高等数学 复变函数导论
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复变函数第4讲PPT课件
§2.1 解析函数的概念
1.复变函数的导数
1)导数概念：
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1) f (z) ex (cosy i siny)； 解：(1) u e x cos y, v e x siny，
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ，f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;
1.复变函数的导数
1)导数概念：
设函数f (z)在点z0及其邻域内有定义,如果极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z 0
z
存在, 那么就说f (z)在点z0可导. 这个极限值称
为f (z)在点z0的导数.
记作
f
'(z0 )
dw dz
z z0
lim
z 0
f
( z0
u e x cos y, x v e x si n y, x
u e x si ny u v
y v
e x cos y
x y v u
y
x y
故 f (z) e x (cos y i siny)在 全 平 面 可 导 ， 解 析 。
f '(z) u i v e x cos y ie x si ny f (z). x x
条件是 u(x, y) 和 v(x, y)在D内可微，且
满足Cauchy-Rieman方程
u v ,
v
u .
x y x y
并且在解析的条件下
f (z) ux ivx vy iuy
第18页/共26页
例1 判定下列函数在何处可导，在何处解析：
(1) f (z) ex (cosy i siny)； 解：(1) u e x cos y, v e x siny，
第7页/共26页
例如
f
(z)
1 z2
z
,则当z
0,
1时 ，f
'(z)
2z 1 (z2 z)2
.
思考题
实 函 数 中, f ( x) x 2 在( , )内 可 导;
复变函数 全套课件
w1
8
2cos
9 16
i
sin
9 16
,
23
w2
8
2
cos
17 16
i sin 1176,
w3
8
2cos
25 16
i sin 2156.
y
w1
这四个根是内接于中
心在原点半径为8 2 的 圆的正方形的四个顶点.
w2
o
w0 x
w3
24
三、典型例题
例1 对于映射 w z 1 , 求圆周 z 2的象. z
3
三角表示法
利用直角坐标与极坐标的关系
x y
r r
cos , sin ,
复数可以表示成 z r(cos i sin )
指数表示法
利用欧拉公式 ei cos i sin ,
复数可以表示成 z rei 称为复数 z 的指数表示式.
4
方根
w
n
z
r
1 n
cos
2kπ
i sin
2kπ
n
n
6
2cos
12
i
sin
12 ,
w1
6
2cos
7 12
i sin 712,
w2
6
2cos
5 4
i
sin
5 4
.
22
例 计算 4 1 i 的值.
解
1i
2cos
4
i
sin
4
4
1
i
8
2cos 4
2k 4
i sin
4
2k
4
即
w0
8
复变函数_第1讲49页PPT
z 1 z 2 ( x 1 x 2 ) i ( y 1 y 2 ). 2. 两复数的积:
z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ). 3. 两复数的商:
z z1 2x1 x x 22 2 y y1 22 y2ixx 2y 22 1 x y1 22 y2.
3
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和 K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研 究复变函数，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复 变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。 经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理 论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学， 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。
8
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
9
二、复数的代数运算
设z 两 1 x 1 i1 复 ,yz 2 x 2 数 i2 , y 1. 两复数的和:
计算 argz(z≠0)
arg
z
arctan , y 0
的公式
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
18
当z落于一,四象限时，不变。
当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。
平 面 —复 平z面 平或 面
点的表示：zxiy复平面上 P(x， 的 y)点
数z与点z同义.
16
z 1 z 2 ( x 1 x 2 y 1 y 2 ) i ( x 2 y 1 x 1 y 2 ). 3. 两复数的商:
z z1 2x1 x x 22 2 y y1 22 y2ixx 2y 22 1 x y1 22 y2.
3
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy （1789-1866)和 K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研 究复变函数，G.F.B.Riemann (1826-1866)研究复 变函数的映照性质。他们是这一时期的三位代表人物。 经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理 论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学， 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用。
8
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
9
二、复数的代数运算
设z 两 1 x 1 i1 复 ,yz 2 x 2 数 i2 , y 1. 两复数的和:
计算 argz(z≠0)
arg
z
arctan , y 0
的公式
arctan
y x
x 0, y 0
x 0, y 0
18
当z落于一,四象限时，不变。
当z落于第二象限时，加 。 当z落于第三象限时，减 。
平 面 —复 平z面 平或 面
点的表示：zxiy复平面上 P(x， 的 y)点
数z与点z同义.
16
复变函数导数与高等数学中一元函数导数的区别与联系
复变函数导数与高等数学中一元函数导数的区别与联系摘要：1.引言2.复变函数导数的定义及性质3.复变函数导数与一元函数导数的区别4.复变函数导数与一元函数导数的联系5.实例分析6.结论正文：**引言**在高等数学中，导数是一个重要的概念。
无论是为一元函数还是复变函数，导数都有着相似的定义和性质。
然而，它们之间也存在着一些明显的区别。
本文将探讨复变函数导数与一元函数导数的区别与联系，并通过实例进行分析。
**复变函数导数的定义及性质**首先，我们来回顾一下复变函数的导数定义。
设函数f(z)在区域D及其边界上连续，z0在D内，那么复变函数f(z)在z0处的导数定义为：f"(z0) = lim (f(z) - f(z0)) / (z - z0) （z趋近于z0）复变函数的导数具有以下性质：1.线性性质2.微分公式3.链式法则4.反函数定理5.隐函数定理6.泰勒公式**复变函数导数与一元函数导数的区别**1.定义上的区别：一元函数导数是在实数域上进行的计算，而复变函数导数是在复数域上进行的计算。
2.计算方法的区别：一元函数导数可以使用求导公式、链式法则等进行计算，而复变函数导数则需要使用复数的求导法则，如微分公式、链式法则等。
3.应用领域的区别：一元函数导数广泛应用于物理、工程等领域，而复变函数导数则主要应用于复分析、调和分析等领域。
**复变函数导数与一元函数导数的联系**1.基本概念的联系：复变函数导数和一元函数导数都是描述函数在某一点变化率的数学概念。
2.求导法则的联系：无论是复变函数还是一元函数，求导时都需要遵循求导法则，如线性性质、链式法则等。
3.泰勒公式的联系：在泰勒公式中，一元函数和复变函数的导数都可以用来表示函数在某一点附近的近似值。
**实例分析**假设我们有一个复变函数f(z) = z^2 + 2z + 1，我们可以计算其在z = 1处的导数。
f"(1) = lim (f(z) - f(1)) / (z - 1) （z趋近于1）通过计算，我们得到f"(1) = 4。
高等数学课件：chap5_9复变函数的导数与解析函数
（2） u( x, y), v( x, y) 在点 ( x0 , y0 ) 处满足C R 条件：
u v ，v u . x y x y
u x
,
u y
,
v x
,
v y
在点 ( x0 ,
y0 )
处连续。 (得到推论
9.1)
证明：（必要性）设 f (z) 在 z0 可导，即有
f (z0 )
lim
u , u , v , v 在 D 内连续。(得到推论 9.2) x y x y
例 4 判断下列函数何处可导？何处解析？
（1） f (z) e x (cos y i sin y)
解： u( x, y) e x cos y, v( x, y) e x sin y，
ux ex cos y, uy ex sin y,
f z g z f z g(z) f (z)g z
f
z
g
z
f
(
z
)
g
z
f g2 z
z
g
z
(
g
z
0)
f (g(z)) f (g(z))g z
f (z) 1
( w )
（z
(w), w
f (z) 互为反函数，
且(w) 0 ）
注意：复变函数和一元实函数的导数定义，虽然在形式 上类似，但在本质上有很大的不同．因为一元实函数的 导数定义中的极限是一元实函数的极限，而复变函数的 导数定义中的极限对应于二元实函数的极限．
第9节 复变函数的导数与解析函数
9.1 复变函数导数的概念与性质
定义 9.1 设复变函数 w f (z) 在z0 的某邻域 N (z0 ) 内有定义， 如果在点 z0 x0 iy0 处存在一个关于 z x iy 的线性函数 Lz ，使 z0 z N (z0 ) ，有
u v ，v u . x y x y
u x
,
u y
,
v x
,
v y
在点 ( x0 ,
y0 )
处连续。 (得到推论
9.1)
证明：（必要性）设 f (z) 在 z0 可导，即有
f (z0 )
lim
u , u , v , v 在 D 内连续。(得到推论 9.2) x y x y
例 4 判断下列函数何处可导？何处解析？
（1） f (z) e x (cos y i sin y)
解： u( x, y) e x cos y, v( x, y) e x sin y，
ux ex cos y, uy ex sin y,
f z g z f z g(z) f (z)g z
f
z
g
z
f
(
z
)
g
z
f g2 z
z
g
z
(
g
z
0)
f (g(z)) f (g(z))g z
f (z) 1
( w )
（z
(w), w
f (z) 互为反函数，
且(w) 0 ）
注意：复变函数和一元实函数的导数定义，虽然在形式 上类似，但在本质上有很大的不同．因为一元实函数的 导数定义中的极限是一元实函数的极限，而复变函数的 导数定义中的极限对应于二元实函数的极限．
第9节 复变函数的导数与解析函数
9.1 复变函数导数的概念与性质
定义 9.1 设复变函数 w f (z) 在z0 的某邻域 N (z0 ) 内有定义， 如果在点 z0 x0 iy0 处存在一个关于 z x iy 的线性函数 Lz ，使 z0 z N (z0 ) ，有
复变函数的导数
求导公式： (1) (C) 0 , (2) (zn ) nz n1 .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
例3
设 f (z) 3z , 求 f (0) 和 f (i) . 1 z
例 4 设 f (z) (z2 2z 4)2 , 求 f (i) .
一、复变函数的导数
（二）复变函数的导数的运算法则
w
如果极限
lim z0 z
存在。 则称 f (z) 在点 z0 处可导。
此极限值称为 f (z) 在点 z0 处的导数。
记ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ f (z0 ) 或 w zz0或
dw . 即
dz zz0
f
(
z0
)
lim
z0
w z
lim z0
f (z0
z) z
f (z0)
如果函数f（z）在区域D内每一点都可导，则称f（z）在 D 内可导.
（三）解析函数的运算性质
（1） 若函数 f (z) 与 g(z) 在 z0 处解析, 则
f (z) g(z) ,
f (z) g(z) ,
f (z) g(z)
(g(z) 0) 在 z0 处解析。
（2） 若函数 w f (h) 在 区域G内解析, 而 h (z)
在 区域D内解析, 且 (D) G , 则复合函数 w f [(z)]
在 区域D内解析, 且 d f [(z)] d f (h) d (z) .
dz
dh dz
（3） 所有多项式函数在全复平面内处处解析。
任意分式有理函数
P(z) Q(z)
在不含分母为0的点的区域内解析。
（四）解析函数的判定
1. 函数可导性的判别
复变函数课件--复变函数1绪论
引 言
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 x 10 x 40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 5 15与5 15。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 i e cos i sin 揭示了复指数函数与三角函数之 Euler公式 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 1 课件 和 发展。
8
加减法与平行四边形
法则的几何意义:
z2
z1 z2
z1 z2
z1
乘、除法的几何意义:
z1 r 1e
i1
,
z2 r2e
i2
,
z1 z2 r1r2e
i (1 2 )
,
z1 z2 r1r2 z1 z2 Argz1 z2 A rg z1 Argz2
Argz1 z2 Argz1 Argz2
p
2
2kp
k, m , n Z
若取 k 1, 则 n 1, m 1,
在十六世纪中叶，G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次 方程 x 10 x 40时引进了复数。他发现这个方程没有根，并 把这个方程的两个根形式地表为 5 15与5 15。在当时， 包括他自己在内，谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上， 复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并 被认为是没有意义的，不能接受的“虚数”。直到十七与十八世纪， 随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L.Euler 的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家所熟知的 i e cos i sin 揭示了复指数函数与三角函数之 Euler公式 间的关系。然而一直到C.Wessel (挪威.1745-1818)和R.Argand (法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及 K.F.Gauss (德国1777-1855)与W.R.Hamilton (爱尔兰1805-1865) 定义复数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性 的长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 1 课件 和 发展。
8
加减法与平行四边形
法则的几何意义:
z2
z1 z2
z1 z2
z1
乘、除法的几何意义:
z1 r 1e
i1
,
z2 r2e
i2
,
z1 z2 r1r2e
i (1 2 )
,
z1 z2 r1r2 z1 z2 Argz1 z2 A rg z1 Argz2
Argz1 z2 Argz1 Argz2
p
2
2kp
k, m , n Z
若取 k 1, 则 n 1, m 1,
数学物理方法第一章-复变函数导论
24
1． 多项式：
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 + …… + cn z n = ∑ ck z k
k =0
n
Ck: 复 常 数
n：正整数 2． 有理函数：
P( z ) f ( z ) = b +b z +b z 2 +……+b z n = 0 1 2 n Q( z ) n：正整数,且分母 Q(z)不为 0 ak，bk 为复常数
(2) 周期：2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数
(4) 实变函数有关公式可推广：
Z = Z1 ×Z2 = x1+iy） x2+iy） 1 2-yy2)+i(xy2+x2y1) （ ⋅ 1（ 2 =(xx 1 1
Z1 × Z 2 = ρ1eiϕ1 ρ 2 eiϕ2 = ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 +ϕ2 )
(模相乘, 辐角相加)
12
4.除法:
Z= Z1 x1 +iy1 （x1 +iy1） 2 -iy2） (x1x2 +y1y2 ) （x ⋅ x y1 -x y = = = + +i 2 2 1 2 2 Z 2 x2 +iy2 （x2 +iy2） 2 -iy2） x22 +y22 （x x2 +y2 ⋅
8
(2)极坐标表示：
复平面上的点用极坐标 ( ρ , ϕ ) 表示 ⎧ x = ρ cos ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ⎨ y = ρ sin ϕ ⎩ （ ρ ：z的模， ϕ ：z的辐角） 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：
1． 多项式：
f ( z ) = c0 + c1 z + c2 z 2 + …… + cn z n = ∑ ck z k
k =0
n
Ck: 复 常 数
n：正整数 2． 有理函数：
P( z ) f ( z ) = b +b z +b z 2 +……+b z n = 0 1 2 n Q( z ) n：正整数,且分母 Q(z)不为 0 ak，bk 为复常数
(2) 周期：2πi (3) chz：偶函数 shz：奇函数
(4) 实变函数有关公式可推广：
Z = Z1 ×Z2 = x1+iy） x2+iy） 1 2-yy2)+i(xy2+x2y1) （ ⋅ 1（ 2 =(xx 1 1
Z1 × Z 2 = ρ1eiϕ1 ρ 2 eiϕ2 = ρ1 ρ 2 ei (ϕ1 +ϕ2 )
(模相乘, 辐角相加)
12
4.除法:
Z= Z1 x1 +iy1 （x1 +iy1） 2 -iy2） (x1x2 +y1y2 ) （x ⋅ x y1 -x y = = = + +i 2 2 1 2 2 Z 2 x2 +iy2 （x2 +iy2） 2 -iy2） x22 +y22 （x x2 +y2 ⋅
8
(2)极坐标表示：
复平面上的点用极坐标 ( ρ , ϕ ) 表示 ⎧ x = ρ cos ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + i sin ϕ ) ⎨ y = ρ sin ϕ ⎩ （ ρ ：z的模， ϕ ：z的辐角） 注：用极坐标表示一个复数z时，辐角Argz的值不唯一：
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x0
z
lim f ( z ) = f ( z0 ) →
z0
Δf ( x) = f ' ( x0 ) lim → x0 x Δx
Δf ( z ) = f ' ( z0 ) lim z → z0 Δz
复变函数的导数
可导条件
分析
x → x0 y = y0
C-R条件
ux = vy vx = -uy
lim
Δf ( z ) Δf ( z ) = f ' ( z 0 ) = lim x = x0 Δz Δz y→ y
2000 1000 0 -1000 -2000 -10 -5 0 5 10 -10 -5 10 5 0
复变函数
指数函数
定义
w = exp(z)
5 2.5 0 -2.5 -5 -2 0 -1 0 1 2 -5 -2.5 5 2.5
分析
u + iv = exp(x+iy) = exp(x)[cosy +i siny] u = exp(x) cos y , v = exp(x) sin y
复变函数
基本函数
二次函数
定义
w = z2
100 50 0 -50 -100 -10 -5 0 5 -10 -5 10 5 0
分析
u + iv = +2ixy -y2 u = x2 -y2 , v = 2xy (x+iy)2 = x2
10
性质
对称性 无周期性 无界性 单值性
200 100 0 -100 -200 -10 -5 0 5 10 -10 -5 10 5 0
复变函数的分类
复 变 函 数
整式
复变函数（广义）
复数数列
复变函数（狭义）
初等函数
非初等函数
代数函数
超越函数
无限次运算
无限次复合
有理函数
无理函数
级数
无穷乘积
分式
幂级数
傅立叶级数
复变函数
分析与比较
定义域和值域
相同点：
都是数集
不同点：
实数集是一维的，可以在(直)线上表示； 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。
0
充要条件
偏导数 ux ，vy ， vx ，uy 连续 满足C-R条件
x → x0 y = y0
lim
Δf ( z ) Δ u + iΔ v u v +i = lim = x → x0 Δz Δx x x
意义
可导函数的虚部与 实部不是独立的， 而是相互紧密联系 的。
Δf ( z ) Δ u + iΔ v v u i = lim = lim x = x0 y → y0 Δz y y iΔ y y→ y
解析函数
例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势 u(x,y)。 分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式， 电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。 解：设电势为 u=f(x2+y2) ux=2xf’, uxx=2f’+4x2f” uy=2yf’, uyy=2f’+4y2f” uxx+uyy=4f’+4(x2+y2)f”=0 令 t = x2+y2, g = f’(t) g +t g’ = 0 g = -ln t +C f=
复变函数
三次函数
定义
w= z3 (x+iy)3 = x3
2000 1000 0 -1000 -2000 -10 -5 0 -5 5 10 -10 10 5 0
分析
u + iv = +3ix2y-3xy2 -iy3 u = x3 – 3xy2 , v = 3x2y - y3
性质
对称性 无周期性 无界性 单值性
矢量性
复数有方向
复数
运算
加减法
(x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2)
乘除法
r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1r2 exp[i(φ1+φ2)]
幂和开方
[r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n)
复变函数的导数
导数的意义
微商表示
f’(z) = dw/dz
模：
|f’(z)|= |dw|/|dz|
幅角：
Arg[f’(z)] = Arg(dw) - Arg(dz)
返 回
解析函数
定义
点解析
函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导
区域解析
函数f(z)在区域B上每一点都解析
性质
调和性
解析函数的实部与虚部都是调和函数， 即 △u=uxx + uyy = 0, △v=vxx + vyy = 0
性质
对称性 周期性 无界性 单值性
20 4 0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
返 回
复变函数的导数
基本概念
实变函数 极限 连续 导数
x x → x0
复变函数
z → z0
lim f ( x) = A
lim f ( z ) = A
lim f ( x) = f ( x0 ) →
数学物理方法
复变函数论
复变函数
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 复数 复变函数 导数 解析函数 本章小结
复数
数的扩张（完善化）
自然数 减法不封闭→整数 除法不封闭→有理数 不完备√2 →实数 方程可解性→复数
复数
复数的表示
代数表示
z = x + iy
x = Real(z), y = Imagine(z)
三角表示
z = r (cosφ + i sinφ)
r = |z|, φ= Arg(z)
指数表示
z = r exp(iφ)
exp(iφ) = cosφ + i sinφ
复数
几何表示 关系
x = r cosφ y = r sinφ r = √(x2+y2) φ= Arctan(y/x)
特点
无序性
复数无大小
0
复变函数的导数
典型情况
初等函数在定义域内都可导； 函数Re(z),Im(z),|z|, Arg(z), z*不可导。
导数的计算
法则：
复变函数的求导法则与实变函数完全相同；
例子：
(sin2z)’ = 2 sin z cos z [exp(z2 )]’ = 2 z exp(z2 ) (z3)” = 6 z
解析函数
例3：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热流 量函数。 分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组 成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。 解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy) v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
复变函数
更多的例子
w = az2 w = az2 + bz +c w = 1/(az + b) w = √(az + b) w = ln(az + b) w = sin z w = arccos z w = ∑ an zn w = ∑ an sin(nωz) w = ∏(1-z2/n2π2) w = ∫exp(-z2)dz
联系
u = u(x,y), v = v(x,y) 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。
复变函数
结构
相同点：
复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。
不同点：
基本实变函数 xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x) 基本复变函数 zn, z1/n,exp(z),ln(z) 原因 cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i
性质
不对称性 周期性 exp(z+2πi)= exp(z) 无界性 单值性
4 2 0 -2 -4 -2 -1 0 1 2 -5 0 -2.5 5 2.5
复变函数
对数函数
定义
w = Ln(z)
2 1.5 1 0.5 0 3 1 2 3 4 5 1 2 5 4
分析
u + iv = Ln [ r × exp(iφ)] = ln r + iφ u = ln r, v=φ
典型例子：
|x|<2 是连通的， 1<|x|是不连通的； |z|<2是单连通的， 1<|z|是复连通的。
复变函数
映射
相同点
在形式上：y = f(x), w = f(z)
不同点
在变量上：z = x+iy, w = u+iv 在描述上： 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表 示； 复变函数不能用一个图形完全表示。
性质
对称性 非周期性 无界性 多值性：|φ| ≤ π
1 2 0 -1 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1
复变函数
三角函数
定义
w = sin(z)
20 4 0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
分析
u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y) u = sin(x)ch(y) , v = cos(x)sh(y)
正交性
解析函数的实部与虚部梯度正交， 即 u v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。
z
lim f ( z ) = f ( z0 ) →
z0
Δf ( x) = f ' ( x0 ) lim → x0 x Δx
Δf ( z ) = f ' ( z0 ) lim z → z0 Δz
复变函数的导数
可导条件
分析
x → x0 y = y0
C-R条件
ux = vy vx = -uy
lim
Δf ( z ) Δf ( z ) = f ' ( z 0 ) = lim x = x0 Δz Δz y→ y
2000 1000 0 -1000 -2000 -10 -5 0 5 10 -10 -5 10 5 0
复变函数
指数函数
定义
w = exp(z)
5 2.5 0 -2.5 -5 -2 0 -1 0 1 2 -5 -2.5 5 2.5
分析
u + iv = exp(x+iy) = exp(x)[cosy +i siny] u = exp(x) cos y , v = exp(x) sin y
复变函数
基本函数
二次函数
定义
w = z2
100 50 0 -50 -100 -10 -5 0 5 -10 -5 10 5 0
分析
u + iv = +2ixy -y2 u = x2 -y2 , v = 2xy (x+iy)2 = x2
10
性质
对称性 无周期性 无界性 单值性
200 100 0 -100 -200 -10 -5 0 5 10 -10 -5 10 5 0
复变函数的分类
复 变 函 数
整式
复变函数（广义）
复数数列
复变函数（狭义）
初等函数
非初等函数
代数函数
超越函数
无限次运算
无限次复合
有理函数
无理函数
级数
无穷乘积
分式
幂级数
傅立叶级数
复变函数
分析与比较
定义域和值域
相同点：
都是数集
不同点：
实数集是一维的，可以在(直)线上表示； 复数集是二维的，必须在(平)面上表示。
0
充要条件
偏导数 ux ，vy ， vx ，uy 连续 满足C-R条件
x → x0 y = y0
lim
Δf ( z ) Δ u + iΔ v u v +i = lim = x → x0 Δz Δx x x
意义
可导函数的虚部与 实部不是独立的， 而是相互紧密联系 的。
Δf ( z ) Δ u + iΔ v v u i = lim = lim x = x0 y → y0 Δz y y iΔ y y→ y
解析函数
例2：已知平面电场的等势线为x2+y2=C，求电势 u(x,y)。 分析：等势线方程的左边不一定恰好是电势表达式， 电势必须有调和性，可看成某个解析函数的实部。 解：设电势为 u=f(x2+y2) ux=2xf’, uxx=2f’+4x2f” uy=2yf’, uyy=2f’+4y2f” uxx+uyy=4f’+4(x2+y2)f”=0 令 t = x2+y2, g = f’(t) g +t g’ = 0 g = -ln t +C f=
复变函数
三次函数
定义
w= z3 (x+iy)3 = x3
2000 1000 0 -1000 -2000 -10 -5 0 -5 5 10 -10 10 5 0
分析
u + iv = +3ix2y-3xy2 -iy3 u = x3 – 3xy2 , v = 3x2y - y3
性质
对称性 无周期性 无界性 单值性
矢量性
复数有方向
复数
运算
加减法
(x1+ iy1)±(x2+ iy2) = (x1±x2) + i(y1±y2)
乘除法
r1exp(iφ1)× r2exp(iφ2) = r1r2 exp[i(φ1+φ2)]
幂和开方
[r exp(iφ)]n = rn exp(inφ) [r exp(iφ)]1/n = r1/n exp(iφ/n)
复变函数的导数
导数的意义
微商表示
f’(z) = dw/dz
模：
|f’(z)|= |dw|/|dz|
幅角：
Arg[f’(z)] = Arg(dw) - Arg(dz)
返 回
解析函数
定义
点解析
函数f(z)在点z0及其邻域上处处可导
区域解析
函数f(z)在区域B上每一点都解析
性质
调和性
解析函数的实部与虚部都是调和函数， 即 △u=uxx + uyy = 0, △v=vxx + vyy = 0
性质
对称性 周期性 无界性 单值性
20 4 0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
返 回
复变函数的导数
基本概念
实变函数 极限 连续 导数
x x → x0
复变函数
z → z0
lim f ( x) = A
lim f ( z ) = A
lim f ( x) = f ( x0 ) →
数学物理方法
复变函数论
复变函数
§1-1 §1-2 §1-3 §1-4 复数 复变函数 导数 解析函数 本章小结
复数
数的扩张（完善化）
自然数 减法不封闭→整数 除法不封闭→有理数 不完备√2 →实数 方程可解性→复数
复数
复数的表示
代数表示
z = x + iy
x = Real(z), y = Imagine(z)
三角表示
z = r (cosφ + i sinφ)
r = |z|, φ= Arg(z)
指数表示
z = r exp(iφ)
exp(iφ) = cosφ + i sinφ
复数
几何表示 关系
x = r cosφ y = r sinφ r = √(x2+y2) φ= Arctan(y/x)
特点
无序性
复数无大小
0
复变函数的导数
典型情况
初等函数在定义域内都可导； 函数Re(z),Im(z),|z|, Arg(z), z*不可导。
导数的计算
法则：
复变函数的求导法则与实变函数完全相同；
例子：
(sin2z)’ = 2 sin z cos z [exp(z2 )]’ = 2 z exp(z2 ) (z3)” = 6 z
解析函数
例3：已知平面温度场的温度分布为u=x2-y2，求热流 量函数。 分析：热流的方向与等温线相互正交，对应的函数组 成一个解析函数的实部与虚部，满足C-R条件。 解：设热流量函数为v(x,y)=C,由C-R条件得 vx=-uy=2y, vy=ux =2x dv = vxdx+vxdy=2ydx+2xdy=d(2xy) v = 2xy 注意：热流线方程的一般形式为 f(2xy)=C
复变函数
更多的例子
w = az2 w = az2 + bz +c w = 1/(az + b) w = √(az + b) w = ln(az + b) w = sin z w = arccos z w = ∑ an zn w = ∑ an sin(nωz) w = ∏(1-z2/n2π2) w = ∫exp(-z2)dz
联系
u = u(x,y), v = v(x,y) 可以用两个曲面分别表示复变函数的实部与虚部。
复变函数
结构
相同点：
复杂函数都可以分解为简单的基本函数组成。
不同点：
基本实变函数 xn, x1/n,exp(x),ln(x),sin(x),arctan(x) 基本复变函数 zn, z1/n,exp(z),ln(z) 原因 cos(z)=(eiz +e-iz)/2, sin(z)=(eiz -e-iz)/2i
性质
不对称性 周期性 exp(z+2πi)= exp(z) 无界性 单值性
4 2 0 -2 -4 -2 -1 0 1 2 -5 0 -2.5 5 2.5
复变函数
对数函数
定义
w = Ln(z)
2 1.5 1 0.5 0 3 1 2 3 4 5 1 2 5 4
分析
u + iv = Ln [ r × exp(iφ)] = ln r + iφ u = ln r, v=φ
典型例子：
|x|<2 是连通的， 1<|x|是不连通的； |z|<2是单连通的， 1<|z|是复连通的。
复变函数
映射
相同点
在形式上：y = f(x), w = f(z)
不同点
在变量上：z = x+iy, w = u+iv 在描述上： 实变函数可以用两个数轴组成的平面上的曲线表 示； 复变函数不能用一个图形完全表示。
性质
对称性 非周期性 无界性 多值性：|φ| ≤ π
1 2 0 -1 -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1
复变函数
三角函数
定义
w = sin(z)
20 4 0 -20 -5 -2.5 0 2.5 5 -4 -2 0 2
分析
u + iv = sin(x+iy) = sin(x)ch(y) + i cos(x)sh(y) u = sin(x)ch(y) , v = cos(x)sh(y)
正交性
解析函数的实部与虚部梯度正交， 即 u v=（uxi+uyj)（vxi+vyj)= uxvx+uyvy = 0 或曲线 u(x,y)=C1, v(x,y)=C2 相互垂直。