线性代数工自测题1答案

江西财经大学线性代数自测题一答案
一、填空题（将正确答案写在答题纸的相应位置。

答错或未答，该题不得分。

本大题共5个小题，每小题3分，共15分。

）
1. 0 .
2.11/81/51/2-⎡
⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 3. 2 .
4. -120 .
5.11,01⎡⎤⎢⎥
≠⎢⎥⎢⎥⎣⎦
k k
二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代号写在答题纸的相应位置。

答案错选或未选者，该题不得分。

本大题共5小题，每小
题3分，共15分。

） 1.C
2.D
3.B
4.A.
5.C
三、计算题（请写出主要步骤及结果，本题10分）
计算行列式ax by
ay bz
az bx
D ay bz az bx ax by az bx ax by ay bz
+++=++++++的值.
+++++++=+++=++++++++++++ax by ay bz az bx
ax ay bz az bx
by ay bz az bx
D ay bz az bx ax by ay az bx ax by bz az bx ax by az bx ax by ay bz az ax by ay bz bx ax by ay bz
2分
=+ax ay az by bz bx
ay az ax bz bx by az ax ay bx by bz
4分
33=+x y z
y
z x a y
z x b z x y z
x y x y
z
6分
33()=+x
y z
a b y
z x z
x
y
8分
33333()(3)=+---a b xyz x y z 10分
四、计算题（请写出主要步骤及结果，本题10分）
已知2111011,101A AB E A B ⎡⎤
⎢⎥=+-=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
，求B . 解：22+-=⇒-=-AB E A B AB B A E
3分 ()()()⇒-=-+A E B A E A E
6分
由于-A E 可逆，左乘-A E 的逆得
=+B A E
9分 所以有211021102⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
B
10分
五、计算题（请写出主要步骤及结果，本题10分）
A 是3阶矩阵，它的3个特征值为11λ=，21λ=-，32λ=，令324
B A A =-，
(1)求矩阵B 的特征值 (2) 求*B A +
解：（1）矩阵B 的特征值的形式为324λλ-A A ，
2分
将特征值11λ=，21λ=-，32λ=
代入得矩阵B 的特征值为13λ=-，25λ=-，38λ=-
5分
（2）*+B A 的特征值的形式为λλ+
B A
A
2分
代入得到矩阵*+B A 的特征值为15λ=-，23λ=-，39λ=- 4分
所以有*(5)(3)(9)135+=-⨯-⨯-=-B A
5分
六、计算题（请写出主要步骤及结果，本题10分）
设向量组1,3,1T a α=（），22,,3T b α=（），31,2,1T
α=（）
，42,3,1T α（）=的秩为2，求参数,a b 的值.
解：构造矩阵2123231311⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
a b ，做行初等变换 2分
2121
3113230910131102312⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
a b b a a a 5分
由于秩为2，所以有91
20,231---==--b a a a
8分 解得2,5=-a b
10分
七、计算题（请写出主要步骤及结果，本题10分）
当,a b 取何值时，线性方程组12312312
33244
x ax x x ax x x x bx ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有唯一解、无解、有无穷多
解？当方程组有无穷多解时，求其通解.
解：构造增广矩阵113()1214114⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦a A b a b ，做行初等变换 1131131214011211400(1)21⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
a a
a b b a b a 2分
（1） 当0,1≠≠a b 时，()()3==R A R A b 唯一解 4分 （2） 当0=a 时，2()()3=<=R A R A b 无解
6分
（3） 当1=b 时，若1/2≠a ，2()()3=<=R A R A b 无解
当1=b 时，若1/2=a ，2()()==R A R A b ，无穷多解
8分
11311/213101201120102010200(1)2100000000⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦a
b a b a 通解为1202,10-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+∈⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
X k k R
10分
八、计算题（请写出主要步骤及结果，本题10分）
求矩阵324202423A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
的特征值与特征向量. 解：构造特征方程
232
4
22(1)(8)04
23λ
λλλλ
--=-+-=-
所以特征值为1231,8λλλ==-=
4分
对121λλ==-时，解()0λ-=A E X 得基础解系为 12(1,2,0),(1,0,1)αα=-=-T T 所以属于特征值121λλ==-的特征向量为 1122αα+k k ，12,k k 不全为零。

7分
对38λ=时，解()0λ-=A E X 得基础解系为
3(2,1,2)α=T
所以属于特征值121λλ==-的特征向量为33αk ，30≠k 。

10分
九、证明题（请写出推理步骤及结果，本题10分）
已知向量组(Ⅰ)123,,ααα的秩为3，向量组(Ⅱ)1234,,,αααα的秩为3，向量组(Ⅲ)1235,,,αααα的秩为4，证明向量组12354,,,ααααα-的秩为4. 证明：(Ⅰ)123,,ααα的秩为3，说明123,,ααα线性无关
2分 (Ⅱ)1234,,,αααα的秩为3，说明1234,,,αααα线性相关
4分
所以4α可以由123,,ααα线性表示
5分
反证：假设12354,,,ααααα-线性相关，根据123,,ααα线性无关，则有
54αα-可以由123,,ααα线性表示，从而
5α可以由123,,ααα线性表示，即1235,,,αααα线性相关
8分
(Ⅲ)1235,,,αααα的秩为4，说明1235,,,αααα线性无关，矛盾 9 假设不成立，因此12354,,,ααααα-线性无关， 即向量组12354,,,ααααα-的秩为4.
10分。