2.1二次函数所描述的关系教案
二次函数教案(3篇)
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数学北师大版九下2.1《二次函数所描述的关系》导学案1
第二章 二次函数第1节 《二次函数所描述的关系》学习目标1.从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。
2.理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。
3.会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。
学习重点：二次函数的概念和解析式学习难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。
学习过程1、 二次函数的定义一般地，形如的二次函数。
的函数叫做是常数，x a c b a c bx ax y )0,,(2≠++= 例如：的二次函数。
等等都是x x y x x y x x y 13,2,32222+-=+=--= 在理解二次函数的定义时，应注意以下几点：（1）任何一个二次函数的关系式都可以化成)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，的形式，因此，把)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式，其中c bx ax 、、2分别是二次项、一次项和常数项。
（2）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，y x 、是变量，c b a 、、是常量。
自变量x 的取值范围是全体实数，b 和c 可以是任意实数，要特别注意a 必须是不等于0的实数。
因为当a =0时，c bx ax y ++=2就是c bx y +=，若0≠b ，则c bx y +=是一次函数；若0=b ，则c y =，就是一个常数函数。
（3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有密切联系，如果将变量y 换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程。
■例1下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．012=++y x B.2)1()1)(1(---+=x x x y C.242x y ++= D.022=-+y x2、列函数关系式（重点）函数关系式其实是一个等式，左边字母表示的量随右边的字母变化而变化，所以左边的字母（因为右边的的字母变化它才变化）叫因变量，右边的字母是自己不断的变化，所以叫自变量。
北师大版九年级数学下册2.1二次函数所描述的关系导学案
，c
m
时，是正比例函数. .
3.若 y (m2 1) xm
是二次函数，则 m=
4.下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax2＋bx＋c (a≠0)模型的是( ).
A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系； B．我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数 随年份的变化关系； C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号 弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)； D．圆的周长与圆的半径之间的关系．
第 1 页 /共 5 页
，它的二次项系数为 一次项系数为 ，常数项为 .
,自我评价：小Fra bibliotek长评价：第 2 页 /共 5 页
合作探究一：
某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么 树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验 估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子，且增 加的橙子树最多不得超过 20 棵. (1)问题中的变量是 其中 是自变量， 和 . 是因变量.
2
．
m4
(m 2) x 3 . 当 m
为何值时，y 为二次函数？当 m 为何值时，y 为一次函 数？
课后作业：
课本第 39 页，习题 2.1，知识技能，1；问题解决，3.
教师评价： 补案：
第 5 页 /共 5 页
3、 (15 分)下列各式中，y 是 x 的二次函数的是(
A. xy=x2-1；B.x2+y-2=0；C. y2-ax=-2；D. x2-y2+1=0. 4、 (15 分)某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出
达标 检测：
时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服装 每提高 1 元售价，销量就减少 5 套.则每天销售利润 y 与售价 x 的函数表达式为 5、 (40 分)已知函数 y (m 3) xm
二次函数描述的关系教案
二次函数描述的关系教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解二次函数的概念及其一般形式；（2）学会用二次函数描述实际问题中的数量关系；（3）能够运用二次函数解决简单的实际问题。
2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生认识二次函数在实际生活中的应用；（2）利用图形计算器或计算机软件，观察二次函数图象，分析其性质；（3）学会运用二次函数解决实际问题，培养学生的数学建模能力。
3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生运用数学知识解决实际问题的意识；（3）培养学生合作学习、积极探究的精神。
二、教学内容1. 二次函数的概念：函数、自变量、因变量、函数值、定义域、值域等基本概念；2. 二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c（a≠0）；3. 二次函数的图象与性质：开口方向、对称轴、顶点、单调性、最大值、最小值等；4. 实际问题中的二次函数描述：物体运动、几何图形、生产和经济等方面。
三、教学重点与难点1. 重点：二次函数的概念、一般形式及其图象与性质；2. 难点：二次函数在实际问题中的运用。
四、教学过程1. 导入新课：通过生活中的实例，如抛物线运动、几何图形等，引导学生认识二次函数；2. 讲解概念：讲解二次函数的概念、一般形式及图象与性质；3. 案例分析：分析实际问题中的二次函数描述，如物体运动、生产和经济等方面；4. 实践操作：利用图形计算器或计算机软件，观察二次函数图象，分析其性质；5. 解决问题：运用二次函数解决实际问题，培养学生的数学建模能力；五、课后作业1. 复习二次函数的概念、一般形式及图象与性质；2. 分析生活中的实际问题，运用二次函数进行描述；六、教学策略与方法1. 情境教学：通过生活实例和具体问题，激发学生的学习兴趣，引导学生主动探究；2. 直观教学：利用图形计算器或计算机软件，展示二次函数的图象和性质，增强学生的直观感受；3. 实践操作：鼓励学生动手操作，改变函数的参数，观察图象的变化，加深对二次函数性质的理解；4. 案例分析：分析实际问题中的二次函数描述，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力；5. 小组讨论：组织学生进行小组讨论，分享解题方法和经验，提高学生的合作能力。
北师大版九下二次函数所描述的关系word教案2篇
§二次函数所描述的关系一、教学目标（一）知识与能力：1.探讨并归纳二次函数的概念；2.能够表示简单变量之间的二次函数关系（二）进程与方式：1.经历探讨，分析和成立两个变量之间的二次函数关系的进程，进一步体验如何用数学的方式描述变量之间的关系；2.能够利用尝试求值的方式解决实际问题.（三）情感态度与价值观：把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的紧密联系及对人类历史进展的作用.（四）教学重点：经历探讨和表示二次函数关系的进程，取得用二次函数表示变量之间关系的体验；能够表示简单变量之间的二次函数关系.（五）教学难点：用二次函数表示变量之间关系.二、教学设计（一）温习引入回忆学过的函数类型－一次函数（正比例函数）、反比例函数、三角函数；函数概念－在某个转变进程中，有两个变量x和y，若是给定一个x值，相应地就确信了一个y值，那么咱们称y是x的函数，其中x是自变量，y是因变量.本节课咱们将开始学习初中时期的最后一个函数二次函数.（二）新课一、由实际问题探讨二次函数某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现预备多种一些橙子树以提高产量，可是若是多种树，那么树之间的距离和每一棵树所同意的阳光就会减少．依照经验估量，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量?(2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?(3)若是果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产量y＝(100+x)(600—5x)＝-5x2+100x+60000．提出问题：判定上式中的y是不是是x的函数？若是，与咱们前面所学的函数相同吗？（依照函数的概念，y是x的函数，从形式上看不同于咱们所学函数，猜想是二次函数）二、想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可使果园橙子的产量最多?咱们能够列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而转变情况．你能依照表格中的数据作出猜想吗?自己试一试．x/棵8 9 10 11 12y/个 60480 60495 60500 60495 60480从表格中发觉：增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多 3、做一做银行的储蓄利率是随时刻的转变而转变的。
二次函数所描述的关系-的说课讲稿
二次函数所描述的关系说课稿一、说课内容：北师大版义务教育课程标准实验教科书九年级下册第二章第一节“二次函数所描述的关系”。
二、教材分析：1、教材的地位和作用这节教材内容是在学生已经学习了一次函数、正比例函数、反比例函数的基础之上，来学习二次函数。
二次函数是我们整个初中阶段所研究的最后一个最重要且最难的函数，中考题中所占比例较大.同时，二次函数和以前学过的一元二次方程、一元二次不等式又有着密切的联系。
进一步学习二次函数将为它们的解法提供新的方法和途径，并使学生更为深刻的理解“数形结合”的重要思想。
而本节课的二次函数所描述的关系是学习二次函数的基础，是为后面学习二次函数的图像及其性质作铺垫，同时为以后学习相关函数的图像及其性质等知识奠定了基础。
所以本节课不仅有着广泛的实际应用，而且在整个教材中起着承前启后的作用。
2、学情分析从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。
同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，易发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。
从学生的知识技能基础来看，学生在之前已经学习过变量、自变量、因变量、函数等概念，对一次函数、反比例函数的相关知识如：各种变量、函数的一般形式、图像、增减性等知识有一定基础，相关应用也较常见，学生在学二次函数前具备了一定函数方面的基础知识、基本技能。
从学生活动经验基础来看，在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些解决实际问题活动，感受到了函数反映的是变化过程，并可通过列表、解析式、图像了解变化过程，对各种函数的表达方法的特点有所了解，获得了探究学习新函数知识的基础；同时在以前的学习中学生经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二次函数所描述的关系教案
二次函数所描述的关系教案教学目标通过本教案的学习，学生应能够：1.理解二次函数的定义，并掌握二次方程的解法；2.掌握二次函数图像的性质及其应用；3.理解二次函数与实际问题的关联，并能够解决实际问题。
教学重点1.二次函数的性质2.二次函数与实际问题的联系3.二次方程的解法教学难点1.二次函数图像的应用2.实际问题的建模教学准备1.一台能够连接电脑的投影仪；2.一台电脑，安装好数学软件GeoGebra；3.学生课桌上需要事先准备好小黑板、粉笔、笔记本等工具。
教学过程1.引入教师将一张纸片在黑板上往下抛，询问学生此时纸片运动的轨迹是什么。
请学生用自己的话描述。
引导学生发现，纸片运动的轨迹是一个抛物线。
2.讲解二次函数的定义1.介绍抛物线的几何特征；2.引出二次函数，给出二次函数的定义；3.通过投影仪展示二次函数的图像，解释图像与公式的对应关系；4.引入二次函数的一般式，介绍各项系数的作用。
3.掌握二次函数图像的性质1.通过改变二次函数的系数，观察图像的变化；2.教师利用GeoGebra软件，展示二次函数的图像，并观察最值、轴对称、零点等特征；3.引导学生发现二次函数图像的对称特征，并掌握变换规律。
4. 二次函数与实际问题的联系1.介绍二次函数在物理、经济、生物等领域的应用；2.以一个例题为例，引导学生解决实际问题；3.教师指导学生根据实际问题建立二次函数模型。
5. 二次方程的解法1.介绍常用的解方程方法；2.引导学生通过实例解决方程；3.教师指导学生通过实际问题理解二次方程。
6.练习1.在小黑板上布置一些练习题，让学生进行练习；2.教师巡视课堂，及时解答学生的问题，并回顾本堂课的重点内容。
教学总结本节课学习了二次函数的性质、二次函数与实际问题的联系，以及二次方程的解法等内容。
通过本节课的学习，学生不仅掌握了二次函数的相关知识，更能够运用所学知识解决实际问题。
希望同学们能够在日后的学习和生活中更好地应用所学知识。
九年级数学下册 2.1二次函数所描述的关系 教案 北师大版
教学难点
经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
教学方法
引导学生进行探索归纳
教学活动过程设计
一创设情景，引入新课
1．大家还记得我们学过哪些函数？
2．函数的定义是什么？
3．你能说出学过的函数的一般表达式吗？二次函数的一般表达式是什么呢？本节课我们将揭开它神秘的面纱.
（1）引导学生回顾有关名词：本金、利息、本息和，利息的计算.
（2）根据利息公式得，y=100(1+x)2=100x2+2000x+100.
（3）在这个关系式中，y是x的函数吗？是x的什么函数？请猜想.
4．二次函数的定义
一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function)
y=- +3x²,y= x²-x³+25, y=2²+2x, s=1+t+5t²．
2．圆的半径是l㎝，假设半径增加x㎝时，圆的面积增加y㎝²．
(1)写出y与x之间的关系表达式；
(2)当圆的半径分别增加lcm、 ㎝、2㎝时，圆的面积增加多少?
四、课时小结
1．经历探索和表示二次函数关系的过程，猜想并归纳二次函数的定义及一般形式。
能够利用尝试求值的方法解决实际问题.
情感价值观
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲.
2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体验数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.
3．通过学生之间的互相交流合作，培养大家的合作意识.
教学重点
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§2.1 二次函数所描述的关系教案
授课时间：2011.5.30 备课时间：2011.5.26 教学目标：
(一)教学知识点
1．探索并归纳二次函数的定义．
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系． (二)能力训练要求
1．经历探索，分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用 数学的方法描述变量之间的数量关系．
2．让学生学习了二次函数的定义后，能够表示简单变量之间的二次函数关系． 3. 能够利用尝试求值的方法解决实际问题． (三)情感与价值观要求
1．从学生感兴趣的问题入手，能使学生积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲． 2．把数学问题和实际问题相联系，使学生初步体会数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用．
3．通过学生之间互相交流合作，让学生学会与人合作，并能与他人交流思维的过程， 培养大家的合作意识．
教学重点：
1．经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验。
2．能够表示简单变量之间的二次函数关系．
教学难点：
经历探索和表示二次函数关系的过程，获得用二次函数表示变量之间关系的体验． 教学过程：
一、创设问题情境，引入新课
提问：1、大家还记得我们学过哪些函数吗?
2、函数的定义是什么?
（在某个变化过程中，有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定 了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量．） 归纳学过的函数：
一次函数y=kx+b ．(其中k 、b 是常数，且k ≠0) 正比例函数y ＝kx(k 是不为0的常数)． 反比例函数y=
x
k (A 是不为0的常数)．
从上面的几种函数来看，每一种函数都有一般的形式．那么二次函数的一般形式究竟是什么呢?本节课我们将揭开它神秘的面纱． 二、新课讲解
1、由实际问题探索二次函数关系
投影片：
某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?
(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (3)如果果园橙子的总产量为y 个，那么请你写出y 与x 之间的关系式． 请大家互相交流后回答． 学生讨论得出：
(1)变量有树的数量，每棵树上平均结的橙子数，所有的树上共结的橙子数．其中
树的数量是自变量，每棵树上平均结的橙子数以及所有的树上共结的橙子数是因变量．
(2)假设果园增种x 棵橙子树，那么果园共有(x+100)棵树，平均每棵树就会少结5x 个橙子，则平均每棵树结(600-5x)个橙子．
(3)如果果园橙子的总产量为y 个，则 y=(x+100)(600-5x)＝-5x 2
+100x+60000． 提问：判断一下上式中的y 是否是x 的函数?若是函数，与原来学过的函数相同吗? 2、想一想
在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多? 我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗?自己试一试． x/棵 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 y/个
请大家先填表，再猜测．
（从左到右依次填60095，60180，60255，60320，60375，60420，60455，60480，60495，60500，60495，60480，60455，60420．）
可以猜测当x 逐渐增大时，y 也逐渐增大．当x 取10时，y 取最大值．x 大于10时，y 的值反而减小，因此当增种10棵橙子树时，橙子的总产量最多． 3、做一做 投影片：
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量．在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．
设人民币一年定期储蓄的年利率是x ，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税)， 利息的公式：利息＝本金×利率×期数(时间)． 一年后的本息和为(100+100x ·1)=100(1+x)．
再计算出两年后的本息和，这时，一年后的本息和将作为第二年的本金． y ＝100(1+x)+100(1+x)x ×l =100(1+x)+100(1+x)x
＝100(1+x)(1+x)
=100(1+x)2=100x 2+200x+100．
提问：在这个关系式中，y 是x 的函数吗?是x 的什么函数?请猜想． 4、二次函数的定义
一般地，形如y ＝ax 2
+bx+c(a ，b ，c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数(quadratic function)．
上面说的只是一般形式，并不是每个二次函数关系式必须如此，有时没有一次项，有时没有常数项，有时这两项都不存在，只要有二次项存在即为二次函数．如正方形面积A 与边长a 的关系A ＝a 2，圆面积S 和半径r 的关系S ＝πr 2也都是二次函数的例子． 三、课堂练习
随堂练习(P 39) 四、课时小结
本节课我们学习了如下内容：
1. 经历探索和表示二次函数关系的过程．猜想并归纳二次函数的定义及一般形式． 2．利用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多． 五、课后作业 习题2．1
Ⅵ．活动与探究
若y ＝(m 2
+m)x m2-m
是二次函数，求m 的值．
分析：根据：二次函数的定义，只要满足m 2+m ≠0，且m 2-m=2，y=(m 2+m)x m2-m 就是二次函数． 解：由题意得 m 2+m ≠0，
m 2-m=2．
m ≠0或m ≠-1, 解，得．
m=2或m ≠-1,
故若y ＝(m 2
+m)x
m2-m
是二次函数，则m 的值等于2．
自我检测
【基础练习】 一、填空题：
1. 已知Rt △ABC 中，∠B = 60°，则它的面积y (cm 2)与斜边长x (cm)之间的函数
关系是 ；
2. 有一个长120米，宽110米的矩形操场，现准备把它扩建成周长为500米的矩形
操场. 若长增加x 米，宽增加y 米，扩建后的操场面积为S 平方米，则y 关于x
的函数关系式为 ，S 关于x 的函数关系式为 . 二、选择题：
1. 已知正方形的周长为C cm ，则其面积S （cm 2）关于周长C （cm ）的函数关系式为（ ）；
A. S = 14C
B. S = 14C 2
C. S = 18C 2
D. S = 116
C 2
2. 如果等边三角形的边长为x （cm ），那么，它的面积y （cm 2
）与x 的函数关系式为（ ）.
A. y = 12x 2
B. y =
243x C. y = 14x 2 D. y = 2
2
3x 三、解答题：
1. 用一根长7.2米的木料，做成如图2-1所示的“日”字形窗框，设窗框的宽为x 米，求窗框的面积S （平方米）与x 的函数关系式.
2. 在周长为13 cm 的矩形铁片上剪去一个边长等于矩形宽（x cm ）的等边三角形，设剩下的面积为
y （cm 2），求y 与x 的函数关系式.
【综合练习】
某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每上涨1元，月销售量就减少10千克.设销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，求y 与x 的函数关系式；并用尝试的方法确定当销售单价为每千克多少元时，可获得最大月销售利润.
【答案】：
【基础练习】一、1. 2
8
3x
y =
； 2. y = 20 – x (0≤x ≤20)，S = - x 2 + 10x + 15 600 (0
≤x ≤20)；
二、1. D ； 2. B. 三、1. y = x
x
6.32
32
+-，（0<x <2.4）. 2. x
x y
213
4312+⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=, (0＜x
≤13))
32(-.
【综合练习】y = - 10x 2 + 140x – 40 000，销售单价为每千克70元时，可获得最大月销售利润.
图2-1。