第9章湍流边界层中的传热
流体力学中的流体中的湍流边界层
流体力学中的流体中的湍流边界层流体力学是研究流体的运动规律和性质的学科，湍流边界层则是流体力学中一个重要概念。
本文将对流体力学中的湍流边界层进行详细的介绍和论述。
一、湍流边界层的定义湍流边界层是指在流体中，当流动达到一定速度时，边界层内会出现湍流现象。
边界层是指流体靠近固体边界时速度逐渐减小，同时摩擦力逐渐增大的区域。
湍流边界层的形成使得流体流动变得非常复杂，是流体力学中的一个重要研究对象。
二、湍流边界层的特征1. 非线性：湍流边界层的速度和摩擦力分布呈现出非线性分布，即速度和摩擦力随着距离的增加而发生剧烈变化。
2. 随机性：湍流边界层的湍流运动是随机的，速度和摩擦力的变化具有不可预见性。
3. 涡旋结构：湍流边界层中存在大量的涡旋结构，这些涡旋会不停地生成、移动和消失，对流体的运动产生明显的影响。
三、湍流边界层的数学模型为了研究湍流边界层的运动规律，研究者提出了一系列的数学模型。
其中最著名的是雷诺平均纳维-斯托克斯（RANS）方程。
RANS方程是一组描述湍流边界层中平均速度和摩擦力变化的偏微分方程，通过求解这组方程可以得到湍流边界层的平均流动特性。
四、湍流边界层的应用湍流边界层在工程领域有着广泛的应用。
在飞机设计中，研究湍流边界层可以帮助减小气动阻力，提高飞行效率。
在水利工程中，研究湍流边界层可以帮助提高水泵效率和减少流体阻力。
在能源领域，湍流边界层的研究可以改善风力发电机的叶片设计，提高电能转化效率。
五、湍流边界层的挑战和前景湍流边界层的研究仍然面临着一些挑战。
湍流边界层的数学模型仍然不够精确，目前还没有能够完全描述湍流边界层的理论。
此外，湍流边界层的计算复杂度较高，需要大量的计算资源支持。
然而，随着计算机技术的不断进步，湍流边界层的研究将会取得更大的突破，为各个领域的工程应用提供更多的可能性。
六、结论湍流边界层是流体力学中的一个重要概念，具有非线性、随机性和涡旋结构等特征。
通过数学模型的建立和求解，可以揭示湍流边界层的运动规律。
湍流边界层中涡流的形成与分析
湍流边界层中涡流的形成与分析引言湍流是一种无序的、随机的涡动流动，广泛存在于自然界和工程实践中。
湍流边界层是指在固体表面附近的一层流体，其流动状态复杂且具有湍流特征。
在湍流边界层中，涡流是一种重要的湍流结构，对流动的传热和传质起到重要作用。
本文将探讨湍流边界层中涡流的形成和分析方法，并对其在工程实践中的应用进行探讨。
湍流边界层和涡流的基本概念湍流边界层是指在流体靠近固体表面时流动状态复杂且具有湍流特征的一层流体。
在湍流边界层中，由于速度剖面的不均匀性和湍流运动的复杂性，会形成各种尺度的涡旋结构，即涡流。
涡流是湍流的基本组成部分，是湍流中流动能量传递的重要媒介。
涡流可以分为大尺度涡和小尺度涡。
大尺度涡是指具有较大空间尺度和较长寿命的涡流结构，通常由较大的速度湍动引起。
小尺度涡是指具有较小空间尺度和较短寿命的涡流结构，通常由较小的速度湍动引起。
湍流边界层中涡流的形成机制湍流边界层中涡流的形成机制非常复杂，涉及流体力学、热传导、空气动力学等多个学科的知识。
以下将从不同角度分析湍流边界层中涡流的形成机制。
Reynold应力和速度剖面不均匀性在湍流边界层中，涡流的形成与Reynold应力和速度剖面的不均匀性密切相关。
Reynold应力是指涡流对流体施加的平均应力，它是湍流产生和演化的基本机制之一。
当速度剖面不均匀时，不同速度的流体层之间会形成速度剖面梯度，使得湍流产生。
湍流能量级联和涡结构形成湍流边界层中的涡流结构形成是一个能量级联的过程。
能量在不同尺度涡流间传递并逐渐减小，在这个过程中较小尺度的湍流会转化为较大尺度的湍流。
这种级联过程导致涡流结构的形成。
边界层不稳定性和涡的起伏形成湍流边界层中的涡流结构形成还与边界层的不稳定性密切相关。
边界层的不稳定性是指边界层流动由于各种原因而发生波动和波动机制，形成边界层中的涡旋结构。
涡的起伏形成是边界层不稳定性的结果。
湍流边界层中涡流的分析方法湍流边界层中涡流的分析方法包括实验方法和数值模拟方法。
09第9章湍流流动及附面层理论-2011
y
z
vy vxv y x y
/ /
/2
v v
/ / y z
z
vyvz vz vz 2 vz 2 vz 2 vz vxvz vz vz vz p vx vy vz 2 2 2 t x y z z x y z x y z
v vzvx vzv y vzvz 2vz 2vz 2vz p z 2 2 2 t x y z z x y z
4
基本运算
vxvx x
vx
vy
y
2 vy
2 x
2 /2 v y vxv y vy 2 y y x / /
x
x L
,y vxv y V
/2 / /
y L , vx
, vx
vx V vx
/2 /2
,vy
Re Re
扰动动能占优 附加湍流/雷诺应力 湍流 切应力不足以消耗扰动动能
瞬时速度=平均速度+脉动速度 V V V
1 时间统计平均速度 V x , y , z , t T
/
T 0
V x, y, z, t dt
时间平均周期 特征时间 时间平均周期内平均速度恒定 湍流强度 Tu
/
不可压湍流平均运动方程
D v y vy vx vx vz vz V 0 V 0 0 0 Dt x y z x y z
流体流动、传热边界层
流体主要特征
1. 流动性； 2. 无固定形状，随容器形状而变化； 3. 受外力作用时内部产生相对运动。
流体种类
1. 不可压缩性流体：流体的体积不随压强而变化，受热时 不可压缩性流体： 体积膨胀不显著。 2. 可压缩性流体 ：流体的体积随压强和温度发生显著变化。 可压缩性流体： 一般液体的体积随压强和温度变化很小，可视为不可压 缩性流体；而对于气体，当压强和温度变化时，体积会有较 大的变化，常视为可压缩性流体，但如果压强和温度的变化 率不大时，该气体也可近似地按不可压缩性流体处理。
22
∆p du = − ⋅ r ⋅ dr 2µl
∆p r2 µ =− +c 2µl 2
∆p 2 ⋅R 当r = R， = 0时 c = u 4µl ∆p 2 R−r ∴u = 4µl
(
)
r = 0时，u = umax
∆p 2 ⋅R 代入上式得： umax = 4µl
r2 u = umax1− 2 R
Re = duρ
µ
流体在圆管内的速度分布
层流时的速度分布
图1-19 层流时的速度分布
层流时，流体层间的剪应力服从牛顿粘性定律，平 均速度与管中心最大速度之比u/umax等于0.5。
14
湍流时的速度分布
湍流时的速度分布
基本特征是出现了径向脉动速度，使得动量 传递较之层流大得多。此时剪应力不服从牛顿粘 性定律表示，但可写成相仿的形式： . du τ e = ( µ + e)
流 体 流 动、传热边界层
1
基础知识
连续介质假定
流体质点： 流体质点：由大量分子构成的微团，其尺寸远小于设备尺寸， 质点 但却远大于分子自由程。 连续介质：质点在流体内部紧紧相连，彼此间没有间隙，即 连续介质： 流体充满所占空间。 在研究流体流动时，常摆脱复杂的分子运动和分子 间相互作用，从宏观角度出发，将流体视为由无数流体 质点（或微团）组成的连续介质。
外掠平板湍流边界层对流传热特性解析预测方法
外掠平板湍流边界层对流传热特性解析预测方法引言：外掠平板湍流边界层对流传热特性研究对于航空航天领域具有重要的意义。
对流传热特性的准确解析预测可以帮助我们更好地设计和优化外掠平板的结构，提高其传热性能。
本文将介绍几种常见的外掠平板湍流边界层对流传热特性解析预测方法。
一、湍流模型湍流模型是研究湍流边界层对流传热特性的重要工具，常见的湍流模型包括RANS（雷诺平均应力方程）、LES（大涡模拟）和DNS（直接数值模拟）等。
RANS是最常用的湍流模型，其基本假设是湍流边界层与速度/温度脉动之间存在统计相关性，适用于大多数工程问题。
LES则更加适用于高雷诺数湍流边界层的研究，可以更准确地捕捉湍流结构和湍流能量传输过程。
DNS则是最精确的湍流模型，通过数值方法直接求解湍流方程，能够提供最准确的湍流边界层对流传热特性。
二、湍流边界层模型湍流边界层模型是一种数学模型，用于描述边界层中湍流的空间和时间分布。
常见的湍流边界层模型包括Prandtl-Kármán模型和Cebeci-Smith模型等。
Prandtl-Kármán模型是最古老的湍流边界层模型，它假设边界层中的湍流速度分布服从对数规律，适用于平板流动的湍流边界层研究。
Cebeci-Smith模型是基于湍流边界层的涡旋结构提出的模型，适用于三维流动的湍流边界层研究。
三、流动数值模拟方法流动数值模拟方法是基于流体力学原理和数值计算技术，通过求解流动方程和湍流方程来模拟流动现象。
在外掠平板湍流边界层对流传热特性的解析预测中，常见的数值模拟方法包括有限差分方法、有限元方法和有限体积方法等。
这些方法可以通过离散化流动方程和湍流方程，将连续的流动问题转化为离散的数值问题，并通过数值计算方法求解。
四、实验方法实验方法是研究外掠平板湍流边界层对流传热特性的重要手段，可以通过实验证实和验证理论模型的准确性。
常见的湍流边界层对流传热实验方法包括热电偶法、红外热像法和激光测速法等。
流体力学中的湍流流动与边界层
流体力学中的湍流流动与边界层流体力学是研究流体运动规律的学科，其中的湍流流动和边界层是流体力学中的重要概念和研究内容。
本文将详细介绍流体力学中的湍流流动和边界层，并探讨它们在实际应用中的重要性。
一、湍流流动湍流是流体力学中流动状态的一种，具有不规则、随机、混沌等特点。
相比于层流流动，湍流流动更为复杂和难以预测，主要体现在流速和压力的不规则变化上。
湍流流动的产生与流体的运动粘滞性、速度梯度和流速等因素有关。
当流体速度达到一定值时，流体内的涡旋和涡核开始发生不断变化与演化，从而形成湍流。
湍流的特点包括涡旋的旋转、涡核的运动、速度的乱流扩散等。
湍流流动在自然界和工程领域中广泛存在。
例如，在大气环流中，气候系统中的飓风和龙卷风就是湍流现象的典型表现。
此外，湍流流动还广泛应用于船舶、飞机、汽车等交通工具的设计和流体动力学的研究中。
二、边界层边界层是流体力学中的一个概念，指的是流体运动中与边界接触的区域。
边界层中的流体速度和压力分布具有明显的变化，可以用来描述流体在壁面附近的流动特性。
边界层主要有两种类型：层流边界层和湍流边界层。
层流边界层是指流体在边界附近以有序的方式流动，流速梯度较小，流体粘性起主导作用。
湍流边界层是指在湍流环境下，流体在边界附近的混乱流动。
边界层的存在对流体运动过程起到了重要作用。
首先，边界层中的摩擦力会对物体表面施加阻力，影响物体的运动。
其次，边界层中的速度分布对流动的稳定性和流体的传热性能产生重要影响。
三、湍流流动与边界层的关系湍流流动与边界层密切相关。
在边界层内，由于速度和压力的不规则变化，往往会导致流动变为湍流。
特别是当流速较大或受到外界扰动时，湍流的发展更加明显。
湍流边界层的存在使得流体在边界附近的运动更为复杂，涡旋和涡核的形成与演化对流动的稳定性和传热传质过程产生了影响。
同时，湍流边界层的存在也为流体的混合和动量交换提供了机会，使得流体的运动更为强烈和混乱。
在实际工程应用中，湍流边界层的研究对于流体动力学分析、流体传热传质等方面具有重要意义。
大气边界层中的湍流动力学特性
大气边界层中的湍流动力学特性湍流是大气边界层中一种重要的动力学特性，它对天气和气候的变化起着至关重要的作用。
在这篇文章中，我们将探讨大气边界层中的湍流动力学特性，以及它对大气层的运动和能量传递的影响。
1. 湍流的定义和起源湍流是一种流体运动的不规则状态，具有无序、随机和不可预测的特性。
在大气边界层中，湍流起源于气流的不均匀性。
当空气流经复杂的地貌或是被大气层中的涡旋扰动时，它会产生旋涡和不稳定的运动，从而形成湍流。
2. 大气边界层中的湍流结构湍流结构是指湍流运动的空间和时间分布特征。
在大气边界层中，湍流结构通常呈现出多尺度的特点，即存在不同大小的湍流结构。
大尺度湍流结构通常呈现出较稳定的漩涡形状，而小尺度湍流结构则呈现出剧烈的湍动和混合。
3. 湍流的能量传递湍流是大气中能量传递的重要机制之一。
在大气边界层中，湍流通过将能量从大尺度结构传递到小尺度结构，实现了能量的分层和再分配。
这些能量传递过程对于维持大气层的稳定和平衡具有重要意义，并对气候和天气的形成与变化产生影响。
4. 湍流对大气层的运动和混合的影响湍流对大气层的运动和混合起着重要的作用。
它通过垂直和水平方向上的湍流运动，促进了空气的上升和下沉，从而引发了云的形成和降水的出现。
湍流还能够在大气边界层中混合不同温度和湿度的空气，对于维持大气层的温度和湿度分布起到重要作用。
5. 湍流的预测和模拟湍流的预测和模拟是大气科学研究的重要课题之一。
科学家们通过观测和数值模拟等手段，研究湍流的产生机制和演化规律，以提高对天气和气候变化的预测能力。
湍流模拟还能够为空气污染、风能利用等领域的研究提供重要参考和支持。
总结：大气边界层中的湍流动力学特性对于天气和气候的变化具有重要的影响。
湍流的定义和起源、湍流结构的多尺度特性、湍流的能量传递、湍流对大气层的运动和混合的影响，以及湍流的预测和模拟等方面的研究成果，为我们更好地理解和预测天气和气候变化提供了重要的理论基础和科学支持。
传热学概念整理
传热学第一章、绪论1.导热：物体的各个部分之间不发生相对位移时，依靠分子，原子及自由电子等微观粒子的热运动而产生的热能传递称为热传导，简称导热。
2.热流量：单位时间内通过某一给定面积的热量称为热流量。
3.热流密度：通过单位面积的热流量称为热流密度。
4.热对流：由于流体的宏观运动而引起的流体各部分之间发生相对位移、冷热流体相互掺混所导致的热量传递过程。
5.对流传热：流体流过一个物体表面时流体与物体表面间的热量传递过程。
6.热辐射：因热的原因而发出的辐射的想象称为热辐射。
7.传热系数：传热系数树枝上等于冷热流体见温差℃1=∆t ，传热面积21m A =时的热流量值，是表征传热过程强度的标尺。
8.传热过程：我们将热量由壁面一侧流体通过壁面传递到另一侧流体的过程。
第二章、导热基本定律及稳态导热1.温度场：各个时刻物体中各点温度所组成的集合，又称为温度分布。
2.等温面：温度场中同一瞬间温度相同的各点连成的面。
3.傅里叶定律的文字表达：在导热过程中，单位时间内通过给定截面积的导热量，正比于垂直该界面方向上的温度变化率和截面面积，而热量的传递方向则与温度升高的方向相反。
4.热流线：热流线是一组与等温面处处垂直的的曲线，通过平面上人一点的热流线与改点热流密度矢量相切。
5.内热源：内热源值表示在单位时间内单位体积中产生或消耗的热量。
6.第一类边界条件：规定了边界点上的温度值。
第二类边界条件：规定了边界上的热流密度值。
.第三类边界条件：规定了边界上物体与周围流体间的表面传热系数h 及周围流体的温度ft 7.热扩散率a ：ca ρλ=，a 越大，表示物体内部温度扯平的能力越大；a 越大，表示材料中温度变化传播的越迅速。
8.肋片：肋片是依附于基础表面上的扩展表面。
第三章、非稳态导热1.非稳态导热：物体的温度随时间的变化而变化的导热过程称为非稳态导热。
2.非正规状况阶段：温度分布主要受出事温度分布的控制，称为非稳态导热。
空气动力学中的湍流和边界层
空气动力学中的湍流和边界层空气动力学是研究空气在运动中对物体的作用的学科，其中涉及到了许多基本概念，其中两个重要的概念是湍流和边界层。
湍流是指流体流动的一种特殊现象，其中流体通常呈现出不规则、混乱的运动状态。
边界层则是流体与固体表面之间发生的摩擦、传热和传质现象，同时也是湍流产生的重要原因之一。
本文将会从湍流和边界层两个方面进行探讨。
湍流湍流是一种不稳定的流动状态，流体在湍流状态下表现出许多不规则、混乱的性质。
湍流通常发生在高速流动，流体的流动速度越高，其湍流程度就越明显。
在空气动力学中，湍流是非常常见的，例如在飞机升空的过程中，空气流动会出现湍流现象。
产生湍流的原因主要与流体的惯性、黏性、导流和纹理等因素有关。
其中，惯性是湍流产生的最主要原因之一。
当流体具有一定的惯性时，它会随着外力的作用而发生迅速的运动，而由于黏性和导流的影响，流体会不断发生往返的摆动，从而形成湍流。
湍流对于空气动力学的影响十分显著。
在飞机运动中，湍流会增大飞行阻力和能源消耗，同时还会影响飞机的稳定性和安全性。
因此，为了有效避免飞机的湍流影响，需要在设计中特别考虑流体力学因素的影响，并采用相应的减小湍流的措施。
边界层边界层是空气动力学中的一个重要现象，它是流体与固体表面之间的交界区域，在这个区域中，流体会因摩擦和黏性的作用而受到阻碍，从而形成了一个相对静止的区域。
与湍流相似，边界层也是一种有规律的流动，但它一般只会发生在流体与表面接触的几个微观层面上。
边界层的大小取决于流体与固体表面摩擦力之比。
例如，在液体和气体流动中，边界层往往较为显著，因为相对于气体而言，液体更易产生摩擦力，从而导致边界层的形成。
边界层对于空气动力学的影响也是极大的。
在航空领域中，边界层会导致飞机的飞行阻力增加，并可能影响飞机的操纵性和稳定性。
因此，研究边界层与飞机之间的相互作用，对于提升飞机性能的有效性具有重要的意义。
结论空气动力学是一个重要的交叉学科，其中涉及到了许多基本的概念和原理，其中湍流和边界层是空气动力学中非常重要的两个方面。
大气边界层中的湍流能量传递机制
大气边界层中的湍流能量传递机制大气边界层是地球大气圈中最底部的一层，它与地表直接接触，并且包含了地表至大气上层的过渡区域。
在这个区域内，湍流成为了重要的能量传递机制。
本文将探讨大气边界层中湍流能量传递的机制。
一、大气边界层概述大气边界层是地球上大气圈中最接近地表的一部分，通常高度在数十至数百米。
它的特点是湍流较为活跃，并且存在着明显的热量、动量和湍流能量传递过程。
二、湍流的定义与性质湍流是指流体在不稳定条件下，流速和压力波动产生的不规则运动状态。
湍流具有三个基本性质：不可预测性、不可逆性和能量耗散。
三、湍流能量传递的机制湍流能量传递是指由大气中的湍流运动将能量从一个空间尺度转移到另一个更小或更大的空间尺度。
湍流能量传递的机制主要有两种：级联机制和辐散机制。
1. 级联机制：级联机制是湍流能量从一个空间尺度传递到另一个空间尺度的过程。
在大气边界层中，湍流动量从大尺度下传递到小尺度，并最终以热能形式被耗散。
这个过程中，湍流涡旋会相互作用、合并或分裂，从而实现能量的传递。
2. 辐散机制：辐散机制是湍流能量从小尺度释放到大尺度的过程。
在大气边界层中，湍流会在小尺度上产生湍动能量，并通过湍流辐散将这部分能量传递到大尺度上。
这个过程中，湍流涡旋会扩散或连接，实现能量的传递。
四、湍流能量传递的影响因素湍流能量传递的机制受到多种因素的影响，包括地表粗糙度、大气稳定度、风速等。
1. 地表粗糙度：地表的粗糙度会影响湍流能量传递机制。
较粗糙的地表会增加湍流的能量损耗，使得能量传递到小尺度时更快地耗散。
2. 大气稳定度：大气的稳定度对湍流能量传递有重要影响。
在稳定的大气条件下，湍流能量易于耗散，能量传递的效率较低。
3. 风速：风速是湍流能量传递的重要参数。
较高的风速会增加湍流的活动性，促进能量的传递。
五、湍流能量传递的应用与意义湍流能量传递机制的研究对于气象学、空气污染控制、风能利用等领域具有重要意义。
对湍流能量传递机制的深入理解可以帮助我们更好地预测气象现象，改善空气质量，开发可再生能源。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第九章 湍流边界层中的传热在层流边界层的处理中，只要粘性耗散项可以忽略不计，则能量方程就有着与动量方程相同的数学形式。
这时，能量方程的解可直接引用动量方程的解。
在湍流边界层的处理中，我们已经有了动量方程的解。
仿层流边界层中能量方程的解法，我们似乎也可以走直接引用湍流动量方程的解的解决途径。
与湍流动量方程一样，湍流能量方程中也有着类似的“封闭”问题。
我们可以提出一种模型，以解决湍流能量方程存在着的“封闭”问题的过程中；我们也可以直接引用湍流动量方程解决封闭问题的结论，考察湍流能量方程的类似结论与湍流动量结论之间的关系。
本章中的雷诺比拟就属于后一种处理方法。
§9.1湍流边界层能量方程的求解 §9.1.1动量-能量方程的比较在定常、恒定自由流、全部流体物性处理成常数、忽略体积力和粘性耗散项可以忽略的情况下，湍流动量方程可以表为，0''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂∂∂-∂∂+∂∂v u y u y y u v x u uρμ 湍流能量方程可以表为，0''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂∂∂-∂∂+∂∂v t y t c k y y t v x t uρ 以上表示湍流边界层中的动量方程和能量方程在数学表述上具有类似的形式。
§9.1.2 雷诺比拟在求解湍流动量方程“封闭”问题时，引入了普朗克混合长度理论，以计算''v u ，y u lu ∂∂='最大 和 yu kl v ∂∂='最大22''''22⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂=⋅=y u l k v u v u 最大最大 混合长度定义式如下，22''⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=y u l v u并且有，y l κ=在求解湍流能量方程的“封闭”问题时，我们也可以引入一种计算''v t 的理论。
鉴于动量方程和能量方程在数学表述上具有相似性，我们还可以探索''v t 与''v u 之间是否存在着一种简单的关系，如果能够找到两者之间所存在的关系，就可以直接引用动量方程求解的结论。
①因y 方向上脉动速度'v 的存在而引起的有效剪切应力和有效热通量的计算： 动量：()()v u G G V G y x ++=⋅对于湍流情况，应当是：()()''''''v u G G V G y x ++=⋅鉴于脉动速度的随机性，必须考虑其有效值：()()v u G G V G y x δδδδδδ++=⋅通过平行于主流方向的某面积为A 的x 方向上脉动动量传递率的有效值为：()A u G y δδ⋅其中：2'v C v G y ρδρδ=⋅=对u δ，则引用普朗特混合长度理论：dyu d l u ≈δ 于是，面积A 上的剪切应力为：dyud lv C u v C A F t ρδρτ⋅=⋅==2'2' 热量：通过平行于主流方向的面积为A 的由'v 脉动引发的有效热通量为：()()A t c G A i Gy yδδδδ⋅=⋅对t δ，如果也引用普朗特混合长度理论，则有：dytd lt ≈δ 于是，单位面积上的有效热通量为：dyt d cl v C A Q q t ρ2'"==对比：将动量和能量的表述整理成扩散率形式，dy u d dy u d l v C M t ερτ=⋅=2' dyt d dy t d l v C c q H t ερ=⋅=2'" 于是有：H M εε=上式表明，关于动量和热量的两种湍流扩散率相等，这就是雷诺比拟。
§9.2热边界层的壁面定律——湍流能量方程的解 §9.2.1雷诺比拟存在的条件 仿照对湍流动量方程，0''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂∂∂-∂∂+∂∂v u y u y y u v x u uρμ 作如下改动，0=∂∂-∂∂+∂∂y y u v x u uτρρ 其中：''v u yu-∂∂=ρμρτ 对湍流能量方程，0''=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂∂∂-∂∂+∂∂v t y t c k y y t v x t uρ 也作相应的改动，01"=∂∂+∂∂+∂∂y q c y t v x t u ρ 其中：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂-=''"v t y t c k c q ρρ 在壁面附近区域，存在有， ① 可忽略xtu∂∂项，故而有：()y t t = ② 引用 Couette 流动近似：0v v = 于是上式在壁面附近区域就可以改写为，01"0=+dydq c dy t d v ρ 从壁面上沿高度积分上式，()()1011"0"00"00"00""00=-+-=+=+⎰⎰⎰⎰q q c t t v dq c t d v dy dy dq c dy dy t d v q q t t y yρρρ整理得，()"00"0"1q t t cv q q -+=ρ 引入无量纲定义，ρτ000v v =+()()c q t t tρρτ"00-=+代入上式，()()()+++=-⋅+=-+=t v c q t t v q t t cv q q 0"0000"000"0"111ρρτρτρ 将湍流边界层关于动量和关于热量的壁面定律做如下比较，① 有量纲的动量壁面定律：0001ττρττydx P d u v ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++= 热量壁面定律：()"00"0"1q t t cv q q -+=ρ 热量壁面定律与动量壁面定律相比，缺少dxPd 项，其他方面则完全相似。
② 无量纲的动量壁面定律：++++++=y p u v 001ττ 热量壁面定律： +++=t v q q 0"0"1热量壁面定律与动量壁面定律相比，缺少+p 项，其他方面则完全相似。
一个重要结论：在壁面附近，热量传递和动量传递之间关于相似的全部概念，当有压力梯度时就失灵了，也就是说，这时的雷诺比拟关系就不复存在。
§9.2.2热边界层壁面定律的解00=+v 时，有，dyt d c k v t dy t d c k c q c q H ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==ερρρρ''""积分上式，()[]{}()()[]{}()[]{}⎰⎰⎰⎰+⋅-=+⋅-=+-=y H y H y H tt dy c q c k dyc q c k dy c q td 0"0"0"|Pr 1||0μρεμρρμρεμμρρερρ积分结果为，()[]{}()()[]{}()()()[]{}⎰⎰⎰⎰+=⋅-+-=+⋅-=y H y H y H tt dyc q t t c k dy c q c k dy c q td 0"00"0"|Pr 1||0μρερμρμρεμρερμρρ引用+y 作为变量：μρτρ0y y =+ ⇒ dy dy μρτρ0=+ 代入上式，()()()[]{}()[]{}⎰⎰++=+⋅=-++y H y H dyt dyc q t t 000"00|Pr 1|Pr 1μρεμρεμρτρρρτ仍然采用具有粘性底层和充分湍流区的两层模型。
对于0=+p 与00=+v 的情形，实验发现底层的有效厚度8.10=+y 。
对于热边界层，实验发现底层的有效厚度变为2.13=+y 。
这个实验事实说明：雷诺比拟对粘性底层不是有效的。
但是我们还是将积分分成相应于粘性底层和充分湍流区两个部分，来完成上式的积分。
于是，上述积分为，()()⎰⎰++++=+++y H H dy dy t 2.132.130|Pr 1|Pr 1μρεμρε我们将上式与yu M ∂∂⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ερμρτ0的积分式相比较， ⎰⎰⎰⎰+=+=yy My yM udydy dyu d **00ερτμτερμρτ必须十分注意，关于能量的积分过程，不可引用关于动量的积分过程中所采用的忽略某一项的方法。
这是因为Pr 1因特定流体的不同而有很大变化：● 粘性底层：在动量边界层中，由于有M ερμ>>，故积分可以写为：⎰*y dy μτ在热边界层中，如果Pr 很大，则底层中即使()μρεH 很小，仍然具有很大意义。
如果5Pr ≥，若忽略()μρεH ，则会带来重要的误差。
5Pr <时，()μρεH 可忽略。
● 充分湍流区：在动量边界层中，由于有ρμε>>M ，故积分可以写为：⎰yy Mdy*ερτ在热边界层中，如果Pr 很低，则Pr 1数值很大，且能大于()μρεH ，因此，这时Pr1不能忽视。
● 问题：如何评判Pr 1和()μρεH 的相对大小？假定雷诺比拟H M εε=适用，则由混合长度理论，有，？？？μρεκμρεH M y ==+ 粘性底层中的发现1：0.5Pr 5.0<<时，()μρεH 可以忽略，但不适合于更低Pr 数。
充分湍流区中的发现2：9.0Pr ==HMt εε 将上述发现代入：()⎰++=++y H dy t 0|Pr 1μρε，得到，⎰⎰++++++=y t ydy dy t 2.132.130Pr Pr κ积分得，664.5Pr 2.13ln 195.22.13ln 41.09.0Pr 2.13ln 41.09.02.13lnPr Pr 2.13-+=-+=+=++++y y y t tκ 上述精确解与实验数据的对比参见P247中的图12-2。
§9.3恒定自由流、定壁温条件下的湍流传热解传热解的关键就是要建立∞=cu hSt ρ的表达式。
两个假定：① 热边界层和动量边界层的厚度相同——可直接引用动量边界层的一些结论层流边界层若干厚度的表达：边界层厚度：()()∞=u x ρμδ64.4排量厚度：()()∞=u x ρμδ73.11动量厚度：()()∞=u x ρμδ6642.02热边界层厚度： ()()∞⋅⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-==∆u x x r ρμξδ3143311Pr026.164.4焓厚度：()()()[]()[]⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⨯⨯--⨯⨯-⨯=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∆∞34434433223243422Pr 026.12801Pr 026.120164.43280203x x u x r r ξξρμδ ② 两个壁面定律本身，对于整个边界层是两个合理的近似——壁面定律显然不能推广到整个边界层，但传热问题却必须涉及到整个边界层。