函数的定义域、值域

函数的定义域、值域函数定义域、值域对于正实数，记M 为满足下述条件的函数f（x ）构成的集合：且＞,有-（-）＜f （）-f （）＜（-）.下列结论正确的是（A ）若（B ）（C ）（D ）＞【解析】对于，即有，令，有，不妨设，，即有，因此有，因此有．设函数在内有定义.对于给定的正数K ，定义函数取函数。

若对任意的，恒有，则【 D 】A ．K的最大值为2B ．K 的最小值为2212121()()()()x x f x f x x x αα--<-<-2121()()f x f x x x αα--<<-2121()()f x f x k x x-=-k αα-<<1()f x M α∈2()g x M α∈11,f k αα-<<22g k αα-<<1212f g k k αααα--<+<+12()()f x g x Mαα++∈()y f x =(,)-∞+∞(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩()f x =2xx e ---(,)x ∈-∞+∞()K f x =()f x ααRxx ∈∀21,2x 1x α2x 1x 2x 1x α2x 1x 2121)()(,)(,)(αααα⋅∈⋅∈∈M x g x fM x g M x f 则2121)()(,0)()(,(ααααM x g x f x g M x g M x f ∈≠∈∈则且）若2121)()(,)(,)(αααα+∈+∈∈M x g x f M x g Mx f 则若121,)(,)(ααα且若M x g M x f ∈∈212)()(ααα-∈-Mx g x f ，则C ．K 的最大值为 1D ．K 的最小值为1解: 由恒成立知,故K 有最小值，可排除A,C,又由直觉思维得在时，，排除B,因此选D.12．设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为A ． B ． C ． D ．不能确定（12）用min{a,b,c}表示a,b,c 三个数中的最小值设f （x ）=min{, x+2,10-x} (x 0),则f （x ）的最大值为（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）7【解析】画出y ＝2x ，y ＝x ＋2，y ＝10－x 的图象，如右图，观察图象可知，当0≤x ≤2时，f （x ）＝2x ，当2≤x ≤3时，f （x ）＝x ＋2，当x ＞4时，f （x ）＝10－x ，f （x ）的最大值在x ＝4时取得为6，故选C 。

.下列集合到集合的对应是映射的是（）()K f x ≥min()K f x ≥0x =()22011xf x x e-=--=--=2()0)f x ax bx c a =++<D (,())(,)s f t s t D ∈a 2-4-8-2x≥A B f（A ）：中的数平方；（B ）：中的数开方；（C ）：中的数取倒数； （D ）：中的数取绝对值；已知函数的定义域是Ｒ，则实数a的取值范围是( ).A .B . C. Ｄ. 设，函数的图像可能是函数y ＝的值域为（ ）（A ）（B ）（C）（D ）设，是二次函数，若的值域是，则的值域是（ ）A. B.C.D. C.设，则的定义域为 （B ）bAaoyxbBaoyxbCaoyxbDa oyx{}{}1,0,1,1,0,1,A B f =-=-A {}{}f B A ,1,0,1,1,0-==A ,,A Z B Q f ==A ,,A R B R f+==A 24)(23++-=ax axax x f ]2,21[)2,0(],2[+∞21,0[b a <)()(2b x a x y --=11--+x x (2,∞-(]2,0[)+∞,2[)+∞,0()⎩⎨⎧<≥=1,1,2x x x x x f ()x g ()[]x g f [)+∞,0()x g (][)+∞-∞-,11, (][)+∞-∞-,01, [)+∞,0[)+∞,1()xx x f -+=22lg⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛x f x f 22A. B.C.D.函数y ＝f ( x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是 （）（A）1（B ）0（C ）或1（D ）1或2已知二次函数的值是 （ ）A ．正数B ．负数C ．零D ．符号与有关设函数表示不超过实数的最大整数，则函数的值域为______________.已知：为常数，函数在区间上的最大值为，则实数_____.定义在上的函数满足，当时，，则当时，函数的最小值为()()4,00,4 -()()4,11,4 --()()2,11,2 --()()4,22,4 --())1(0)(0)(2+<>++=m f m f a a x x x f ，则若a ()(0,1),[]1xxa f x a a m a =>≠+m 11()[()][()]22g x f x f x =-+--t 2|2|y xx t =-+[0,3]3t =R )(x f )(2)2(x f x f =+]2,0[∈x xx x f 2)(2-=]2,4[--∈x )(x f_______________．答案：函数的最大值为___________.若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有 个. 答案：9已知函数，则实数m的取值范围是 答案：已知函数，分别计算和的值，并概括出涉及函数和的对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式：___________________________________________．答案：对于函数（），若存在闭区间，使得对任意，恒有=（为实常数），则实数的值依次2(3)1y mx m x =+-+[0,)+∞(0,1][9,)+∞ 41-()f x =122+=x y {}3,195)(,5)(31313131--+=-=x x x g x xx f (4)5(2)(2)f f g -(9)5(3)(3)f f g -)(x f )(x g 2()5()()0f x f xg x -=n x x mx x f ++-=2)(2),2[+∞-∈x ],[b a ),2[+∞-)(b a <],[b a x ∈)(x f c c nm ,≠⊂为 ．答案：和1在△ABC 中，BC =2，AB +AC =3，中线AD 的长为y ，AB 的长为x ，建立y 与x 的函数关系式，并指出其定义域.解：设∠ADC ＝θ，则∠ADB ＝π－θ.根据余弦定理得12＋y 2－2y cos θ＝（3－x ）2，①12＋y 2－2y cos （π－θ）＝x 2.②由①＋②整理得y ＝.其中解得＜x ＜.∴函数的定义域为（，）.已知函数的定义域为[m ，n]，它的值域为[2m ，2n]，求实数m ，n 的值。

(07重庆)若函数的定义域为R ，则实数的取值范围 。

关于的方程，给出下列四个命题：1±113-AB CD x y xq 2732+-x x ⎪⎩⎪⎨⎧>+-->+>,2)3(,32,0x x x x x 21252125xx y +-=221()1222-=--aax xx f a [],1-x ()11222=+---k x x①存在实数，使得方程恰有2个不同的实根； ②存在实数，使得方程恰有4个不同的实根； ③存在实数，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是 （B ）A. 0B. 1C. 2D. 318．解选B 。

本题考查换元法及方程根的讨论，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力；据题意可令①，则方程化为②，作出函数的图象，结合函数的图象可知：（1）当t=0或t>1时方程①有2个不等的根；（2）当0<t<1时方程①有4个根；（3）当t=1时，方程①有3个根。

故当t=0时，代入方程②，解得k=0此时方程②有两个不等根t=0或t=1,故此时原方程有5个根；当方程②有两个不等正根时，即此时方程②有两根且均小于1大于0，故相应的满足方程的解有8个，即原方程的解有8个；当时，方程②有两个相等正根t ＝，相应的原方程的解有4个；故选B 。

设a 为实数，记函数的最大值为g (a )。

（Ⅰ）设t ＝，求t 的取值范围，并把f (x )表示为t 的函数m (t )（Ⅱ）求g (a )k k k k 21x t -=(0)t ≥20t t k -+=21y x =-104k <<21x t -=14k =12x x x a x f -+++-=111)(2x x -++11（Ⅲ）试求满足的所有实数a 解：（I ）∵，∴要使有意义，必须且，即∵，且……① ∴的取值范围是。

由①得：，∴，。

（II ）由题意知即为函数，的最大值，∵直线是抛物线的对称轴，∴可分以下几种情况进行讨论：（1）当时，函数，的图象是开口向上的抛物线的一段，由知在上单调递增，故；（2）当时，，，有=2；（3）当时，，函数，的图象是开口向下的抛物线的一段，若即时，，若即时，，若即时，。

综上所述，有=。

1()(ag a g =x x t -++=11t 01≥+x 01≥-x 11≤≤-x ]4,2[12222∈-+=x t 0≥t t ]2,2[121122-=-t x t t a t m +-=)121()(2a t at -+=221]2,2[∈t )(a g )(t m at at -+=221]2,2[∈t a t 1-=)(t m at at-+=2210>a )(t m y =]2,2[∈t 01<-=a t )(t m ]2,2[∈t )(a g )2(m =2+=a 0=a t t m =)(]2,2[∈t )(a g 0<a )(t m y =]2,2[∈t at 1-=]2,0(∈22-≤a )(a g 2)2(==m at 1-=]2,2(∈]21,22(--∈a )(a g aa a m 21)1(--=-=a t 1-=),2(+∞∈)0,21(-∈a )(a g )2(m =2+=a )(a g ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-≤-≤<---->+)22(22122(,21)21(2a a a a a a（III ）当时，；当时，，，∴，，故当时，；当时，，由知：，故；当时，，故或，从而有或，要使，必须有，，即，此时，。

综上所述，满足的所有实数a 为：或。