最新人教版八年级数学下册16.1.1二次根式
高于铺二中
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是
a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？
若一个正数的平方等于a，则这个数就 叫做a的算术平方根。
用
a
(a≥0)表示。
1、平方根的性质：
正数有两个平方根且互为相ຫໍສະໝຸດ 数； 0有一个平方根就是0；x
2
的值为3，
x= 3
已知
：a b 6与 a b 8
互为相反数， 求： a, b的值。
a 1, b 7
检测：指出下列哪些是二次根式？
1 5 2 3 4 bb 0 5 a 2a 2
3
3
21
6 7
3
a bab 2 2 8 x 1 5m
负数没有平方根。
1、16的平方根是什么? 算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
自学效果检测 1.面积为3的正方形的边长为 的正方形的边长为_____ S。
3 ，面积为S
2.一长方形围栏，长是宽的2倍， 面积为130，则它的宽为 ______ 65
检测：2 要使下列式子有意义，x需要满 足什么条件？
(1) 3 x
1 (3) 2x 5
( 2) x 3 8 x ( 4) x 2 2 x
( 5) x 2 2 x 1
（1）二次根式的概念
（2）根号内字母的取值范围
（3）二次根式的值
h 3.h=5t2,则t=_______ 5
b-3
4.如图所示的值表示正方形的 面积，则 正方形的边长是 b3
自学归纳 形如 a (a 0) 的式子叫做二次根式. a叫被开方数 定义包含三个内容: 1.必需含有二次根号 “ 2.被开方数a≥0. 3.a可以是数,也可以是含有字母的式子. ”.
当x为怎样的实数时，下列各式有意义？
1
2
x 3 6 x x≥3
1 x x 1
x≤6 x≥1 x≤1
∴3≤x≤6 ∴x=1
3
x 2
2
4
x 1
x为任何实数.
x为任何实数.
1.若
a 2 2b 7
3 。 =0，则 a 2b =_____
1 b ,a 1 2 1 a b 1 2
说一说:
下列各式是二次根式吗?
(1) 4 , (2) 6, (3) 12, (4) - m (m≤0), (5) xy (x,y 异号)， (6) a 1 ,
2
(7)
3
8
在实数范围内,负数没有平方根.
求下列二次根式中字母的取值范围：
1 a 1 2 3 a 3
2.已知a.b为实数，且满足
a 2b 1 1 2b 1 你能求出a+b 的值吗？
3、已知 .
4、2+
1 a
有意义,那A(a,
a )在
第二
象限
的最小值为＿＿，此时 2 x的值为＿＿。3 3 x
5.当x分别取下列值时， 求二次根式 4 2x 的值： (1) x=0 -----2 (2) x=1 ----- 2 (3) x=‐1 ----- 6 变式练习:若二次根式 求x的值.
1 2 1 2a
求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时，要保证分母不为零。
1、 x取何值时,下列二次根式有意义?
(1) x 1 x 1 (2) 3x x 0 1 2 (3) 4 x x为全体实数 (4) x0 x 1 3 x0 (5) x x 0 (6) x 2
新人教版八年级数学下册《十六章 二次根式 16.1 二次根式 章前引言及二次根式》课件_7
第1课时 二次根式的概念
复习导入
（1）3的平方根是____3__ （2）3的算术平方根是___3____
（3）5 有意义吗？为什么？ 0 呢？
（4）一个非负数a的算术平方根应表示为__a___a___0__
正数有两个互为相反数的平方根；
平方根的性质：0有一个平方根是0；
选自教材习题
知识点 2 二次根式有意义的条件
思考 当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内
有意义？ x3 呢？
因为x²≥0，所以x可以为任意实数。 要使x³≥0，必须x≥0 。
选自教材思考
二次根式有意义的条件：a有来自义a≥0例 当x是怎样的实数时，x 2 在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得 x≥2
负数没有平方根。
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
探索新知
思考 （1）面积为3 的正方形的边长为____3___，面积为 S 的正方形的边长为____S___．
选自教材思考
被开方数都大于0
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130
m2，则它的宽为___6_5__m．
分析： 是否含二
次根号
是
被开方数是 否为非负数
是
二次根式
否
否
不是二次根式
练习
巩固新知
要画一个面积为18cm2的长方形，使它的 长与宽之比为3:2.它的长、宽各应取多少？
解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm,
由题意得2x×3x=18,
解得x1= 3 ， x2=- 3 (舍). 答：它的长取 3 3 cm，宽取 2 3 cm。
人教版数学八年级下册16.1第1课时《 二次根式的概念》教学设计
人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》教学设计一. 教材分析人教版数学八年级下册16.1第1课时《二次根式的概念》是初中数学的重要内容，主要让学生了解二次根式的概念，理解二次根式与有理数、实数之间的关系，为后续学习二次根式的运算和应用打下基础。
本节课的内容包括二次根式的定义、性质和运算方法，通过学习，让学生能够熟练掌握二次根式的相关知识，提高他们的数学素养。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了实数、有理数等相关知识，具备一定的逻辑思维能力和运算能力。
但二次根式作为新的数学概念，对于部分学生来说可能较为抽象，难以理解。
因此，在教学过程中，要注重引导学生从实际问题中抽象出二次根式的概念，帮助他们建立直观的认识，从而更好地理解和掌握二次根式的相关知识。
三. 教学目标1.让学生了解二次根式的定义、性质和运算方法。
2.培养学生从实际问题中抽象出二次根式的能力。
3.提高学生的数学素养，培养他们的逻辑思维能力和运算能力。
四. 教学重难点1.二次根式的定义和性质。
2.二次根式的运算方法。
3.引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
五. 教学方法1.情境教学法：通过创设实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
2.讲授法：讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
3.实践操作法：让学生通过实际操作，掌握二次根式的运算方法。
4.小组讨论法：分组讨论，共同解决问题，提高学生的合作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作精美的课件，辅助讲解和展示二次根式的相关知识。
2.实际问题：准备一些与生活实际相关的问题，用于引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
3.练习题：准备一些练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实际问题情境，引导学生从实际问题中抽象出二次根式。
例如，讲解一个物体从地面上升到最高点再下降到地面的过程，上升和下降的距离分别是3米和4米，求物体的最大高度。
2.呈现（10分钟）讲解二次根式的定义、性质和运算方法。
八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式课件 新人教版
课堂导学
知识点1：二次根式的定义
【例1】下列各式中，一定是二次根式的是( C )
A.
B.
C.
D.
【解析】根据二次根式的概念“形如(a≥0)的式子，
即为二次根式”，进行分析．
【答案】C
【点拔】判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣
定义，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特
征：①带二次根号“ ”；②被开方数不小于零． 4
16.1 二次根式
1 …核…心……目…标..… 2 …课…前……预…习..… 3 …课…堂……导…学..… 4 …课…后……巩…固..… 5 …能……力…培……优….
1
核心目标
理解二次根式的概念，掌握 二次根式的基本性质。
2
课前预习
1．一般地，我们把形如 子叫做二次根式．
的式
2．( a ) 2 ＝____a____，＝____a____(a≥0)．
16
感谢聆听
17
＝________；
(2)
＝____3____，
＝____5____．
7
课堂导学
6．计算：
＝____6_____， ＝____1_____．
7．化简：
＝________，
＝________．
8
课后巩固
8．下列式子：① ；② ； ；④
.
其中是二次根式的有( B )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
9．要使二次根式
12．计算： (1)
课后巩固
＝__0_._3__，
＝______；
(2)
＝__1_2__5__，
13．化简：
(1)
新人教版八年级下册初二数学16.1二次根式.优秀PPT课件
第16章 二次根式
16.1 二次根式
回忆
⑴什么叫做一个数的平方根？如何表示？ 一般地，若一个数的平方等于a，则 这个数就叫做a的平方根。
a的平方根是 a
⑵什么是一个数的算术平方根？如何表示？ 正数的正的平方根叫做它的算术平方根。 0的算术平方根平方根是0 用
a
(a≥0)表示。
复习 1、如果 x 4，那么 x ±2 ；
2
2、如果 x 3，那么 x 3 ；
2
3、如果 x a(a 0) ，
2
那么 x a 。
x
导入
1.如图所示的值表示正方形的 面积，则正方形的边长是 b 3
b-3
2.要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池， 取3.14）； 它的半径为 2 m（
二次根式的性质及它们的应用:
（1）
a a,(a 0)
2
（2）
a a
2
a ( a >0 ) 0 ( a =0 ) -a ( a <0 )
(1)( 2 ) 2 2 (2)( 2 ) 2
2
(3) ( 2 ) -2
2
(4) (2) |-2|=2
2
(5) 2 |2|=2
a9
a 2a 2
2
2
⑷ ⑹
⑸ m 3
a 1 (a 3)
例题吧
例1 x为何值时，下列各式在实数范围内有意义。
1 x 5 x 5
(1)
(2) 1 x
2
(3) 1 x 3 x
解： (1) 由x-5 ≥ 0,得x ≥ 5 ∴当 x ≥ 5时， x 5有意义.
八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式16.1.1二次根式的概念课件(新版)新人教版
（3）二次根式的值
个性化作业
1.如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 a2 b2 a b2．
解：由数轴可得：a＜0，b＞0，a﹣b＜0，
则 a2 b2 a b2 =﹣a﹣b+（a﹣b）=﹣2b
个性化作业
2、已知三角形的三边x、y、z的长满足｜x2－4｜+ + =0，求这个三角形的周长. 解：∵｜x2－4｜≥0， ≥0， 且 ｜x2－4｜+ + =0， ∴x2－4= 0，x2=4，y－3=0，z-4=0. ∴x=2（负值舍去），y=3，z=4 所以三角形的周长为2+3+4=9.
B.x≤2且x≠0 C.x≠0
D.x≤﹣2
6.若1＜x＜3，则 x 3 x 12 的值为（ D ）
A.2x﹣4 B.﹣2
C.4﹣2x D.2
7.函数y=
2
x
1 x 1
中自变量x的取值范围是（
B
）
A.x≤2
B.x≤2且x≠1
C.x＜2且x≠1 D.x≠1
课堂总结
（1）二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.“ a ”称为二次根号，a叫 做被开方数.
活动探究
探究点二：探究二次根式的定义及有意义的条件
1. 如图所示的值表示正方形的面积，则 正方形的边长是 b 3.
2.你认为所得的各代数式有哪些共同特点？ b-3
a2 2500
s
b3
表示一些正数的算术平方根．
活动探究
3．在式子
1 1
2x x
中，
ห้องสมุดไป่ตู้
人教版八年级数学下册课件：16.1.1二次根式(共21张PPT)
∴y= 0 + 0 +3=3 ∴x y=23=8
例 1 x是怎样的实数时，式子 x 3在实数
范围内有意义？
解 由 x 3 ，0 得 x 。3 当 x 3时，式子 x 3在实数范围内有意义。
试一试（2） x是怎样的实数时，下列各式在 实数范围内有意义？
（1） 2x ； （2） 2x 5； （3） 3 。x
16.1 二次根式
知识回顾
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？ 正数和0都有算术平方根；负数没有算术平方根。 4、 7 表示什么？ 表示7的算术平方根
5、 a 表示什么？a 需要满足什么条件？ 为什么？
2n2 1,
2n2 1, ×
2n 1 ×
在实数范围内,负数没有平方根
下列式子 2x 6 1 中字母x的 2x
取值范围是__3___x___0
2x+6≥0 ∵
-2x＞0
x≥-3 ∴
x＜0
已知 有a1 意义,那么A(a,
) a
在第 二 象限.
∵由题意知a＜0 ∴点A在第二象限
12 n为一个整数 , 求自然数 n的值.
课堂小结
形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2.a可以是数,也可以是式. 3.形式上含有二次根号
4.a≥0, a ≥0 (双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果. 6.求二次根式中字母的取值范围的基本依据：
①被开方数不小于零； ②分母中有字母时,要保证分母不为零.
例 1：要使 x-1 有意义，字母 x 的取值必须满足
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(2) 2 a 3 2 (4) 5a
3 (1) a-1 0， a 1. (2) 2a 3 0， a . 2
(3) a
(3) a 0， a 0.
(4) 5 a＞0， a＜5.
5.要画一个面积为24cm2的长方形，使它的长与宽之比为3:2，
想一想：
当x是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意义？ x3 呢？
前者x为全体实数；后者x为正数和0.
二 二次根式的双重非负性
思考: 二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平
方根.对于任意一个二次根式 a ，我们知道： （1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0；
（2） a 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
问题1 上面问题的结果分别是
3, s, 65， h ，它们表示一些 5
正数的算术平方根.那么什么样的数有算术平方根呢？ 我们知道，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平 方时，被开方数只能是正数或0. 问题2 上面问题的结果分别是
3, s, 65， h ，分别从形式上 5
和被开方数上看有什么共同特点？ ①含有“ ” ②被开方数a ≥0
a C D
2 2.式子 3x 6 有意义的条件是
（ A ） D.x≤2
A.x＞2
3.若
B.x≥2
C.x＜2
95 n 是整数，则自然数n的值有 （ D ）
B.8个 C.9个 D.10个
A.7个
4.当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
(1)
a 1
是
不是
当m>0时被开 方数是负数
不是
xy＜0
(4) -m
人教版八年级数学下册课件16.1.1二次根式的概念
(判1)断这给些出式的子式分子别是是不表是示二什次么根意式义.？
(游4)戏当规a≥则0时：, 5个金表蛋示中a的任算选术一平个方,如根果. 出现金花,你不需要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
(（4)3当）a一≥0个时物, 体从表高示处a的自算由术落平下方，根落.到地面所用的时间ts，与开始落下时离地面的高度hm。
3，S，65， h 5
(1)这些式子分别是表示什么意义？ 分别表示 3, s,65, h 的算术平方根
5
(2)这些式子有什么共同特征？
1.根指数都是2
a
2.被开方数为非负数 ，a≥0
二次根式的定义
a 形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式，“ ”
称为二次根式， 叫做被开方数。
1
2
3
4
5
游戏规则：5个金蛋中任选一个,如果出现金花,你不需 要回答问题,直接加5分，不出现金花则判断给出的式 子是不是二次根式.
判断给出的式子是不是二次根式.
a （3 a 5）
判断给出的式子是不是二次根式.
a2 3
判断给出的式子是不是二次根式.
3 10
(1)这些式子分别是表示什么意义？
恭喜你，加5分 代数式 的值为0，则a= .
代数式 的值为0，则a= .
【变式训练】若式子1+
有意义,则x的取值范围是
.
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
(如2)果在其二面次积根为式S中，,被则开它方的数边可长以是是具. 体的数,也可以是含有字母的单项式、多项式、分式等代数式.
游 【戏变规式则 训： 练5】个若金式蛋子中1+任选一个有,如意果义出,则现x金的花取,值你范不围需是要回答问题,直接. 加5分，不出现金花则判断给出的式子是不是二次根式.
新人教版八年级数学下册16.1.1 二次根式的概念ppt课件
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10、低头要有勇气，抬头要有低气。2 021/6/2 82021/6/28202 1/6/286 /28/202 1 12:47:10 PM
•
11、人总是珍惜为得到。2021/6/28202 1/6/282 021/6/2 8Jun-2 128-Jun -21
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12、人乱于心，不宽余请。2021/6/282 021/6/2 82021/6/28Mo nday , June 28, 2021
么条件？
x-2 想 一 想 ：假 如 把 题 目 改 为 ：要 使 x - 1 有 意 义 ，
字母 x的取值必须满足什么条件？
想 一 想 ： 一 个 正 数 的 算 术 平 方 根 是 正数。
零 的 算 术 平 方 根 是 0。 负 数 有 没 有 算 术 平 方 根 ？ 没有
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
正数有两个平方根且互为相
想一想：反数； 0有一个平方根就是它0；
1、平方根的性质： 负数没有平方根。
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
1.二次根式的概念
定义:
学科网
式子 a a0叫做二次根式，其中
a叫做被开方式。
注意 在实数范围内，a< 0时， a 没有
意义，只有当 a0 时， a 有意义。
例 1： 要 使 x-1 有 意 义 ， 字 母 x 的 取 值 必 须 满 足 什么条件？
想一想： 已 知 ： y= x-2 + 2-x +3， 求 xy的 值 。
例 2 x是怎样的实数时，式子 x 3 在实
数范围内有意义？
完成教材P3第2题
例
3：要使
初中数学：16.1.1二次根式的概念(人教版八年级数学下册第十六章二次根式)
第16章二次根式16．1二次根式第1课时二次根式的概念1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)一、情境导入问题1：你能用带有根号的式子填空吗？(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S 的正方形的边长为________．(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m 2，则它的宽为________m.(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t (单位：s)与落下的高度h (单位：m)满足关系h ＝5t 2，如果用含有h 的式子表示t ，则t ＝______．问题2：上面得到的式子3，S ，65，h 5分别表示什么意义？它们有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的定义下列各式中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)11；(2)－5；(3)（－7）2；(4)313；(5)15－16；(6)3－x (x ≤3)；(7)－x (x ≥0)；(8)（a －1）2；(9)－x 2－5；(10)（a －b ）2(ab ≥0)．解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．解：因为11，（－7）2，15－16＝130，3－x (x ≤3)，（a －1）2，（a －b ）2(ab ≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式.313的根指数不是2，－5，－x (x ≥0)，－x 2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式．方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数．探究点二：二次根式有意义的条件【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围求使下列式子有意义的x 的取值范围．(1)14－3x ；(2)3－xx －2；(3)x ＋5x .解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．解：(1)由题意得4－3x ＞0，解得x ＜43.当x ＜43时，14－3x有意义；(2)－x ≥0，－2≠0，解得x ≤3且x ≠2.当x ≤3且x ≠2时，3－x x －2有意义；(3)＋5≥0，≠0，解得x ≥－5且x ≠0.当x ≥－5且x ≠0时，x ＋5x 有意义．方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．【类型二】利用二次根式的非负性求解(1)已知a 、b 满足2a ＋8＋|b －3|＝0，解关于x 的方程(a ＋2)x ＋b 2＝a －1；(2)已知x 、y 都是实数，且y ＝x －3＋3－x ＋4，求y x 的平方根．解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x 的值，进而求得y 的值，进而可求出y x 的平方根．解：(1)a ＋8＝0，－3＝0，＝－4，＝3.则(a ＋2)x ＋b 2＝a －1，即－2x ＋3＝－5，解得x ＝4；(2)－3≥0，－x ≥0，解得x ＝3.则y ＝4，故y x ＝43＝64，±64＝±8，∴y x 的平方根为±8.方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题先观察下列等式，再回答下列问题．①1＋112＋122＝1＋11－11＋1＝112；②1＋122＋132＝1＋12－12＋1＝116；③1＋132＋142＝1＋13－13＋1＝1112.(1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋142＋152的结果；(2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用含n 的式子表示的等式(n 为正整数)．解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n ，第三个分数的分母就是n ＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．解：(1)1＋142＋152＝1＋14－14＋1＝1120；(2)1＋1n 2＋1（n ＋1）2＝1＋1n －1n ＋1＝11n （n ＋1）(n 为正整数)．方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．三、板书设计1．二次根式的定义一般地，我们把形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件被开方数(式)为非负数；a有意义⇔a≥0.通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．。