数学物理方法之二阶线性偏微分方程的分类

第十三章二阶线性偏微分方程

的分类

本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化. 特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的.

13.1 基本概念

(1)偏微分方程含有未知多元函数及其偏导数的方程，如

22222(,,,,,,,,,,)0u u u u u F x y u x y x y x y

∂∂∂∂∂⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∂∂∂∂∂∂其中(,,)u x y ⋅⋅⋅是未知多元函数，而,,x y ⋅⋅⋅是未知变量；,,u u x y ∂∂⋅⋅⋅∂∂为u 的偏导数. 有时为了书

写方便，通常记

2

2,,,,x y xx u u u u u u x y x

∂∂∂==⋅⋅⋅=⋅⋅⋅∂∂∂(2)方程的阶偏微分方程中未知函数偏导数的最高阶数称为方程的阶．(3)方程的次数偏微分方程中最高阶偏导数的幂次数称为偏微分方程的次数．

(4)线性方程一个偏微分方程对未知函数和未知函数的所有偏导数的幂次数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上的方程称为非线性方程．

(5)准线性方程一个偏微分方程，如果仅对方程中所有最

高阶偏导数是线性的，则称方程为准线性方程．

(6)自由项在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的项称为自由项．

例13.1.2：方程的通解和特解概念

二阶线性非齐次偏微分方程2xy u y x =−的通解为

2

21(,)()()2u x y xy x y F x G y =−++其中(),()F x G y 是两个独立的任意函数．因为方程为

例13.1.1：偏微分方程的分类（具体见课本P268）

2241(,)252sin 2

u x y xy x y x y =−+−+称为方程的特解．

n 阶常微分方程的通解含有n 个任意常数，而n 阶偏微分方程的通解含有n 个任意函数．

二阶的，所以是两个任意的函数．若给函数(),()F x G y 指定为特殊的4()25,()2sin F x x G y y =−=，则得到的解

在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点．

我们在解析几何中知道对于二次实曲线

22

ax bxy cy dx ey f +++++=其中,,,,,a b c d e f 为常数，且设24b ac δ=−13.2二阶线性偏微分方程的分类

上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类.

下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的．

两个自变量(x, y )的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为

0,0,0δ>=<则当时，

222

22(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)u u u u u A x y B x y C x y D x y E x y F x y u G x y x x y y x y ∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂（13.2.1）

其中,,,,,,A B C D E F G 为(,)x y 的已知函数．

定义为方程13.2.1的特征方程22(d )d d +(d )0

A y

B y x

C x −=(13.2.3)

它所对应的积分曲线族称为特征曲线族

在具体求解方程(13.2.3)时，需要分三种情况讨论判别式2

4B AC ∆=−

当判别式2

40B AC ∆=−>时，从方程(13.2.3)可以求得两个实函数解12(,) (,) x y C x y C φψ==及也就是说，偏微分方程(13.2.1)有两条实的特征线．于是，令13.2.1双曲型偏微分方程

作变换并代入原方程原偏微分方程(13.2.1)变为：此变换是可逆的(,), (,)

x y x y ξφηψ==

2

(,,,,)0u u u u ξηξηξη∂∂∂+Φ=∂∂∂∂21111((,)(,13.2.)(,)(,)4)u D u E u F u G ξηξηξηξη

ξηξη∂=+∂∂++或表示为此方程称为双曲线偏微分方程的第一种标准形式

偏微分方程(13.2.4)变为：

111122**22**(,(13.2)(,)(,)(.5)

,)u u D u E u F u G αβαβαβαβ

αβαβ∂∂−=+∂∂++2222(,,,,)u u u u u αβαβαβ∂∂∂∂−=Φ∂∂∂∂或表示为

此方程称为双曲型偏微分方程的第二种标准形式2(,)

tt xx u a u f x t =+波动方程即为双曲型偏微分方程或者进一步作变换,αξηβξη

=+=−,22αβαβξη+−==或

例13.2.1 原偏微分方程为:板书讲解

解：△

补充例题：学生自己先做，再演示答案

222222y x 0x y

u u ∂∂−=∂∂试将方程 化为标准方程。

当判别式2

40B AC ∆=−=时，方程(13.2.3)一定有重根d d 2y B x A

=，所以特征曲线是一族实函数曲线．其特征方程的解为(,

)x y c φ=因此令(,), x y y ξ

φη==作变换，则原方程变为13.2.2抛物型偏微分方程

--------13.2.6此方程称为抛物型偏微分方程的标准形式

222222(,)(,)(,)(,)u D u E u F u G ξηξηξηξηξηη∂=++−∂