北京四中初二分式及其性质周末练习)
2023~2024学年北京市八年级上期末数学分类——分式(原卷版)
2023~2024学年北京市八年级上期末数学分类——分式一．科学记数法—表示较小的数（共5小题）1．（2023秋•朝阳区期末）2023年5月20日是第24个世界计量日，在湖北省武汉市举办了世界计量日中国主场活动，会上发布了四个国际单位制新词头的中文名称：容、柔、昆、亏．容表示的数值为1027，柔表示的数值为10﹣27，昆表示的数值为1030，亏表示的数值为10﹣30．一个电子的质量约为9.1×10﹣28克，可以表示为（）A．91柔克B．0.91柔克C．91亏克D．0.091亏克2．（2023秋•东城区期末）在2023年中国国际智能汽车展览会上，吉利控股集团正式宣布中国首款7纳米车规级SoC芯片“龙鹰一号”的量产和供货.7纳米＝0.000000007米，0.000000007用科学记数法表示应为（）A．7×10﹣9B．7×109C．7×10﹣8D．7×1083．（2023秋•海淀区期末）杭州亚运会主火炬以零碳甲醇作为燃料，在亚运史上首次实现废碳再生、循环内零碳排放．甲醇的密度很小，1cm3甲醇的质量约为0.00079kg，将0.00079用科学记数法表示应为（）A．79×10﹣4B．7.9×10﹣4C．79×10﹣5D．0.79×10﹣34．（2023秋•丰台区期末）北斗卫星导航系统是中国自行研制的全球卫星导航系统，授时精度优于0.00000001秒，0.00000001用科学记数法可表示为（）A．0.1×10﹣7B．1×10﹣8C．1×10﹣7D．0.1×10﹣85．（2023秋•大兴区期末）将0.00008用科学记数法表示应为（）A．0.8×10﹣4B．8×10﹣4C．80×10﹣4D．8×10﹣5二．分式有意义的条件（共5小题）6．（2023秋•丰台区期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（）A．x≠2B．x≠0C．x＝0D．x＝27．（2023秋•西城区期末）若分式有意义，则x的取值范围是．8．（2023秋•东城区期末）若分式有意义，则实数x的取值范围是．9．（2023秋•海淀区期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2023秋•大兴区期末）若分式有意义，则x的取值范围是．三．分式的值为零的条件（共3小题）11．（2023秋•大兴区期末）若分式的值为0，则x的值为（）A．1B．﹣1C．0D．±112．（2023秋•朝阳区期末）当x＝时，分式的值为0．13．（2023秋•丰台区期末）若分式的值为0，则x的值为．四．分式的值（共2小题）14．（2023秋•朝阳区期末）若分式的值为整数，则x的整数值为．15．（2023秋•丰台区期末）已知x﹣2y﹣3＝0．求代数式的值．五．分式的基本性质（共2小题）16．（2023秋•西城区期末）下列各式从左到右变形一定正确的是（）A．B．C．D．17．（2023秋•海淀区期末）下列各式从左到右变形正确的是（）A．B．C．D．六．分式的乘除法（共2小题）18．（2023秋•大兴区期末）计算：＝．19．（2023秋•大兴区期末）计算：＝．七．分式的混合运算（共2小题）20．（2023秋•丰台区期末）计算：．21．（2023秋•大兴区期末）计算：（a+1+）•．八．分式的化简求值（共2小题）22．（2023秋•朝阳区期末）化简，并选择一个适当的t的值代入求值．23．（2023秋•东城区期末）先化简，再求值：，其中x＝﹣1．九．解分式方程（共6小题）24．（2023秋•朝阳区期末）解分式方程：﹣＝125．（2023秋•朝阳区期末）下面是一些方程和它们的解．的解为x1＝2，；的解为x1＝3，；的解为x1＝4，；……根据上面的方程和它们的解所反映的规律，解答下面问题：（1）的解为；（2）关于x的方程的解为；（3）关于x的方程的解为．26．（2023秋•西城区期末）解方程：．27．（2023秋•东城区期末）解分式方程：．28．（2023秋•丰台区期末）解分式方程：．29．（2023秋•大兴区期末）解方程：．一十．由实际问题抽象出分式方程（共1小题）30．（2023秋•丰台区期末）甲工程队完成一项工程需n天，乙工程队要比甲工程队多用5天才能完成这项工程．若两队共同工作6天可完成这项工程，则下面列式正确的是（）A．n+（n+5）＝6B．C．D．一十一．分式方程的应用（共2小题）31．（2023秋•朝阳区期末）某项研究表明在智能手机上输入短信或其他文字信息时，使用语音输入的速度约为键盘输入速度的3倍，该研究的测试者在手机上输入300个单词，使用语音输入比键盘输入平均快2.5分钟，求测试者使用语音输入平均每分钟输入多少个单词．32．（2023秋•大兴区期末）小月是学校图书馆A书库的志愿者，小杰是学校图书馆B书库的志愿者，他们各自负责本书库的整理工作．6月5日，图书馆A书库有120册图书需整理，而B书库有80册图书需整理，小月每小时整理图书的数量是小杰每小时整理图书数量的1.2倍，他们同时开始工作，结果小杰比小月提前15分钟完成工作．求小月和小杰每小时分别可以整理多少册图书．。
北京四中初二数学第一学期期末几何总复习周末练习
初二数学第一学期期末几何总复习周末练习编稿：白真审稿：范兴亚责编：高伟几何总复习基础达标填空题1．在△ABC中，∠ACB=90°，D、E为AB上的二点，且AE=AC，BD=BC，如图1，则∠DCE的度数是_____．2．在△ABC中，AB=AC，D在BC上，∠BAD=30°，在AC上取AE=AD，则∠EDC的度数是________．3．已知直角三角形的周长为，斜边上的中线长为1，则这个直角三角形的面积是________．4．在等腰直角△ABC中，P为斜边上的一点，四边形EPFC是矩形，D为AB的中点，如图２，则DE 和DF的大小关系是________．证明题5．如图３，P是等边△ABC外的一点，∠APB=∠APC=60°，求证：PA=PB+PC．6．如图４，在△ABC中，AB=AC，点O在△ABC内，OB=OC，求证：AO⊥BC．能力提升填空题7．等腰三角形的各边均为正整数，周长为15，则满足条件的三角形有________个．8．三角形三边的长满足，则这个三角形的形状是________．9．等边三角形的外接圆的面积与内切圆的面积的比值为________．解答题10．如图５，AC=BC，∠C=20°，又M在AC边上，N在BC边上且满足∠BAN=50°，∠ABM=60°，求∠NMB的度数．11．如图6所示，已知在△ABC中，AB=6，AC=3，∠BAC=120°，∠BAC的平分线交BC于D，求AD 之长．证明题12．如图７，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，D是BC上的点．求证：．13．如图８，已知：△ABC中，AD平分∠BAC，交对边CB于D，且∠C=2∠B，求证：AB=AC+CD．14．如图９，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CＥ⊥AB于点E，，求证：∠ADC+∠ABC=15．如图10，AC=BC，∠ACB=90°，∠A的平分线AD交BC于点D，过点B作BE⊥AD于点E，求证：参考答案基础达标填空题1．解析：由AE=AC，得，同理由，得，又因为，所以得，所以．2．解析：由题设条件，设，所以．又因为，由此可得，所以．3．解析：设它的三边长为，且为斜边，由题设条件得，所以由得，则4．解析：连结CD，则由题设条件得，，，所以△FCD≌△EAD，故DE=DF．证明题5．解析：在PA上截取PD=PB，连结BD，可证出∠ABD=60°-∠DBC=∠CBP，BP=BD，AB=BC，所以得△ABD≌△BPC，则AD=PC，所以BP+PC=PD+DA=PA．6．解析：延长AO交BC于点D，如图１∵ AB=AC，OB=OC，OA=OA，∴△ABO≌△ACO，∴∠BAO=∠CAO，即∠BAD=∠CAD，∴ AD⊥BC，即AO⊥BC．能力提升填空题7．解析：由题意，设三边为，则有解得，∴．当时，；当时，；当，，当，；故符合条件的三角形共有4个．8．解析：或所以这个三角形是等腰三角形．9．解析：依题意画一个图，如图２，△ABC为等边三角形，点O为该三角形的中心，由等边三角形的重心、垂心、内心、外心重合可知，OD 即内切圆半径，OA即外接圆半径，．故其外接圆与内接圆的面积之比为．解答题10．解析：易证AB=BN，∠AMB=40°，如图３，作等腰△BAD，使BD=BA=BN，又∠ABD=180-2∠CAB=20°，∴∠DBN=80°-20°=60°，∴△BDN是等边三角形，BD=DN，又在△BDM中，∠DBM=∠DMB=40°，故△DMB为等腰三角形，由∠MDN=180°-∠ADB-∠BDN=40°知，DN=DM=DB．∴∠NMB=∠NMA-∠BMA=70°-40°=30°.11．解析：由于AD平分∠BAC，因此这就提供了以AD为轴进行对称变换的可能性．如图４，即AB的中点，连接，交AD于O，易知与关于AD对称，且．由于，，所以延长AC至，使，连接交AD的延长线于点E．显然△ABE和关于AE对称，且．由于OC是的中位线，所以，．因为，所以．所以，．于是证明题12．解析：过点A作BC的垂线，垂足为E，如图５，则由∠BAC=90°，AB=AC可知AE=BE=CE．由勾股定理可知，．故．13．解析：在AB上取一点E，使AE=AC，连接ED，如图６显然，△ACD≌△AED，∴∠C=∠AED，AE=AC，CD=ED，又∵∠C=2∠B，∴∠AED=2∠B，∴∠EDB=∠B，∴ EB=ED=CD，∴ AB=AE+EB=AC+CD．14．解析：过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F，如图７∵∠CAF=∠CAE，AC=AC，∴ Rt△ACF≌Rt△ACE，∴ CF=CE，AF=AE，又∵ AD+AB=2AE，AB=AE+EB，∴ EB=AE-AD，又∵ FD=AF-AD，∴ EB=FD，∴ Rt△CEB≌Rt△CFD，∴∠CBE=∠CDF，∴∠ADC+∠ABC=∠ADC+∠CDF=180°．15．解析：延长BE、AC交于点F，如图８∵∠EAF=∠EAB，AE=AE，∠AEB=∠AEF=90°，∴△AEB≌△AEF，∴，∵∠CBF=90°-∠F=∠EAC，BC=AC，∴ Rt△BCF≌Rt△ACD，∴，。
练习-初二数学周末练习13(分式的概念和性质)
分式的概念和性质1．使分式有意义的的取值范围是（）．A．B．C．D．2．某种长途电话的收费方式如下：接通电话的第一分钟收费元，之后的每一分钟收费元．如果某人打该长途电话被收费8元钱，则此人打长途电话的时间是（）．A．分钟B．分钟C．分钟D．分钟3．如果把分式中的x、y都扩大10倍，那么分式的值一定（）．A．扩大10倍B．扩大100倍C．缩小10倍D．不变4．下列各式中，正确的是（）．A．B．C．D．5．下列各式从左到右的变形正确的是（）．A．B．C．D．6．下列分式中的最简分式是（）．A．B．C．D．7．分式，，的最简公分母是（）．A．B．C．D．8．化简的结果是（）．A．B．C．D．9．若三角形的三边分别为a、b、c，且分式的值为0，则此三角形一定是（）．A．不等边三角形B．腰与底边不等的等腰三角形C．等边三角形D．直角三角形10．当___________时，分式无意义．11．若分式的值为零，则的值等于___________．12．当x___________时，分式的值为正数；当x___________时，分式的值为负数．13．若不论x取何值，分式总有意义，则m___________．14．将分式化简得，则x就需满足___________．15．当x___________时，分式的值等于．16．已知当时，分式无意义，当时，此分式的值为零，求的值．17．已知，求的值．参考答案：1．B 2．C 3．D 4．D 5．A 6．A 7．A 8．A 9．B10．11．12．；13．14．15．16．，，．17．可得，代入原式=．。
北京第四中学数学分式填空选择章末练习卷(Word版 含解析)
北京第四中学数学分式填空选择章末练习卷（Word 版 含解析）一、八年级数学分式填空题（难）1．如果关于x 的分式方程1a x +－3＝11x x -+有负分数解，且关于x 的不等式组2()43412a x x x x -≥--⎧⎪⎨+<+⎪⎩的解集为x ＜－2，那么符合条件的所有整数a 的积是_________． 【答案】9【解析】()243412a x x x x ⎧-≥--⎪⎨+<+⎪⎩①②， 由①得：x≤2a+4，由②得：x<-2，由不等式组的解集为x<-2，得到2a+4≥-2，即a≥-3，分式方程去分母得：a-3x-3=1-x ， x=42a -， 由分式方程1a x +－3＝11x x -+有负分数解，则有a-4<0，所以a<4， 所以-3≤a<4，把a=-3代入整式方程得：-3x-6=1-x ，即x=-72，符合题意； 把a=-2代入整式方程得：-3x-5=1-x ，即x=-3，不合题意； 把a=-1代入整式方程得：-3x-4=1-x ，即x=-52，符合题意； 把a=0代入整式方程得：-3x-3=1-x ，即x=-2，不合题意；把a=1代入整式方程得：-3x-2=1-x ，即x=-32，符合题意； 把a=2代入整式方程得：-3x-1=1-x ，即x=-1，不合题意；把a=3代入整式方程得：-3x=1-x ，即x=-12，符合题意， ∴符合条件的整数a 取值为-3，-1，1，3，之积为9，故选D 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．若关于x 的分式方程321x m x -=-的解是正数，则m 的取值范围为_______. 【答案】m ＞2且m ≠3【解析】 解关于x 的方程321x m x -=-得：2x m =-， ∵原方程的解是正数， ∴20210m m ->⎧⎨--≠⎩，解得：2m >且3m ≠. 故答案为：2m >且3m ≠.点睛：关于x 的方程321x m x -=-的解是正数，则字母“m ”的取值需同时满足两个条件：（1）2x m =-不能是增根，即210m --≠；（2）20x m =->.3．如果实数x 、y 满足方程组30233x y x y +=⎧⎨+=⎩，求代数式（xy x y ++2）÷1x y +． 【答案】1【解析】 解：原式=222()xy x y x y x y ++⋅++=xy +2x +2y ，方程组：30233x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得：31x y =⎧⎨=-⎩，当x =3，y =﹣1时，原式=﹣3+6﹣2=1．故答案为1．点睛：此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．计算：()()()()()()()11111122320182019x x x x x x x x ++++=+++++++________________. 【答案】()20192019x x + 【解析】【分析】利用裂项法先将每个分式化简，再将结果相加即可.【详解】∵111(1)1x x x x =-++， 111(1)(2)12x x x x =-++++111(2)(3)23x x x x =-++++ ……111(2018)(2019)20182019x x x x =-++++ ∴原式=11111111()()()()1122320182019x x x x x x x x -+-+-+⋅⋅⋅+-+++++++ =112019x x -+ =()20192019x x +. 【点睛】此题考察分式的混合运算，运用裂项法将每个分式化简是解题的关键.5．若关于x 的分式方程12x -﹣3a x -=2256x x -+无解，求a=______． 【答案】-1或2【解析】 ∵12x -﹣3a x -=2256x x -+, ∴12x -+3a x -=()223x x --（）∵方程无解，∴(x -2)(x -3)=0, ∴x =2由x =3.6．关于x 的分式方程12122a x x-+=--的解为正数，则a 的取值范围是_____． 【答案】5a <且3a ≠【解析】【分析】直接解分式方程，进而利用分式方程的解是正数得出a 的取值范围，进而结合分式方程有意义的条件分析得出答案．【详解】去分母得：122a x -+=-，解得：5x a =-，50a ->，解得：5a <，当52x a =-=时，3a =不合题意，故5a <且3a ≠．故答案为：5a <且3a ≠．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，注意分式的解是否有意义是解题关键．7．化简：224a a -﹣12a -=_____． 【答案】12a + 【解析】【分析】原式通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果． 【详解】原式=()()()()222222a a a a a a +-+-+-=()()222a a a -+- =12a +， 故答案为：12a +. 【点睛】本题考查了分式的加减法，熟练掌握分式加减法的运算法则是解本题的关键．8．已知实数a ，b ，c 满足a ＋b ＝ab ＝c ，有下列结论：①若c≠0，则＝1；②若a ＝3，则b ＋c ＝9；③若a ＝b ＝c ，则abc ＝0；④若a ，b ，c 中只有两个数相等，则a ＋b ＋c ＝8.其中正确的是____．(把所有正确结论的序号都选上)【答案】①③④【解析】试题分析：在a+b=ab 的两边同时除以ab （ab=c≠0）即可得，所以①正确；把a=3代入得3+b=3b=c ，可得b=，c=，所以b+c=6，故②错误；把 a=b=c 代入得，所以可得c=0，故③正确；当a=b 时，由a+b=ab 可得a=b=2，再代入可得c=4，所以a+b+c=8；当a=c 时，由c=a+b 可得b=0，再代入可得a=b=c=0，这与a 、b 、c 中只有两个数相等相矛盾，故a=c 这种情况不存在；当b=c 时，情况同a=c ，故b=c 这种情况也不存在，所以④正确．所以本题正确的是①③④．考点：分式的基本性质；分类讨论．9．当x 取_____时，分式1111x x x+--有意义． 【答案】x≠0且x≠±1【解析】分析：要想使分式有意义，那么分式的分母就不能为0，据此列出关于x 的不等式组，解不等式组即可求得x 的取值范围． 详解：由题意可知，只有当：0101101x x x x x x ⎧⎪⎪≠⎪⎪-≠⎨⎪+⎪-≠⎪-⎪⎩时，原分式才有意义，解得：011x x x ≠⎧⎪≠±⎨⎪≠-⎩，即当x ≠0且x ≠±1时，原分式有意义．故答案为：x ≠0且x ≠±1．点睛：本题主要考查了分式有意义的条件，要求掌握．对于任意一个分式，分母都不能为0，否则分式无意义．解此类问题，只要令分式中分母不等于0，求得字母的取值即可． 本题的难点在于，题中是一个繁分式，需一层一层分析，x 是1x的分母，所以x ≠0； x ﹣1x 是11x x x +-的分母，所以x ﹣1x ≠0；1﹣11x x x+-又是整个分式的分母，因此1﹣11xx x+-≠0．繁分式的有关知识超出初中教材大纲要求，只在竞赛中出现．10．满足222210105,4b a a b a b a b+=+=++的整数对(),a b 的组数为 _________________ ； 【答案】2【解析】【分析】将两式联立组成方程组，先将两式相减，再根据题意a 、b 均为整数，得出新的方程组求出满足条件的解，再数出满足条件的个数即可．【详解】 解：2222105104b a a b a b a b ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+=⎪+⎩①②由①－②得()22101b a a b a b--+=+ ()221010a b a b a b----=+ 去分母，并整理得()()()()()()()()222222110011011011010a b a b a b a b a b a b a b a b --+--=--+---=--+-=因为,a b 为整数，所以有22111010a b a b --=⎧⎨+-=⎩①②221-110-10a b a b --=⎧⎨+-=⎩③22110101a b a b --=⎧⎨+-=⎩④221-1010-1a b a b --=⎧⎨+-=⎩⑤2212105a b a b --=⎧⎨+-=⎩⑥221-210-5a b a b --=⎧⎨+-=⎩⑦221-510-2a b a b --=⎧⎨+-=⎩⑧2215102a b a b --=⎧⎨+-=⎩解方程组①得，42a b =⎧⎨=⎩或24a b =-⎧⎨=-⎩； 解方程组②得，0a b ；解方程组③得，此方程组无解；解方程组④得，此方程组无解；解方程组⑤得，无整数解；解方程组⑥得，12a b =⎧⎨=⎩或21a b =-⎧⎨=-⎩解方程组⑦得，22a b =-⎧⎨=⎩ 解方程组⑧得，无整数解；将求出的解代入原方程，42a b =⎧⎨=⎩或12a b =⎧⎨=⎩是原方程的解 所以满足题意的数对有(1,2)或(4,2)故答案为：2.【点睛】本题考查了分式方程的整数解的特殊解法，认真审题，弄清题意是解决本题的关键．二、八年级数学分式解答题压轴题（难）11．某开发公司生产的 960 件新产品需要精加工后，才能投放市场，现甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用20 天，而甲工厂每天加工的数量是乙工厂每天加工的数量的23，公司需付甲工厂加工费用为每天 80 元，乙工厂加工费用为每天 120 元．（1）甲、乙两个工厂每天各能加工多少件新产品？（2）公司制定产品加工方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以由两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师每天到厂进行技术指导，并负担每天 15 元的午餐补助费，请你帮公司选择一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．【答案】（1）甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品. （2）甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．见解析．【解析】【分析】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20，由等量关系列出方程求解．（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用，比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．【详解】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，则：解得：x＝16经检验，x＝16 是原分式方程的解∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品（2）方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天需要的总费用为：60×（80+15）＝5700 元方案二：乙工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷24＝40 天需要的总费用为：40×（120+15）＝5400 元方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则16a+24a＝960∴a＝24∴需要的总费用为：24×（80+120+15）＝5 160 元综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．12．阅读后解决问题：在“15.3分式方程”一课的学习中，老师提出这样的一个问题：如果关于x 的分式方程3111a x x+=--的解为正数，那么a 的取值范围是什么？ 经过交流后，形成下面两种不同的答案：小明说：解这个关于x 的分式方程，得到方程的解为x=a ﹣2．因为解是正数，可得a ﹣2＞0，所以a ＞2．小强说：本题还要必须a≠3，所以a 取值范围是a ＞2且a≠3．（1）小明与小强谁说的对，为什么？（2）关于x 的方程11222mx x x-+=--有整数解，求整数m 的值． 【答案】（1）小强的说法对，理由见解析；（2）m=3，4，0．【解析】【分析】 (1)先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得x =a ﹣2,根据分式方程有解和解是正数可得:x ＞0且x ≠1, 即a ﹣2＞0, a ﹣2≠1,即可求解,(2) 先根据解分式方程的步骤和解法解分式方程可得（m ﹣2）x =﹣2, 当m ≠2时,解得:x =﹣22m -,根据分式方程有整数解可得: m ﹣2=±1,m ﹣2=±2,继而求m 的值. 【详解】解:（1）小强的说法对,理由如下:解这个关于x 的分式方程,得到方程的解为x =a ﹣2,因为解是正数,可得a ﹣2＞0,即a ＞2,同时a ﹣2≠1,即a ≠3,则a 的范围是a ＞2且a≠3,（2）去分母得：mx ﹣1﹣1=2x ﹣4,整理得:（m ﹣2）x =﹣2,当m ≠2时,解得: x =﹣22m -,由方程有整数解,得到m ﹣2=±1,m ﹣2=±2,解得:m =3,4,0.【点睛】本题主要考查分式方程解是正数和解是整数问题,解决本题的关键是要熟练掌握解分式方程的解法.13．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：?1322x x+=--. （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；x=，原分式方程无解”，请（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是2你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？x=;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.【答案】（1）0【解析】【分析】（1）“？”当成5，解分式方程即可，（2）方程有增根是去分母时产生的，故先去分母，再将x=2代入即可解答.【详解】x-得（1）方程两边同时乘以()2()5321+-=-xx=解得0x=是原分式方程的解.经检验，0（2）设？为m，x-得方程两边同时乘以()2()m x+-=-321x=是原分式方程的增根，由于2x=代入上面的等式得所以把2()m+-=-3221m=-1所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.【点睛】本题考查了分式方程解法和增根的定义及应用.增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．14．“节能环保，绿色出行”意识的增强，越来越多的人喜欢骑自行车出行，也给自行车商家带来商机．某自行车行经营的A型自行车去年销售总额为8万元．今年该型自行车每辆售价预计比去年降低200元．若该型车的销售数量与去年相同，那么今年的销售总额将比去年减少10%，求：（1）A型自行车去年每辆售价多少元；（2）该车行今年计划新进一批A型车和新款B型车共60辆，且B型车的进货数量不超过A型车数量的两倍．已知，A型车和B型车的进货价格分别为1500元和1800元，计划B 型车销售价格为2400元，应如何组织进货才能使这批自行车销售获利最多．【答案】(1) 2000元；（2） A型车20辆，B型车40辆．【解析】【分析】（1）设去年A型车每辆售价x元，则今年售价每辆为（x﹣200）元，由卖出的数量相同列出方程求解即可；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由条件表示出y 与a 之间的关系式，由a 的取值范围就可以求出y 的最大值．【详解】解：（1）设去年A 型车每辆售价x 元，则今年售价每辆为（x ﹣200）元，由题意，得 8000080000(110%)200x x -=-， 解得：x=2000．经检验，x=2000是原方程的根．答：去年A 型车每辆售价为2000元；（2）设今年新进A 型车a 辆，则B 型车（60﹣a ）辆，获利y 元，由题意，得y=a+（60﹣a ），y=﹣300a+36000．∵B 型车的进货数量不超过A 型车数量的两倍，∴60﹣a≤2a ，∴a≥20．∵y=﹣300a+36000．∴k=﹣300＜0，∴y 随a 的增大而减小．∴a=20时，y 最大=30000元．∴B 型车的数量为：60﹣20=40辆．∴当新进A 型车20辆，B 型车40辆时，这批车获利最大．【点睛】本题考查分式方程的应用；一元一次不等式的应用．15．某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书．施工一天，需付甲工程队工程款2.4万元，乙工程队工程款1万元．工程领导小组根据甲，乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用12天；（3）若甲，乙两队合做6天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成．试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由．【答案】在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．【解析】【分析】关键描述语为：“甲，乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成”；说明甲队实际工作了3天，乙队工作了x 天完成任务，工作量=工作时间×工作效率等量关系为：甲3天的工作量+乙规定日期的工作量=1列方程．再看费用情况：方案（1）、（3）不耽误工期，符合要求，可以求费用，方案（2）显然不符合要求．【详解】解：设规定日期为x 天．由题意得66611212x x x x -++=++， ∴6112x x x +=+， ∴2267212x x x x ++=+，∴12x =；经检验：x=12是原方程的根．方案（1）：2.4×12=28.8（万元）；方案（2）比规定日期多用12天，显然不符合要求；方案（3）：2.4×6+1×12=26.4（万元）．∵28.8＞26.4，∴在不耽误工期的前提下，选第三种施工方案最节省工程款．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键．在既有工程任务，又有工程费用的情况下．先考虑完成工程任务，再考虑工程费用．。
北京市第四中学八年级数学上册 15.3 分式方程练习题1 (新版)新人教版
分式方程【巩固练习】一.选择题1．下列关于x 的方程中，不是分式方程的是（ ）A ．11=+x xB ．4132=+x xC ．52433=+x xD ．6516-=x x 2．解分式方程12112-=-x x ，可得结果( )． A.1x = B.1x =- C.3x = D.无解3．要使54--x x 的值和xx --424的值互为倒数，则x 的值为( )． A.0 B.－1 C.21 D.1 4．已知4321--=+-y y x x ，若用含x 的代数式表示y ，则以下结果正确的是( )． A.310+=x y B.2y x =+ C.310x y -= D.72y x =--5．若关于x 的方程xk x --=-1113有增根，则k 的值为( )． A.3 B.1 C.0 D.－16．完成某项工作，甲独做需a 小时，乙独做需b 小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是( )．A.)(54b a +小时 B.)11(54b a +小时 C.)(54b a ab +小时 D.b a ab +小时 二.填空题7. 当x ＝______时，分式3x 与26x-的值互为相反数． 8．仓库贮存水果a 吨，原计划每天供应市场m 吨，若每天多供应2吨，则要少供应______天．9．x ＝______时，两分式44-x 与13-x 的值相等． 10．当a ＝______时，关于x 的方程4532=-+x a ax 的根是1． 11．若方程114112=---+x x x 有增根，则增根是______． 12．关于x 的方程11=+x a 的解是负数，则a 的取值范围为____________．三.解答题13. 解下列分式方程：（1）11322x x x -=---；（2）257233212x x x x x -=+-+--；（3）2210121x x x x -+=-+-．14. 甲、乙两地相距50km ，A 骑自行车，B 乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B 中途休息了0.5小时还比A 早到2小时，求自行车和汽车的速度．15.有一个两位数，它的个位数字比十位数字大1，这个两位数被个位数字除时，商是8，余数是2，求这个两位数．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】C 选项中分母不含有未知数，故不是分式方程.2. 【答案】D ；【解析】1x =是原方程的增根.3. 【答案】B ；【解析】由题意442154x x x x --⨯=--，化简得：2415x x -=-解得1x =-. 4. 【答案】C ；【解析】由题意()()()()1423x y x y --=+-，化简得：310y x =-，所以选C.5. 【答案】A ；【解析】将1x =代入31x k =-+，得3k =.6. 【答案】C ；【解析】由题意4114()55ab a b a b÷+=⨯+，所以选C.二.填空题7. 【答案】18； 【解析】3206x x+=-，解得18x =. 8. 【答案】222a m m+； 【解析】原计划能供应a m 天，现在能供应2a m +天，则少供应222a m m +天. 9. 【答案】－8；【解析】4341x x =--，解得8x =-. 10.【答案】173-；【解析】将1x =代入原方程，得85512a a +=-，解得173a =-. 11.【答案】1x =；【解析】原方程化为：()22141x x +-=-，解得1x =，经检验1x =是增根.12.【答案】1a <且a ≠0；【解析】原方程化为110a x x a =+=-<，，解得1a <.x ≠-1，解得a ≠0.三.解答题13.【解析】解：(1)方程的两边都乘2x -，得113(2)x x =---．解这个整式方程，得x ＝2．检验：当x ＝2时，x －2＝0，所以2是增根，所以原方程无解．(2)方程两边同乘(2)(1)x x --约去分母，得572(2)3(1)x x x -=-+-． 整理，得5757x x -=-．这个式子为恒等式.检验：当1x =，2x =时，(2)(1)0x x --=，所以1x =和2x =是增根．因此，原方程的解是1x ≠且2x ≠的任何实数．(3)方程两边同乘(2)(1)(1)x x x ++-，得(2)2(1)(1)(2)(1)0x x x x x x +-+-+++=．解此方程，得45x =-．检验：把45x =-代入(2)(1)(1)x x x ++-得4442110555⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+⨯-+⨯--≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以原方程的解是45x =-．14.【解析】解：设自行车的速度为/xkm h ，汽车的速度为2.5/xkm h ，由题意，50500.522.5x x =++，解方程得：12550 6.25x =+12x =经检验，12x =是原方程的根，2.530x =.所以自行车的速度为12/km h ，汽车的速度是30/km h . 答：自行车的速度为12/km h ，汽车的速度是30/km h .15.【解析】解：设十位上的数字为x ，则个位上的数字为1x +，则：10(1)281x xx++-=+．解方程得：3x=．经检验：3x=是原方程的根．所以个位上的数字为：1x+＝3＋1＝4．所以这个两位数是：3×10＋4＝34．答：这个两位数是34．。
练习-初二数学周末练习1(分式方程)
初二数学周末练习1(分式方程)
周末练习
1.方程的根是( )
A．x=0B．x=1C．x=-1D．x=2
2.某工厂计划天内生产120件零件，由于采用新技术，每天增加生产3件，因此提前2天完成计划，则可
列方程为( ).
A．B．
C．D．
3.若分式方程有增根，则增根是___________．
4.若关于x的方程无解，则k=________．
5.解下列分式方程
(1)；(2)；
(3)；(4)；
(5)；(6)．
6.在2008年春运期间，我国南方出现大范围冰雪灾害，导致某地电路断电.该地供电局组织电工进行抢修.供电局距离抢修工地15千米.抢修车装载着所需材料先从供电局出发，15分钟后，电工乘吉普车从同一地点出发，结果他们同时到达抢修工地．已知吉普车速度是抢修车速度的1.5倍，求这两种车的速度.
参考答案：
1.A
2.D
3.
4.4
5.(1)；(2)无解；(3)；(4)；(5)；(6)无解.
6.抢修车的速度为20千米/时，吉普车的速度为30千米/时.。
北京四中初二数学周末练习q
初二数学周末练习习题部分一、填空题1. 如图，△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于O，AO的延长线交BC于F，则图中全等的直角三角形的对数为___________．（第1题）（第2题）（第3题）2. 如图，，要使，请你增加一个条件是___________．（只需要填一个你认为合适的条件）3. 如图所示，点F、C在线段BE上，且∠1=∠2，AC=DF，若使△ABC≌△DEF，则需补充一个条件是___________.4. 如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，E为BC上一点，∠A与∠DEC互补，若BC=11cm，则△DEC周长为___________．二、选择题5. 如图，BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．求证：（1）AP=AQ；（2）AP⊥AQ．6. 如图，△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，且BE=CF，求证：AD平分∠BAC．7. （思考题）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，AB＞AD，试判断AB-AD与CB-CD的大小关系，并证明你的结论．参考答案：一、1、 6 ；2、∠B=∠C ；3、BC=EF；4、11cm二、5．证明：∵BD、CE分别是△ABC的边AC和AB上的高，∴∠1+∠CAE=90°，∠2+∠CAE=90°．∴∠1=∠2∵在△AQC和△PAB中，∴△AQC≌△PAB．∴AP=AQ，∠QAC=∠P．∵∠PAD+∠P=90°，∴∠PAD+∠QAC=90°，即∠PAQ=90°．∴AP⊥AQ．6、证明：∵D是BC的中点，∴BD=DC．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED=∠CFD=90°．∵在Rt△BED和Rt△CFD中，∴Rt△BED≌Rt△CFD．∴DE=DF．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC．7、解：AB-AD＞CB-CD，证明如下：在AB上取一点E，使得AE=AD，连结CE．∵AC平分∠BAD，∴∠1=∠2．∵在△ACE和△ACD中，∴△ACE≌△ACD．∴CD=CE．∵在△BCE中，BE＞CB-CE，即AB-AE＞CB-CE，∴AB-AD＞CB-CD．提示：也可以延长AD到E，使得AE=AB，连结CE．。
北京四中初二周末练习
周末练习
编稿：白真审稿：范兴亚责编：高伟1．若函数的图像经过点(-3，-2)和(1，6)，求、及函数关系式．
2．已知一次函数图像如图1所示，那么这个一次函数的解析式是()
A．
B．
C．
D．
3．直线沿着轴平移后通过点(-1，
3)，求平移后的直线解析式．
4．已知一次函数在时，，且它的图象与轴交点的横坐标是6，求这个一次函数的解析式．
5．己知一个一次函数的图像经过(1，-1)和(-2，5)两点，求这个一次函数的解析式．
6．已知直线与两坐标轴所围成的三角形面积为36．(1)求的值；(2)当
取什么值时，？
7．如图2，、分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像，图中s和分别表示运动路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快多少?
8．已知一次函数的图象过两点(-6，4)，(3，0)，求此函数的解析式和其图象与坐标轴两交点的坐标．
9．已知一次函数的图象经过点(3，0)，且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式．
10．函数的图像上是否存在点，使得点到轴的距离为3？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．，，．2．．
3．．4．．
5．．
6．(1)；(2)当m=6时，；当，．
7．每秒快1.5．
8．，，．
9．或．
10．所求点坐标为和．。
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分式及其性质周末练习
编稿：龚剑钧审稿：李岩责编:高伟
分式及其性质
填空题
1．分数的基本性质为：________________________.
2．把下列分数化为最简分数：(1)________；(2)________；(3)________.
3．分式的基本性质为：________________，用字母表示为：________________.
4．若，则的值等于________.
5．计算________________.
6．，则？处应填上________，其中条件是________.
选择题
7．不改变分式的值，使分式的各项系数化为整数，分子、分母应乘以().
A．10B．9 C．45D．90
8．下列等式：①；②③；
④中，成立的是().
A．①②B．③④C．①③D．②④
9．不改变分式的值，使分子、分母最高次项的的系数为正数，正确的
是().
A．B．C．
D．
10．分式，，，中是最简分式的有().
A．1个B．2个C．3个D．4个
11．根据分式的基本性质，分式可变形为().
A．B．C．D．
12．下列各式中，正确的是().
A．；B．
C．D．
13．下列各式中，正确的是().
A．B．C．
D．
14．分式，，的最简公式分母为().
A．B．C．D．
解答题
15．把下列各组分数化为同分母分数：
(1)，，；(2)，，.
16．约分：
(1)；(2).
17．通分：
(1)，；(2)，.
18．已知，求的值.
19．已知，求的值.
20. 已知，求的值.
参考答案
填空题
1．分数的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的数，分数的值不变.
2．(1)(2)(3)2
3．分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.
，
4．
5．
6．,
选择题
7．D8．A 9．D10．C 11．C12．A13．D 14．B 解答题
15．(1)，，(2)，，
16．(1)(2)
17．(1)，(2)，
18．
19．7
20．。