07高等数学竞赛培训班线面积分习题参考解答.doc

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线面积分整章

( )
例1 求I L yds,
y2 4x
其中L : y2 4x,从(1,2)到(1,2)一段.
解
I
2
y
1 ( y)2dy 0.
2
2
例3 求I xyzds, 其中 : x a cos , y a sin ,
z k的一段. (0 2)
( x , y , z ) x 2 y 2 z 2 ,求: 1、它关于Z 轴的转动惯量 I Z ；
2、它的重心 .
练习题答案
一、1、L ( x, y)ds； 2、L 的弧长；
3、弧长；
4、<.
二、1、ea (2 a) 2； 4
3、22a3 (1 22 )；
L P( x, y)dx Q( x, y)dy L P( x, y)dx Q( x, y)dy
即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.
三、对坐标的曲线积分的计算
定理设P( x, y),Q( x, y)在曲线弧L上有定义且连
续,
L的参数方程为
x y

( t ), ( t ),
n
P(i ,i )xi的极限存在, 则称此极限为函
i 1
数 P( x, y)在有向曲线弧L上对坐标 x的曲线
积分(或称第二类曲线积分）, 记作
n
L
P(
x,
y)dx

lim
0
i 1
P ( i
,i
)xi
.
n
类似地定义
Q(
L
x,
y)dy

lim
0
i 1
Q(i

高等数学习题册解答_11.线面积分(青岛理工大学).

22R y x =+解:⎰
⎰⎰⎰
--+=-+
+=R
R
H
D dy y
R dz z
R R dydz y
R y z
R I yz
2
2
2
2
2
2
22
2
1. 1212
=2R
H
R y R z R R
H arctan 2].[arcsin][arctan0π=-
3、求曲面积分⎰⎰∑
++ds zx yz xy ( ,其中∑是锥面22y x z +=
=dydz z y x P , , (
(⎰⎰∑1
, , 2dydz z y x P C. (⎰⎰∑-1
, , 2dydz z y x P D.ABC都不对
2.设(0:2222≥=
++∑z a z y x取上侧,则下述积分不等于零的是( A ⎰⎰∑
dydz x 2∑
xdydz C ⎰⎰∑
ydxdy D ⎰⎰∑
0, πA的积分(
(dy y x dx y L
+++⎰213的值最小
解:(([]
30333
44cos sin 2sin 1a a dx x a x a x x a a I +
-=+++=⎰ππ
((
(0811, 014' ' 2
' >=⇒=⇒=-=I a a a I。, 1=a (a I最小,此时x y sin =
第十一章曲线积分与曲面积分§ 1对弧长的曲线积分
1设L关于x轴对称, 1L表示L在x轴上侧的部分,当(y x f ,关于y是偶函数时,

浙江省2007高等数学(微积分)竞赛试题(解答)

2、求 lim x ®0 解: lim x ®0
0 0
.
1 x
1 1 ì é x - ( x + 1) ln(1 + x) ù é 2 x - (2 x + 1) ln(1 + 2 x) ù ü 2x = lim í(1 + x) x ê (1 + 2 x ) ú ê úý 2 x ®0 x ( x + 1) 2 x 2 (2 x + 1) ë û ë ûþ î
x 2 + yz f ( x, y , z ) = 2 , 在 D = {( x, y, z ) 1 £ x 2 + y 2 + z 2 £ 4} 的最大值为 1 , 2 2 x +y +z
Fz¢( x, y, z ) = y + 2l z = 0
Fl¢ ( x, y, z ) = x 2 + y 2 + z 2 - 1 = 0
解得: (0,
f (0,
2 2 2 2 2 2 2 2 , ) , (0, , - ) , (0, - , - ) , (0, - , ) , (1, 0, 0) , (-1, 0, 0) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 , )= 2 2 2
由于 x, y 具有轮换对称性,令 x = y , x = 0 或 y = z = 0 解得驻点: (0, y, y ) 或 ( x, 0, 0) 对 f (0, y, y ) =
x 2 + yz 1 x 2 + yz = , f ( x , 0, 0) = = 1, x2 + y 2 + z 2 2 x2 + y 2 + z 2

高等数学竞赛最新试题及答案

高等数学竞赛最新试题及答案高等数学竞赛试题一、选择题（每题3分，共30分）1. 函数$ f(x) = x^2 - 4x + 3 $的顶点坐标是：A. (2, -1)B. (1, 0)C. (2, 1)D. (2, -1)2. 已知$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $，求$ \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} $的值是：A. 1B. 0C. 3D. 无法确定3. 曲线$ y = x^3 - 2x^2 + x $在点(1,0)处的切线斜率是：A. 0B. -1C. 1D. 24. 以下哪个级数是发散的？A. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} $B. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} $C. $ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{n} $D. $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^n} $5. 函数$ f(x) = \sin x + \cos x $的周期是：A. $ \pi $B. $ 2\pi $C. $ \frac{\pi}{2} $D. $ \pi $6. 以下哪个函数是奇函数？A. $ f(x) = x^2 $B. $ f(x) = x^3 $C. $ f(x) = |x| $D. $ f(x) = \sin x $7. 已知$ \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} $，求$ \int_{0}^{1} x^3 dx $的值是：A. $ \frac{1}{4} $B. $ \frac{1}{3} $C. $ \frac{1}{2} $D. $ 1 $8. 以下哪个是二阶常系数线性微分方程？A. $ y'' + 3y' + 2y = 0 $B. $ y' + y = x^2 $C. $ y'' + y' = 0 $D. $ y'' - 2y' + y = \sin x $9. 以下哪个是二元函数的偏导数？A. $ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} $B. $ \frac{\partial f}{\partial x} $C. $ \frac{\partial f}{\partial y} $D. $ \frac{d^2f}{dx^2} $10. 已知$ \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0 $，那么$ f(x) $是：A. 常数B. 有界函数C. 无穷小量D. 无穷大量二、填空题（每题4分，共20分）11. 函数$ f(x) = \sqrt{x} $的定义域是_________。

线面积分与级数复习题及答案

第四章：曲线积分与曲面积分习题一、填空题1、设L 为单位圆周x 2+y 2=1在第一象限的部分，则曲线积分 xyds L = 12 。

3、已知P x,y =x 2+y 2,要使得 Pdx +Qdy L 与积分路径无关，则Q(x,y)=2xy 。

4、设P x,y 与Q(x,y)在平面单连通区域G 内具有连续一阶偏导数，则P x,y dx +Q(x,y)dy 在G 内为某个函数的全微分的充要条件是∂P∂y =∂Q ∂x。

6、设L:x 2+y 2=R 2，方向为逆时针方向，利用格林公式计算（−x 2y ）dx L +xy 2dy = 12πR 4。

7、平面单连通区域G 内曲线积分 Pdx +Qdy L 与路径无关的一个充要条件是∂P ∂y =∂Q ∂x。

8、设L 是抛物线y =x 2从(0,0)到(2,4)的一段弧，则对坐标的曲面积 (x 2− y 2L )dx = −5615 。

9、设其中曲线C 为x 2+y 2=1沿正向，则曲线积分 xdy −ydx x +y C=2π。

10、设向量场F x,y,z =xy 2i +x 2yj −x 2+y 2k ,则散度div F = x 2+y 2。

二、计算题;11、计算曲线积分 xds L ，其中L 为 y =x 2−1上介于x=0与x=1之间的一段弧。

解： xds L = x 1+4x 210dx =5 5−112。

12、（x +y +z ）ds Γ ，其中Γ:x =2cost,y =2sint ,z =t ,t ∈[0,π] 。

解：（x +y +z ）ds Γ= 2cost +2sint +t 5dt =52π0(8+π2)13、已知Σ是z =x 2+y 2上z ≤1的部分曲面，计算 1+4z ΣdS 。

解： 1+4z ΣdS = (1+4x 2+4y 2)Ddxdy =3π 14、证明：沿任何分段光滑的闭曲线L ，有 cosy +ycosx L )dx + sinx −xsiny dy =0 证明：因为P(x,y)=cosy +ycosx , Q(x,y)= sinx −xsiny , 所以有∂P∂y =∂Q ∂x，故得证。

2007级高等数学(1-1)试题参考答案及评分标准

重庆大学高等数学I-I （理工综合班）（课程试卷2006 ~2007 学年第一学期开课学院：数理学院考试日期： 2008年1月9日考试方式：考试时间： 120 分钟注：1.大标题用四号宋体、小标题及正文用小四号宋体；2.按A4纸缩小打印一．每小题6分，共60分1．求极限3tan sin limx x x x -→解：3sin sin limxx x x -→613cos 1limsin lim23=-=-=→→xx xxx x x2．设000,2sin ,,)(2>=<⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=x x x x xb x a x f 在0=x处连续，求常数ba ,的值。

解： a x a x =+-→)(lim 2，22sin lim=+→xxx ，b f =)0(，所以当2,2==b a 时，)(x f 在0=x 处连续。

3．设xx yarctan)1(2+=，求'y ，''y解：x y 2'=2211)1(arctan xx x +⋅++x 2=1arctan +x''y 2=212arctan xx x ++4．证明当1>x 时，exex>证： ex e x f x-=)(，)1(0)('>>-=x e e x f x，所以当1>x 时，)(x f 单调增加，从而 0)1()(=>f x f故当 1>x 时，ex ex>5．计算定积分 dxx x ⎰-π3sinsin解：dx x x ⎰-π03sinsin =-=⎰dx x x π2)sin1(sin dx x x cos sin 0⎰π-=⎰xdx x cos sin 2πxdx x cos sin 2⎰ππ-=⎰x d x sin sin 2πx d x sin sin 2⎰ππ2023s i n 32πx=34s i n 32223=-ππx6．已知xx ln 是函数)(x f 的一个原函数，求dxx xf)('⎰解：2'ln 1ln )(x x x x x f -=⎪⎭⎫⎝⎛=， ⎰⎰⎰-==dx x f x xf x xdfdx x xf)()()()('CxxC xx xx +-=+--=ln 21ln ln 17．求不定积分：dxx ⎰arctan解：dxxx x x dx x ⎰⎰+-=21arctan arctanCx x x ++-=)1l n (21a r c t a n 2命题人：组题人：审题人：命题时间：学院专业年级学号姓名封线密8．设0,,11)(<≥⎪⎩⎪⎨⎧+=x x e xx f x求⎰-2)1(dxx f解：令1-=x t ，则1+=t x⎰-2)1(dx x f ⎰⎰⎰--++==111111)(dt t dt edt t f t2ln 11+-=-e9．设dt t tx x F x⎰+-=1)(，求)('x F解：dt ttx x F x⎰+-=1)(-+=⎰dt t x x11dtttx⎰+01=)('x F xxxx dt tx+-+++⎰1111)1ln(11x dtt x+=+=⎰10．设)(x y y=是由方程1=+yexy所确定的隐函数，求)0('y 。

2007高等数学竞赛培训班重积分习题参考解答

2007年高等数学竞赛培训班重积分练习题参考解答 2006.5.13一.填空题(每小题3分,共15分) 1.22231(2si 5n 1)d d π 4 x y x x y x y +≤-++=⎰⎰. 解：因为22:1D x y +≤关于0x =对称，且sin x 是x 的奇函数，故sin d d 0Dx x y =⎰⎰；同理22:1D x y +≤关于0y =对称，且3y 是y 的奇函数，故3d d 0Dy x y =⎰⎰；又由轮换对称性得2222222222112π 12 0011d d d d ()d d 2π1d d 24x y x y x y x x y y x y x y x y θρρρ+≤+≤+≤+==⋅==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰；显然，221d d πx y x y +≤=⎰⎰；所以222315(2sin 1)d d π4x y x x y x y +≤-++=⎰⎰. 2.2222221,π (1ln2) 2d 1x y z z x y z V x y z ++≤≥++-=+++⎰⎰⎰. 解：积分域222:1,0x y z z Ω++≤≥关于0x =对称，2222221,d 1x y z z xV x y z ++≤≥+++⎰⎰⎰中被积函数是x 的奇函数，故2222221,d 01x y z z xV x y z ++≤≥=+++⎰⎰⎰；同理2222221,d 01x y z z yV x y z ++≤≥=+++⎰⎰⎰；而 2222221,d 1x y z z zV x y z ++≤≥=+++⎰⎰⎰2π2π1220cos sin d d d 1r r r r ϕϕθϕ⋅+⎰⎰⎰π3122 0 02πcos sin d d 1r r r ϕϕϕ=+⎰⎰()π1112πln 21ln 2.⎡⎤=⋅-=-⎢⎥⎣⎦. 故2222221,d 1x y z z x y zV x y z ++≤≥++=+++⎰⎰⎰()π1ln 22-.3.设{(,)0,D x y x y =≤≤，则()22sin max{,}d d 2 D x y x y =⎰⎰.解：用直线y x =将D 分为12D D +（见右图）.于是()22sin max{,}d d Dx y x y ⎰⎰()()122222sin max{,}d d sin max{,}dD D x y x y x y =+⎰⎰⎰⎰1222sin d d sin d d D D x x y y x y =+⎰⎰⎰⎰22 0d d d d x yx x y y y x =+⎰⎰⎰⎰2 02sin d cos 2x x x ==-=⎰.4.交换二次积分的积分次序： 21 10 1 12d d (,)(,)d d yxx f x y f x y x y y ---=⎰⎰⎰⎰.解：因为当10y -≤≤时有12y -≤，故该积分不是某个二重积分的二次积分，为此，交换内层积分的上、下限，得1 02121 1d (,)d d (,)d yyy f x y x y f x y x ----=-⎰⎰⎰⎰(,)d d Df x y x y =-⎰⎰ 211d (,)d xx f x y y -=-⎰⎰2 1 1d (,)d xx f x y y -=⎰⎰.5. 11 ln d l 1n b a x x b ax x ++-=⎰. 解： 1011110 011d d d d d ln 1d d bbay bby b y a a a a x x x b x y x x y y y x x y +-+=====+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 二.选择题(每小题3分,共15分)(将正确选项的代号填在括号内) 1.设123d d ,d ,4DD Dx y I x y I x y I +===⎰⎰22{(,)(1)(1)2}D x y x y =-+-≤，则有(A)123I I I <<. (B) 231I I I <<. (C) 312I I I <<. (D) 321I I I <<.解：由图可知(,)x y D ∀∈，01x y+≤≤，故4x y +<<，且等号只x +x +在个别点处成立，又被积函数连续，所以d d d d 4D D Dx y x y x y x y +<<⎰⎰. 2.设2221:D x y R +≤，2222:2D x y R +≤，3:max{,}D x y R ≤；记221()1e d d xy D I x y -+=⎰⎰，222()2e d d xy D I x y -+=⎰⎰，22()3xy D I -+= (A) 123I I I <<. (B) 132I I I <<.(C) 213I I I <<. (D) 321I I I << 答解：被积函数相同且恒正，则积分的大小关系与积分域的包含关系一致. 3. 二次积分π1πsin 2d (,)d xx f x y y ⎰⎰等于(A) 1π0πarcsin d (,)d y y f x y x +⎰⎰. (B) 1π0πarcsin d (,)d y y f x y x -⎰⎰.(C) 1πarcsin π2d (,yy f x +⎰⎰πarcsin π2(,)d yy f x y x -⎰.答：（B ）4.设(,,)f x y z 是连续函数且(0,0,0)0f ≠，2222()(,,)d d d x y z t I t f x y z x y z ++≤=⎰⎰⎰,则当0t +→时，下列结论正确的是(A) ()I t 是t 的一阶无穷小量. (B) ()I t 是t 的二阶无穷小量. (C) ()I t 是t 的三阶无穷小量. (D) ()I t 是比3t 高阶的阶无穷小量.答: ( C )解：2222()(,,)d d d x y z t I t f x y z x y z ++≤=⎰⎰⎰34(,,)π3f t ξηζ=⋅，300()4π4πlim lim(,,)(0,0,0)033t I t f f t ξηζξηζ+→→→→∴==≠，故()I t 是t 的三阶无穷小量. πarcsin x y =-5.设222{(,,)1,0}x y z x y z z Ω=++≤≥，则(e e e )d x y z V Ω++⎰⎰⎰等于(A) 3e d x V Ω⎰⎰⎰. (B) 3e d zV Ω⎰⎰⎰. (C)(2e +e )d xzV Ω⎰⎰⎰. (D) (e +2e )d xzV Ω⎰⎰⎰. 答: ( C )解：因为积分域Ω关于,x y 轮换对称（即在Ω的表示式中将,x y 换为,y x 时Ω不变），故e d e d x y V V ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰，而积分域Ω关于,x z 不具有轮换对称，积分域Ω关于,y z 也不具有轮换对称，所以(e e e )d xyzV Ω++⎰⎰⎰(2e +e )d (2e +e )d xzy zV V ΩΩ⎛⎫== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 三.(本题6分)计算二重积分ed d yx yDx y +⎰⎰，其中D 是由0,0x y ==及1x y +=所围成的平面闭域.解:方法一采用极坐标进行积分.0,0x y ==及1x y +=的极坐标方程分别为 π,02θθ==及1sin cos ρθθ=+,故 π1sined d ed d yDx y θθθθθθρρ=⎰⎰⎰⎰π1sin22sin +cos sin +cos 001e d 2θθθθθρθ=⎰ ()πsin2sin +c 2os 01d s 1e 2in +cos θθθθθθ=⎰()πsin sin +cos 0sin d sin +c e s 1o 2θθθθθθ=⎰ πsin 2sin +cos 0e 11e 22θθθ-==. 方法二作代换.ed d y x yDx y +⎰⎰ 1 1 0d ed y yx yy x -+=⎰⎰，若令x y u +=，则d d x u =，当0x =时u y =，1x y =-时0u =，于是原式 1 1 0d ed yyx yy x -+=⎰⎰1 00 d e d yuyy u =⎰⎰ 1 0d e d y uu y ⎰⎰1 100e 1ed (e 1)d 2[]y uuu u u u -==-=⎰⎰.交换次序四.(本题7分) 设()f x 在[0, 1]上连续,已知 1()d f x x A =⎰,求11d ()()d xx f x f y y ⎰⎰.解:解法一令 1 ()d ()xf y y x ϕ=⎰,则()(),(0),(1)0x f x A ϕϕϕ'=-==,故11 1 1 1d ()()d ()d ()d ()()d xxx f x f y y f x x f y y x f x x ϕ==⎰⎰⎰⎰⎰2 122 01()d ()[(1)(0)]22A x x ϕϕϕϕ=-=--=⎰.解法二1 1 0d ()()d xx f x f y y ⎰⎰ 1 1 0d ()()d d ()()d y xy f x f y x x f x f y y ==⎰⎰⎰⎰,1 12d ()()d xx f x f y y ∴=⎰⎰ 11 1 0 0d ()()d d ()()d xxx f x f y y x f x f y y +⎰⎰⎰⎰112 0()d ()d f x x f y y A ==⎰⎰,即2 1 1d ()()d 2xA x f x f y y =⎰⎰. 五.(本题7分) 设ππ{(,)0,0}22D x y x y =≤≤≤≤，计算二重积分d DI x y =. 解: d DI x y =cos()d d Dx y x y =+⎰⎰12cos()d d cos()d d D D x y x y x y x y =++-+⎰⎰⎰⎰ππππ 2222π 02d cos()d d cos(x x x x y y x x --=+-+⎰⎰⎰⎰ππ 0(1sin )d (cos 1)d π2x x x x =---=-⎰⎰.六.(本题7分) 设2,1, (,)12,x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤求积分(,)d D f x y σ⎰⎰,其中{}(,)1D x y x y =+≤.解：由区域的对称性和被积函数的奇偶性，有1(,)d 4(,)d DD f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 是D 在第一象限的部分，而11121(,)d (,)d (,)d ,D D D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中 {}11(,)01,01D x y y x x =≤≤-≤≤ {}21(,)12,0,0D x y x y x y =≤+≤≥≥11111112220(,)d d d d (1)d12xD D f x y x x x x x x σσ-===-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 而1212ππ2100sin cos d 1(,)d d d sin cos D D f x y θθθθθσσθρρρθθ+===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()())ππ420d ππcsc cot 1,44π4θθθθ⎡⎤==+-+=⎢⎥⎣⎦+⎰))11(,)d 411.Df x y σ⎡⎤∴=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰七.(本题7分)设Ω是由曲面z xy =与平面,1,0y x y z ===所围成的闭区域，求三重积分23d I xy z V Ω=⎰⎰⎰.解：23d I xy z V Ω=⎰⎰⎰ 23 0d d d xyxyD x y xy z z =⎰⎰⎰1 5656 0011d d d d 44xyyD x y x y y x y x ==⎰⎰⎰⎰112 011d 24312y y ==⎰.八.（本题7分）求三次积分211 1(1) 0 0d d (1)e d x x zy z x z y y -------⎰⎰⎰.解：注意到被积函数与x 无关，交换次序，先对211 1(1) 0d d (1)ed xx zy z x z y y -------⎰⎰⎰2(1)(1)e d d d y z y x y z Ω---=-⎰⎰⎰21(1) 0d d (1)ed yzy zy z D y z y x -----=-⎰⎰⎰1z =21 1(1) 0 0(1)d (1)e d yy z y y y z z ----=---⎰⎰21 1(1)1(1)e d 2z y y z z y y =----==-⎰()21(1)1 011111(1)(1e )d 1e 22224ey y y ---⎡⎤=--=--=⎢⎥⎣⎦⎰. 九.(本题7分) 设222{(,,)14,0,0,0},x y z x y z x y z Ω=≤++≤≥≥≥求积分 222()()e d .xy z I x z V Ω-++=+⎰⎰⎰解：I2222ππ2()22212ed 2d d cose sin d x y z r z V r r r Ωθϕϕϕ-++-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰223π244341011π(2e 5)πππ2sin cos d e d e d e e .2444e u r r u u u r r u u u ϕϕϕ=-----⎡⎤=⋅==--=⎣⎦⎰⎰⎰ 十.（本题7分）计算22[sin()]d xy y z V Ω++⎰⎰⎰，其中Ω是由曲线220 z x y ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转一周而成的曲面与平面4x =所围成的立体.解：Ω是由旋转抛物面222y z x +=与平面4x =围成的（见下图）.由于Ω关于0y =对称，故s i n (x y Ω⎰⎰⎰而[0, 4]x ∀∈，22():2D x y z x +≤，所以22[sin()]d xy y z V Ω++⎰⎰⎰220()d y z V Ω=++⎰⎰⎰442π222 0()d ()d d d d d D x x y z y z x θρρ=+=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰42 01282πd π3x x ==⎰.十一. (本题7分)求d d x y z Ω，其中222:1x y z Ω++≤.解：d d x y z Ω2010π02πd d r r ϕθθϕ≤≤≤≤≤≤=⎰⎰⎰22π1 π0 0d d d r θϕϕ=⎰⎰⎰112 0 02π2π d π2d 43r r r r =⋅==⎰⎰.轮换对称性十二. (本题8分)1. 设函数()f u 连续且恒正，讨论222()22()()d ()()d t D t f x y z V t f x y Ωϕσ++=+⎰⎰⎰⎰⎰在区间(0, )+∞内的单调性，其中2222(){(,,)}t x y z x y z t Ω=++≤， 222(){(,,)}D t x y z x y t =+≤.2. 设(,)f x y 在单位圆域上有连续的偏导数，且在边界上的值恒为零，证明：2201(0,0)lim d d ,2πx y Dxf yf f x y x y ε+→''+-=+⎰⎰ 其中D 为圆环域222 1.x y ε≤+≤ 解：1.因为222()22()()d ()()d t D t f x y z Vt f x y Ωϕσ++=+⎰⎰⎰⎰⎰2ππ 2222 00 0 2π220d d ()sin d 4π()d d ()d 2π()d ttttf r r rf r r r f f θϕϕθρρρρρρ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰，222222 022 0()()d ()()d ()2()d tttt f t f tf t f r r rt f ρρρϕρρρ-'=⋅⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰222222 022 0()()d ()()d 2()d t tt t f t f u u u tf t f u u uf u u u -=⋅⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰ 22 022 0()()()d 20()d tt tf t f u u t u uf u u u -=⋅>⎡⎤⎢⎥⎣⎦⎰⎰，故()t ϕ在区间(0, )+∞内的单调增加.2. 2201lim d d 2πx y Dxf yf x y x y ε+→''+-+⎰⎰ 2π1200cos (cos ,sin )sin (cos ,sin )1lim d d 2πx x f f εερθρθρθρθρθρθθρρρ+→=''+-⎰⎰ []2π100cos (cos ,sin )sin (cos ,sin )1lim d d 2πx x f f εεθρθρθθρθρθθρ+→''-=+⎰⎰[]2π1001l d (cos ,sin )d im d d 2πf εερθρθρθρ+→-=⎰⎰ []2π1001lim (cos ,sin )d 2πf εερθρθθ+→-=⎰ []2π00(cos ,si 1lim(cos ,sin )d 2)πn f f εθθεθεθθ+→-=-⎰ []2π001lim(cos ,sin )0d 2πf εεθεθθ+→-=-⎰ []01lim (cos ,sin )2π (0, 2π)2πf εεξεξξ+→-=-⋅∈ (0,0).f =。

线面积分——精选推荐

线⾯积分第⼗⼀章线⾯积分内容概要与重点难点提⽰本章涉及的内容较多（共有七节），⾸先分别介绍了第⼀、第⼆类曲线积分的概念、性质和计算⽅法，格林公式揭⽰了平⾯区域内的⼆重积分与其正向边界曲线上的线积分之间的关系，曲线积分与路径⽆关和全微分求积的充要条件。

再介绍了第⼀、第⼆类曲⾯积分的概念、性质和计算⽅法，⾼斯公式揭⽰了空间区域内的三重积分与其外侧边界曲⾯积分之间的关系，曲⾯积分与曲⾯⽅程⽆关的充要条件。

斯托克斯公式揭⽰了空间曲线积分与它张成的曲⾯积分之间的关系。

最后介绍了场论中“三度”（即梯度、散度、旋度）的相关知识。

重点把第⼀、第⼆类曲线积分转化为定积分及它们之间的区别于联系，把第⼀、第⼆类曲⾯积分转化为⼆重积分及它们之间的区别于联系，三个公式的应⽤。

难点第⼀、第⼆类曲线积分和曲⾯积分计算的技巧，三个公式条件不成⽴时的处理办法。

考试内容要点讲解⼀、对弧长的曲线积分（第⼀类）（⼀）概念与性质 1、定义1(,)l i m(,)ni i i Li f x y d s f s λξη→==?∑?。

（1）可积的充分条件是(,,)f x y 在L 上连续；（2）i s ?与ds 是对应的，后者就是弧微分；（3）当L 是封闭曲线弧的时候，记为(,)Lf x y ds ?；（4）L 在第⼀类中的是没有⽅向的；（5）物理意义(,)Lf x y d s表⽰占有平⾯曲线L ，线密度为(,)f x y 的质量曲线（或者曲线型构件）的质量，即(,)Lm f x y ds =?，特别地，若(,)1f x y ≡，则Ls ds =?（表⽰L 的弧长）；（6）定义同理可以推⼴到(,,)f x y z 空间曲线Γ上，有1(,,)l i m (,,)ni i i i i f x y z d s f s λξηζΓ→==?∑?2(,)(,)(,)L L L L f x y ds f x y ds f x y ds +=+?；若(,)(,)f x y g x y ≤，则(,)(,)LLf x y dsg x y ds ≤?；若(,)f x y 在L 上最值为()M m ，则 (,)Lm s f x y d sM s≤≤；若(,)f x y 在L 上连续，则存在(,)L ξη∈，使得(,)(,)L f x y ds f s ξη=??；特别要注意，(,)(,)ABBAf x y ds f x y ds ??=??。

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2007年爲务紅兮菴赛培训班线面积分练习题参考解答2006.5.13一•填空题（每小题3分，共15分）1 •设厶为椭圆手+召=1，其周长为Q ，解:贞（2xy 2+ 3x 2+ 4y 2心=巾 2xy 2ds + 血（3x 2+ 4y 2）dy =0 4-也则 j (2 卩 2 + 3x 2 + 4b )d5= 12° L 2•设27:x + y + z=l,则Jj(x + |^|)dS =JA /3 ・L解：JJ(x + A|)dS = Hxd5 + JJ[41SJI 2As = 1 2Q •<4加iX+ M +》|)dS 二胡 dS二制x 2+(y+l)2<2Wl + z ：+zfdrd 尸制Vjdxd 尸耳再・1・1 =扌屁%丫2 + / + 2 二 R 23 •密度为仏的均匀金属丝厂:X 十V 十〜—K 对于兀轴的转动惯量x+尹十z=04 =細）尿・解：—也3+门“亦=訓厂（++尸+才）“佔時“尼血论詁疋.2欣=扌“（）兀7?'・4 •设厶：宀（卩+ 1）2二2xdy-ydx x 2十尹2 +2尹十3-7T5.设X:z = -y]l-x 2-y 2,贝!j / = jj x 2dydz + cos ydzdx + zdxdy =3 71解：/ = JJ x 2dydz+ JJ cos ydzdx + JJ zdxdy = 0 + 0 - jj -^X-x 2 -y 2dxdy =i^-评注：对于第二类线、面积分也可利用对称性简化计算，但要注意①不能就组合积分整体使用，要分成单个积分进行；②与Riemann积分的对称性的结论刚好相反，例如光滑曲面刀关于x = 0（即yOz平面）对称（包括侧也对称），则有0, 若伪x的偶函数，⑵dj也二2j“（xj,z）dWz,若f为x的奇函数.L刀半③也可利用轮换对称性。

二.选择题（每小题3分，共15分）（将正确选项的代号填在括号内）1 •设曲线积分\c xy2dx^y（p（x）dy与路径无关，其中0（x）有连续的导数，且0(0) = 0 ,贝叮(:;xy2dx + y(p(x)dy等于(A)l・(B) 0・(C) 21. (D)|.(::xy2dx + y(p(x)dy = J； w(0)dy + [兀• F dx = 0 + * = £ 2.设S:x2+/+z2=l 解:(沦0)，5是S在第一卦限中的部分，则有(A) 口xdS = 4JJ xdS ・(B) jj ydS = 4 jj xdS ・S S] S S](C) JJ zdS = 4jj xdS ・(D) jj xyzdS = 4JJ xyzdS ・答：(C )S S\ S S\解：因为S :x2 + y2 -\-z2 =1 （z > 0）关于x = 0对称，关于尹=0也对称，且兀和入；yz 都是x的奇函数、尹是尹的奇函数，于是U xdS = 0, jj xyzdS = 0, jj>d5 = 0 , s s s {B 4jj xdS > 0,4JJ xyzdS > 0 ,故（A）、（B）、（D）都不对•事实上，将JJzdS S] S| s 视为密度〃 =z时$的质量，则显然有Jjzd5 = 4jj zdS ,再由x,y,z在S】上S S|的轮换对称性有Jj zdS = 4口zdS = 4口xdS・S S] S]3•设Z = {（x,j；?z）|x2+/+z2=^2},在以下四组积分中，一组的两个积分同时为零的是（A） x2dS,^j* x2dvdz ・（B）前xdS,曲Xdpdz ・E2•外z（C）前xdS,曲xdydz ・（D）前xydS,前ydzdx・答：（B ）解：因为2'关于x = 0 （即yOz 平面）对称，x 和卩是x 的奇函数，而F 是x 的xydS = 09 x 2dS = 2[Jf x 2dS =；£ 乞半而第二类曲面积分xdydz = 2 xdydz = 2 jj yjR 2-y 2-z 2dydz =,/ 第 y 2+z 2<R 2有前 ydzdx = 2 前 ydzdx -4•设曲线厶:/（x,^） = l （/（x,y ）具有一阶连续偏导数）过第II 象限内的点M 和第IV 象限的点N,厂为厶上从点M 到点N 的一段弧，则下列积分少于零的是(A) J 厂/Cr,y)d¥ ・(C) J 厂/(x 』)d5・(B) \r f(x,y)Ay ・(D) J 厂./；(s)dr + /：(x 』)dp ・答：(B)解：J 厂/(x,，)& = ]*厂& = J dx 〉0,不选(A)；J./(兀J )dy =(厂dp = J dx<0,选(B)； J 厂 f(x,y)d5 = J 厂ch > 0,不选(C)；J 厂 /：(x ，y)^ + f ；(x, y)dy = J 厂 df(x,y) = J ： df(x 9 y) = = 1-1 =0, 不选(D)・5 •设 Z :z = x 2+ y 2(z < 1), D xv :x 2+ y 2< \ ,则 jj zdydz 可化为二重积分 (B) jj(x 2+y 2) (-2x)dxdy ・%，偶函数，故第一类曲面积分皿(A) || (x 2+ 尸)• 2xdxdy ・(C) ^(x 2+y 2)-2ydxdy.5(D) jj(x 2+y 2)-(Lrdy.因为⑪血二cosodS二空陞dx® （—般地有业二气 =3屯），而“cosy " cos a cos p cosy 解：X:z = x2 +y2 (z < 1)的外侧即下侧，故dydz = -z^dxdy = -2xdxdy 9所以JJ zdydz = -jj (x2 +y2)- (-2x)dxdy = JJ (x2 + 才)• 2xdxdy ・三. （本题 6 分）计算/ = [jj/ -z 2）dx + （2z 2 -x 2）dj ； + （3x 2 -y 2）dz ,其中厶是平面x + y + z = 2与柱面|x| + |y| = l 的交线，从z 轴正向看去，厶为逆时针方向.解：设》为平面x + j ； + z = 2上由厶所围成部分的上侧，久是》在xQy 面上的投影域，则》的法向量的方向余弦为COSQ 二COS0二cosy 二洽, D xy : |x| +1_y| < 1, 27 的曲面面积元素dS = y/3dxdy.由 Stokes 公式，得左/ (y 2- z? )dx + (2z 2- x 2)dy + (3x 2- y 2)dz£ ds 二 + J](-8x -4y-6z)dSz V 3三学口 (4x + 2p + 3z)dS 二乎JJ (兀一尹 + 6)>/3dxdj ； "3 z "3 J =-2 0 + 0 + j]6drdy =-12-(A /2)2 =-24. 另解：将其化为平面曲线积分.记厶在面上的投影曲线为C,则C:x + y=l,取逆时针方向，C 所域记为2*•因为z-2-x-y , dz = -dx-dy ,故原积分可化为见[一4兀$ + 牡 + 4尹一 2xy + j/2]dx + [-2x 2 -Sx-Sy- +4.ry + 3j^2 ]dy恪林公式=Jj(-2x + 2j/-12)cLrdy = 0 + 0-12jjdxdy = -24. S ・ D巧四. （本题6分）求密度为“°的均匀半球壳Z:z = ylR 2-x 2-y 2对于z 轴的转动惯量.2 2y-zd_2Z 2-X 2I=\^[y 2-(2-x-y)2]dx + [2(2-x-y)2-x 2]iy- (3x 2- y 2)dx - (3x 2- y 2)dy解：/严口（工+尸）角辽二“。

口（宀小，勒严厶 _ 厂 _三x2+y2<R2dR五. (本题6分)计算£(x 2+/+z 2)dy,其中厶是球面x 2+/+z 2=|与平面y + z = l 的交线.2 H)2解：方法一因为厶的方程可表示为牙+r^=l,则其参量方程为 z = l-yx = 2cos &v y 二 * + 血 sin & （0<0< 2兀）・乙z = 土-V^sin&(0,1-72,1 + 72),易知M 就是厶的一条直径，于是d = \AB\ = 4.所以 £(x 2+b +z 2)d5 =-|-£d5 =号吐=号兀・4=18兀・六. (本题6分)计算积分7 = £ (^/sin y - x)dy + ydx ,其中厶是依次联结点/(-1,0)、5(2,2)和C(l,0)的有向折线段.解：直接计算较繁•添加直线段石，构成闭合曲线厶+ G4,使用格林公式•记L + CA 所围域为D.R 2二細。

兀/?4・ o n故1(* +尸+尹炒=(訓諾J : J/⑹+产⑹+芒(0)d& =訂；2d& = 18兀. 方法二JX+b+z沁=［知岁片2 / 2 = 2 ?"2显然是平面p + z = 1上的圆周，为求周长只需求出其直径 y + z = 1 〃即可.在厶的方程中令x = 0得圆周上的两点：A9 一2沁二尹5表示厶的弧长人而厶: (0冷+血,寺一血),和=2//07i/?~-（/?2 -ty=/Z 7C Txzdydz + 2zydzdx + 3xydxdyJJJ(z + 2z + 0)dr- - H 3xydxdy \z+s s 丿= -JJ(-2)cLvdy-'D七. (本题6分)设对于半空间兀＞0内任意的简单光滑有向闭合曲面27,都有 gxj\x)AyAz 一 yf(x)dzdx 一 xze 2xdxdy = 0 ,其中/(兀)有连续导数,且lim /(x) = 1,求/(兀)・XT 0+ *解：设》所围成的有界闭域为0,由题设及Gauss 公式得由 lim f(x) = 1 得 C 马，故 f(x) =・八・(本题6分)计算曲面积分/ = JJ xzdydz + 2zydzdx + ixydxdy ,其中27是曲面Sz = l-x 2-^- (OSzSl)的上狈 U ・解：取S 为xOy 平面上由椭圆工+才=1所围部分的下侧，由2•和S 所围空间区域记为绘•由Gauss 公式，得P = y,Q = ^-x 9 等埒0dx = 2(l-2-2)= 4.JJ x/'(x)dydz 一 (x)dzdx 一 xze 2 Vdxdv Q= ±\\\[xf(x)-xe 2x^V ・Q由》的任意性，知xfXx)-xe 2x= 0 ,即 f(x) = e 2x,解得/(%) = *e?"+C ・jj d (7 - 0 = 3£ 2TC ( 1 - z)zdz =兀.宀F —=3zdzJo匕二比+ ©Zll 在兀0尹平面之上的部分的上侧.____ Z _____ R = ______ £ _____M+b+z 学'(x 2+/+z 2)^ ' 除点0(0, o, o)外，券譽，譽处处连续，且薯+罟+瞥0.》为顶点在(2, 1, 10)的椭圆锥面的一部分，它在xOy 面上的投影域为心52 42采用《挖洞法庆设£>0充分小，取S 一为S: z = ^E 2-x 2-y 2之下侧，又取为平面域2, \{(x,刃卜2 +尹2 Vg2}之下侧，于是刀 + S + Z ；构成一封闭曲面，记其所围成的空间域为Q ・由Gauss 公式得・/_( 社 jj jj xdydz + ydzdx + zdxdyT+Zf+S- Zf S'X 2+尹2 +z=0 + 0 + A JJ xdydz + ydzdx + zdxdye s +JJJ 3dxdydz _ 0x 2+y 2^z 2^e 2zSO十.(本题 6 分)计算积分 JJrotF dS,其中 F = (x-z)i + (x 3+ yz)j-3xy 2k , X九.(本题8分)计算曲面积分/二JJZxdydz + ydzdx + zdxdy少，其中》是曲面解：p疋+卄2)%=出0现吨+ (口+ $) ◎血+陆血+Q 斗 s 七E是锥面z = 2-后+y2在兀0,面上方的部分，取上侧.x +，_4,取逆时针方向•故由Stokes公z = 0解：设y的边界曲线为厂，则厂:式得JJ rotF • dS恪栋公式J]厂F ds 二左厂(x-0)dx + (x3 - 0)4y-0 = [J xdx + x3dy jj 3x2dxdy = 3j；cos2&d&J：/?\i/? = 3•兀•乎=12兀.x2+y2<4厂(x - z)dr + (x3 - yz)dy - 3xy2dz十一・(本题 6 分)设27:x" + + z** -2ax-2ay-2az + 2a 2= 0 (°>0),求/ =前(x +尹+ z)d5z 解：方法一(直接计算)因为W ：(X-Q )2+b-Q )2+(z — Q )2=/,故由轮换对称性得 / 二 3曲 zd5 二 3前(z - a)dS + 曲 3adS = 0 + 3° • 4加=12^3 ・X X Z方法二(利用形心坐标公式)显然Z:(x-^)2+(y-f/)2+(z-^)2=t72的形 ___ _ \S xdS 血沁心坐标为(兀,y,z) = (G ,Q ,Q ),于是Q = X = —=~—，由此得前xdS = 4na 3 ；同理有[ff ydS = 47073, [ff zdS = 4ita 3；故 I = \2na\ 十二（本题6分）计算曲线积分上+（才+z 2）dx + （z 2 +x 2）dy + （x 2+b ）dz,其中厂为曲线F [ +尸+厂=2&° v 。