【精品】特殊图类的彩虹点染色

1前言1.1课题背景图论是数学中的一个重要的分支。

它以图为研究的对象。

图论原本是应用数学的一个重要的分支，为此，历史上曾有许多位数学家独自地建立过图论。

早在1736年欧拉的著作中就出现了关于图论的文字记载,最初他所思考的图论问题都有很强的现实背景.著名的柯尼斯堡七桥问题就是图论的起源。

欧拉证明了这个题目没有解,并且把这个题目进行推广，给出了对于一个给定的图可以以某种方法走遍的判定规则。

这项研究所取得的成果奠定了欧拉图论〔及拓扑学〕创始人的地位。

染色问题是图论的一类重要的题目,具有重要的实际意义和理论意义.不同类型的图的染色问题一直是图论中的热点题目,而连通图的染色问题又是其中一种很重要的分支。

染色问题就是给定一个图，把它所有顶点或所有的边染上颜色，使得相邻顶点或边的颜色都不相同时所需要的最少的不同的颜色数，边的染色题目可以转化为点染色题目，它们都能归于将一个图划分为独立子集的理论.目前，伴随着图的染色问题在实际问题中被广泛的应用，研究这类问题的学者在逐渐的增多。

对不同图类的染色问题的研究，已经有了比较丰富的成果，并且这些结论还在不断的完善之中。

连通性是图论中最重要的性质之一，2008年，Chartrand ，Johns 等人首次提出了图的彩虹连通性的概念，是经典连通性概念的一种加强。

作为一个自然的组合概念，彩虹连通数不但有其了理论意义，而且在网络问题中起到了非常重要的作用.事实上，它产生于政府机构之间机密信息的安全传输，在网络安全等实际问题中有很多的应用。

假如我们需要在一个蜂窝网络中进行信息的传输。

在网络中的任意两点在之间都要有一条路相连接，而且在该路径上的每段都被分配一个独特的频道(例如,不同的频率）.显而易见，我们需要求出的是能在网络中所使用的最少的（不同）频道个数。

而这个最少个数恰好是这个网络所对应无向图的彩虹连通数.彩虹点连通的概念是由Krivelevich,Yuster 首次提出的，是彩虹连通性的一种重要推广。

它也有着很多实际的应用，也同样是研究的热点问题之一。

1。

2问题来源在教学工作中,我们常常能遇到类似这样的题目:一所学校有n 种课程需要由学生来选修,学期结束后要对学生进行考试.显然,每个考生每场只能参加一门课程的考试。

试问这次考试最少要进行几场？显然,不可以在同一个时间进行同一个学生所选修的两门课程的考试。

当然，不会出现同一个学生的不同课程在同一个时间所进行的考试.我们可以把这样的问题归结为：在一个平面上取n 个顶点n v v v ,...,21分别来表示这n 门课程。

如果有同学同时选择了课程i 和j ，则把j i v v ,点之间连一条边,可以得到一个有n 个顶点的无向图G 。

这样的问题可以看做给图G 的每一个顶点染色,并要求相邻的两个顶点染不同的颜色，求最少要进行几场考试，就是最少能用多少种颜色使得图G 的相邻顶点都有不同颜色。

这样的问题就是顶点染色问题。

有关顶点染色问题的形式有很多种，它们在实际应用中也都有着不同的用处。

图的染色问题也是由地图的染色问题延申而来的：用m 种颜色给地图染色，让地图上的每一个区域都有一种一种颜色，并使得相邻的地区颜色不同。

问题处理:如果把每一个地区看作一个顶点,把相邻两个地区用一条边连接起来，就能够把一个区域图看作一个平面图.例如，图1（a）所示的区域图可看作为图1(b）所表示的平面图.19世纪50年代，英国学者提出了任何地图都可以用4种颜色来染色的问题并称之为4色猜想。

100多年之后,才由美国学者在计算机证明了这个问题，这就是著名的四色定理.例如，在图1中，把不同的区域用城市的名字来表示，所染的颜色用不同的数字来表示，则在图中表示了不同的地区用不同的染色来染色的问题。

跟图的边着色问题一样，生活中的很多问题，也可以给它们建立一个模型并看作为图的顶点染色问题来处理。

例如课程安排问题，电视频道分配问题，变址寄存器问题等等。

1852年，格里斯注意到可以用4种颜色来为美国地图进行染色,使得相邻地区（有一段公共边界,不只一个公共点)有不同的颜色,进一步指出了四色猜想.图11.3研究该课题的意义在日常生活中，还有许多问题可以用彩虹顶点染色加以解决，比如电视频道分配问题,变址寄存器等，可以运用彩虹染色方法轻松解决,图的染色理论是图论中的重要内容，也是图论的起源之一。

几百年来，很多的数学家们都为此花费了大量的心血去研究。

迄今为止，图论的许多公开问题一直是专家学者们的钻研的重点题目.在生产管理、军事、交通运输、计算机网络等许多的领域图论的知识在其中都有着重要的应用，彩虹连接数在网络领域也有很多的应用.假设G代表一个一个细胞网络，我们希望在管道的任意两个顶点之间能够传递消息，这要求每个链接上的顶点之间的路由都分配了一个不同的渠道（如不同的频率）。

显然，我们希望使用不同渠道的数量降至最低，用彩虹染色的方法就可以解决这个问题。

2基本概念2.1图论、染色问题的基本概念图),(E V G =是一个二元组),(E V 使得2][V E ⊆，所以E 的元素是V 的-2元子集。

并且认为V 和E 的交集为空集。

图G 的顶点集合是V 中的各个元素，顶点的集合记作)(G V ；而图G 的边的集合为E 中的元素,边的集合记作)(G E .一个图的阶就是图的顶点个数，记作G 。

根据图的阶数，我们把图分为有限的、无限的、可数的等等，在本文中所研究的图，我们总是假定图是有限的，阶为n 的有限图，即G n =.此外,仅有一个顶点的图称为平凡图，即平凡图的阶1=n ，相反，阶1>n 的图称为非平凡图。

在无向图G 中，如果与顶点u 和v 相连接的无向边多于一条，则把这些边称作平行边，而平行边的条数我们称之为重数。

自环是两端连接着同一顶点的边,既不含平行边也不含自环的图称为简单图.图G 的边的集合中,每个元素对),(v u 为一对顶点构成的无序对,表示顶点u 和v 相关联的一条无向边，因此),(v u 和),(u v 是同一条边。

若是图中所有的边都是无向边，这类图称为无向图.本文所研究用到的图均为有限的简单无向图. 假设有两个图G 和H ，如果两个图的顶点集有这样的关系,)(H V 是)(G V 的一个子集,边集)(H E 是)(G E 的一个子集，那么就称图H 是图G 的子图。

一个顶点u 的度数是指与它相关联的边v 的数目。

不与其它的任何顶点邻接的顶点，即度为0的顶点称为孤立顶点.图形G 的最小度指的是所有顶点之间的最小度,记为)(G δ；而图G 最大度：指的是所有顶点之间的最大度数，记为)(G ∆。

图),(E V P =是一条路，如果其顶点集和边集分别为},,,{10k x x x V =，},,,{12110k k x x x x x x E -= ，这里的i x 均互不相同。

顶点0x 和k x 由路P 连接，并称它们是路的端点,而11,,-k x x 称为P 的内部顶点。

一条路上的边数称为路的长度，记k x x x P 10=，称P 是一条0x 和k x 之间的一条路。

在无向图G 中,若从顶点u 到v 有一条路相连，则称u 和v 之间是连通的。

如果无向图G 中的任一对顶点之间都是连通的，则称图G 是连通图,反之，如果一个无向图不是连通的，则称作非连通图。

如果一个图G 的任意两个不同的顶点之间都有k 条相互独立的路连接，则把图G 称作-k 连通的。

其中使得图G 是-k 连通时的最大整数k 称作G 的连通度,记作)(G k .如果图G 的任意两个不同顶点之间都有l 条边不相交的路相连，则称图G 是-l 边连通的。

其中使得图G 是-l 边连通的最大整数称为G 的边连通度，记为)(G λ。

图G 的顶点染色c 称为正常（顶点）染色，如果G 的每条边的两端点都染不同颜色。

图G 的k 种颜色的正常（顶点）染色称为-k (顶点）染色色。

这样的一个顶点染色给出了)(G V 的一个-k 划分(k V V V ,,,21 )使每个)1(k i V i ≤≤都是G 的一个独立集。

如果G 有一个-k （顶点）着色,则称G 是-k （顶点）可染色.我们可以得出以下简单的结果。

例： G 为1-可着色的G 为一完全图。

G 为-k 可着色的G 为-k 部图。

G 为-k 可着色的G 为-k 可着色的（k 〈=j ）最简单的-2连通图是圈，并且其它的图都可以由一个圈通过不断添加路而得到。

图G 的任意两个顶点之间的最大距离，称为是图G 的直径，记作)(G diam 。

如果图G 是一个边数为m 的非平凡连通图，则有m G rc G diam ≤≤)()(。

若把图),(E V G =的一个顶点染色看作是一个映射S V c →:，并令它的任意两个相邻的点v 和w 都满足)()(w c v c ≠。

我们称S 里的颜色为可用颜色，并且主要研究的是S 的基数。

通常，我们都会去试着去找出一个最小的整数k ，使得G 有一个-k 染色，即一个顶点染色},...,1{:k V c →，这个k 就成为图G 的顶点所需的色数，表示作)(G χ。

若k G =)(χ，我们就把图G 称作-k 色的；如果k G ≤)(χ,则称图G 为-k 可染色的。

若把图),(E V G =的一个边染色看作是一个映射S E c →:,并令它的任意两条相邻的边e 和f ，满足)()(f c e c ≠。

边染色},...,1{:k E c →称为图G 的一个-k 边染色，所使用的最小整数k 称为G 的边色数，也成为色指数，记做)('G χ.2。

2彩虹连通基本知识Chartrand ，Johns 等人首次提出了图的彩虹连通性的概念。

如果一个边染色图的任意两个不同顶点之间有一条边染不同染色的路径相连，那么就称它是彩虹连通的。

彩虹边连通数就是一个连通图G 使它构成彩虹边连通所需要的最小的颜色数，称为记做)(G rc .Krivelevich 和Yuster 提出了彩虹点联通的概念。

一个点染色图的任意两点之间有一条内部顶点染不同颜色的路相连，则称它是彩虹点连通的。

彩虹点连通数就是一个连通图G 它构成彩虹点连通图所需的最少的颜色数，记做)(G rvc .一个简单的发现是如果一个图G 有n 个顶点，则有2)(-≤n G rvc ；当且仅当它是一个完全图时有0)(=G rvc .注意到1)()(-≥G diam G rvc ，当图G 直径为1和2时，它们相等。

对于彩虹边连通和彩虹点联通，一些例子表明它们的彩虹连通路并不相同.在某些情况下)(G rvc 可以比)(G rc 要小得多。

例如，()11,1=-n K rvc 而()11,1-=-n n K rc 。

另一方面，在某些其他情况下，)(G rc 可以比)(G rvc 小很多。