二次函数所描述的关系
二次函数所描述的关系
二次函数所描述的关系引言二次函数是一种常见的数学函数形式，由形如y=ax2+bx+c的方程所描述。
其中a、b和c是实数常数，并且a eq0。
二次函数的图像通常是一个开口朝上或朝下的曲线，它在数学、物理和工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍二次函数的基本概念，探讨二次函数图像的性质，以及二次函数在现实世界中的应用。
二次函数的基本形式二次函数是一种以x的二次幂为最高次的多项式函数。
其基本形式是y=ax2+bx+c，其中a、b和c分别是函数的系数。
•当a>0时，二次函数的图像开口朝上，称为正向开口的二次函数。
•当a<0时，二次函数的图像开口朝下，称为负向开口的二次函数。
二次函数的图像通常是一条平滑的曲线，关于 $x = -\\frac{b}{2a}$ 对称。
二次函数图像的性质二次函数的图像具有一些重要的性质，包括顶点、对称轴、开口方向和零点等。
1.顶点：二次函数的顶点表示图像的最高点或最低点。
顶点坐标可以通过 $x = -\\frac{b}{2a}$ 计算得出，并且x的值表示对称轴的位置，y的值表示函数的最大值或最小值。
2.对称轴：二次函数的对称轴是通过顶点和垂直于x轴的直线得出的。
对称轴的方程是 $x = -\\frac{b}{2a}$，它将图像分成两个对称的部分。
3.开口方向：二次函数的开口方向由系数a的符号决定。
当a>0时，图像开口朝上；当a<0时，图像开口朝下。
4.零点：二次函数的零点是函数曲线与x轴交点的横坐标值。
零点可以通过求解方程ax2+bx+c=0得到。
当方程有两个不同的实数解时，图像与x轴交于两个点；当方程有一个实数解时，图像与x轴相切；当方程无实数解时，图像与x轴没有交点。
二次函数的应用二次函数在现实世界中有着广泛的应用，以下是其中几个常见的应用领域：物理学二次函数的图像可以描述一些物体的运动轨迹。
例如，抛体运动的高度和时间之间的关系可以用二次函数来表示。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结在数学中，二次函数是一个具有以下形式的函数：$f(x) = ax^2 + bx + c$。
其中，$a$、$b$和$c$是常数。
二次函数在数学分析、物理学、经济学等领域中都有广泛的应用。
本文将总结二次函数与$a$、$b$和$c$之间的关系。
关系一：二次函数的图像开口方向与$a$的正负有关。
当$a>0$时，二次函数的图像开口向上；当$a<0$时，二次函数的图像开口向下。
这是因为当$a>0$时，$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，所以图像开口向上；当$a<0$时，$f(x) = ax^2 + bx + c$关于$y$轴对称，所以图像开口向下。
关系二：二次函数的图像是否与$x$轴相交与$c$的正负有关。
当$c>0$时，二次函数的图像与$x$轴有两个交点；当$c=0$时，二次函数的图像与$x$轴有一个交点（相切）；当$c<0$时，二次函数的图像与$x$轴没有交点。
关系三：二次函数的顶点坐标与$a$和$b$有关。
对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$，它的顶点的$x$坐标为$x =\frac{-b}{2a}$，$y$坐标为$y = f(\frac{-b}{2a})$。
根据$a$和$b$的不同取值，顶点可以位于$y$轴的上方或下方，并且根据$a$的正负可以确定顶点的凹凸性质。
当$a>0$时，顶点位于图像的下方（凹）；当$a<0$时，顶点位于图像的上方（凸）。
综上所述，二次函数与$a$、$b$和$c$之间存在着紧密的关系。
通过对$a$、$b$和$c$的取值进行分析，可以推断出二次函数的图像特征、对称性以及与$x$轴的交点情况等。
这种关系在数学中具有重要的意义，对于解题和应用中的问题分析都起到了重要的作用。
了解和掌握这些关系，有助于提高对二次函数性质的理解和应用能力。
在实际应用中，二次函数与$a$、$b$和$c$的关系也有着重要的应用。
九年级数学下册 第2章二次函数讲学稿(无答案) 北师大版
第二章 二次函数第1节 二次函数所描述的关系本节内容：二次函数的定义 列函数关系式（重点）一般地，形如的二次函数。
的函数叫做是常数，x a c b a c bx ax y )0,,(2≠++= 例如：的二次函数。
等等都是x x y x x y x x y 13,2,32222+-=+=--= 在理解二次函数的定义时，应注意以下几点：（1）任何一个二次函数的关系式都可以化成)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，的形式，因此，把)0,,(2≠++=a c b a c bx ax y 是常数，叫做二次函数的一般式，其中c bx ax 、、2分别是二次项、一次项和常数项。
（2）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 中，y x 、是变量，c b a 、、是常量。
自变量x 的取值范围是全体实数，b 和c 可以是任意实数，要特别注意a 必须是不等于0的实数。
因为当a =0时，c bx ax y ++=2就是c bx y +=，若0≠b ，则c bx y +=是一次函数；若0=b ，则c y =，就是一个常数函数。
（3）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 与一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有密切联系，如果将变量y 换成一个常数，那么这个二次函数就是一个一元二次方程。
■例1下列函数中，y 是x 的二次函数的是（ ）A ．012=++y x B.2)1()1)(1(---+=x x x y C.242x y ++= D.022=-+y x函数关系式其实是一个等式，左边字母表示的量随右边的字母变化而变化，所以左边的字母（因为右边的的字母变化它才变化）叫因变量，右边的字母是自己不断的变化，所以叫自变量。
（1）在实际问题中，要表示两个变量间的关系，需找到问题中的等量关系，列出含有这两个变量的二元方程，再按要求化成用含一个变量的式子表示另一个变量的形式。
（2）用尝试求值的方法解决实际问题，可以列出表格，依次对自变量取值，求出它们对应的函数值，然后取得符合题意的值。
《二次函数》优质PPT课件(共65页ppt)
抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500
北师大版九年级数学下册2.1二次函数所描述的关系导学案
，c
m
时，是正比例函数. .
3.若 y (m2 1) xm
是二次函数，则 m=
4.下列函数关系中，可以看作二次函数 y=ax2＋bx＋c (a≠0)模型的是( ).
A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系； B．我国人口年自然增长率为 1%，这样我国人口总数 随年份的变化关系； C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号 弹的高度与时间的关系(不计空气阻力)； D．圆的周长与圆的半径之间的关系．
第 1 页 /共 5 页
，它的二次项系数为 一次项系数为 ，常数项为 .
,自我评价：小Fra bibliotek长评价：第 2 页 /共 5 页
合作探究一：
某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子. 现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么 树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验 估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子，且增 加的橙子树最多不得超过 20 棵. (1)问题中的变量是 其中 是自变量， 和 . 是因变量.
2
．
m4
(m 2) x 3 . 当 m
为何值时，y 为二次函数？当 m 为何值时，y 为一次函 数？
课后作业：
课本第 39 页，习题 2.1，知识技能，1；问题解决，3.
教师评价： 补案：
第 5 页 /共 5 页
3、 (15 分)下列各式中，y 是 x 的二次函数的是(
A. xy=x2-1；B.x2+y-2=0；C. y2-ax=-2；D. x2-y2+1=0. 4、 (15 分)某商场将进价为 40 元的某种服装按 50 元售出
达标 检测：
时，每天可以售出 300 套．据市场调查发现，这种服装 每提高 1 元售价，销量就减少 5 套.则每天销售利润 y 与售价 x 的函数表达式为 5、 (40 分)已知函数 y (m 3) xm
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是高中数学中重要的一个概念，它在数学和实际问题中都有广泛应用。
二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数。
本文将总结二次函数与a、b、c之间的关系。
1. a的影响：a决定了二次函数的开口方向和大小。
当a>0时，二次函数的抛物线开口向上，函数的值随着自变量的增大而增大；当a<0时，二次函数的抛物线开口向下，函数的值随着自变量的增大而减小。
a的绝对值越大，抛物线的开口越大。
2. b的影响：b决定了二次函数抛物线的平移方向和程度。
当b>0时，抛物线向右平移；当b<0时，抛物线向左平移。
b的绝对值越大，抛物线平移的水平距离越大。
3. c的影响：c决定了二次函数抛物线的纵向平移。
当c>0时，抛物线向上平移；当c<0时，抛物线向下平移。
c的绝对值越大，抛物线平移的垂直距离越大。
4. a、b、c之间的综合关系：a、b、c之间的关系可以通过顶点坐标来描述。
对于二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，其中顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
通过顶点坐标可以判断抛物线的开口方向和顶点的位置。
综上所述，二次函数与a、b、c之间存在着密切的关系。
通过a、b、c的取值可以确定二次函数的形状、平移和开口方向。
理解和掌握这些关系对于解决二次函数相关问题具有重要意义。
二次函数在数学中的应用非常广泛，包括几何、物理和经济等领域。
在几何中，二次函数可以描述抛物线的形状和轨迹；在物理中，二次函数可以描述自由落体运动的轨迹；在经济中，二次函数可以描述成本和收益的关系。
因此，理解二次函数与a、b、c之间的关系，不仅对于学习数学理论，也对于实际问题的分析和解决都有着重要的帮助。
总结一下，二次函数与a、b、c之间的关系可以通过a的正负确定开口方向和大小，通过b的正负确定水平平移方向和程度，通过c的正负确定垂直平移方向和程度。
二次函数与abc的关系总结
二次函数与abc的关系总结二次函数是数学中的一个重要概念，它的一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
在二次函数中，a决定了函数的开口方向和开口的大小，b决定了函数的对称轴位置，c则是函数的纵轴截距。
首先，我们来看a与二次函数的关系。
当a>0时，二次函数的开口向上，形状类似于一个U型；当a<0时，二次函数的开口向下，形状类似于一个倒置的U型。
而当a的绝对值越大时，二次函数的开口越大，曲线越陡峭；当a的绝对值越小时，二次函数的开口越小，曲线越平缓。
接下来，我们来看b与二次函数的关系。
b决定了二次函数的对称轴位置。
对称轴是二次函数的一个重要特征，它是垂直于x轴的一条直线，将二次函数分为两个对称的部分。
当b>0时，对称轴在y轴的右侧；当b<0时，对称轴在y轴的左侧。
而当b的绝对值越大时，对称轴离y轴越远；当b的绝对值越小时，对称轴离y轴越近。
最后，我们来看c与二次函数的关系。
c是二次函数的纵轴截距，即当x=0时，函数与y轴的交点。
当c>0时，二次函数与y轴的交点在y轴的上方；当c<0时，二次函数与y轴的交点在y轴的下方。
而当c的绝对值越大时，二次函数与y轴的交点离原点越远；当c的绝对值越小时，二次函数与y轴的交点离原点越近。
综上所述，二次函数的形状、对称轴位置和纵轴截距都与a、b、c 有着密切的关系。
通过调整a、b、c的值，我们可以改变二次函数的形状、位置和交点，从而得到不同的二次函数图像。
这对于解决实际问题、分析数据趋势等具有重要的意义。
例如，在物理学中，二次函数可以用来描述抛物线运动的轨迹；在经济学中，二次函数可以用来描述成本、收益等与产量的关系；在工程学中，二次函数可以用来描述曲线的形状和变化趋势。
因此，对于理解二次函数与a、b、c的关系，我们可以更好地应用数学知识解决实际问题。
总之，二次函数与a、b、c之间存在着密切的关系。
二次函数-第一讲
第一讲 1.二次函数所描述的关系（教师版）授课时间：授课教师：卢老师教学重点：二次函数的有关概念，表示简单变量之间的二次函数关系；掌握的图像和性质及描点作图法；掌握的图像和性质。
中考提示：利用二次函数解决实际问题教学过程：知识点1；二次函数的概念一般的，形如的函数叫做的二次函数。
【知识拓展】（1）二次函数的形式是关于自变量的二次整式，其中二次项系数不能为0，如果二次项系数为0，那么二次函数就变成一次函数或常函数了。
（2）确定一个函数是不是二次函数，应注意自变量的最高次数是否为二次，再看它是否是一个二次的整式，最后再分析二次项系数是否为0，只有认真判断这三个方面后才能得出正确结论。
【例1】下列函数是二次函数的是( )A: B: C: D:知识点2：二次函数的一般形式任意一个二次函数的解析式都可以化成形式，因此，把叫做二次函数的一般形式，其中，，,分别是二次项、一次项、和常数项，而和分别是二次项系数和一次项系数。
【知识拓展】（1）在一般式中，只有当时，才是二次函数；当时，，若，则它是一次函数；若，则是一个常函数。
（2） 在中，的取值范围是全体实数，且按的降幂排列。
（3） 二次函数与一元二次方程有着密切的联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就变成一个一元二次方程了。
【例2】如果函数是二次函数，试确定m的值。
【易错点】易忽略二次函数定义中的二次项系数这一隐含条件【例3】已知函数是关于的二次函数，你能确定的值？2. 结识抛物线知识点3：二次函数的图像和性质（1） 二次函数的图像是一条抛物线，它关于轴对称，它的顶点坐标是（0，0）。
（2） 当时，抛物线开口向上；当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，顶点是抛物线上位置最低的点。
（3） 当时，抛物线开口向下；当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，顶点是抛物线上位置最高的点。
【知识拓展】a：的符号决定抛物线的开口方向b：的绝对值决定抛物线的开口大小；越大，开口越小，图像上升（或下降）的速度越快；c：如果两条抛物线和中，，那么这两条抛物线的形状相同。
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温故知新
函数知多少
变量之间的关系
函数
一次函数 y=kx+b (k≠0)
正比例函数 y=kx(k≠0,b=0)
反比例函数
y k k 0.
x
二次函数
二次函数的定义
想一想
源于生活的数学p37
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个 橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如 果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受
60375
x - 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 -
y
- - 60420
60480
60500
60480
60420
60375
60455
60495
60495 60455
60375
想一想
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就 是说，利率是一个变量.在我国,利率的调整是由 中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
的阳光就会减少. 根据经验估计,每多 种一棵树,平均每棵 树就会少结5个橙子.
想一想
源于生活的数学
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但 是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所 接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一 棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
一、请准确填空
1.设一圆的半径为r，则圆的面积S=______，其中变量
是_____.
2.有一长方形纸片，长、宽分别为8 cm和6 cm，现
在长宽上分别剪去宽为x cm (x<6)的纸条(如图1)，则剩
余部分(图中阴影部分)的面积y=______，其中_____是
自变量，_____是因变量.
8
6
x x
(1)若这个函数是一次函数，求m 的值;
(2)若这个函数是二次函数，则m 的值
应怎样？
2.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出２０件，每件盈利４
０元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当降
价措施。经调查发现，如果每件衬衫每降价１元，商场平均每天可
多售出２件。于是商场经理决定每件降价１２元。同学们，请问经
(3) y=2²+2x
(4) s=1+t-5πt²
上述函数中,哪些是二次函数？如果是，找出其对应的 二次项系数a，一次项系数b、常数项c.
小试牛刀
如果函数y= xk2 3k 2 +kx+1是二次函数,
则k的值一定是______
如果函数y=(k-3) xk2 3k 2+kx+1是二
次函数,则k的值一定是______一般形式是 _________
（3）如果设总盈利为y元，写出y与x之间的关系式
y=(40-x)(20+2x)
小结 拓展
1.定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常 数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
2.定义中应该注意的几个问题
3.二次函数的几种不同表示形式: (1)y=ax² --------- (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0). (4)y=ax²+bx+c -- (a≠0,b≠0,c≠0).
y是x的函数吗？ y是x的一次函数？是反比例函数？
有何 定义：一般地,形如 特点 y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)
的函数叫做x的二次函数.
思索归纳
二次函数
y=-5x²+100x+60000, y=100x²+200x+100. 定义：一般地,形如y=ax²+bx+c(a,b,c 是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数.
(1)问题中有那些变量？其中哪些是自变 量？哪些是因变量？
(2)假设果园增种x棵橙子树,那么果园共有多少 棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y 与x之间的关系式.
想一想
生活问题数学化
果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结 （600-5x）个橙子,因此果园橙子的总产量
提示:
(1)关于x的代数式一定是整式,a,b,c为常数,且 a≠0.
(2)等式的右边最高次数为2,可以没有一次项 和常数项,但不能没有二次项.
随堂练习
1.下列函数中,哪些是二次函数？
怎么(1）y=3（(x是-1）)²+1;
判 (3) s=3-2t².
断
（是）
1 (2).y x .
（不是）x
1 (4).y x2 x .
3.下列函数中：①y=－x；2 ②y=2x；③y=22+x2－x3；
④m=3－t－t 2 是二次函数的是______(其中x、t为自
变量).
4.若函数y =ax2经过点A ( 3 ，－9)，则其表
达式为 ______.
5.直线y=x+2与y=x2的交点坐标是______. 二、解答： 1.已知函数y=(m2－m)x2+(m－1)x+m+1.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到 期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转 存.如果存款是100元,那么请你写出两年后的本 息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
?
y = 100(x+1)² = 100x²+200x+100.
思索归纳
二次函数
y=-5x²+100x+60000,
y=100x²+200x+100.
理的决策正确吗？如果你是经理，你将如何决策？
吗决
（1）哪个变量是自变量？哪个是因变量？
？策 正
（2）如果设降价为x元，那么此时每件盈利
确
元？每天可售出 件？并填写下表：
每件盈利（元） 销售件数（件） 总盈利（元）
降价前 降价后
40
20
40×20
（40－x） （20+2x） (40-x)(20+2x)
y = (100+x)(600-5x)
= -5x²+100x+60000.
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果 园橙子的总产量最多？
例题欣赏
y=-5x5 60500 60495
60480
60480
60455
60455
60420
60420
60375
你能根据表格中的数据作出猜想 吗
? (5)y=(x+3)²-x². （不是）
（不是）
(6) v=10πr².
（是）
随堂练习
2.用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场 地面积S(m²)与矩形一边长a(m)之间的关系 是什么？是函数关系吗？是哪一种函数？
小试牛刀
是否
(1)y=
1 2
-3x²
(2) y= 12x²+x³+25
二次项 一次项 常数项c 系数a 系数b