小学奥数 一元一次方程解法综合.教师版与学生版
1、认识了解方程及方程命名
2、移项、系数、解方程、方程的解等名词的意思一定要让学生了解
3、运用等式性质解方程
4、会解简单的方程
一、方程的起源
方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章。在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程和方程组。例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组。
古代解方程的方法是利用算筹。我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。
《九章算术》中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。同学们也要好好学习数学，将来争取为数学研究做出新的贡献！
二、方程的重要性
方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点。渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮助。
三、相关名词解释
1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式
2、等式：表示相等关系的式子
3、方程：含有未知数的等式
4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元a 次方程就是含有n 个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程
例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程；
如：37x +=，71539q +=，222468m ?+=（），
一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；
如：4x =是方程37x +=的解，3q =是方程81539q +=的解，
5、解方程：求方程的解的过程叫解方程。所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”。
6、方程的能使方程左右两断相等的未知数的值叫方程的解
四、解方程的步骤
知识点拨 教学目标
一元一次方程解法综合
1、解方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1。
2、移项变号：根据等式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改变原来的符号。我们常说“移项变号”。
3、移项的目的：是为了把含有x 的未知项和数字项分别放在等号的两端，使“未知项=数字项”，从而求出方程的解。
4、怎样检验方程的解的正确性？
判断一个数是不是方程的解，就要把这个数代入原方程，看方程两边结果是否相同。
模块一、简单的一元一次方程
【例 1】 解下列一元一次方程：⑴ 38x +=；⑵ 83x -=；⑶ 39x ÷=；⑷ 39x =．
【考点】一元一次方程 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 38x +=
3383x +-=-（根据等式基本性质1，方程两边同时减3）
83x =-（移项，变号）
5x =
把方程左边（或右边）的项移到方程的右边（或左边），叫做移项．移项的目的是把未知项和已
知项分别集中在等号的两边，移项的依据是等式基本性质1．学生掌握熟练后，第一步可省略直接移项即可．移项最重要的是“变号”，我们可以形象地把等号看作“桥”，无论是未知项还是已知项，都要“过桥变号”，也就是“移项变号”．
⑵ 83x -=
83x x x -+=+（根据等式基本性质1，方程两边同时加x ）
83x =+（移项，变号）
38x +=
3383x +-=-（根据等式基本性质1，方程两边同时减3）
5x =
需要注意的是把“83x =+”转换成“38x +=”是把等式两边互换位置，不是移项，不需要变号．
⑶ 39x ÷=
3393x ÷?=?（根据等式基本性质2，方程两边同时乘以3）
93x =?
27x =
⑷ 39x =
3393x ÷=÷（根据等式基本性质2，方程两边同时除以3）
93x =÷
3x =
化未知数系数为1时，千万不要只化未知项，漏作已知项．通常解方程时未知项在左边，已知项在
右边．
【答案】⑴5x = ⑵5x = ⑶27x = ⑷3x =
【巩固】 （1）解方程：38x +=
（2）解方程：96x -=
（3）解方程：39x =
（4）解方程42x ÷=
【考点】一元一次方程 【难度】1星 【题型】解答
【解析】 （1）38x +=
3383x +-=-（两边同时-3）
83x =-
5x =
（2）解方程：96x -=
96x -=
96x x x -+=+（两边同时x +）
例题精讲
96x =+
9666x -=+-（两边同时-6）
96x -=
3x =
3x =
（3）解方程：39x =
39x =
3393x ÷=÷（两边同时3÷）
3x =
（4）解方程42x ÷=
42x ÷=
4424x ÷?=?（两边同时?4）
8x =
【答案】⑴5x = ⑵3x = ⑶3
x = ⑷8x =
【例 2】 解方程：4338x x +=+
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 4338x x +=+
4383x x -=-
5x =
【答案】5x =
【巩固】 解方程：138142x x +=+
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 138142x x +=+
821413x x -=-
6x =
6x =
【答案】6x =
【例 3】 解方程：4631x x -=-
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 4631x x -=-
4136x x +=+
4361x x -=-
5x =
【答案】5x =
【巩固】 解方程：12432x x -=-
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 12432x x -=-
12234x x +=+
147x =
2x =
【答案】2x =
【例 4】 解下列一元一次方程：⑴ 41563x x +=+；⑵ 123718x x -=-．
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 41563x x +=+ ⑵ 123718x x -=-
15364x x -=- 121873x x +=+
122x = 3010x =
6x = 3x =
【答案】⑴6x = ⑵3x =
【巩固】 解下列一元一次方程：⑴ 204322x x +=-；⑵ 153194x x -=-．
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 204322x x +=- ⑵ 153194x x -=-
423220x x +=- 431915x x -=-
612x = 4x =
2x =
【答案】⑴2x = ⑵4x =
【例 5】 解方程：()6318x +=
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ()6318x +=
63618x ?+=
61818x =-
0x =
【答案】0x =
【巩固】 解方程：12(3)7x x +-=+
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 12(3)7x x +-=+
1627x x +-=+
30x =
0x =
【答案】0x =
【巩固】 解方程：()()2331x x +=+
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ()()2331x x +=+
223331x x +?=+?
2633x x +=+
6332x x -=-
3x =
3x =
【答案】3x =
【巩固】 解方程3(21)4(3)x x -=-
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 去括号得 63124x x -=-
等式两边同时加上4x 得， 46312x x +-=
等式两边同时加上3得， 46123x x +=+
解得， 1.5x =
【答案】 1.5x =
【例 6】 解方程：()1234x x --=
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ()1234x x --=
1234x x -+=
1243x x +=+
164x =
4x =
【答案】4x =
【巩固】 解方程：()1530639x x +-=
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ()1530639x x +-=
1530639x x +-=
1563930x x -=-
99x =
1x =
【答案】1x =
【例 7】 解方程：()15233x x --=
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ()15233x x --=
()152233x x --?=
15263x x -+=
15632x x +=+
215x =
4.8x =
【答案】 4.8x =
【巩固】 解方程：()232692x x +-=-
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ()232692x x +-=-
()2332692x x +?-?=-
237892x x +-=-
392782x x +=+-
4168x =
42x =
【答案】42x =
【巩固】 解方程12(3)7x x +-=+
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 拆括号 1627x x +-=+
移项、合并同类项 30x =
将系数化为1 0x =
【答案】42x =
【巩固】 解下列一元一次方程：⑴ 6324x +=（）； ⑵ 1836x x --=（）．
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 6324x +=（）
18624x +=（根据去括号法则）
62418x =-
66x =
1x =
去括号法则：去掉括号时，括号前面的数要和括号里面的每一项相乘，再把所得的积相加．如果括
号前面是“+”，去掉括号，括号里面的每一项都不变号；如果括号前面是“-”，去掉括号，括号里面的每一项都要变号．
⑵ 1836x x --=（）
1836x x -+=
1863x x +=+
244x =
6x =
注意括号前面是“-”，去掉括号，括号里面的每一项都要变号．原来“+”变“-”，原来“-”变“+”．
【答案】⑴1x = ⑵6x =
【例 8】 解方程：()()413123x x x +--=+
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ()()413123x x x +--=+
()()44133123x x x +?--?=+
()()443323x x x +--=+
443323x x x +-+=+
43233x x x ++=++
433234x x x +-=+-
4x =
4x =
【答案】4x =
【例 9】 解方程132(23)5(2)x x --=--
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 去括号得 134652x x -+=-+
等式两边同时加上4x 得， 46312x x +-=
等式两边同时加上3得， 46123x x +=+
解得， 4x =
【答案】4x =
【巩固】 解下列一元一次方程：⑴ 3221x x -+=（）；⑵ 6417x x --=（）．
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 3221x x -+=（） ⑵ 6417x x --=（）
3421x x --= 6417x x -+=
5x = 7174x =+
721x =
3x =
【答案】⑴5x = ⑵3x =
【巩固】 解下列一元一次方程：⑴ 73222x x -+=（）；⑵ 55103x x +=-（）．
【考点】一元一次方程 【难度】2星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 73222x x --= ⑵ 55103x x +=-0
4222x =+ 35105x x +=-0
424x = 535x =
6x = 7x =
【答案】⑴6x = ⑵7x =
模块二、含有分数的一元一次方程 【例 10】 解方程2
2
2
40(40)56555x x x x ++--?+=
【考点】一元一次方程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 222
40(40)56555x x x x ++--?+=
合并同类项 2
3
2
40(40)56555x x x ++-?+=
去括号 26
401656525x x x ++-+=
合并同类项 16
8025x x +=
移项合并 9
8025x = 20009
x = 【答案】2000
9x =
【例 11】 解下列一元一次方程：⑴ 316727321x x x +÷++÷=+（）（）；⑵ 53423968x x x +÷-=+÷（）（）
【考点】一元一次方程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 ⑴ 316727321x x x +÷++÷=+（）（）
33167272121x x x +++=+（）（）（）（方程两边同乘以21）
91448494221
23974221
76194
x x x x x x x +++=++=+==
⑵ 53423968x x x +÷-=+÷（）（）
45342496x x x +-=+（）（方程两边同乘以8）
201369624x x x +=++（不够减，先移到右边）
13013x =
10x =
【答案】⑴4x = ⑵10x =
【例 12】 解方程：21
3148y y
--=-
【考点】一元一次方程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 213148y y
--=-
去分母 ()()22183y y -=--
去括号 4283y y -=-+
移项合并同类项 37y =
73y =
【答案】7
3y =
【巩固】 解方程100100
255060x x
---=+
【考点】一元一次方程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 去分母()()610060*********x x --=-+
去括号 660060055001500x x --=-+
移项合并同类项 2200x =
【答案】2200x =
【巩固】 解方程2476
23x x +-=
【考点】一元一次方程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 方程两边同时乘以[2,3]6=，得3(24)2(76)x x +=-
去括号得， 6121412x x +=-
等式两边同时减去6x 得 1214612x x =--
等式两边同时加上12得 1212146x x +=-
解得 3x =
【答案】3x =
【例 13】 解方程0.30.60.030.02
10.10.02x x -+=-
【考点】一元一次方程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 0.30.6
0.030.02
10.10.02x x -+=-
36 1.511x x -=+-
1.56x =
4x =
【答案】4x =
【例 14】 解方程13
75x x +=+
【考点】一元一次方程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 13
75x x +=+
交叉相乘 5(1)3(7)x x +=+
去括号 55213x x +=+
移项合并同类项 216x =
8x =
【答案】8x =
【例 15】 解方程(32):(23)4:7x x -+=
【考点】一元一次方程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 根据比例性质得， 7(32)4(23)x x -=+
去括号得， 2114812x x -=+
等式两边同时减去8x 得，2114812x x --=
等式两边同时加14得， 2181214x x -=+
解得 2x =
由3:46:8=，可以得到3846?=?
因此由::a b c d =可以得到ad bc =
【答案】2x =
【巩固】 解方程:(30.5):(43)4:9x x -+=
【考点】一元一次方程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 9(30.5)4(43)x x -=+
27 4.51612x x -=+
1116.5x =
1.5x =
【答案】 1.5x =
【例 16】 解方程3
2
1275x +=-
【考点】一元一次方程 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 32
1275x +=-
移项合并同类项 33
275x =-
交叉相乘 3(27)15x -=
去括号 62115x -=
636x =
6x =
【答案】6x =
1、认识了解方程及方程命名
2、移项、系数、解方程、方程的解等名词的意思一定要让学生了解
3、运用等式性质解方程
4、会解简单的方程
一、方程的起源
方程这个名词，最早见于我国古代算书《九章算术》。《九章算术》是在我国东汉初年编定的一部现有传本的、最古老的中国数学经典著作．书中收集了246个应用问题和其他问题的解法，分为九章，“方程”是其中的一章。在这一章里的所谓“方程”，是指一次方程和方程组。例如其中的第一个问题实际上就是求解三元一次方程组。
古代解方程的方法是利用算筹。我国古代数学家刘徽注释《九章算术》说，“程，课程也。二物者二程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程”这里所谓“如物数程之”，是指有几个未知数就必须列出几个等式。一次方程组各未知数的系数用算筹表示时好比方阵，所以叫做方程。
《九章算术》中解方程组的方法，不但是我国古代数学中的伟大成就，而且是世界数学史上一份非常宝贵的遗产。同学们也要好好学习数学，将来争取为数学研究做出新的贡献！
二、方程的重要性
方程作为一个小学数学的重要工具，是小学向初中过渡的重点也是难点。渗透方程思想，让学生能用字母表示数字，解决一些比较抽象的数学关系，所以学好方能对于学生以后学习数论等较难专题有很大帮知识点拨 教学目标
一元一次方程解法综合
助。
三、相关名词解释
1、算式：把数用运算符号与运算顺序符号连接起来是算式
2、等式：表示相等关系的式子
3、方程：含有未知数的等式
4、方程命名：未知数的个数代表元，未知数的次数：n 元a 次方程就是含有n 个未知数，且含未知数项最高次数是a 的方程
例如：一元一次方程：含有一个未知数，并且未知数的指数是1的方程；
如：37x +=，71539q +=，222468m ?+=（），
一元一次方程的能使一元一次方程左右两边相等的未知数的值；
如：4x =是方程37x +=的解，3q =是方程81539q +=的解，
5、解方程：求方程的解的过程叫解方程。所以我们做方程的题时要先写“解”字，表示求方程的解的过程开始，也就是开始“解方程”。
6、方程的能使方程左右两断相等的未知数的值叫方程的解
四、解方程的步骤
1、解方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化未知数系数为1。
2、移项变号：根据等式的基本性质可以把方程的某一项从等号的一边移到另一边，但一定要注意改变原来的符号。我们常说“移项变号”。
3、移项的目的：是为了把含有x 的未知项和数字项分别放在等号的两端，使“未知项=数字项”，从而求出方程的解。
4、怎样检验方程的解的正确性？
判断一个数是不是方程的解，就要把这个数代入原方程，看方程两边结果是否相同。
模块一、简单的一元一次方程
【例 17】 解下列一元一次方程：⑴ 38x +=；⑵ 83x -=；⑶ 39x ÷=；⑷ 39x =．
【巩固】 （1）解方程：38x +=
（2）解方程：96x -=
（3）解方程：39x =
（4）解方程42x ÷=
【例 18】 解方程：4338x x +=+
例题精讲
【巩固】 解方程：138142x x +=+
【例 19】 解方程：4631x x -=-
【巩固】 解方程：12432x x -=-
【例 20】 解下列一元一次方程：⑴ 41563x x +=+；⑵ 123718x x -=-．
【巩固】 解下列一元一次方程：⑴ 204322x x +=-；⑵ 153194x x -=-．
【例 21】 解方程：()6318x +=
【巩固】 解方程：12(3)7x x +-=+
【巩固】 解方程：()()2331x x +=+
【巩固】 解方程3(21)4(3)x x -=-
【例 22】 解方程：()1234x x --=
【巩固】 解方程：()1530639x x +-=
【例 23】 解方程：()15233x x --=
【巩固】 解方程：()232692x x +-=-
【巩固】 解方程12(3)7x x +-=+
【巩固】 解下列一元一次方程：⑴ 6324x +=（）； ⑵ 1836x x --=（）．
【例 24】 解方程：()()413123x x x +--=+
【例 25】 解方程132(23)5(2)x x --=--
【巩固】 解下列一元一次方程：⑴ 3221x x -+=（）；⑵ 6417x x --=（）．
【巩固】 解下列一元一次方程：⑴ 73222x x -+=（）；⑵ 55103x x +=-（）．
模块二、含有分数的一元一次方程 【例 26】 解方程2
22
40(40)56555x x x x ++--?+=
【例 27】解下列一元一次方程：⑴316727321
x x x
+÷++÷=+
（）（）；⑵53423968
x x x
+÷-=+÷
（）（）
【例 28】解方程：213
1
48 y y
--
=-
【巩固】解方程
100100
25 5060
x x
--
-=+
【巩固】解方程2476 23 x x
+-
=
【例 29】解方程0.30.60.030.02
1
0.10.02
x x
-+
=-
【例 30】解方程13 75
x
x
+
= +
【例 31】解方程(32):(23)4:7
x x
-+=
【巩固】解方程:(30.5):(43)4:9
x x
-+=
【例 32】解方程
32
1 275
x
+=
-