主，在模型一、模型二结果的基础上，我们可以考虑设定原则：优先考虑方便，当两地乘坐飞机所用的费用比乘坐豪华大巴所用费高不出某个范围时，则乘坐飞机。

考虑通过动态规划来实现此方案，在最经济、最短的路线的基础之上，通过改换乘坐方式，若最终的花费偏离出最小花费在我们的允许范围内，则接受此方案，达到了省钱、省时又方便的目的。

最终得到满足周游先生自身需要的旅行方案。

之后我们会结合实际情况对三个模型进行科学误差分析，并分析所用算法的复杂性，同时对我们解决旅行商问题所采用的算法进行评价，这使我们对旅行商问题有更深一步的理解。

4 模型建立及求解问题一旅行商问题的基本理论某旅行商欲往n 个城市推销货物，从某个城市出发，沿途经过各个城市一次后返回出发城市，要确定一条行走的路线，使得总路径最短。

这个问题称为旅行商问题（TSP ）[1]。

用图论的术语说，就是在一个赋权完全图中，找出一个有最小权的Hamilton 圈C 。

称这种圈为最优圈。

与最短路问题及连线问题相反，尽管目前还没有求解旅行商问题的有效算法。

但是却有一个可行的办法是求一个Hamilton 圈，然后适当修改以得到具有较小权的另一个Hamilton 圈。

修改的方法叫做改良圈算法。

设初始圈121n C v v v v =L 。

（1）对于11,i j n <+<<构造新的Hamilton 圈：它是由C 中删去的边1111,i i j j i j i j v v v v v v v v ++++和添加边和而得到的。

若1111()()()()i j i j i i j j w v v w v v w v v w v v +++++<+，则以ij ij C C C C 代替，叫做的改良圈。

（2）转（1），直至无法改进，停止。

用改良圈算法得到的结果几乎可以肯定不是最优的。

为了得到更高的精确度，在不给定起始位置的前提下，可以选择不同的初始圈，重复进行n 次算法，以求得精确的结果。

旅行商问题的数学表达式设城市的个数为n ,ij d 是两个城市i j 与之间的距离，01ij x =或（1表示走过城市i j 到城市的路，0表示没有选择走这条路）。

则有(各起点和终点外，各边不构成圈)模型一求解按附件所给各城市的顺序编号1,2,,100L ，用两城市间的直线距离代表两城市的距离，我们以任意两点之间的最短距离矩阵为权重矩阵，利用1100100(,)w i j ⨯构造无向图1UG ，据题意并不知周先生的起始地点，因此利用Matlab 软件重复进行100次改良圈算法，尝试以每一个城市为出发点（算法见附录），首先设121,n C v v v v =L ，按改良圈算法求出此时的最优圈后，改变初始圈212,n C v v v v =L 依次进行下去，求出符合要求的最短距离的最优圈1circle ，保证了从终点返回到出发点的距离也最短，即周游先生的最短旅行方案，如下：51→62→72→7→86→33→70→74→60→35→40→34→3→96→45→11→55→6→69→77→38→81→42→17→28→76→47→63→84→46→90→5→48→21→52→27→19→15→1→36→23→65→75→12→66→13→57→20→95→4→39→85→9→10→24→2→73→61→25→26→37→53→14→41→58→67→18→22→68→54→91→32→92→16→30→78→100→89→83→8→79→88→44→94→31→64→87→43→82→71→50→49→29→59→97→93→56→80→98→99我们运用Matlab 软件模拟出了周先生最短的旅游线路，见图1。

其中每一个‘*’表示每个城市，折线表示旅游线路，标有51的城市是周先生旅行的起点，标有99的城市是周先生旅游的终点，由终点99返回起点51所构成的闭合回路就是周先生最短的旅行路线，其长度为87376公里。

图1 模拟最短旅游线路示意图问题二对于问题二，我们同样运用问题一中所建的模型一，将模型一中的权值“最短距离”换为“最少花费”，建立模型二。