体育统计第三章

n X 3 80 75 P75 L75 + （ -C75）=130+ （ -42）132.8 = f 75 100 19 100 i
中位数和平均数一样，也用来 反映变量的集中趋势，它适用于定 序以上的变量。中位数只用到数值 的相对位置，当数据严重偏态，有 个别极端值特别大或特别小的，不 会影响中位数的大小。因而当数据 严重偏态，平均数失去应有的代表 性时，用中位数来反映数据的集中 趋势更合适。
算术平均数是反映同质对象观察值的 平均水平与集中趋势的统计量。它适用于 定距及其以上测度的变量。均数作为变量 的集中量数，既考虑到频次的多少，又考 虑到变量值的大小，故它是可靠的、灵敏 的，也是对资料所提供信息运用最充分的。 加上它适合代数运算，计算简便，因此， 是一个用途最广、效果很好的统计量。但 均数会受少数极端数据的影响而大大改变 其数值，从而相对地削弱它作为集中量数 的代表性。因此，严重偏态的分布，用均 数往往不能较好地反映资料的集中趋势。
X
0.45 100% 3.21 • 100米：CV 14
18.4 CV • 立定跳远： 221.4 100% 8.31
• 结果表明100米跑成绩比立定跳远整齐。
第三节 偏态度与峰态度
偏态度和峰态度是用于描述数据分布特征的统计 量。在考察频数分布是否呈正态分布时，也恰好可以 用偏态度和峰态度来作比较性量度。 一、偏态度 非对称分布必定向某一方偏斜，且有不同的偏 斜程度。偏态度（或称偏态系数）是反映分布的偏斜 方向与程度的指标，用表示。当用原始数据计算偏态 系数时其公式为：
x 也可简写为：X
n
（3.1）
▲ 补充内容：连加和的缩写式
★ 在高等数学中，采用连加求和缩写式 形式来表示连加求和数，它的一般形式为: 其中：∑连加求和号 xi 变量（一组观测数据） 在 x 中， i 是下标，n 是上标 , i 、n 表示连 加求和的界限，即从通项公式具体分解的第一项开 始相加一直到第n项为止。各具体项根据 i 的取值 不同而有所不同，i 取1为第一项，取“n”为第n项。

x1
x2 xn
2
为了避免符号过于复杂，今后凡在求和范围可以看清的 条件下，通常将∑号上下标省略不写，简记为
x
i
例3.1 某少年组运动员10人，立定跳远成绩 （单位：米）如表3.1所示，试求其均值。
表3.1
2.7 2.68 ... 2.89 解： X 2.836(米) 10
i n 3 80 M d =L+ （ -C）127+ （ -22）129.7 = = f 2 20 2
表2.3 二年级80名学生身高频数分布表
身高 登记 频数 累计频数 累计频率（%）
115~ 118 ~ 121 ~ 124 ~ 127 ~ 130 ~ 133 ~ 136 ~ 139 ~ 142 ~ 总和
表3.5
二、峰态度
• 分布曲线有陡峭和平坦之分，描述它的指标是 峰态度（或称峰态系数），用 K u 表示。当用 原始数据计算峰态系数时其公式为： (X X )
二、变异系数
• 标准差是带有与原观察值相同单位的名数。它对 两种单位不同或单位相同而两个平均数相差较大 的资料，都无法比较差异的大小，必须用变异系 数进行比较。 • 所谓变异系数是指标准差与平均数的百分比。它 是没有单位的相对数。用公式可表示为：
S CV 100% X 式中， 表示变异系数。 CV
( X X )3 n s3
Sk
（3.9）
当 Sk 0 时，分布呈对称形；当Sk 0 ，分 布左偏，右侧有长尾，称正偏态；当Sk 0 时， 分布右偏，左侧有长尾，称负偏态。 用偏态系数判别分布的形态，通常应有较 大的样本。一般认为判断 S k 时，应有n>200。 为了从简介绍计算方法，现仅用少量数据来说 明。 例3.9 某小组10名学生跳远成绩得分如表3.5 所示，求偏态系数。
i 1 i n
x
i 1Leabharlann ni▲ 补充内容：连加和的缩写式
体育中常用的连加求和运算：
x
i 1
n
i
x1 x2 x n
x y
i 1
n
n
i
i
x1 y1 x2 y2 xn yn

i 1
2 2 2 xi2 x1 x 2 x n
2
n xi i 1
第三章
样本特征数
从频数分布表及频数分布直方图上，可看 出样本观察值分布的两个特征： 一是数据有向某个位置点集中的趋势， 二是有由集中位置点向两边离散的趋势。 反映集中趋势的数称为集中量数，如平 均数、中位数和众数等； 反映离散特征的数称为离散量数，如全 距、方差和标准差等。 它们反映样本分布的特征，称为样本特 征数。样本特征数都是来自样本的统计指标， 所以又称统计量。
如已将数据整理成频数分布表，则 可用如下公式计算中位数的近似值：
i n M d =L + （ -C） f 2
• • • • •
(3.2)
式中，L表示中位数所在组的下限 f表示中位数所在组的频数 C表示中位数所在组前一组的累计频数 i表示组距 n表示总频数
• 例3.2 以表2.3为例，说明计算中位数的方法： • 首先确定中位数所在的组，在累计频数一栏中， 从小到大查找到略大于总频数一半的数值，该 数值对应的组就是中位数所在的组。 • 表2.3中“127~”这一组就是中位数所在的组。 • 查该组下限L=127，f=20，i=3，n=80，C=22， 代入公式（3.2）
i nX Px Lx + （ -C x） f x 100
式中，表示百分位数 X 表示百分位数相对应的比数 Lx 表示百分位数所在组的下限 f x 表示百分位数所在组的频数 C x 表示百分位数所在组前一组的累计频数 i 表示组距 n 表示总频数
(3.3)
• 例3.3 仍以表2.3为例，求第75百分位数。 • 首先根据累计频率这一栏找出第75百分位数所在 的组。从小到大查至略大于比数75的值为76.25， 对应的组就是第75百分位数所在的组，即表2.3 中“130~”这一组。 • 查该组下限 L75 =130，f 75 =19，C 75 =42，i=3， n=80，X=75，代入公式（3.3）
第二节 离散量数
一、方差与标准差 • 要全面反映一组数据的特征，仅用平均数描述是 不够的。例如，两组学生的引体向上成绩分别为： • 甲组：3，5，5，5，5，6，6 • 乙组：1，2，4，5，6，8，9 • 虽然两组数据的均值都是5，但从直观上我们不难 发现，两组数据的内部差异（离散程度）是很不 一样的。因此，我们还必须有能反映数据资料离 散程度的指标。 • 反映数据资料离散程度最简单的指标是全距。由 于全距只用了数据资料中两个极端值的信息，其 他观察值没有考虑进去，因此很不全面，于是就 有人提出用方差来反映数据资料的离散程度。
(x X ) s n 1
2
（3.6）
s2 ( X X )2 n 1
（3.7）
式中的n-1，在统计学中称为自由度。
• 标准差是最重要的反映数据资料离散程度的指标。同 时，它还能对平均数的代表性作出补充说明。标准差 越大，表明这组数据的离散程度越大，平均数的代表 性越差；反之，标准差越小，表明这组数据的离散程 度越小，平均数的代表性就越好。 • 方差和标准差具备一个良好离散量数所应具备的一些 条件：反应灵敏——随任何一个数据的变化而变化； 严密确定——一组数据的方差和标准差有确定的值； 适合代数运算——可将几个方差或标准差合成一个总 的方差或标准差。用样本数据推断总体差异量时，方 差和标准差是最好的估计量。但方差和标准差也有缺 点，主要是容易受两侧极端数据的影响。 • 与其他离散量数相比，方差和标准差应用最为广泛。 当描述一组数据的离散程度和集中量用平均数表示时， 离散量要用标准差表示。除此之外，在计算其他统计 量时，如计算变异系数、相关系数和标准分等，都需 要用到标准差。而在统计推断中常常用到方差。
2
N
由于在计算方差时，每个数据与平均数 的离差有正有负，所以需要平方，使之变 为正数，但是数据的单位同时也被平方了。 为了使离散量数的单位与原始数据相一致， 又需要开平方。方差的平方根称为标准差。 起定义公式为：

(x )
N
2
（3.5）
上述的公式3.4与公式3.5是求总体方差和 总体标准差的公式。需要说明的是：统计学中 已证明用公式3.5所得到的样本标准差用s表示， 在估计总体标准差时，是有偏估计量，并且还 证明了以n-1作为分母所得到的样本标准差s才 是无偏估计量。于是有样本标准差和样本方差 的计算公式：
（3.8）
有公式3.8可知，变异系数就是以平均数为单位， 视标准差占平均数的百分比的大小来衡量差异的 程度。变异系数越大，表明离散程度越大；变异 系数越小，表明离散程度越小。
• 例3.8 测得100名男生100米跑成绩=14秒， s=0.45秒；立定跳远=221.4厘米，s=18.4厘米， 试比较两项成绩哪一项整齐。 • 解：用两项变异系数进行对比。 S • 将已知值代入公式： CV 100%
• 方差是指离差平方的算术平均数。其定义公式 2 为： (x ) 2 （3.4） =

• • • • • •
式中， 表示总体方差 表示总均数 x 表示离差（即每个数据与平均数的差数） ( x ) 表示离差平方和 N表示总频数 方差是数理统计中非常重要的反映数据资料离 散程度的指标。
第一节 集中量数
一、算术平均数 算术平均数是所有观察值的总和除以 总频数所得之商，简称为平均数或均数， 用表示。它是统计学中最常用的一种集中 量数。设一组样本数据为： x1 , x2 , x3 , xn ， 共n个，则算术平均数可表示为