平新乔《微观经济学十八讲》课后习题(第16~18讲)【圣才出品】

平新乔《微观经济学十八讲》课后习题
第16讲一般均衡与福利经济学的两个基本定理
1．考虑一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下
()()211212,u x x x x =()
118,4e =()()()
21212,ln 2ln u x x x x =+()23,6e =（1）描绘出帕累托有效集的特征（写出该集的特征函数式）；
（2）发现瓦尔拉斯均衡。

解：（1）由消费者1的效用函数()()2
11212,u x x x x =，可得121122MU x x =，122122MU x x =，故消费者1的边际替代率为121
1112212
121212122MU x x x MRS MU x x x ===。

同理可得消费者2的边际替代率为22212
212x MRS x =。

在帕累托有效集上的任一点，每个消费者消费两种物品的边际替代率都相同，即：
121212
MRS MRS =从而有：
122212112x x x x =①
又因为212210x x =-，211121x x =-，把这两个式子代入①式中，就得到了帕累托有效集的特征函数：
1122111110422x x x x -=-②
（2）由于瓦尔拉斯均衡点必然位于契约曲线上，所以在均衡点②式一定成立。

此外在
均衡点处，预算线和无差异曲线相切（如图16-1所示），这就意味着边际替代率等于预算线的斜率，即：
111212121121
1418x p x MRS p x x -===-③
联立②、③两式，解得：1158/4x =，1258/11x =。

进而有21112126/4x x =-=，21221052/11x x =
-=。

图16-1均衡时边际替代率等于预算线的斜率
2．证明：一个有n 种商品的经济，如果（1n -）个商品市场上已经实现了均衡，则第n 个市场必定出清。

证明：假设第k 种商品的价格为k p ，{}1,2,,k n ∈ 。

系统内存在I （I 为正整数）个消
费者，第i 个消费者拥有第k 种物品的初始禀赋为i k e ，而第i 个消费者对第k 种商品的消费
量为k i x ，根据瓦尔拉斯定律可知系统中的超额的市场价值为零，即：
()
10n i i k k k k i I i I p x e =∈∈-=∑∑∑当前1n -个商品市场已经实现均衡，即前1n -个商品市场的超额需求为零，这时有：
()()
()1100n i i i i k k k n k k k i I i I i I i I
i i n k k i I i I
i i k k i I i I p x e p x e p x e x e -=∈∈∈∈∈∈∈∈-+-=∑∑∑∑∑-=∑∑=∑∑
由此就可以得出第n 个市场的超额需求也为零，即第n 个商品市场也实现了均衡。

3．有一种两个消费者、两种物品的交易经济，消费者的效用函数与禀赋如下
(){}
11212,min ,u x x x x =()130,0e =()212,2v p y p p ()
20,20e =注意：第2个消费者的效用函数在这里是间接效用函数。

（1）发现瓦尔拉斯一般均衡。

（2）如果禀赋状态为()15,0e =，()20,2e =，重新计算一般均衡。

解：（1）由消费者1的效用函数的形式可以得到相应的马歇尔需求函数为：
111121212
30p m x x p p p p ===++对消费者2，根据罗伊恒等式(),i i v p x p m v ∂∂=-∂，可以得到他的马歇尔需求函数为：22101,22i i i
p m x i p p ===均衡时，每种商品市场都会出清，这就意味着：
12122
30202002p p p p p +-=+解得1212
p p =，从而有：111210x x ==；2120x =；2210x =。

（2）若禀赋状态为()15,0e =，()20,2e =。

此时消费者1的马歇尔需求函数为：
111121212
5p m x x p p p p ===++消费者2的马歇尔需求函数为：222i i i p m x p p =
=，1,2i =。

由均衡时，每种商品市场出清，即：12122520p p p p p +-=+，解得1214
p p =，进而可得11121x x ==；214x =，221x =。

4．假定在一个经济中只有三种商品（1x ，2x ，3x ），对于2x 与3x 的超额需求函数为
221313/2/1
ED p p p p =-+-
321314/2/2
ED p p p p =--（1）请证明这些函数关于1p 、2p 与3p 是零次齐次的。

（2）运用瓦尔拉斯法则表示，如果230ED ED ==，1ED 也一定为零。

能否同样用瓦尔拉斯法则去计算1ED ？
（3）请解有关均衡相对价格21/p p 与31/p p 的方程组，32/p p 的均衡值是多少？解：（1）对任意的0t >，有：()()()()33222211113322331111
3
21321422422tp p tp p ED tp ED p tp tp p p tp p tp p ED tp ED p tp tp p p =-+-=-+-==--=--=所以2ED 和3ED 关于1p 、2p 与3p 是零次齐次的。

（2）根据瓦尔拉斯法则可知，均衡时每种商品的超额需求的价值之和为零，即：
1230ED ED ED ++=①
如果230ED ED ==由①可知10ED =，把2ED 和3ED 的表达式代入①式中，可以解得：
33222111111
3214223p p p p p ED p p p p p =-+-++=-（3）当市场达到均衡时，必有230ED ED ==，即：
3211321
1321422p p p p p p p p ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩解得：
2131
35p p p p ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩于是33122153
p p p p p p ==。

5．考虑一种两人、两物品的纯粹交易经济。

消费者的效用函数与禀赋如下
()()
11121212,123 8,30u x x x x x x e =++=()()
22121212,89 10,10u x x x x x x e =++=求：
（1）对两种物品的超额需求函数。

（2）为该经济决定均衡价格比率。

解：（1）由题设所给的效用函数可以得出每个消费者的马歇尔需求函数为：()()112111221212
511,21 ,922p p x p p x p p p p =+⨯=⨯+()()222111*********,9 ,122p p x p p x p p p p =
+⨯=⨯+所以两种商品的超额需求函数为：
12222111111
121112222225181021918301522111910309140153022p p p ED x x p p p p p p ED x x p p p =+--=+++-=-=+--=
⨯++⨯+-=-（2）当经济达到均衡时，每个市场的超额需求为零，即：
2112
301515300p p p p -=-=解得：12
2p p =。

6．判断下列命题，并给出理由：
（1）如果知道了契约线，则我们就知道了任何交易的结果。

（2）如果已达到了帕累托有效，则就无法使任何人的状况再得以改善。

答：（1）错误。

理由如下：
契约线是埃奇沃斯方框图中所有帕累托有效的分配点的集合，但是对于一个具体的交易而言，其最终结果还依赖于每个消费者的初始禀赋，如图16-2所示，其中A 和B 是初始禀赋点，可见不同的初始禀赋导致不同的均衡结果。

图16-2
不同的初始禀赋导致不同的均衡
（2）错误。

理由如下：帕累托有效是指在不损害其他任何人的利益的条件下，不能使经济系统中某些人的境况变得更好。

但是如果允许损害某些人的利益，那么对帕累托有效的配置而言，就有可能使某些人的境况变得更好。

比如在一个包括两个消费者和一种商品的经济中，其中一个人拥有全部的商品，而另一个人一无所有，这是一个帕累托有效的配置；但是现在让情况反过来，使得原来一无所有的人拥有全部商品，那么这个人的境况就得到了改善。

7．请证明：在两物品、两个消费者的纯粹交易经济里，帕累托有效的一个必要条件是
1122
1111222
2u x u x u x u x ∂∂∂∂=∂∂∂∂这里，上标表示人，下标表示物。

证明：根据定义，帕累托有效的资源配置可以通过以下最大化问题得到：
()
()12121122111122221212max ,, 1,2
x x x x i i i u x x u x x u
x s x i t e =.+=.=，，，，构造这个问题的拉格朗日函数：
()()()()()
112211122212121212121211112222,,,,,L x x x x u x x u u x x x x e x x e λμμ⎡⎤=---+--+-⎣⎦。