编号86山西大学附中高三年级对称问题
导学设计9山西大学附中高二年级对称问题的应用举例
山西大学附中高中数学（必修二）学案 编号9
课题：对称问题的应用举例
【学习目标】会解决（1）光线问题（2）角平分线问题 （3）两类距离最值问题；
【学习重点】掌握实际应用问题的解决方法；
【学习难点】两类距离最值问题；
【学习过程】
一、导学
复习回顾: 如何求点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称点的坐标?
二、导练
例1. 已知一束光线通过点)5,3(-A ，经直0443:=+-y x l 反射，如果反射光线通过
点)4,2(B ，则
（1）求光线从A 到B 距离；
（2）求反射光线所在直线的方程．
例2. ABC ∆中，顶点A 的坐标为)4,1(，ABC ∠平分线所在直线方程为02=-y x ，ACB ∠平分线所在直线方程为01=-+y x ，求BC 边所在直线的方程．
例3.ABC ∆中，顶点A 的坐标为)4,5(-，ABC ∠平分线所在直线方程为044=--y x ，
AB 边的中线所在直线方程为041106=-+y x ，求顶点B 的坐标和BC 边所在直线的方程．
例4.已知点)3,3(A ，)1,4(B ，试在直线013:=--y x l 上求一点P ，使得
（1）PB PA +最小
（2）PA PB -最大。
2024届山西省太原市山西大学附中高三第三次测评物理试卷含解析
2024届山西省太原市山西大学附中高三第三次测评物理试卷注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、单项选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、两辆汽车a 、b 在两条平行的直道上行驶。
t=0时两车并排在同一位置，之后它们运动的v-t 图像如图所示。
下列说法正确的是（ ）A ．汽车a 在10s 末向反方向运动B ．汽车b 一直在物体a 的前面C ．5s 到10s 两车的平均速度相等D ．10s 末两车相距最近2、如图所示，直线a b 、和直线、c d 是处于匀强电场中的两组平行线，M 、N 、P 、Q 是它们的交点，四点处的电势分别为M N P Q ϕϕϕϕ、、、。
一质子由M 点分别运动到Q 点和P 点的过程中，电场力所做的负功相等。
下列说法正确的是（ ）A ．直线a 位于某一等势面内，M Q ϕϕ<B ．直线c 位于某一等势面内，>M P ϕϕC ．若质子由M 点运动到N 点，电场力做正功D ．若质子由P 点运动到Q 点，电场力做负功3、如图，吊桥AB 长L ，质量均匀分布，重G 1。
A 端由铰链支于地面，B 端由绳拉住，绳绕过小滑轮C 挂重物，重G 2。
重力作用线沿铅垂线AC ，AC=AB 。
当吊桥平衡时，吊桥与铅垂线的夹角θ为A ．2arcsin 21G GB ．arcsin 21G GC ．2arctan 212G GD ．arctan 212G G 4、下列关于温度及内能的说法中正确的是( )A ．温度是分子平均动能的标志，所以两个动能不同的分子相比，动能大的温度高B ．两个不同的物体，只要温度和体积相同，内能就相同C ．质量和温度相同的冰和水，内能是相同的D ．一定质量的某种物质，即使温度不变，内能也可能发生变化5、2019年11月23日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭，以“一箭双星”方式成功发射第五十、五十一颗北斗导航卫星。
山西大学附中、东北师大附中2023-2024学年高三10月联考数学试题与答案
山西大学附中、东北师大附中2023-2024学年高三10月联考数学试题一．选择题：本小题8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2,1,0,1,2A =--，(){}2ln 56B x y x x ==--，则A B = （）A.{}2,1,0,1,2-- B.{}2- C.{}0,1,2 D.{}2,1,0--2.命题“a ∀∈R ，函数21y ax =+是偶函数”的否定是（）A.a ∀∈R ，函数21y ax =+不是偶函数B.a ∃∈R ，函数21y ax =+不是偶函数C.a ∀∈R ，函数21y ax =+是奇函数D.R a ∃∈，函数21y ax =+是奇函数3.已知函数()()()221f x x a x a =+-+-为奇函数，则()f a 的值是（）A.0B.12-C.12D.104.“碳达峰”，是指二氧化碳的排放不再增长，达到峰值之后开始下降；而“碳中和”，是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式，抵消自身产生的二氧化碳排放量，实现二氧化碳“零排放”．某地区二氧化碳的排放量达到峰值m （亿吨）后开始下降，其二氧化碳的排放量y （亿吨）与时间t （年）满足函数关系式t y ma =，若经过5年，二氧化碳的排放量为45m（亿吨）．已知该地区通过植树造林、节能减排等形式，能抵消自身产生的二氧化碳排放量为8m（亿吨），则该地区要能实现“碳中和”，至少需要经过多少年？（参考数据：lg 20.3=）（）A.43B.44C.45D.465.函数()22cos xxy x -=-在区间[]22-,上的图象大致为（）A.B.C. D.6.在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知:sin sin sin a b cp C A B==，q ：ABC 是等腰三角形，则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知,a b 为正实数，且()380ab a b -++=，则ab 的取值范围是（）A.[]2,4 B.(][)0,24,+∞ C.[]4,16 D.(][)0,416,+∞ 8.已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()()31,00,f x x f x x ⎛⎫=∈-∞+∞⎪⎝⎭，()()()2f x f y xy f x y ++=+，则()3f 的值是（）A.9B.10C.11D.12二．选择题：本小题4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若,,a b c ∈R ，则下列命题正确的是（）A.若0ab ≠且a b <，则11a b> B.若01a <<，则2a a <C.若0b a >>且0c >，则b c ba c a+>+ D.()221222a b a b ++≥--10.已知函数()21e e2xxf x x -=++，则满足)()32f a f a <+的整数a 的取值可以是（）A.1-B.0C.1D.211.已知函数()()π2sin 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭任一对称轴与其相邻的零点之间的距离为π4，若将曲线()y f x =的图象向左平移π6个单位得到的图象关于y 轴对称，则（）A.π2,6ωϕ==B.直线2π3x =为曲线()y f x =的一条对称轴C.若()f x 在(),a a -单调递增，则π03a <≤D.曲线()y f x =与直线15π224y x =-有5个交点12．已知函数()(1)x f x x e =+，()(1)g x x lnx =+，则()A．函数()f x 在R 上无极值点B．函数()g x 在(0,)+∞上存在极值点C．若对任意0x >，不等式2()()f ax f lnx ≥恒成立，则实数a 的最小值2eD．若12()()(0)f x g x t t ==>，则12(1)lnt x x +的最大值为1e三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数()y f x =的图像在2x =处的切线方程是31y x =+，则(2)(2)f f '+=______．14.设()f x 定义在R 上且()()()()()()2log 2,212,2x x f x f x f x x ⎧-<⎪=⎨---≥⎪⎩，则()13f =______．15.已知π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，π1tan 123β⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则)t n(a 2αβ-=______．16.修建栈道是提升旅游观光效果的一种常见手段.如图，某水库有一个半径为1百米的半圆形小岛，其圆心为C 且直径MN 平行坝面.坝面上点A 满足AC MN ⊥，且AC 长度为3百米，为便于游客到小岛观光，打算从点A 到小岛建三段栈道AB 、BD 与BE ，水面上的点B 在线段AC 上，且BD 、BE 均与圆C 相切，切点分别为D 、E ，其中栈道AB 、BD 、BE 和小岛在同一个平面上.此外在半圆小岛上再修建栈道 ME、 DN以及MN ，则需要修建的栈道总长度的最小值为__________百米.四．解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算17.已知函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，3π是函数()f x 一个零点.(1)求,ωϕ；(2)在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为3,,,,222A a b c f a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，求ABC 面积的最大值.18.已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且222n n n a a n S +-=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设31n an b =-，若数列{}n c 满足11n n n n b c b b ++=⋅，求证：1214n c c c +++< ．19.2023年3月某学校举行了普通高中体育与健康学业水平合格性考试．考试分为体能测试和技能测试，其中技能测试要求每个学生在篮球运球上篮、羽毛球对拉高远球和游泳3个项目中任意选择一个参加．某男生为了在此次体育学业考试中取得优秀成绩，决定每天训练一个技能项目．第一天在3个项目中任意选一项开始训练，从第二天起，每天都是从前一天没有训练的2个项目中任意选一项训练．(1)若该男生进行了3天的训练，求第三天训练的是“篮球运球上篮”的概率；(2)设该男生在考前最后5天训练中选择“羽毛球对拉高远球”的天数为X ，求X 的分布列及数学期望．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，122PD PC CB BA AD =====，//AD CB ，90CPD ABC ∠=∠= ，平面PCD ⊥平面ABCD .(1)求证：PD ⊥面PCA ；(2)点Q 在棱PA 上，设(01)PQ PA λλ=<< ，若二面角P CD Q --余弦值为55，求λ.21.已知双曲线C 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴，y 轴，且过(2,0),(4,3)A B 两点．(1)求双曲线C 的方程；(2)已知点(2,1)P ，设过点P 的直线l 交C 于,M N 两点，直线,AM AN 分别与y 轴交于点,G H ，当||6GH =时，求直线l 的斜率．22.已知函数()e ln (R)x f x mx x x m -=+-∈.(1)讨论函数()f x 的极值点个数；(2)若0m >，()f x 的最小值是1ln m +，求实数m 的取值范围.山西大学附中、东北师大附中2023-2024学年高三10月联考数学试题答案1.B【详解】因为(){}{}{22ln 565601B x y x x x xx x x ==--=-->=<-或}6x >，又因为{}2,1,0,1,2A =--，因此，{}2A B =-I .2.B【详解】因为命题“R a ∀∈，函数21y ax =+是偶函数”是全称量词命题，所以其否定是存在量词命题，即“R a ∃∈，函数21y ax =+不是偶函数”.3.D【详解】因为函数()()()221f x x a x a =+-+-为奇函数，所以()00f =，即()()210a a --=，即2a =或1a =，显然函数()()()221f x x a x a =+-+-的定义域为R 关于原点对称，且当2a =时，有()()21f x x x =+，从而有()()()21f x x x f x -=-+=-，当1a =时，有()()21f x xx =-，但()()1210f f -=-≠-=，所以2a =，即()()21f x x x =+，所以()()()2222110f a f ==⨯+=.4.C【详解】由题意可得545m y ma ==，即545a =，解得a =，令8tm ma =，即18t=，两边取对数得1lg 8t =，所以()lg8lg10lg85t -=-，即()3lg 213lg 25t-=-，解得15lg 2 4.5453lg 210.1t --===--，5.C【详解】因为[]2,2x ∈-，关于原点对称，()()()()()22cos 22cos ---=--=--=-x x x x f x x x f x ，所以函数()f x 为奇函数，故D 错误；因为π012<<，所以cos10>，所以()()13122cos1cos102-=-=>f ，故A 错误；因为π2π2<<，所以cos20<，所以()()215242cos2cos204-=-=<f ，故B 错误；6.A【详解】在ABC 中，若sin sin sin a b c C A B==，由正弦定理sin sin sin a b cA B C ==，得a b cc a b ==，所以22a bc b ac⎧=⎨=⎩，所以a b c ==，所以ABC 为等边三角形，若命题p 成立，则ABC 是等腰三角形，即命题q 成立；反之，ABC 为等腰三角形，ABC 不一定为等边三角形，如在ABC 中，π4A B ==，π2C =，则sin sin sin a b cC A B ==不成立，所以:sin sin sin a b cp C A B==是q ：ABC 是等腰三角形的充分不必要条件.7.D【详解】因为,a b 为正实数，则()0388ab a b ab =-++≤-+，即)240-≥，所以02<≤4≥，所以04<≤ab 或16ab ≥.ab 的取值范围是(][)0,416,+∞ ，8.D【详解】()()()2f x f y xy f x y ++=+中令0x y ==，则()00f =，()()()2f x f y xy f x y ++=+中令1x =，1y =-，则()()()11200f f f +--==，又()31f x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭中令=1x -，则()10f -=，所以()12f =，()()()2f x f y xy f x y ++=+中，令1x y ==，则()()22126f f =+=，再令1x =，2y =，则()()()312426412f f f =++=++=．9.BD【详解】对于A 选项，若0ab ≠且a b <，取1a =-，1b =，则11a b<，A 错；对于B 选项，若01a <<，则()210a a a a -=-<，B 对；对于C 选项，若0b a >>且0c >，则0a b -<，则()()()()()0a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==<+++，故b c ba c a+<+，C 错；对于D 选项，()()()()()22222212222144120a b a b a a b b a b ++---=-++++=-++≥，当且仅当12a b =⎧⎨=-⎩时，等号成立，故()221222a b a b ++≥--，D 对.故选：BD.10.BCD【详解】由题意得()21()e e 2xx f f x x x -+=-=+，故()f x 为偶函数，而()e exxf x x -'=-+，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 在(0,)+∞单调递增，在(,0)-∞单调递减，若)()2ff a <+，则|||2|a <+，得22344a a a ≤++，即2220a a --≤，解得11a ≤≤+11.ABD 【详解】由题意π2π444T ω==，故2ω=，又()y f x =的图象向左平移π6个单位得到π2sin 23y x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()πππ+32k k ϕ+=∈Z ，且π02ϕ<<，故π6ϕ=，A 正确；因为()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，且2π4ππ2sin +2336f ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭为最小值，所以直线2π3x =为曲线()y f x =的一条对称轴，B 对；令πππππ2π22πππ,Z 26236k x k k x k k -+≤+≤+⇒-+≤≤+∈,故易知()f x 在ππ,36⎛⎫- ⎪⎝⎭单调递增，故π06a <≤，C 错；直线15π224y x =-与曲线()y f x =均过点5π,012⎛⎫⎪⎝⎭，且该直线与曲线()y f x =均关于该点中心对称，当7π6x =时，3π28y =<，当13π6x =时，7π28y =>，由对称性可知曲线()y f x =与直线15π224y x =-有5个交点，故D 对．12．ACD【详解】对于:()(1)1x A f x x e '=++，则()(2)x f x x e ''=+，令()0f x ''>，解得：2x >-，令()0f x ''<，解得：2x <-，故()f x '在(,2)-∞-递减，在(2,)-+∞递增，故2()(2)10min f x f e -'='-=->，故()f x 在R 递增，故函数()f x 在R 上无极值点，故A 正确；对于1:()1B g x lnx x '=++，21()x g x x-''=，令()0g x ''>，解得：1x >，令()0g x ''<，解得：01x <<，故()g x '在(0,1)递减，在(1,)+∞递增，故()min g x g '='（1）20=>，故()g x 在(0,)+∞递增，函数()g x 在(0,)+∞上无极值点，故B 错误；对于C ：由A 得：()f x 在(0,)+∞递增，不等式2()()f ax f lnx 恒成立，则2ax lnx 恒成立，故2lnx a x，设2()lnx h x x =，则22(1)()lnx h x x -'=，令()0h x '>，解得：0x e <<，令()0h x '<，解得：x e >，故()h x 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减，故()max h x h =（e）2e =，故2a e，故C 正确；对于D ：若12()()(0)f x g x t t ==>，则_1122(1)(1)x x e x lnx t +=+=，0t > ，10x ∴>，21x >，且_12x x e =，_12x x e=时，111121[(1)](1)(1)x x ln x e lntx x x e +=++，设_11(1)x k x e =+，设()lnk g k k =，则21()lnkg k k -'=，令()0g k '>，解得：0k e <<，令()0g k '<，解得：k e >，故()g k 在(0,)e 递增，在(,)e +∞递减，故()max g k g =（e）1e=，此时_1122(1)(1)x e x e x lnx =+=+，故12(1)lnt x x +的最大值是1e，故D 正确；13.10【详解】由已知切点在切线上，所以(2)3217f =⨯+=，切点处的导数为切线斜率，所以(2)3f '=，所以(2)(2)10f f '+=.【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，属于基础题.14.0【详解】因为()()()()()()2log 2,212,2x x f x f x f x x ⎧-<⎪=⎨---≥⎪⎩，所以()()()()()()()13121111101110f f f f f f f =-=--=-，()()()()()()()10988787f f f f f f f =-=--=-，同理可得()()()()21371log 210f f f ===-=.15.211-【详解】由π1tan 123β⎛⎫+=⎪⎝⎭得，22π12tan 2π123tan 21π41()1tan 32613βββ⎛⎫+⨯⎪⎛⎫⎝⎭+=== ⎪⎛⎫⎝⎭--+ ⎪⎝⎭，而π1tan 62α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故ππtan()tan(2)ππ66tan 2tan ()(2)ππ66tan()tan(2))6(16αβαβαβαβ+-+⎛⎫-=+-+= ⎪⎝⎭+++⋅132241311124-==-+⨯，16.2π53+【详解】连接CD ，CE ，由半圆半径为1得：1CD CE ==.由对称性，设CBE CBD θ∠=∠=，又CD BD ⊥，CE BE ⊥，所以1tan tan CD BE BD θθ===，1sin sin CD BC θθ==，易知MCE NCD θ∠=∠=，所以 MEND =的长为θ.又3AC =，故13(0,2)sin AB AC BC θ=-=-∈，故1sin (,1)3θ∈，令01sin 3θ=且0π0,6θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()1252sin tan f θθθθ=-++，0π(,2θθ∈，所以()()2cos 2cos 1sin f θθθθ--'=.θ0π,3θ⎛⎫⎪⎝⎭π3ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭()f θ'-+()f θ单调递减极小值单调递增所以栈道总长度最小值()min π2π533f f θ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭.(0,0,0)C ()0,22,0A ，(D（2）由题意可知过点P 的直线的方程为(2y k x =-()222113k x y =-+-=消去y ，得()22348k x k --()()(2222408124341616k k k k k -≠⎡⎤=-----+⎣⎦。
山西大学附中2025届高考仿真模拟数学试卷含解析
山西大学附中2025届高考仿真模拟数学试卷注意事项：1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数2iz i=-（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知函数f (x )＝223,1ln ,1x x x x x ⎧--+≤⎨>⎩,若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A ．12⎛⎝ B ．12⎡⎢⎣C ．1,2e ⎛ ⎝⎦D ．12⎛ ⎝⎭3．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验.受其启发，某同学通过下面的随机模拟方法来估计π的值：先用计算机产生2000个数对(),x y ，其中x ，y 都是区间()0,1上的均匀随机数，再统计x ，y 能与1构成锐角三角形三边长的数对(),x y 的个数m ﹔最后根据统计数m 来估计π的值.若435m =，则π的估计值为（ ） A ．3.12B ．3.13C ．3.14D ．3.154．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，抛物线()220y px p =>与双曲线C 有相同的焦点.设P 为抛物线与双曲线C 的一个交点，且125cos 7PF F ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B 或3C ．2D ．2或35．在ABC ∆中，0OA OB OC ++=，2AE EB =，AB AC λ=，若9AB AC AO EC ⋅=⋅，则实数λ=( )A B C D6．已知函数2,()5,x x x af x x x a⎧-≤=⎨->⎩（0a >），若函数()()4g x f x x =-有三个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．(0,1)[5,)+∞B ．6(0,)[5,)5+∞C ．(1,5]D ．6(,5]57．若函数()()222cos 137f x x x m x m m =+-+++-有且仅有一个零点，则实数m 的值为（ ）A ．3372-- B ．3372-+ C ．4- D ．28．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864 C ．－4864D ．12809．直线经过椭圆的左焦点，交椭圆于两点，交轴于点，若，则该椭圆的离心率是（） A ．B ．C ．D ．10．已知函数()2ln 2xx f x ex a x=-+-（其中e 为自然对数的底数）有两个零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．21,e e⎛⎤-∞+ ⎥⎝⎦B ．21,e e ⎛⎫-∞+⎪⎝⎭ C ．21,e e⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．21,e e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭11．在ABC ∆中，D 在边AC 上满足13AD DC =，E 为BD 的中点，则CE =（ ）. A ．7388BA BC - B ．3788BA BC -C ．3788BA BC +D ．7388BA BC +12．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．6898B ．6896C ．268D ．5266二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2023年山西大学附属中学校高三下学期3月模块诊断数学试题+答案解析
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.i 是虚数单位，，则复数z 的模等于( )2023年山西大学附属中学校高三下学期3月模块诊断数学试题A. 1B.C.D. 22.已知集合，，则( )A. B. C. D.3.已知a ，，则是的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.函数在下列哪个区间上单调递增( )A.B.C.D.5.已知双曲线，若对任意实数m ，直线与C 至多有一个交点，则C 的离心率为( )A.B.C.D. 6.考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设A 表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，B 表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则( )A.B.C.D.7.如图，在正四棱柱中，，，动点P，Q分别在线段，AC 上，则线段PQ长度的最小值是 ( )A. B. C. D.8.已知，则( )A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序相等数据相邻排列排列为：81，84，84，87，x，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则( )A.B. 该组数据的均值一定为90C. 该组数据的众数一定为84和96D. 若要使该总体的标准差最小，则10.如图，棱长为2的正方体的内切球球心为O，分别是棱的中点，G在棱上移动，则( )A. 对于任意点G，平面B. 存在点G，使平面C. 直线的被球O截得的弦长为D. 过直线的平面截球O所得截面圆面积的最小值为11.将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若对，，且，则的可能取值为( )A. B. C. D.12.已知函数为自然对数的底数，过点作曲线的切线．下列说法正确的是( )A. 当时，若只能作两条切线，则B. 当，时，则可作三条切线C. 当时，可作三条切线，则D. 当，时，有且只有一条切线三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
导学设计8山西大学附中高二年级对称问题
山西大学附中高中数学（必修2）学案 编号8对称问题一.导学：1．点),(00y x P 关于点),(b a O 对称的点为)2,2(00y b x a P --'．2．点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称的点方法：（垂直平分）设点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称点为),(y x P '''， 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++'++'-=-⋅-'-'0)2()2(1)(0000C y y B x x A B A x x y y ，解此关于y x '',的方程即可求得),(00y x P ．3．曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a O 对称的曲线方程为0)2,2(=--y b x a f ．4．直线0:1111=++C y B x A l 关于直线0:=++C By Ax l 的对称的直线① 若l l //1② 若1l 与2l 相交二.导练：例1．求点)5,4(P 关于下列点或直线对称的点的坐标：（1）原点 （2）x 轴（3）y 轴 （4）点（3,2）（5）直线x y = (6）直线x y -=（7）直线2=x （8）直线1-=y（9）直线033=+-y x小结: (1)点),(00y x P 关于原点的对称点为 ；（2）点),(00y x P 关于x 轴的对称点为 ；（3）点),(00y x P 关于y 轴的对称点为 ；（4）点),(00y x P 关于直线x y =的对称点为 ；（5）点),(00y x P 关于直线x y -=的对称点为 ；（6）点),(00y x P 关于直线a x =的对称点为 ；（7）点),(00y x P 关于直线b y =的对称点为)2,(00y b x P -'；例2．求直线033=+-y x 关于下列点或直线对称的直线方程：（1）原点 （2）x 轴（3）y 轴 （4）点（3,2）（5）直线x y = （6）直线x y -=（7）直线2=x （8）直线1-=y（9）直线073=+-y x （10）直线012=-+y x小结: (1)曲线0),(:=y x f C 关于原点的对称曲线为 ．（2）曲线0),(:=y x f C 关于x 轴的对称曲线为 ．（3）曲线0),(:=y x f C 关于y 轴的对称曲线为 ．（4）曲线0),(:=y x f C 关于直线x y =的对称曲线为 ．（5）曲线0),(:=y x f C 关于直线x y -=的对称曲线为 ．（6）曲线0),(:=y x f C 关于直线a x =的对称曲线为 ．（7）曲线0),(:=y x f C 关于直线b y =的对称曲线为 ．三.课堂自测1．已知点(,)M a b 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0x y +=对称，则点Q 的坐标为_ ．2．已知直线1l 与2l 的夹角平分线为y x =，若1l 的方程为0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程是_ __．3．直线x y 21=关于直线1=x 对称的直线方程是 ． 4．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点)0,2(P 与点)4,2(-Q 重合，若点)8,5(与点),(n m 重合，则n m +的值为 ．。
山西省山西大学附中2024年高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题含解析
山西省山西大学附中2024年高三数学第一学期期末学业水平测试模拟试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -2．设,a b 为非零向量，则“a b a b +=+”是“a 与b 共线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．设()()2141A B -，，，，则以线段AB 为直径的圆的方程是（ ）A ．22(3)2x y -+=B ．22(3)8x y -+=C ．22(3)2x y ++=D ．22(3)8x y ++=4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若0n a >，1q >，3520a a +=，2664a a =，则5S =（ ） A ．48B ．36C ．42D ．315．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同的两点A ，B ，若2AF FB =，则该双曲线的离心率为（ ）．A B C D 6．已知随机变量i ξ满足()()221kkk i i i P k C p p ξ-==-，1,2i =，0,1,2k =.若21211p p <<<，则（ ） A ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ< B ．()()12E E ξξ<，()()12D D ξξ> C ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ<D ．()()12E E ξξ>，()()12D D ξξ>7．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且282,10a a =-=，则9S =（ ） A ．45B ．42C ．25D ．36以通过设计下面的实验来估计π的值：先请全校m 名同学每人随机写下一个都小于1的正实数对(),x y ；再统计两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数a ；最后再根据统计数a 估计π的值，那么可以估计π的值约为（ ）A ．4amB ．2a m+ C ．2a mm+ D ．42a mm+ 9．设i 是虚数单位，若复数1z i =+，则22||z z z+=（ ）A ．1i +B ．1i -C ．1i --D ．1i -+10．函数()sin()f x x π=-223的图象为C ，以下结论中正确的是（ ）①图象C 关于直线512x π=对称； ②图象C 关于点(,0)3π-对称；③由y =2sin 2x 的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C . A ．① B ．①②C ．②③D ．①②③11．已知全集，，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.2倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（ ）.A ．与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加B ．与2016年相比，2019年一本达线人数减少C ．与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.3倍D ．2016年与2019年艺体达线人数相同二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山西省太原市山西大学附属中学2024年数学高三上期末监测试题含解析
山西省太原市山西大学附属中学2024年数学高三上期末监测试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为120°，并在扇形弧上正面等距安装7个发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连(弧的两端各一个，导线接头忽略不计)，已知扇形的半径为30厘米，则连接导线最小大致需要的长度为（ ） A ．58厘米B ．63厘米C ．69厘米D ．76厘米2．在ABC 中，点P 为BC 中点，过点P 的直线与AB ，AC 所在直线分别交于点M ，N ，若AM AB λ=，(0,0)AN AC μλμ=>>，则λμ+的最小值为（ ）A ．54B ．2C ．3D ．723．定义：{}()()N f x g x ⊗表示不等式()()f x g x <的解集中的整数解之和.若2()|log |f x x =，2()(1)2g x a x =-+，{}()()6N f x g x ⊗=，则实数a 的取值范围是 A ．(,1]-∞- B ．2(log 32,0)-C ．2(2log 6,0]-D ．2log 32(,0]4- 4．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若23S =，410S =，则6S =（ ） A ．21B ．22C ．11D ．126．已知命题:p x R ∀∈，20x >，则p ⌝是（ ） A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．0x ∃∈R ，200x ≤.C ．0x ∃∈R ，200x >D ．x ∀∉R ，20x ≤.7．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,,a b c 且444222222a b c a b ca b +++=+，若c 为最大边，则a b c +的取值范围是（ ）A ．2313⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,B ．()1,3C ．2313⎛⎤⎥ ⎝⎦,D ．(1,3]8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长棱长为（ ）A ．32B ．25C ．6D ．279．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．710．已知α，β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，则“α∥β是“l ∥β”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11．数列{a n }是等差数列，a 1＝1，公差d ∈[1，2]，且a 4+λa 10+a 16＝15，则实数λ的最大值为（ ） A ．72B ．5319C ．2319-D ．12-12．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为 A ．12B ．13C ．16D ．112二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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山西大学附中高三年级（上）数学导学设计 编号86
对称问题应用举例
【学习目标】学会点关于点，点关于直线的对称点；直线关于点，直线关于直线的对称直线的求解方法.
【学习重点】点关于直线对称点的求解步骤.
【学习难点】对称问题的应用.
【学习过程】
（一）知识梳理
1．点),(00y x P 关于点),(b a O 对称的点为)2,2(00y b x a P --'．
2．点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称
方法：（垂直平分）设点),(00y x P 关于直线0:=++C By Ax l 对称点为),(y x P '''， 则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++'++'-=-⋅-'-'0)2()2(1)(0000C y y B x x A B A x x y y ，解此关于y x '',的方程即可求得),(00y x P ．
3．曲线0),(:=y x f C 关于点),(b a O 对称的曲线方程为0)2,2(=--y b x a f ．
4．曲线0),(:=y x f C 关于直线0:=++C By Ax l 对称
（1）直线0:1111=++C y B x A l 关于直线0:=++C By Ax l 的对称
① 若l l //1，则0:11=++C By Ax l ，可设对称直线2l 的方程为02=++C By Ax ，然后利用21,l l 与l 的距离相等求得2C ．
② 若1l 与2l 相交，其解题步骤为：1）求出交点坐标； 2）在1l 上取异于交点的一点求出其关于直线l 的对称点；3）利用两点式或点斜式写出2l 的方程．
（2）曲线0),(:=y x f C 关于直线0:=++C By Ax l 对称方程为（方法：轨迹法）．
5．常见的几种对称的特殊情形
（1）点),(00y x P 关于原点的对称点为),(00y x P --'；
曲线0),(:=y x f C 关于原点的对称曲线为0),(:=--'y x f C ．
（2）点),(00y x P 关于x 轴的对称点为),(00y x P -'；
曲线0),(:=y x f C 关于x 轴的对称曲线为0),(:=-'y x f C ．
（3）点),(00y x P 关于y 轴的对称点为),(00y x P -'；
曲线0),(:=y x f C 关于y 轴的对称曲线为0),(:=-'y x f C ．
（4）点),(00y x P 关于直线x y =的对称点为),(00x y P '；
曲线0),(:=y x f C 关于直线x y =的对称曲线为0),(:='x y f C ．
（5）点),(00y x P 关于直线x y -=的对称点为),(00x y P --'；
曲线0),(:=y x f C 关于直线x y -=的对称曲线为0),(:=--'x y f C ．
（6）点),(00y x P 关于直线a x =的对称点为),2(00y x a P -'；
曲线0),(:=y x f C 关于直线a x =的对称曲线为0),2(:=-'y x a f C ．
（7）点),(00y x P 关于直线b y =的对称点为)2,(00y b x P -'；
曲线0),(:=y x f C 关于直线b y =的对称曲线为0)2,(:=-'y b x f C ．
（8）点),(00y x P 关于直线0=++C y x 的对称点为),(00C x C y P ----'；
曲线0),(:=y x f C 关于直线0=++C y x 的对称曲线为0),(:=----'C x C y f C ．
（9）点),(00y x P 关于直线0=+-C y x 的对称点为),(00C x C y P +-'；
曲线0),(:=y x f C 关于直线0=+-C y x 的对称曲线为0),(:=+-'C x C y f C ．
6.应用举例：
（1）光线问题 （2）角平分线问题 （3）两类距离最值问题 （4）圆锥曲线中的对称问题
（二）巩固练习
1. 已知一束光线通过点)5,3(-A ，经直0443:=+-y x l 反射，如果反射光线通过点)4,2(B ，则反射光线所在直线的方程为 ．
2. ABC ∆中，顶点A 的坐标为)4,1(，ABC ∠平分线所在直线方程为02=-y x ，ACB ∠平分线所在直线方程为01=-+y x ，则BC 边所在直线的方程为 ．
3.已知点)3,3(A ，)1,4(B ，试在直线013:=--y x l 上求一点P ，
（1）当PB PA +最小时，P 点的坐标为 （2）当PA PB -最大时，P 点的坐标为
4.已知椭圆13
22
=+y x 与直线)0(≠+=k m kx y 相交于不同的两点N M ,，设点)1,0(-A ，当AN AM =时，m 的取值范围为 ．
5．已知点(,)M a b 与点N 关于x 轴对称，点P 与点N 关于y 轴对称，点Q 与点P 关于直线0x y +=对称，则点Q 的坐标为_ ．
6．已知直线1l 与2l 的夹角平分线为y x =，若1l 的方0(0)ax by c ab ++=>，那么2l 的方程是_ __．
7．直线x y 2
1=关于直线1=x 对称的直线方程是 ． 8．将一张画了直角坐标系且两轴的长度单位相同的纸折叠一次，使点)0,2(P 与点)4,2(-Q 重合，若点)8,5(与点),(n m 重合，则n m +的值为 ．
9．已知点)1,3(C ，点B A ,分别在直线x y =和0=y 上，则ABC ∆的周长的最小值是 ．
10．光线的入射线所在直线032:1=--y x l ，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过直线y 轴反射到直线3l 上，则3l 的直线方程 ．
11．抛物线32
+-=x y 上存在关于直线0=+y x 对称的相异两点A 、B ，则AB 等于 ． 12．函数29102222+-++-=x x x x y 的最小值为 ．
13．ABC ∆中，顶点A 的坐标为)4,1(--，ABC ∠平分线所在直线方程为01=+y ，
ACB ∠平分线所在直线方程为01=++y x ，则BC 边所在直线的方程为 ．
14．已知点)5,3(-A ，)15,2(-B ，试在直线0443:=+-y x l 上求一点P ，
（1）当PB PA +最小时，P 点的坐标为 （2）当PA PB -最大时，P 点的坐标为。