第7章+图论-3(图的矩阵表示)
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图的矩阵表示
4 4
2 6
6 51 215
1设G=<V,E>是简单图,令V={v1,v2,v3,…,vn}, G的
10 2 2 0 b)每行中1的个数为对应结点 1 vi与ej关联 12 0 0 2 从邻接矩阵看图的性质: 1 vi与vj邻接, 即(vi,vj)∈E 或 < vi,vj >∈E
010 01 0 0110
00010
01001
00010
01001
P=A∨A(2)∨A(3)∨A(4)∨A(5) A(5)=A(3)
11111 01011 P= 11111 01011 01011
G2 v1 v3
3*.用可达矩阵求强分图.
出有两个强分图:{v1,v3}和{v2,v4,v5} 下面看怎样用P求强分图.
例如,G2如图所示, 求它的 可达矩阵P.
G2
v1
v2
v3
v4
v5
00100
10010
01101
10010
00010
01011
01011
01011
A= 10010 A(2) = 01101 A(3) = 10010 A(4) = 01101 =A(2)
01001
00010
01000
00010
用的例v4求度如0传 数 ,0给递.0定0闭无1包0向的1图WGa1rs和ha有ll算向法1图0,G见012P如1116图610.所0示0:
21111
v1
1310
2
v2
v3
例 b这p)ij每如是= 行p,以T给中i结j定=1点1的A无与个向(结G 数图点为G1之)1对和间应有的结向邻点1图0接G1关12如系00图确00所定1示的1:矩阵.
第七章 图论
12
7.1 图及相关概念
7.1.5 子图
Graphs
图论
定义7-1.8 给定图G1=<V1,E1>和G2=<V2,E2> ， (1)若V1V2 ，E1E2 ，则称G1为G2的子图。 (2)若V1=V2 ，E1E2 ，则称G1为G2的生成子图。
上图中G1和G2都是G的子图，
但只有G2是G的生成子图。
chapter7
18
7.1 图及相关概念
7.1.6 图的同构
Graphs
图论
【例4】 设G1,G2,G3,G4均是4阶3条边的无向简单图，则
它们之间至少有几个是同构的？ 解：由下图可知，4阶3条边非同构的无向简单图共有3个， 因此G1,G2,G3,G4中至少有2个是同构的。
4/16/2014 5:10 PM
4/16/2014 5:10 PM chapter7 10
7.1 图及相关概念
7.1.3 完全图
Graphs
图论
【例2】证明在 n（n≥2 ）个人的团体中，总有两个人在 此团体中恰好有相同个数的朋友。 分析 :以结点代表人，二人若是朋友，则在结点间连上一 证明：用反证法。 条边，这样可得无向简单图G，每个人的朋友数即该结点 设 G 中各顶点的度数均不相同，则度数列为 0 ， 1 ， 2 ， …， 的度数，于是问题转化为： n 阶无向简单图 G中必有两个 n-1 ，说明图中有孤立顶点，与有 n-1 度顶点相矛盾（因 顶点的度数相同。 为是简单图），所以必有两个顶点的度数相同。
vV1
deg(v) deg(v) deg(v) 2 | E |
vV2 vV
由于 deg( v) 是偶数之和，必为偶数，
vV1
7-3 图的矩阵表示
图的矩阵表示
中国海洋大学 计算机系
主要内容
邻接矩阵 有向图的可达矩阵 无向图的关联矩阵 有向图的关联矩阵 图的运算 学习要点与基本要求 实例分析
邻接矩阵
定义7-3.1 设G=<V,E>是一个简单图，它有 个结点 是一个简单图， 定义 是一个简单图 它有n个结点 V={v1, v2, …, vn}, 则n阶方阵 阶方阵A(G)=(aij)称为 的邻 称为G的邻 阶方阵 称为 接矩阵。其中 接矩阵。
1 从v i 到v j 至少存在一条路 pij = 0 从v i 到v j不存在路
称矩阵P是图 的可达性矩阵。 称矩阵 是图G的可达性矩阵。 是图
关于可达矩阵的说明
可达性矩阵描述任意两结点是否可达， 可达性矩阵描述任意两结点是否可达，以及对于任 意结点是否有通过它的回路。 意结点是否有通过它的回路。 由邻接矩阵A可直接得到可达性矩阵 ，方法如下： 由邻接矩阵 可直接得到可达性矩阵P，方法如下： 可直接得到可达性矩阵 方法1： 方法 ： Bn=A+A2+…An， 再把B 中的非零元均改为1， 再把 n中的非零元均改为 ，零元保持不 变，得到可达性矩阵P。 得到可达性矩阵 。 方法2： 中的非零元改为1， 方法 ：把Ai(i=1,2, …,n)中的非零元改为 ，零元保 中的非零元改为 持不变，得到布尔矩阵 持不变，得到布尔矩阵A(i)(i=1,2, …,n)， ， P= A(1) ∨ A(2) ∨… ∨ A(n)
0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 0 + 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 7 3 0 0 6 7 0 0 7 3 0 0 0 0 2 3 0 0 3 2
2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 + 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
中国海洋大学 计算机系
主要内容
邻接矩阵 有向图的可达矩阵 无向图的关联矩阵 有向图的关联矩阵 图的运算 学习要点与基本要求 实例分析
邻接矩阵
定义7-3.1 设G=<V,E>是一个简单图，它有 个结点 是一个简单图， 定义 是一个简单图 它有n个结点 V={v1, v2, …, vn}, 则n阶方阵 阶方阵A(G)=(aij)称为 的邻 称为G的邻 阶方阵 称为 接矩阵。其中 接矩阵。
1 从v i 到v j 至少存在一条路 pij = 0 从v i 到v j不存在路
称矩阵P是图 的可达性矩阵。 称矩阵 是图G的可达性矩阵。 是图
关于可达矩阵的说明
可达性矩阵描述任意两结点是否可达， 可达性矩阵描述任意两结点是否可达，以及对于任 意结点是否有通过它的回路。 意结点是否有通过它的回路。 由邻接矩阵A可直接得到可达性矩阵 ，方法如下： 由邻接矩阵 可直接得到可达性矩阵P，方法如下： 可直接得到可达性矩阵 方法1： 方法 ： Bn=A+A2+…An， 再把B 中的非零元均改为1， 再把 n中的非零元均改为 ，零元保持不 变，得到可达性矩阵P。 得到可达性矩阵 。 方法2： 中的非零元改为1， 方法 ：把Ai(i=1,2, …,n)中的非零元改为 ，零元保 中的非零元改为 持不变，得到布尔矩阵 持不变，得到布尔矩阵A(i)(i=1,2, …,n)， ， P= A(1) ∨ A(2) ∨… ∨ A(n)
0 1 0 0 0 2 0 0 0 2 0 1 0 0 + 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 7 3 0 0 6 7 0 0 7 3 0 0 0 0 2 3 0 0 3 2
2 0 0 0 2 0 2 0 0 0 2 0 0 0 + 2 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0
第7章 图论 [离散数学离散数学(第四版)清华出版社]
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6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
21
例：
a j i h c g d
1(a)
无 向 图
b
f
e
2(b)
7(j) 8(g) 9(d) 10(i)
6(e)
3(c) 4(h)
5(f)
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
22
例：
1(b)
有向图
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
6
[定义] 相邻和关联
在无向图G中，若e=(a, b)∈E，则称a与 b彼此相邻(adjacent)，或边e关联 (incident) 或联结(connect) a, b。a, b称为边e的端点或 结束顶点(endpoint)。 在有向图D中，若e=<a, b>∈E，即箭头 由a到b，称a邻接到b，或a关联或联结b。a 称为e的始点(initial vertex)，b称为e的终点 (terminal/end vertex)。
证明思路：将图中顶点的度分类，再利用定理1。
6/27/2013 6:02 PM 第四部分：图论（授课教师：向胜军） 9
[定理3] 设有向图D=<V, E>有n个顶点，m 条边，则G中所有顶点的入度之和等于所 有顶点的出度之和，也等于m。
即：
d ( v i ) d ( v i ) m.
i 1 i 1
n
n
证明思路：利用数学归纳法。
6/27/2013 6:02 PM
第四部分：图论（授课教师：向胜军）
10
一些特殊的简单图：
(1) 无向完全图Kn(Complete Graphs)
离散数学_第7章 图论 -3-4图的矩阵表示、欧拉图与汉密尔顿图
2 0 2 0 0 0 4 0 0 0
0 1 A(G ) 1 0
0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
第9章 图论
考察A(G)和A′(G)发现，先将A(G)的第一行与第二行对 调，再将第一列与第二列对调可得到A′(G)。称A′(G)与A(G) 是置换等价的。 一般地说，把n阶方阵A的某些行对调，再把相应的列 做同样的对调，得到一个新的n阶方阵A′，则称A′与A是置 换等价的。可以证明置换等价是n阶布尔方阵集合上的等价 关系。 虽然，对于同一个图，由于结点的标定次序不同，而 得到不同的邻接矩阵，但是这些邻接矩阵是置换等价的。 今后略去结点标定次序的任意性，取任意一个邻接矩阵表 示该图。 ④对有向简单图来说，其邻接矩阵A(G)的第i行1的个 数是vi的出度， 第j列1的个数是vj的入度。 ⑤零图的邻接矩阵的元素全为零，叫做零矩阵。反过 来，如果一个图的邻接矩阵是零矩阵，则此图一定是零图。
vi 到v j 有边 1 aij 其中： 0 vi 到v j 无边或i j
i , j=1,…,n 例如，右边无向简 单图的邻接矩阵为： 0 1 A(G ) 0 1
a11 a 即：A(G) = 21 an1
a12 a22 an 2
0 0 1 1
1 0 0 0
1 0 1 0
第9章 图论
简单图的邻接矩阵具有以下性质：
①简单图的邻接矩阵中元素全是0或1。这样的矩阵叫布 尔矩阵。简单图的邻接矩阵是布尔矩阵。 ②无向简单图的邻接矩阵是对称阵，有向简单图的邻接 矩ห้องสมุดไป่ตู้不一定是对称阵。 ③简单图邻接矩阵与结点在图中标定次序有关。例如上 页图 (a)的邻接矩阵是A(G)，若将图 (a)中的接点v1和v2的标 定次序调换，得到图 (b)，图 (b)的邻接矩阵是A′(G)。
第七章图论
以上三个条件并 不是两图同构的 充分条件，如：
a
b
c
d
e
(a)
a'
c'
b'
e'
d'
(b)
第七章 图论
图的基本概念 路与回路 图的矩阵表示 欧拉图与哈密尔顿图
7-2 路与回路
1、路的基本概念：
路： 图G=<V, E>，设 v0, v1, …, vn∊V, e1, e2, …, en∊E, 其中
ei是关联于结点vi-1, vi的边，交替序列设 v0 e1 v1 e2 … en vn称为
若 连 通 图 G中 某 两 个 结 点 都 通 过 v， 则 删 去 v 得 到 子 图 G ， 在 G 中 这 两个结点必定不连通，故v是图G的割点。
7-2 路与回路
deg(v)为偶数 vV1
|V1|为偶数
定理： 有向图中所有结点的入度之和等于所有结点的出度之和
7-1 图的基本概念
（5）多重图：含有平行边的图
简单图：不含有平行边和环的图
完全图：每一对结点之间都有边关联的简单图
有向完全图：完全图中每条边任意确定一个方向所得的图
a
e
b
d
f
h
c
g
定理： n个结点的无向（有向）完全图Kn的边数为n(n-1)/2
证明： 在完全图中，每个结点的度数应为n－1，则n个结点的
度数之和为n(n-1)，因此|E|＝n(n-1)/2
7-1 图的基本概念
（6）子图：
G V , E ， 有 G ' V ', E ' ， 且 E ' E ， V ' V ，
离散数学第七章图的基本概念
4.无向图的连通性
若无向图G中任何两顶点都连通,则称G是连通图.
对于任意的无向图G.设V1,V2,…,Vk是顶点之间连通关系的 等价类,则称他们的导出子图为G的连通分支.用p(G)表示G 的连通分支数.
V1 e1
e2 e3
V3
e4 V2
V4
a
de
h
i
b
c
f
g
5.有向图的连通性
若略去有向图D中各边的键头,所得无向图是无向连通图,则 称D是弱连通图(或称D是连通图).
(2) mij d (vi )(i 1,2,..., n)
j 1
mn
nm
n
(3) mij mij d(vi ) 2m
j1 i1
i1 j1
i 1
m
(4) mij 0 vi是孤立点 j 1
(5)若第j列与第k列相同, 则说明e j与ek为平行边.
2.有向图的关联矩阵
设有向图D=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em} 1, vi为ej的始点
e1,e2,e3},{e1,e2,
e2
e4},{e9}等边割集 ,e9是桥.
e3 V4
e5 e6
V5 e4
V6
e9
V7
7.3 图的矩阵表示
1.无向图的关联矩阵
设无向图G=<V,E>,V={v1,v2,…,vn},E={e1,e2,…,em}
令mij为顶点vi与ej的关联次数, 则称(mij)n×m为G的关联矩阵.记为M(G)
若Γ 满足:vi-1,vi为ei的端点(若G为有向图,vi-1是ei的始 点,vi是ei的终点)i=1,2,…,k,则称Γ 为G中通路,v0,vk分 别称为通路的始点和终点,Γ 中边的数目k称为通路长度.
图论图的矩阵表示
定理 :设G是具有n个结点集｛v1， v2， …， vn｝ 的图， 其邻接矩 阵为A， 则Al（l＝1， 2， …）的（i， j）项元素a(l)ij是从vi到vj的长 度等于l的路的总数。 证明 : 归纳法 当l＝1时， A1＝A， 由A的定义， 定理显然成立。 若l＝k时定理成立， aij (1)等于G中 联结vi与vj的长 则当l＝k＋1时， A k+1＝ A · Ak ， 度为1的路径条 数。 n 所以 aij (l+1) = aik × akj (l) k=1
返回 结束
7.3.1 图的矩阵表示
2
存储原则:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ存储结点集和边集的信息.
（1）存储结点集； （2）存储边集： 存储每两个结点 是否有关系。
返回 结束
邻接矩阵
7.3.1 邻接矩阵
1.无向图的邻接矩阵
ij a表示 定义 1.6.2设 G (V , E )的顶点集为 V v1 , v2 , , v p，用 (G) (aij ) p p为 G 的邻 G 中顶点 vi与v j 之间的边数。称矩阵M A(G) 接矩阵。
从图的邻接矩阵的定义容易得出以下性质：
(1)
M (G) 是一个对称矩阵； A(G) (G) 中第i 行(列)的元素之和等于顶点 vi 的度数； (2) 若M (G)为无环图。则M A(G) A(G)
(3) 两个图G 与H 同构的充要条件是存在一个置换矩阵 P ，使得
相当于将单位 矩阵中相应的 行与行，或者 列与列互换的 矩阵
3
G 的邻接矩阵为： 例2下图所示 v
3
e1
e2
v2
v1
e3
v1
e9 e5
e8
对应的邻接矩阵
返回 结束
7.3.1 图的矩阵表示
2
存储原则:ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ存储结点集和边集的信息.
（1）存储结点集； （2）存储边集： 存储每两个结点 是否有关系。
返回 结束
邻接矩阵
7.3.1 邻接矩阵
1.无向图的邻接矩阵
ij a表示 定义 1.6.2设 G (V , E )的顶点集为 V v1 , v2 , , v p，用 (G) (aij ) p p为 G 的邻 G 中顶点 vi与v j 之间的边数。称矩阵M A(G) 接矩阵。
从图的邻接矩阵的定义容易得出以下性质：
(1)
M (G) 是一个对称矩阵； A(G) (G) 中第i 行(列)的元素之和等于顶点 vi 的度数； (2) 若M (G)为无环图。则M A(G) A(G)
(3) 两个图G 与H 同构的充要条件是存在一个置换矩阵 P ，使得
相当于将单位 矩阵中相应的 行与行，或者 列与列互换的 矩阵
3
G 的邻接矩阵为： 例2下图所示 v
3
e1
e2
v2
v1
e3
v1
e9 e5
e8
对应的邻接矩阵
左孝凌离散数学ppt课件
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
1)若e1，e2，…，ek都不相同， 则称路μ为迹；
2)若v0，v1，…，vk都不相同， 则称路μ为通路；
3)长度大于２的闭的通路（即 除v0＝vk外，其余结点均不相同的 路）μ称作圈。
图7.1.1
第七章 图论
7.2 路与回路
例如在图7.2.1中，有连接v5 到v3的路v5e8v4e5v2e6v5e7v3，这 也是一条迹；路v1e1v2e3v3是一 条通路；路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是 一条回路，但不是圈；路 v1e1v2e3v3e2v1是一条回路，也是 圈。
定 义 7.2.1 给 定 图 G ＝ 〈V,E〉, 设 v0,v1,…,vk∈V ， e1 ， e2，…，ek∈E，其中ei是关联于结点vi-1和vi的边，称 交替序列v0e1v1e2…ekvk为连接v0到vk的路，v0和vk分别 称为路的起点与终点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时,这条路称为回路。
《图论》第7章-回路矩阵与割集矩阵
1 aj 在si 中且方向一致
sij = -1 aj 在si 中且方向相反 0 其他
若S1、S2、… 、Sk 包含了中所有割集，称S为G的完全割
集矩阵，记为 Se 。
[基本割集矩阵] 由G的所有基本割集构成的割集矩阵成为G的基
本割集矩阵,记为 Sf 。
19
7.3 割集矩阵
[定理7-3-1] 有向连通图 G=(V, A)，n =|V|，m =|A|，则其任意基
故 B11+ B12 C12T=0
即 B11= -B12 C12T 故 Bk =( -B12 C12T , B12) = B12 ( -C12T , I )
而 r(Bk ) = n-1，故 r(B12 ) = n-1，即 | B12 | 0
由[定理3-2-5]知此时B12各列对应的弧构成G的一棵树。 也即 C12各列对应的弧构成G的一棵树。 8
16
7.2 割集
[定理7-2-3] 设T是连通图G的一棵生成树，e 是T的一条弦，C 是由 e 确定的 T+e 中的基本回路。则 e 包含在由C中除 e 外的每条边确定的基本割集中，而不在其他的基本割集中。 [证明] ① 设 bC且 be，S是 b 确定的基本割集。由[定理7-2-2] C和S除了b外应该还有一条公共边。S 除了b以外其它边都 是T的余树边，而C中只有 e 是T的余树边，所以此公共边 只能是e，也即e包含在S中。② 若e被包含在一个由T的树 枝 h 确定的基本割集 S 中，由[定理7-2-2] C和 S 除了e 外 应该还有一条公共边。 C 除了e以外其它边都是T的树枝， 而S中只有 h 是T的树枝，所以此公共边只能是 h，也即 h 理7-2-4] 设T是连通图G的一棵生成树，b 是T的一条树枝，S 是由 b 确定的G的基本割集。则 b 包含在由S中除 b 外的每
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若l＝k时定理成立， 则当l＝k＋1时， A k+1＝ A · Ak ，
所以
n aij (l+1) = aik × akj (l)
长度=1
aij (1)等于G 联结vi与vj 度为1的路径 数。
长度=l
7.3.1 邻接矩阵
结论：
(1) 如果对l＝1， 2， …， n-1， Al的（i， j）项 （i≠j）都为零， 那么vi和vj之间无任何路相连接， 即 vj不连通。 因此， vi和vj必属于G的不同的连通分支。
， E e1 ,e2, eq 。用 bij表示顶点 vi 与边e j 关联的次数
或2)，称矩阵 B(G) (bij ) pq 为 G 的关联矩阵。
7.3.2 关联矩阵
例1 下图所示 的关联矩阵为：
Gv3
e 1 e2
e1 e2 e3 e4 e5 e6 e7 e
v1
e9
v2
e3
e5
内容：关联矩阵，邻接矩阵，可达矩阵。
重点：1、有向图，无向图的关联矩阵，
2、有向图的邻接矩阵。
7.3.1 图的矩阵表示
存储原则: 存储结点集和边集的信息.
（1）存储结点集； （2）存储边集：
存储每两个结点
邻接矩阵
7.3.1 邻接矩阵
1.无向图的邻接矩阵 定义 1.6.2设 G (V , E)的顶点集为 V v1,v2 , ,vp，用 a表ij 示
7.3.1 邻接矩阵
矩阵的计算：
０１００
A
００１１ １１０１
１０００
１０１０
A
AT
０２１０ １１３１
００１１
００１１
AT
１０１０ ０１００
０１１０
２１０１
AT
A
１２０１ ００１１
１１１２
7.3.2 邻接矩阵
有向图 D (下图所示)，求 A(D) 。
1 2 1 0 解：A(D) 0 0 1 0
0 0 0 1
7.3.2 关联矩阵
关联矩阵多用于简单无向图
一个图 G (V , E) 由它的顶点与边的关联关系唯一 确定；
无向图的关联矩阵
定义 1.6.1 设 G (V , E) 的顶点集和边集分别为 V v1,
7.3.1 邻接矩阵
2.有向图的邻接矩阵
1、设有向图 D V , E ，V v1,v2, ,vn ，
E m ，D 的邻接矩阵 A(D)
a(1) ij
nn
，
其中
a(1) ij
指
vi
邻接到
v j 的边的条数
(非负整数)。
7.3.1 图的矩阵表示
有向图的邻接 矩阵
例1
０１００
A
００１１ １１０１
讨论
１０００
（1）图G的邻接矩阵中的元素为0和1，∴又称为布尔矩阵；
（2）图G的邻接矩阵中的元素的次序是无关紧要的，进行行和
列和列的交换，则得到相同矩阵。
∴若有二个简单有向图，则可得到二个对应的邻接矩阵，若对 矩阵进行行和行、列和列之间的交换后得到和另一矩阵相同的 则此二图同构。 （3）当有向图中的有向边表示关系时，邻接矩阵就是关系矩阵 （4）零图的邻接矩阵称为零矩阵，即矩阵中的所有元素均为0
2 0 2 0 0 0 4 0 0 0 A4 2 0 2 0 0 0 0 0 1 0
7.3.1 邻接矩阵
(1) 由A中a(1)12＝1知， v1和v2是邻接的； 由A3中a(3 2知， v1到v2长度为3的路有两条， 从图中可看出是 v1 v2和v1 v2 v3 v2 。 (2) 由A2的主对角线上元素知， 每个结点都有长度为 的回路， 其中结点v2有两条： v2 v1 v2和v2 v3 v2 ， 结点只有一条。
7.3.1 邻接矩阵
在邻接矩阵A的幂A2， A3， …矩阵中， 每个元素有 定的含义。
定理 :设G是具有n个结点集｛v1， v2， …， vn｝ 的图， 其邻 阵为A， 则Al（l＝1， 2， …）的（i， j）项元素a(l)ij是从vi到 度等于l的路的总数。
证明 : 归纳法
当l＝1时， A1＝A， 由A的定义， 定理显然成立。
e8 e7 e 6
v 4
对应的关联矩阵
e4
B(G)
v1 v2 v3
0 1 1
0 1 1
v4
0
0
0010 1000 0000 1211
01 10 00 00
v5
bij =
2 1
e j关联于xi，v5 e 0j是0自环0 0 0
e
j关联于xi，e
不是自环
j
1
1
1
从图的关联矩阵的定0义容e j易不得关出联以与下xi性质：
解
0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 A 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 2 0 0 0 2 0 2 0 0 A3 0 2 0 0 0 0 0 0 0 1
1 0 1 0 0 0 2 0 0 0 A2 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0
主对角线上的数表
主对角线上的数表示结
7.3.1 邻接矩阵
００１１
A2
A
A
２１０１ １１１１
０１００
１２１１
A4
A3
A
２２２３ ３３２３
２１０１
２１０１
A3
A2
A
１２１１ ２２１２
００１１
A2
表示i和j之间具有长度为2 的通路数，
元素不变， 所得的矩阵P就是可达性矩阵。 当n很大时， 这种求可达性矩阵的方法就很复杂
其中元素 pij (i
j)可由 Bn1
b(n1) ij
求得：
nn
7.3.3 有向图的可达性矩阵
根据可达性矩阵， 可知图中任意两个结 之间是否至少存在一条路以及是否存在回 利用有向图的邻接矩阵A， 分以下两步可 到可达性矩阵。
(1) 令Bn＝A＋A2＋…＋An,
(2) 将矩阵Ｂn中不为零的元素均改为１， 为
vie为j是e自j的环始，点且关联与xi v在i与De中j不e j以关x联i为起点，e 在 evji与为D中xei不je的j以关终x联i为点终点，e
不是自环
j
不是自环
j
7.3.2 关联矩阵
例2
有向图 D (下图所示)，求 AM(D(D) )。
1 1 0 0 0
解：MA((DD))
1 0
7.3.1 邻接矩阵
同构图 v1
v3
v2
v4
图G1
v1<->va v2<->vb v3<->vc v4<->vd
va vb
12 3 4
ab c
A1＝
0 1 11 1 0 11 1 1 01 1 1 10
A2＝
011 101 110 111
判别定理：图G1 ，G2同构的充要条件是：存在置换矩阵P，使 A1＝PA2P。
1 0 2
0 2 0
1 1 0
1
1
0
v4
1
1
0
1
1
v5
v5 1 1 0 1 0
从图的邻接矩阵的定义容易得出以下性质：
(1) MA((GG))是一个对称矩阵；
相当于 矩阵中 行与行 列与列
矩
(2) 若MA((GG))为无环图。则MA((GG)) 中第i 行(列)的元素之和等于顶点 vi 的度数；
A3
表示i和j之间具有长度为3
的通路数，
A4 表示i和j之间具有长度为4
的通路数，
7.3.1 邻接矩阵
３４２３
B4
A1
A2
A3
A4
５５４６ ７７４７
３２１２
bij表示从结点vi到vj有长度分别为1，2， 4的不同通路总数。
此时， bij0，表示从vi到vj是可达的。
0 0
1
1
1
0 0 1
7.3.3 有向图的可达性矩阵
有向图的可达性矩阵。(了解)
设D V , E 为有向图，V v1,v2, ,vn ，
令 pii 1 ，i 1, 2, , n
1
pij
0
vi可达vj (i j) 否则
可达性矩阵P ( pij )nn
第七章 图论
引言 7.1 图的基本概念 7.2 路与连通 7.3 图的矩阵表示 7.4 最短路径问题 7.5 图的匹配 8.1 Euler图和Hamilton图 8.2 树 8.3 生成树 8.4 平面图
7.3 图的矩阵表示
图的矩阵表示 图的数学抽象是三元组，其形象直观的
示即图的图形表示。为便于计算，特别为 于用计算机处理图，下面介绍图的第三种 示方法—图的矩阵表示。利用矩阵的运算 可以了解到它的一些有关性质。
(3) 由于A3的主对角线上元素全为零， 所以G中没有 度为３的回路。
(4) 由于a（１）34＝a（２）34＝a（３）34＝a（４）34＝０， 所 结点v3和v4间无路， 它们属于不同的连通分支。
(5) d（v1， v3）＝２。 对其他元素读者自己可以找出它的意义。
7.3.1 邻接矩阵
设图Ｇ＝＜Ｖ，Ｅ＞如下图所示
(2) 结点vi 到vj （i≠j）间的距离d（vi， vj）是使A 1， 2， …， n-1 ）的（i， j）项元素不为零的最小