2021届上海市七校高三上12月联考文科数学试卷

2021年上海市七校高三上12月联考文科数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、填空题

1．（2015秋?上海月考）函数f（x）=x2﹣1（x≥1）的反函数是f﹣1（x）= ．2．（2015秋?上海月考）已知||=2，||=1，的夹角为，则= ．3．（2013?合肥一模）幂函数y=f（x）的图象经过点（4，），则= ．4．（2015秋?上海月考）方程log2（x﹣3）=log4（5﹣x）的解为．

5．不等式（2﹣|x|）（2+x）＞0的解集为．

6．（2015秋?上海月考）若直线l1的一个法向量=（1，1），若直线l2的一个方向向量=（1，﹣2），则l1与l2的夹角θ=．（用反三角函数表示）

（2015秋?上海月考）直线l：x+交圆x2+y2=2于A、B两点，则|AB|= ．7．

8．（2015秋?上海月考）已知α∈（0，π），且tan（）=，则cosα=．9．（2015秋?上海月考）无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，S6=3，则

= ．

10．（2015秋?上海月考）已知f（x）=kx﹣|x﹣1|有两个不同的零点，则实数k的取值范围是．

11．（2015秋?上海月考）已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，若a=7，A=60°，△ABC的面积为10，则△ABC的周长为．

12．（2015秋?上海月考）奇函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为偶函数，且f（1）=1，则f（100）+f（101）= ．

13．（2015秋?上海月考）已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若S4、S2、S3成等差数列，且a2+a3+a4=﹣18，若S n≥2016，则n的取值范围为．

14．（2015秋?上海月考）设[x]表示不超过x的最大整数，若[π]=3，[﹣1.2]=﹣2．给出下列命题：

①对任意的实数x，都有x﹣1＜[x]≤x．

②对任意的实数x、y，都有[x+y]≥[x]+[y]．

③[lg1]+[lg2]+[lg3]+…+[lg2014]+[lg2015]=4940．

④若函数f（x）=[x[x]]，当x∈[0，n）（n∈N*）时，令f（x）的值域为A，记集合A

中元素个数为a n ，则

的最小值为，其中所有真命题的序号为 ． 二、单选题 15．设数列｛n a ｝的前n 项和n s =2

n ，则8a 的值为

A ．15

B ．16

C ．49

D ．64 16．设a R ∈，则“3a =”是“直线230ax y a ++=和直线31()7x a y a +-=-平行”的（ ）

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

17．（2015?湖南）将函数f （x ）=sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得

到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|=2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =

，则φ=（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

18．已知函数()1

x x e m f x e +=+，若对任意1x 、2x 、3x R ∈，总有()1f x 、()2f x 、()3f x 为某一个三角形的边长，则实数m 的取值范围是（ ）

A ．1,12??????

B ．[]0,1

C ．[]1,2

D ．1,22??????

三、解答题

19．（2015秋?上海月考）公差不为零的等差数列{a n }中，a 1、a 2、a 5成等比数列，且该数列的前10项和为100．

（1）求数列{a n }的通项公式；

（2）若b n =a n ﹣10，求数列{b n }的前n 项和T n 的最小值．

20．已知函数f （x ）=x 2+|x ﹣a|．

（1）当a=1时，求函数f （x ）的最小值；

（2）试讨论函数f （x ）的奇偶性，并说明理由．

21．（2015秋?上海月考）已知=（cos

2，sinx ），=（2，1），设函数f （x ）=． （1）当x

，求函数f （x ）的值域； （2）当f （α）=，且﹣，求sin （2）的值．

22．已知二次函数f（x）=x2+x的定义域为D恰是不等式的解集，其值域为A，函数g（x）=x3﹣3tx+的定义域为[0，1]，值域为B．

（1）求函数f（x）定义域为D和值域A；

（2）是否存在负实数t，使得A?B成立？若存在，求负实数t的取值范围；若不存在，请说明理由；

（3）若函数g（x）=x3﹣3tx+在定义域[0，1]上单调递减，求实数t的取值范围．23．（2015秋?上海月考）已知椭圆E的长轴长与焦距比为2：1，左焦点F（﹣2，0），一定点为P（﹣8，0）．

（1）求椭圆E的标准方程；

（2）过P的直线与椭圆交于P1、P2两点，设直线P1F、P2F的斜率分别为k1、k2，求证：k1+k2=0．

（3）求△P1P2F面积的最大值．

参考答案

1．，（x≥0）

【解析】

试题分析：根据已知中函数f（x）=x2﹣1（x≥1），根据反函数的求解方程，可得反函数是f﹣1（x）的解析式．

解：令y=f（x）=x2﹣1（x≥1），

则y≥0，x2=y+1，

则x=，y≥0，

故函数f（x）=x2﹣1（x≥1）的反函数是f﹣1（x）=，（x≥0），

故答案为：，（x≥0）

考点：反函数．

2．1

【解析】

试题分析：代入向量数量级定义式计算．

解：=||?||cos=2×1×=1．

故答案为：1．

考点：平面向量数量积的运算．

3．2

【解析】

试题分析：根据幂函数的定义设f（x）=xα，结合y=f（x）的图象经过点（4，），即可求出f（x），从而求得f（）的值．

解：∵y=f（x）为幂函数，

∴设f（x）=xα，

又∵y=f（x）的图象经过点（4，），

∴，即22α=2﹣1，

∴2α=﹣1，解得，

∴f（x）=，

∴f（）===2，

∴f（）=2．

故答案为：2．

考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域．

4．4

【解析】

试题分析：利用对数的运算性质变形，化为同底数后再转化为无理方程求解．

解：由log2（x﹣3）=log4（5﹣x），得

，

∴，解得：x=4．

∴方程log2（x﹣3）=log4（5﹣x）的解为：4．

故答案为：4．

考点：对数的运算性质．

5．（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）

【解析】

试题分析：分当x≥0时和当x＜0时，两种情况解答相应的不等式，综合讨论结果，可得答案．

解：当x≥0时，不等式（2﹣|x|）（2+x）＞0可化为：（2﹣x）（2+x）＞0，解得：x∈（﹣2，2），

∴x∈[0，2），

当x＜0时，不等式（2﹣|x|）（2+x）＞0可化为：（2+x）（2+x）＞0，解得：x≠﹣2，

∴x∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，0），

综上所述，等式（2﹣|x|）（2+x）＞0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）．

故答案为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，2）

考点：其他不等式的解法．

6．arccos

【解析】

试题分析：利用向量的夹角公式，即可得出结论．

解：由题意，cosθ=||=，

∴θ=arccos．

故答案为：arccos．

考点：两直线的夹角与到角问题；反三角函数的运用．

7．2

【解析】

试题分析：求出圆心到直线的距离，利用勾股定理，即可求出|AB|

解：圆心为（0，0），半径为，

圆心到直线l：x+的距离为d==1，

故|AB|=2=2．

故答案为：2．

考点：直线与圆的位置关系．

8．﹣

【解析】

试题分析：由条件利用两角和的正切公式求得tanα的值、再利用同角三角函数的基本关系求得cosα的值．

解：∵α∈（0，π），且tan（）==，∴tanα=﹣=，

再根据sin2α+cos2α=1，cosα＜0，求得cosα=﹣．

考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．

9．

【解析】

试题分析：利用等比数列前n项和公式求出首项及公比，由此能求出等比数列的前n项和的极限．

解：∵无穷等比数列{a n}的前n项和为S n，若S3=6，S6=3，

∴，解得，q=﹣，

∴S n=，

∴===．

故答案为：．

考点：等比数列的前n项和．

10．（0，1）

【解析】

试题分析：先构造两函数y1=kx，y2=|x﹣1|，问题等价为y1和y2的图象有两个交点，再数形结合得出k的范围．

解：令f（x）=0得，kx=|x﹣1|，

设y1=kx，y2=|x﹣1|，画出这两个函数的图象，

如右图，紫色曲线为y2的图象，蓝线为y1的图象，

且y1的图象恒过原点，

要使f（x）有两个零点，则y1和y2的图象有两个交点，

当k=1时，y1=x（红线）与y2图象的右侧（x＞1）平行，

此时，两图象只有一个交点，

因此，要使y1和y2的图象有两个交点，则0＜k＜1，

故答案为：（0，1）．

考点：根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理．

11．20

【解析】

试题分析：由S△ABC=bcsinA=bcsin60°=10，可解得bc=40，由余弦定理知：a2=b2+c2﹣2bccosA，从而解得b2+c2=89，从而（b+c）2=b2+c2+2bc=169，从而解得b+c=13，即可求得周长．

解：∵S△ABC=bcsinA=bcsin60°=10，

∴bc=40，

由余弦定理知：a2=b2+c2﹣2bccosA，从而有49=b2+c2﹣bc，解得b2+c2=89，

∴（b+c）2=b2+c2+2bc=89+80=169，从而解得b+c=13．

∴△ABC的周长为：13+7=20．

故答案为：20．

考点：余弦定理的应用；正弦定理．

12．﹣1

【解析】

试题分析：根据函数奇偶性的性质求出函数的周期，利用周期性和奇偶性进行转化即可．解：偶函数f（x）的定义域为R，若f（x+2）为奇函数，

∴f（﹣x+2）=﹣f（x+2）=f（x﹣2），

即﹣f（x+4）=f（x），

则f（x+4）=﹣f（x），f（x+8）=﹣f（x+4）=f（x），

即函数的周期是8的周期函数，

则f（100）=f（4）=﹣f（0）=0，

f（101）=f（5）=﹣f（1）=﹣1，

∴f（100）+f（101）=﹣1，

故答案为：﹣1．

考点：函数奇偶性的性质．

13．大于等于11的奇数

【解析】

试题分析：设等比数列{a n}的公比为q≠1，由S4、S2、S3成等差数列，可得2S2=S4+S3，化为2a3+a4=0，又a2+a3+a4=﹣18，联立解得，由于S n≥2016，化为﹣（﹣2）n≥2015，对n分类讨论即可得出．

解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S4、S2、S3成等差数列，∴2S2=S4+S3，∴2a3+a4=0，又a2+a3+a4=﹣18，

∴，解得，

∵S n≥2016，∴≥2016，化为﹣（﹣2）n≥2015，

当n为偶数时，不成立，舍去．

当n为奇数时，化为2n≥2015，解得：n≥11．

∴n的取值范围为大于等于11的奇数．

故答案为：大于等于11的奇数．

考点：等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．

14．①②④

【解析】

试题分析：直接利用定义判断①②；利用新定义分类求出各式的值，作和后加以判断③；由题意先求[x]，再求x[x]，然后再求[x[x]]，得到a n，进而得到，用基本不等式求解的最小值判断④．

解：对于①，由[x]表示不超过x的最大整数，则对任意的实数x，都有x﹣1＜[x]≤x，命题①正确；

对于②，记x=[x]+{x}（0≤{x}＜1），y=[y]+{y}（0≤{y}＜1），

则[x+y]=[[x]+{x}+[y]+{y}]≥[x]+[y]，故②正确；

对于③，∵lg1=0，lg10=1，lg100=2，lg1000=3．

∴[lg1]=[lg2]=[lg3]=[lg4]=…=[lg9]=0，

[lg10]=[lg11]=…=[lg99]=1，

[lg100]=[lg102]=…=[lg999]=2，

[lg1000]=[lg1001]=…=[lg2015]=3，

∴[lg1]+[lg2]+[lg3]+[lg4]+…+[lg2015]=90+90×2+1016×3=4938，命题③错误； 对于④，根据题意：[x]=，

∴x[x ]=．

∴[x[x ]]在各区间中的元素个数是：1，1，2，3，…，n ﹣1．

∴a n =，则

， ∴当n=10时，最小值为

，命题④正确． 故答案为：①②④．

考点：命题的真假判断与应用．

15．A

【分析】

利用887a S S =-求解即可.

【详解】

因为数列｛｝的前n 项和n s =2

n ， 所以878644915a S S =-=-=，

故选：A.

【点睛】

本题主要考查本题主要考查数列的通项公式与前n 项和公式之间的关系，属于中档题. 已知

数列前n 项和，求数列通项公式，常用公式11,1,2

n n n S n a S S n -=?=?-≥?.

16．C

【分析】

先判断当3a =成立是否能推出两条直线平行；再判断当两条直线平行时，一定有3a =成立，利用充要条件的定义得到结论．

【详解】

解：当3a =时，两条直线的方程分别是3290x y ++=和3240x y ++=，此时两条直线平行成立 反之，当两条直线平行时，有321a a -=-但3721

a a a --≠-即3a =或2a =-， 2a =-时，两条直线都为30x y -+=，重合，舍去

3a ∴=

所以“3a =”是“直线220ax y a ++=和直线3(1)70x a y a +--+=平行”的充要条件． 故选：C ．

【点睛】

本题考查充分条件、必要条件的判定、两直线平行的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．

17．D

【解析】

试题分析：利用三角函数的最值，求出自变量x 1，x 2的值，然后判断选项即可．

解：因为将函数f （x ）=sin2x 的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x 1﹣x 2|min =

， 不妨x 1=

，x 2=，即g （x ）在x 2=，取得最小值，sin （2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=

，不合题意， x 1=，x 2=，即g （x ）在x 2=，取得最大值，sin （2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．

故选：D ．

考点：函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换．

18．D

【分析】

依题意可得到()()()123f x f x f x +>对任意的1x 、2x 、3x R ∈恒成立，将函数()y f x =的解析式用分离常数法变形，根据函数的单调性求出函数的值域，然后讨论m 转化为()()12f x f x +的最小值与()3f x 的最大值的不等式，进而求出实数m 的取值范围.

【详解】

由题意可得，()()()123f x f x f x +>对任意的1x 、2x 、3x R ∈恒成立，

()()1111111

x x x x x e m e m m f x e e e ++-+-===++++. 当1m 时，函数()y f x =是R 上的减函数，该函数的值域为()1,m ，

故()()122f x f x +>，()3f x m <，2m ∴≤，此时，12m <≤.

当1m =时，()1f x =，则()()()123f x f x f x +>对任意的1x 、2x 、3x R ∈恒成立； 当1m <时，函数()y f x =是R 上的增函数，该函数的值域为(),1m ，

故()()122f x f x m +>，()31f x <，21m ∴≥，则12m ≥

.，此时，112m ≤<； 综上所述，实数m 的取值范围是1,22

??????

. 故选：D.

【点睛】

本题考查了求参数的取值范围，以及构成三角形的条件和利用函数的单调性求函数的值域，同时也考查了分类讨论的思想，属于难题.

19．（1）a n =2n ﹣1；

（2）﹣25．

【解析】

试题分析：（1）公差不为零的等差数列前n 项和公式、通项公式及等比数列的性质，列出方程组，求出a 1=1，d=2，由此能求出数列{a n }的通项公式．

（2）由b n =a n ﹣10=2n ﹣11，得到数列{b n }是首项为﹣9，公差为2的等差数列，求出数列{b n }

的前n项和T n，利用配方法能求出结果．

解：（1）∵公差不为零的等差数列{a n}中，a1、a2、a5成等比数列，

且该数列的前10项和为100，

∴，

∴解得a1=1，d=2，

∴a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．

（2）∵b n=a n﹣10=2n﹣11，

∴=2﹣11=﹣9，b n﹣b n﹣1=（2n﹣11）﹣[2（n﹣1）﹣11]=2，

∴数列{b n}是首项为﹣9，公差为2的等差数列，

T n==n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25．

∴当n=5时，数列{b n}的前n项和T n的最小值为﹣25．

考点：数列的求和．

20．（1）；

（2）见解析．

【解析】

试题分析：（1）将f（x）化简成分段函数，讨论f（x）的单调性，求出最小值；（2）将f（x）化简成分段函数，对a进行讨论，得出结论．

解：（1）a=1时，f（x）=，

∴f（x）在（﹣∞，）上是减函数，在[，1）上是增函数，在[1，+∞）上是增函数．∴f min（x）=f（）=．

（2）f（x）=，

①若a＞0，当x≥a时，﹣x≤﹣a＜0，

f（x）=x2+x﹣a，f（﹣x）=x2+x+a，∴f（﹣x）≠±f（x）．

∴f（x）为非奇非偶函数．

②若a＜0，当x＜a时，﹣x＞﹣a＞0，

f（x）=x2﹣x+a，f（﹣x）=x2﹣x﹣a，∴f（﹣x）≠±f（x）．

∴f（x）为非奇非偶函数．

③若a=0，当x≥0时，f（x）=x2+x，f（﹣x）=x2+x，∴f（x）=f（﹣x），

当x＜0时，f（x）=x2﹣x，f（﹣x）=x2﹣x，∴f（x）=f（﹣x）．

∴f（x）是偶函数．

综上，当a=0时，f（x）是偶函数，

当a≠0时，f（x）为非奇非偶函数．

考点：二次函数的性质；函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的判断．

21．（1）f（x）=2sin（x+）+1∈[0，3]；

（2）

【解析】

试题分析：（1）利用平面向量数量积的运算，两角和与差的正弦函数可得f（x）=2sin（x+）+1，由x，可得：x+∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可求得f（x）的值域．

（2）由f（α）=，解得：sin（α+）=，可求范围α+∈（﹣，），可求cos（α+），利用二倍角的正弦函数公式即可求值．

解：（1）∵=（cos2，sinx），=（2，1），

∴f（x）==2cos2+sinx=1+cosx+sinx=2sin（x+）+1，

∵x，可得：x+∈[﹣，]，

∴sin（x+）∈[﹣，1]，可得：f（x）=2sin（x+）+1∈[0，3]．

（2）∵f（α）=2sin（α+）+1=，

∴解得：sin（α+）=，

∵﹣，α+∈（﹣，），

∴cos（α+）==，

∴sin（2）=sin[2（α+）]=2sin（α+）cos（α+）=2×=．考点：两角和与差的正弦函数；平面向量数量积的运算．

22．（1）定义域D=（﹣1，0]，值域A=[，0]；（2）t≤；（3）t≥1

【详解】

（1）解不等式得：x∈（﹣1，0]，

故二次函数f（x）=x2+x的定义域D=（﹣1，0]，

∵二次函数f（x）=x2+x的图象是开口朝上，且以直线x=﹣为对称轴的抛物线，

故二次函数f（x）=x2+x在x=﹣时，取最小值，当x=0时，取最大值0，

故二次函数f（x）=x2+x的值域A=[，0]；

（2）∵函数g（x）=x3﹣3tx+，

∴g′（x）=3x2﹣3t，

当t＜0时，g′（x）≥0恒成立，

g（x）=x3﹣3tx+，x∈[0，1]为增函数，

此时B=[，]，

若A?B，

则，

解得：t≤；

（3）若函数g（x）=x3﹣3tx+在定义域[0，1]上单调递减，

则g′（x）=3x2﹣3t≤0在[0，1]上恒成立，

即t≥x2，x∈[0，1]恒成立，

解得：t≥1

23．（1）+=1；

（2）见解析．

（3）3

【解析】

试题分析：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，由离心率公式可得a，进而得到b，即有椭圆方程，

（2）设直线PQ：y=k（x﹣2），代入椭圆方程，运用判别式大于0和韦达定理，结合直线的斜率公式，化简整理可得k1+k2为定值；

（3）△P1P2F的面积S=|PF|?|y1﹣y2|，由直线方程和韦达定理代入化简，再由换元法和二次函数的最值求法，即可得到最大值．

解：（1）设椭圆方程为+=1（a＞b＞0），

由题意可得c=2，e==，又c2=a2﹣b2，

解得c=2，a=4，b=2，

即椭圆方程为+=1；

（2）证明：设直线P1P2：y=k（x+8），

代入椭圆方程可得（3+4k2）x2+64k2x+256k2﹣48=0，

由△=642k4﹣4（3+4k2）（256k2﹣48）＞0，即有

设P1（x1，y1），P2（x2，y2），

x1+x2=﹣，x1x2=，

即有k1+k2=+=+=k?，将韦达定理代入上式，可得

2x1x2+10（x1+x2）+32=﹣+32=0，

则k1+k2=0；

（2）△P1P2F面积S=|PF|?|y1﹣y2|

=3|k|?|x1﹣x2|=3|k|?=3|k|?

=72?，

设t=3+4k2（3＜t＜4），

则S=72?=36=36，

当=即t=即k=±时，取得最大值，且为3．

则△P1P2F面积的最大值为3．

考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．