分式的基本性质
分式的基本性质
分式的基本性质●知识盘点1、分式的概念： （1） 形如BA （即A ÷B ）的式子.其中A 与B 都是 ，并且B 中都含有 。
（2）分式的值为0：○1分母不能为零；○2分子为零。
（3）分式有意义：当B ≠0时，分式 BA 才有意义2、分式的基本性质： (0)A A M M B B M⋅=≠⋅，它是通分和约分的依据。
●双基达标 ◆分式的概念 1.在代数式132x +，x x，1()2m n +，33a +，11x-，x y x-中，分式的个数有（ ）.（A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 2.下列分式中，一定有意义的是（ ）. （A ）251x x -- （B ）211y y -+ （C ）213x x+ （D ）21x x +3.若分式2242x x x ---的值为零，则x =________.4、分式)3)(2(1---x x x 有意义，则x 应满足的条件是（ ）A 、x ≠1 B. x ≠2 C. x ≠2且x ≠3 D.x ≠2或x ≠3 5、要使分式1-a a 有意义，则a 的取值是◆分式的基本性质 4.如果把2x x y+中的x 和y 都缩小2倍，则这个分式的值（ ）.（A ）不变 （B ）缩小2倍 （C ）扩大2倍 （D ）无法确定5.不改变分式52223x yx y-+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( )A.2154x y x y-+ B.4523x y x y-+ C.61542x y x y-+ D.121546x y x y-+6．不改变分式的值，使分子第一项系数为正，分式本身不带“-”号.（1）ba b a +---2 （2）yx y x -+--327．3（x+5）x （x+5） = 3x成立的条件是 .8.若分式13-x的值为整数，则整数x= . ◆约分与通分 9.分式213x x-与229x -的最简公分母是_______.10.分式:①223a a ++,②22a b a b--,③412()a ab -,④12x -中,最简分式有 个。
分式的基本概念及性质.
内容 基本要求略高要求较高要求分式的概念 了解分式的概念，能确定分式有意义的条件能确定使分式的值为零的条件分式的性质 理解分式的基本性质,并能进行简单的变型能用分式的性质进行通分和约分分式的运算 理解分式的加、减、乘、除运算法则会进行简单的分式加、减、乘、除运算，会运用适当的方法解决与分式有关的问题分式的概念：当两个整数不能整除时,出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式． 一般地，如果A ，B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子AB叫做分式． 整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点： ⑴分式的分母中必然含有字母； ⑵分式的分母的值不为0;⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开． 分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0,故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时,分式无意义． 如:分式1x，当0x ≠时，分式有意义；当0x =时,分式无意义． 分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零,且分式的分母不能为零，注意是“同时”． 分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以）一个不等于0的整式,分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a am b bm =，a a mb b m÷=÷（0m ≠）．知识点睛中考要求分式的基本概念及性质注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m ≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式； ③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．1.⑴x 为何值时，分式2141x x ++无意义？ ⑵x 为何值时，分式2132x x -+有意义?⑶x 为何值时，分式211x x -+有意义？2. 若分241++x x 的值为零,则x 的值为________________________． 3. 若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值。
分式的基本性质
（2）
1 x2 x2 2x 1
3、若
a
1 a
5 ，求
a4 a2 1 a2
的值。
4、《同步练习册》P3
判断
下列各组分式，能否由左边变形为右边？
a a(a b)
x
x(x2 1)
(1) a b与 a b (2) 3y 与 3y(x2 1)
x xa
(3) y 与 ya
反思:运用分式的基本性质应注意什么?
(1)“都”(2)“同一个” (3)“不为0”
例1、不改变分式的值，把下列分式的分子、 分母中各项的系数化为整数。
（2） 3 m 2m m2
方法归纳： 类比 1 1 1 得到
2 2 2
b b b a a a
例3、约分： （1） 16 x2 y3 20x y4
（2） x2 4 x2 4x 4
归纳：
1、约分：把一个分式的分子、分母的公因式约 去的变形。
2、约分的方法：若分子、分母是单项式，先找出 公因式，后约去；若分子、分母是多项式，先因 式分解，再约分。
16.1 分式及其基本性质
2.分式的基本性质（一）
华东师大版 八年级下册
知识回顾：
2 3
= ((
))=
10 15
;
16 36
=
( (
))=
4 9
这是根据 分数的基本性质 ：
分数的分子与分母都乘以或除以同一个不等于0的数， 分数的值不变．
那么分式有没有类似的性质呢？
新课导入
分式
2aa（a≠0)与
1 相等吗？ 2
（1）
2x 3 y 32 5x y 6
（2） 0.5x 0.3y 0.2x y
5.2分式的基本性质
(1) 0.01x 0.5 0.3x 0.04
2a 3 b
(2)
2 2ab
3
当系数是小数时：一般情况下，分式的分子、分母都乘
以10的倍数。
当系数是分数时：分式的分子、分母都乘以每一项系数 的分母的最小公倍数；
分式基本性质应用（3）约分
4a3b2 (2a3bc)
9 x 2 2x 2 6x
(2)(9a2 6ab b2)
解：1原式= 4x2 9
3 2x
2x 32x 3
= 3 2x
(92a2原b 式b=3)9. a92 a26babb3 3a b2
=
b 3a b3a b
b2
2x 3
3a b 3a b
1把两个多项式相除表示成分式形式2把分子分母分别进行因式分解3约分用最简分式或整式表示所求的商
银湖中学 刘少丰
分式的基本性质：
分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零 的整式，分式的值不变．
A AM , A AM B BM B BM
(M 是不等于0的整式)
分式基本性质应用（1）处理符号
x2 2xy
3x2 y2 40 y2
9
4 3
y
2
2
4 3
y
3
4 3
y
2
y2
40
y
3 16 y2 8 y2 93 3 16 y2 y2
9
39 y2 39
9
分式基本性质应用（5）多项式相除
课本P120 例3 计算：
(1)(4x2 9) (3 2x).
分式的基本概念及性质
分式的概念：当两个整数不能整除时，出现了分数；类似的当两个整式不能整除时，就出现了分式．一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB叫做分式．整式与分式统称为有理式．在理解分式的概念时，注意以下三点：⑴分式的分母中必然含有字母；⑵分式的分母的值不为0；⑶分式必然是写成两式相除的形式，中间以分数线隔开．分式有意义的条件：两个整式相除，除数不能为0，故分式有意义的条件是分母不为0，当分母为0时，分式无意义．如：分式1x，当0x≠时，分式有意义；当0x=时，分式无意义．分式的值为零：分式的值为零时，必须满足分式的分子为零，且分式的分母不能为零，注意是“同时”．分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变．上述性质用公式可表示为：a amb bm=，a a mb b m÷=÷(0m≠)．注意：①在运用分式的基本性质时，基于的前提是0m≠；②强调“同时”，分子分母都要乘以或者除以同一个“非零”的数字或者整式；③分式的基本性质是约分和通分的理论依据．一、分式的基本概念【例1】在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？1 t ，(2)3xx+，2211x xx-+-，24xx+，52a，2m，21321xx x+--，3πx-，323a aa+【例2】代数式22221131321223x x x a b a b abm n xyx x y+--++++，，，，，，，中分式有（）A.1个B.1个C.1个D.1个分式的基本概念及性质二、分式有意义的条件【例3】求下列分式有意义的条件：⑴1x⑵33x+⑶2a ba b+--⑷21nm+⑸22x yx y++⑹2128x x--⑺293xx-+【例4】x为何值时，分式2141xx++无意义？【例5】x为何值时，分式2132x x-+有意义？【例6】x为何值时，分式211xx-+有意义？【例7】要使分式23xx-有意义，则x须满足的条件为．【例8】x为何值时，分式1111x++有意义？【例9】要使分式241312aaa-++没有意义，求a的值.【例10】x为何值时，分式1122x++有意义？【例11】x为何值时，分式1122xx+-+有意义？【例12】若分式25011250xx-++有意义，则x；若分式25011250x x-++无意义，则x ；【例13】 若33aa-有意义，则33a a -( ).A. 无意义B. 有意义C. 值为0D. 以上答案都不对【例14】 x 为何值时，分式29113x x-++有意义？【例15】 ⑴ 若分式216(3)(4)x x x --+有意义，则x ;⑵ 若分式216(3)(4)x x x --+无意义，则x ;三、分式值为零的条件【例16】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴1x x+ ⑵211x x -+ ⑶33x x -- ⑷237x x ++ ⑸2231x x x +--⑹2242x x x-+【例17】 当x 为何值时，下列分式的值为0？⑴213x x -+ ⑵223(1)(2)x x x x --++ ⑶2656x x x --- ⑷221634x x x -+-⑸288xx + ⑹2225(5)x x -- ⑺(8)(1)1x x x -+-【例18】 若分式41x x +-的值为0，则x 的值为 ．【例19】 若分241++x x 的值为零，则x 的值为________________________．【例20】 若分式242x x --的值为0，则x 的值为 ．【例21】 若分式 242a a -+ 的值为0，则a 的值为 .【例22】 若分式221x x -+的值为0，则x = ．【例23】 （2级）（2010房山二模）9. 若分式221x xx +-的值为0，则x 的值为 ．【例24】 若分式231x x ++的值为零，则x = ________________.【例25】 （2级）（2010平谷二模）已知分式11x x -+的值是零，那么x 的值是（ ） A ．1 B. 0 C. 1- D. 1±【例26】 若分式2532x x -+的值为0，则x 的值为 ．【例27】 如果分式2321x x x -+-的值是零，那么x 的取值是 ．【例28】 若分式()()321x x x +-+的值不为零，求x 的取值范围．【例29】 若22x x a-+的值为0，则x = .【例30】 x 为何值时，分式29113x x-++分式值为零？【例31】 若22032x xx x +=++，求21(1)x -的值.【例32】 x 为何值时，分式23455x xx x ++-+值为零？【例33】 若分式2160(3)(4)x x x -=-+，则x ；【例34】 若分式233x x x--的值为0，则x = .【巩固】 若分式250011250x x-=++，则x .【例35】 若2(1)(3)032m m m m --=-+，求m 的值.四、分式的基本性质【例36】 填空：（1）()2ab ba = （2）()32x x xy x y =++（3）()2x y x xyxy ++=（4）()222x y x y x xy y +=--+【例37】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴x y x y +- ⑵xy x y - ⑶22x y x y -+【例38】 把下列分式中的字母x 和y 都扩大为原来的5倍，分式的值有什么变化？（1）2x y x y ++ （2）22923x x y +【例39】 若x ，y 的值扩大为原来的3倍，下列分式的值如何变化？⑴2222x y x y +-⑵3323x y⑶223x y xy-【例40】 不改变分式的值，把下列各式的分子与分母的各项系数都化为整数． ⑴1.030.023.20.5x y x y +- ⑵32431532x yx y -+【例41】 不改变分式的值，把下列各式分子与分母的各项系数都化为整数。
分式的基本性质
（, Ｃ≠0）
C .(C 0) C
下列各组中分式，能否由左边变形为右
边？
(1) a 与 a(a b) ab a b
(2)
x 3y
与
x(x2 1) 3y(x2 1)
(3)
x
与
y
xa ya
xy y (4) Байду номын сангаас 2 与 x
反思:运用分式的基本性质应注意什么?
(1)”都” (2)”同一个” (3)”不为0”
分式约分的依据是什么？ 分式的基本性质：
A AM , A AM . B BM B BM (其中M 是不等于零的整式)
约分
1
25a 2bc 15ab 2c
3
;
（1）约去系数的最大公约数 （2）约去分子分母的公因式。
(2) 6x 2 12xy 6 y 2 . 3x 3y
分析：为约分要先找出分 子和分母的公因式。
填空，使等式成立.
⑴ 3 ( 3x 3y ) （其中 x+y ≠0 ）
4y 4y(x y)
y2
1
⑵ y2 4 ( y 2 )
化简下列各数：
6 , 8 , 6
9
16
15
把分数分子、分母的公约数约去，这种分数变形 叫分数的约分.
类比分数的约分你能说说分式是怎样约分的吗？
把分式分子、分母的公因式约去，这种分式变形 叫分式的约分.
例2
化简下列分式(约分)
（1）a2bc ab ac ac ab ab 1
A A M（M=0） B BM
（2）2342aa2b3b3d2c
8a2b2 4ac 8a2b2 3bd
4ac 3bd
反思：分式约分的依据是什么？
分式的基本性质
解分式方程 $\frac{x}{2} - \frac{3x}{4} = 1$
解
将方程两边同时乘以4，得 $2x + 3 = 7$，解得 $x = 2$。
解
将方程两边同时乘以4，得 $2x - 3x = 4$，解得程的步骤 • 整理方程：将方程中的分式转化为整式，通过通分、约分等方式简化方程。 • 确定未知数的值或取值范围：根据简化后的方程，确定未知数的值或取值范围。 • 检验：将求得的未知数的值代入原方程进行检验，确保方程的根的正确性。 • 注意事项 • 在解分式方程时，需要注意方程的化简和约分，避免出现计算错误。 • 在求出未知数的值或取值范围后，需要进行检验，确保根的正确性。 • 当方程的根的个数多于1个时，需要注意解的取舍，确保得到正确的解。
分式除法是指一个分式除以另一 个分式。在进行分式除法时，需 要将除数的分子和分母颠倒，然 后将颠倒后的除数与被除数相乘 。
分式的运算性质应用举例
求解分式方程
通过使用代入消元法或加减消元法，可以将分式方程转化为整式方程，从而求解出未知数的值。
简化分式
通过使用分式的加法、减法、乘法和除法，可以将一个复杂的分式简化成一个简单的分式。
分数的定义可以扩展到复数范围， 但在高中数学中通常只涉及有理数 分式的讨论。
分式的形式
1 2
最简分式
分子和分母没有公共因子，且分子和分母的最 高次数相同。
真分式
分子和分母都是多项式，且分子和分母的次数 不同。
3
假分式
分子和分母的次数相同，或分子和分母有公共 因子。
分式的基本性质
分式的值不等于零
分式的值是分子与分母相除的结果，当分母为零时，分式 的值不存在，即分式不等于零。
分式的基本性质分式的变形
1 2 a a (1) ( 2 ) 1 a a1 2 a a2 ( 3) 2 1 a
练习
不改变分式的值，使下列各式的分子与 分母的最高次项系数是正数，然后再约分
1- a - a ⑴ 2 3 1+a - a
⑶
2
x +1 ⑵ 2 1- x
1- a - 2 a - a +3
2
结
分式性质应用
(2a -
解：原式 =
2 ( a + b) ? 6 3
2
b) ? 6
12a 9b 4a 6b
巩固练习
y 的 x和 y 都扩大两倍,则分式的值( B ) 1.若把分式 x+y
A．扩大两倍 C．缩小两倍 B．不变 D．缩小四倍
xy 2.若把分式 中的 x+y 的值( A ).
A．扩大3倍 C．扩大4倍
12 xy 的最简公分母是
的最简公分母
2 ；
是
1 2x , , (3)分式 最简公分母 2 2 2 6 x 3 x x 4 2 x 4 ) 2 ( 是 12 x ( x + 2) ( x - 2) ；
10a b c
x
2 2 2
4a 3c 5b , 2 , 2 2 5b c 10a b - 2ac
；
分式性质应用
不改变分式的值，把下列各式的分 子与分母的各项系数都化为整数。
0.01x 0.5 （ 1） 0.3xБайду номын сангаас 0.04
(0.01x 0.5) 100 解：原式 (0.3 x 0.04) 100
x 50 30 x 4
3 2a - b 2 （ 2） 2 a +b 3 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分式的基本性质
分式的基本性质——分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
注：
（1）分式的基本性质是各种分式变形的理论依据，运用分式的基本性质变换分式形式的过程，是一个恒等变形的过程。
变换前后的分式只是形式不同，其本质是完全一样的。
（2）分式的基本性质要求分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，是因为零乘以任何数还得零，所以当分子和分母同乘以一个值为零的整式时，分母则为零，此时分式无意义。
由分式的基本性质可以推得分式的符号法则：分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
注：
在最后结果中，习惯上只保留一个符号，写在分数线的前面。