第1章 习题解答

第1章信号与系统分析导论习题详解1-1 试指出下列各信号类型。

tt(a)(b)kt(c)(d)k(e) (f)题1-1图【解】 可以从不同的角度对信号进行分类，主要分为确定信号与随机信号、连续信号与离散信号、周期信号与非周期信号、能量信号与功率信号等。

(a) 信号是个确定、连续、周期信号、功率信号（周期信号和直流信号为功率信号）。

(b) 信号是确定、连续、非周期信号、能量信号。

(c) 信号是确定、离散、非周期、能量信号 (d) 信号是确定、连续、非周期、能量信号(e) 信号是随机、离散、非周期、功率信号（随机信号为功率信号）。

(f) 信号是随机、连续、非周期、功率信号。

1-2 给定一个连续时间信号为其他11 0||1)(≤≤⎩⎨⎧−=t -t t f 分别画出以0.25s 和0.5s 的取样间隔对f (t )均匀取样所得离散时间序列的波形。

【解】信号可以是连续的或者是离散的，有的离散信号本身就是离散的，有的离散信号是连续信号经过抽样得到的。

=][k f kTt t f =)(][kT f =，T 是抽样间隔。

若，s T 25.01==][1k f 0.25()t kf t =2 信号与系统学习指导及习题详解所以 =][1k f }4,3,2,1,0,1,2,3,4;0,25.0,5.0,75.0,1,75.0,5.0,25.0,0{−−−−=k 。

若，20.50T s ==][2k f 0.5()t k f t =，所以 =][2k f }2,1,0,1,2;0,5.0,,1,5.0,0{−−=k 。

f (t )，f 1[k ]， f 2[k ]的波形如图1-1所示。

tkk图1-1 题1-2解答图1-3 设f 1(t )和f 2(t )是基本周期分别为T 1和T 2的周期信号。

证明)()()(21t f t f t f +=是周期为T 的周期信号的条件为(m 、n 为正整数) T nT mT ==21 【解】证：设)()()(21t f t f t f +=的周期为T ，则存在)()()(21T t f T t f T t f +++=+)()()(21t f t f t f +==而 12112()()()()2f t f t f t mT f t nT +=+++， 所以有12mT nT T ==1-4 设f 1[k ]和f 2[k ]是基本周期分别为N 1和N 2的周期序列。

证明][][][21k f k f k f +=是周期为N 的周期序列的条件为(m 、n 为正整数) N nN mN ==21 【解】证：设12[][][]f k f k f k =+的周期为N ，则存在12[][][]f k N f k N f k N +=+++12[][][]f k f k f k ==+ 而 12112[][][)[)2f k f k f k mN f k nN +=+++， 所以有12mN nN N ==1-5 试判断下列信号是否是周期信号。

若是，确定其周期。

(1) t t t f π+=sin 62sin 3)( (2) 2)sin ()(t a t f =(3) ⎟⎠⎞⎜⎝⎛π+=42cos )(t t f (4) 0,2cos )(≥π=t t t f(5)(6) ])4/[(][π−=k j ek f ()2[]cos π/8f k k =(7) ()()[]cos /2cos π/4f k k k = (8) ()()()[]cos π/4sin π/82cos π/2f k k k k =+− 【解】(1) 信号的周期为t 2sin 1πT =，信号t πsin 的周期为22=T ，根据题1-3的结论，没有一个数既是有理数又是无理数，所以 t t t f π+=sin 62sin 3)(为非周期信号。

第1章 信号与系统分析导论 3(2)2)sin ()(t a t f =)2cos 1(22t a −=，是周期信号，且周期T =π。

(3) 正余弦信号的相位不影响其周期性，所以信号是周期信号，且周期T =π。

(4)0,2cos )(≥π=t t t f 周期信号必须在区间()t −∞<<+∞上满足()()f t f t T =+，所以此信号为非周期信号。

(5) 如果离散的虚指数和正弦信号是周期的，则有02mNπΩ=，M 、N 是整数。

由于，4/10=Ωππ8120=Ω是个无理数，所以此信号是非周期信号。

(6) ()2[]cos π/8f k k =(1cos π/42k =+)，此时0π/4Ω=，012π8Ω=， 所以信号是周期信号，且周期N =8。

(7) ()()[]cos /2cos π/4f k k k =()()11cos π/41/2cos π/41/222k k =++−由于信号()cos π/41/2k +和()cos π/41/2k −都是非周期信号，故是非周期信号。

][k f (8) 信号是三个周期信号之和，三个信号周期分别为 N ][k f 1=8，N 2=16，N 3=4，所以信号是周期信号，且周期N =16。

][k f1-6 已知复指数信号，其角频率为ωtj e t f 0)(ω=0，基本周期为02π/T ω=。

如果对f (t )以取样间隔T s 进行均匀取样，得到离散时间序列，试求出使f [k ]为周期信号的取样间隔T skT j s ekT f k f 0)(][ω==s 。

【解】 连续周期的虚指数信号经过等间隔取样得到的离散虚指数信号不一定是周期的，若为周期离散信号，则取样间隔T s 必须满足一定的条件。

假设虚指数信号是周期的，则存在s kTj s e kT f k f 0)(][ω==02πm NΩ=（M ，N 是整数）。

由于s T 00ω=Ω，所以有02πs T m N ω=，可得02πs m T N ω=NmT=。

1-7 已知正弦信号 t t f 20sin )(=，()t −∞<<+∞(1) 对f (t )等间隔取样，求出使f [k ] = f (kT s )为周期序列的取样间隔T s 。

(2) 如果T s = 0.15π，求出f [k ] =f (kT s )的基本周期。

【解】(1) 正弦信号与虚指数信号是同类信号，利用题1-6的结论可得f [k ] = f (kT s ) ，如果f [k ]是周期的，则s kT 20sin =02πs m T N ω=π10m N =。

(2) 如果T s = 0.15π，则有π0.1510m N π=，即 Nm =23，由于2，3不可约， 故T s = 0.15π时对应的离散正弦信号的基本周期为N =2。

1-8 试判断下列信号中哪些为能量信号，哪那些为功率信号，或者都不是。

4 信号与系统学习指导及习题详解)2sin(5)()1(θ−=t t ft e t f 25)()2(−=)0(10)()3(≥=t t t f (4)0)5.0(][≥−=k k f k (5) (6)01][≥=k k f 0][2≥=k ek f kj【解】 如果信号归一化能量∞<W ，归一化功率0=P ，则信号为能量信号；若信号归一化能量，归一化功率，则信号为功率信号。

信号不可能既是能量信号又是功率信号，但可以既不是能量信号又不是功率信号。

∞→W 0P <<+∞)2sin(5)()1(θ−=t t f归一化功率：dt t f T P T 20)(1∫=，πT =dt t 20))2sin(5(1θππ−=∫∞<=5.12归一化能量：)(lim PT W T ∞→=∞→所以信号为功率信号。

一般周期信号和直流信号为功率信号。

t e t f 25)()2(−= 归一化能量：dt eW t225∫∞∞−−=∞→归一化功率：2221lim ()T T T P f t dt ∞→T →∞−=∫，所以信号既不是能量信号又不是功率信号。

)0(10)()3(≥=t t t f归一化能量：dt t W 2)10(∫∞=∞→归一化功率：201lim (10)T P t d ∞→t T ∞→∞=∫，所以信号既不是能量信号又不是功率信号。

(4)0)5.0(][≥−=k k f k归一化能量：∑∑∞=∞−∞==−==2234)5.0(][k k k k f W 归一化功率：1lim 21N P W N →∞=+0=所以信号为能量信号。

(5)01][≥=k k f 归一化能量：[[∑∑∞=∞−∞=∞===21][k k k f W 归一化功率：201lim []21NN k P f N →∞==+∑k 21=所以信号为功率信号。

第1章 信号与系统分析导论 5(6)0][2≥=k ek f kj 归一化能量：[[∑∑∞=∞−∞=∞===21][k k k f W 归一化功率：201lim []21N N k P f k N →∞==+∑01lim 121N N k N →∞==+∑21= 所以信号为功率信号。

1-9 判断下列系统是否为线性系统，其中、为系统的完全响应，为系统初始状态，、为系统输入激励。

)(t y ][k y )0(x )(t f ][k f (1) tt f t f x t y d )(d )()0()(⋅+= (2))(lg )0()(t f x t y = (3) (4)ττd )()0(lg )(0f x t y t∫+=)(3)0()(2t f t x t y +=(5))(5sin )0()(t f t x t y += (6)]1[][)0(][−⋅+=k f k f x k y (7) ][)1()0()1(][k f k x k k y −+−= (8))2,1,0(][)0(][202L =+=∑+=k i f kx k y k i 【解】 在判断具有初始状态的系统是否线性时，应从三个方面来判断。

一是可分解性，即系统的输出响应可分解为零输入响应与零状态响应之和。

二是零输入线性，系统的零输入响应必须对所有的初始状态呈现线性特性。

三是零状态线性，系统的零状态响应必须对所有的输入信号呈现线性特性。

只有这三个条件都符合，该系统才为线性系统。

(1) 具有可分解性，零输入响应是线性的，但零状态响应)(t y )0(x tt f t f d )(d )(⋅是非线性的， 所以系统为非线性系统。

(2) 不具有可分解性，所以系统是非线性系统。

)(t y (3) 具有可分解性，零状态是线性的，但零输入响应是非线性的，)(t y ττd )(0f t∫)0(lg x 所以系统为非线性系统。

(4) 具有可分解性，零输入响应是线性的，零状态响应也是线性的，)(t y )0(x )(32t f t 所以系统是线性系统。