函数的概念—教学设计及专家点评(获奖版)

上海教育出版社九年义务教育数学课本八年级第一学期第十八章18.1函数的概念（1）设计说明一.教学内容及其解析本节课是上海市初中数学课本（上海教育出版社）八年级第一学期第十八章《正比例函数和反比例函数》第一节正比例函数的第一课时，主要内容是函数及其相关概念.函数是数学中重要的基本概念之一，也是一种重要的思想方法. 它揭示了现实世界中数量关系之间相互依存和变化的实质，是刻画和研究现实世界变化规律的重要模型. 在上海的初中数学课程中，对函数概念的描述，是用变量之间的依存关系定义的，即函数的“变量说”. 到了高中阶段，函数再以集合观点来描述，函数被定义成两个数集之间的映射，要求“集合A 中任意一个元素在集合B中有唯一的一个元素与之对应”，从而完善“变量说”的表达，进入“对应说”阶段. 之所以初中以运动观点来描述函数概念，主要是它直观、感性，贴近生活，学生易于理解、接受，而且“变量说”也是函数思想的根本. 高中函数概念的表述，这一似乎非常容易理解的定义在教学实践中被证明是非常抽象而且难懂的. 高中阶段学习的函数概念是初中阶段所学函数概念的深化与提高，这也是《课程标准》中要求知识与技能呈螺旋式上升规律的体现. 正如弗赖登塔尔指出的：“函数概念的出现，要比正式的定义早得多，也自然得多. 我们‘能够’甚至‘必须’运用实际中出现的函数概念，而不必先去生造或定义函数. 在学生接触了许多函数，已经能作出函数以后，再让他们去归结出什么是函数，这才是数学活动的范例. 这种新的基本概念的创造，才能明显地表现出活动水平的提高.”本单元内容的安排，先举例讲述数量以及变化过程中的常量和变量，接着描述函数的概念；然后，研究正比例函数和反比例函数，以它们为载体，帮助学生初步感知变量数学，体会研究函数的基本路径和方法；在学生具体研究正比例函数和反比例函数的基础上，进一步整理函数的表示法，讨论生活实际中的函数问题，深化对函数的理解. 本单元知识结构图如下：本节课先引发学生思考反映不同事物变化过程的一些实际问题，给出变量、常量的概念；然后体会变量之间的联系，围绕函数概念的形成，采用“背景—分析—归纳”的方式引入概念，在师生充分交流的基础上，归纳得到函数的概念，揭示其核心是“变量之间的关系”；随后通过例题帮助学生知道刻画依赖关系的三种常用表达方式，系统地呈现了函数概念，有利于学生基础知识和基本技能的初步掌握，体现“实践—理论—再实践”的认知规律.二.教学目标及其解析基于对教学内容的思考，将本节课的教学目标设置如下：从实例出发，在具体情境中体会数量在生活中的作用，能区分变量与常量；通过分析问题情境中变量之间的联系，从中理解确定的依赖关系的含义，建立函数及其相关概念.经历“背景—分析—归纳—定义—辨析—应用”的函数概念形成过程，在不同问题情境中，初步领会函数思想，体会用数学的视角思考问题，用数学的语言阐述观点，用数学的方法解决问题，积累数学探究的基本经验；初步体验观察、分析、归纳等数学实验研究的方法和利用图像、表格整理数据、获取信息的方法，发展直观想象、数学抽象、逻辑推理、数据分析等能力.在数学学习和问题解决中，发展主体意识和团队合作的精神；认识数学来源于生活又反作用于实践，体会辩证唯物主义观点；了解我国现实国情、新时代特色社会主义建设成就，增强爱国主义热情和民族自信心.教学重点：分析变化过程中变量之间的联系，从中理解确定的依赖关系的含义，建立函数及其相关概念.教学难点：归纳提炼函数的概念、理解函数的意义.三.学生学情分析函数概念是初中阶段最难理解的概念之一，一方面它有高度的抽象性，另一方面，变量的概念涉及到用运动、变化的观点看待问题，具有辩证思维特征.1本节课采用借班上课的形式，教学对象是八年级学生. 学生过去研究过数、量、字母表示数，这些都是一元变量，期间也涉及了几个变量之间的关系（如：运算律、公式等），但没有系统地学习过两个变量之间的关系. 函数关系是特殊的对应（依赖）关系.在初识阶段，分析两个变量之间的关系时，学生往往侧重它们的内在逻辑联系，因此，在教学设计中，以教材提供的概念形成过程和素材及贴近学生的生活实例为依据，特别注意以实例为载体化解函数的抽象性，为学生搭建理解的平台，铺设概括的线索和阶梯，其中特别注重典型实例、表格和图像等的直观作用，并强调在思想方法上给予明确、具体的指导，1摘自《注重学生思维参与与感悟的函数概念教学》章建跃以帮助学生感悟函数概念的本质属性：两个变量间确定的依赖关系. 函数关系的研究，对分析和应用现实世界普遍存在的变量之间的关系有着非常重要的作用，所以，函数的概念教学要从系统地研究变量之间关系的必要性入手，突出函数关系的特征.另外，在表述中常采用“y是x的函数”，这从字面语意上看y是函数，但变量之间的关系才是函数的本质，这是学生很容易混淆的，所以设计了“温度变化”、“入园人数”等以图像、表格形式呈现的实例帮助学生感受函数概念的本质.四.教学策略分析根据上述分析，我制定了如下教学策略：教学策略1：创设情境，初步感知，促体验函数与现实生活的联系非常密切. 本节课以实际问题贯穿始终，在函数概念的引入、抽象、概括等各环节中，创设了丰富的、生活化的问题情境，以具体的实例为载体化解函数概念的抽象性，引导学生初步感知变量间的联系，体验确定的依赖关系.教学策略2：经历变化，抽象提炼，促理解概念形成是从实例出发，通过观察、归纳、抽象、概括出事物的某类本质属性，并通过提出各种假设加以验证. 本节课对于函数概念的学习，需要经历从具体到抽象的过程，先提供了“轨道高度”、“抛篮球”两个实例，利用信息技术（幻灯片动态演示、几何画板软件模拟、短视频嵌入等）动态地呈现问题情境中的变化过程，引导学生进行分析，通过数学抽象，逐步形成函数的有关概念，随后通过“天气变化”、“入园人数”两个实例，突出函数的本质属性是两个变量间“确定的依赖关系”，剥离“用数学式子表示”这一非本质属性.教学策略3：整体思考，把握内涵，促衔接本节课是本单元的起始课，后续还将进一步学习正、反比例函数和函数的表示方法.在本节课中，问题的呈现形式有文字、图像、表格，有意识地使用了这些不同的表现形式，这样的编排一方面有助于突出函数概念的本质属性是两个变量间“确定的依赖关系”，进而形成对函数概念较深刻的认识；另一方面也为后面继续学习函数的三种表示方法进行了适当的准备.教学策略4：问题探究，初识价值，促发展通过具体问题为载体的探究活动：借助信息技术来模拟“电动车行驶”实验，探究电动车电池剩余电量与行驶路程的关系，尝试用三种常用的方式来刻画这种关系. 在模拟实验的活动中，尝试应用函数的观点来观察、分析、解决问题，在此过程中加深对函数知识的理解，积累基本活动经验，初步感受函数在刻画运动变化规律中的作用，领会用函数的思想研究事物的一般方法；启发学生“由数想形，由形助数”，激发学生的创新思维，增进直观想象、数学抽象等核心素养的形成和发展，逐步学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界.教学技术支持：板书支持：为了有效实现教学目标，我设计了如下板书：信息技术支持：为了更好支持学习活动，我制作了教学课件，将信息技术与课程内容有机整合，发挥信息技术在解决学生数学学习困难上的作用：（1）函数概念具有高度的抽象性，因此本节课借助信息技术直观呈现具体实例的变化过程，为概括数学概念提供具体背景支持，如通过动态演示“轨道高度”的变化过程来认识常量与变量；又如短视频呈现“抛篮球”“温度变化”等实例，使变化过程变得“可视化”、“连续性”，以有序的变化过程帮助学生理解“确定的依赖关系”.（2）以往教学中难以呈现的课程内容可以通过技术在课堂上呈现，如“电动车行驶”实验，通过几何画板的模拟将实验搬入了课堂，在用数学解决实际问题时，利用信息技术呈现实验模拟、数据收集、数据处理、数据分析等过程，借此学生尝试进行探究活动.（3）数学中存在复杂的数据处理，如“电动车行驶”问题中，用图来刻画两个变量间的确定的依赖关系时，通过几何画板“绘制表格”功能代替机械性的描点过程，提高效率，使学生有更多的时间用于数学的实质性思考，同时培养学生的现代技术意识.板书与课件能直观、有效地帮助学生逐步形成概念，随着学生的思维同步展开，构建了有利于学生抽象概念的教学情境.五.教学过程设计1. 创设情境，引入新课【师生活动1】观看《纪念天宫二号》视频.【设计意图】通过天宫二号实例，感知数学来源于生活；了解我国现实国情、新时代特色社会主义建设成就，增强爱国主义热情和民族自信心.请阅读海报，你可以获得哪些信息？海报上是如何描述天宫二号的特征的？【师生活动2】学生先独立阅读海报，尝试获取信息；随后通过“描述天宫二号的特征”这一对话活动，发现需要用“数”和“单位”来描述，从而引出数量的概念：数与度量单位合在一起就是数量；再配以具体例子进一步体会“可以用数量来描述事物的特征”.【设计意图】体会用数量描述事物的特征，引起学生对数量的关注.2. 活动探究，形成概念问题1如果在平面内将地球抽象成一个圆，飞行器抽象成一个点，设想飞行器绕地球飞行，（1）其飞行的轨道是什么图形？（2）假设轨道高度为x千米，那么轨道周长y是多少千米？【师生活动1】将实际问题在平面内抽象成数学图形，引导学生利用已有知识（圆的周长公式）找出轨道周长与轨道高度的关系；通过多媒体演示改变轨道高度，直观感受飞行器所在的绕地飞行轨道大小随之改变，归纳常量与变量的概念.【设计意图】运用多媒体技术帮助学生直观感受变化过程中存在的两类量：常量与变量，进而归纳常量与变量的概念.学生在活动中初步感受“变化而变化”，引出本节课需要研究的主题.【师生活动2】辨析：下列数量中，哪些量是变量，哪些量是常量？（1）2018年期间，你的体重G（千克）；（2）某次汽车匀速行驶时，行驶的速度v（米/秒）；（3）昨天，某气象站测得的室外温度T（摄氏度）；（4）篮球抛出后至落地的这段时间内，篮球离地面的高度h（米）.【设计意图】通过辨析进一步明晰常量和变量的概念.追问：篮球抛出后至落地的这段时间内，篮球离地面的高度h（米）与什么变量有关？【师生活动3】根据生活经验，说出影响篮球离地面的高度h的变量.【设计意图】体会变量之间处处有联系.问题2 一次抛出篮球后，设篮球离手时间t（秒）时，球离地面的高度为h（米），（1）在这个过程中，h与t有关系吗？（2）t的值确定时，h的值能确定吗？【师生活动4】①短视频演示篮球抛出到落地的过程，即时显示离手时间及篮球离地高度.学生通过观察变化过程，体会h 随着t的“变化而变化”、“确定而确定”.②回顾：飞行器飞行高度变化的过程，轨道周长y（千米）与飞行器的轨道高度x（千米）之间的关系. 【设计意图】通过师生共同讨论，分析问题中一个变量的变化对另一个变量变化的影响，感受变量之间“确定的依赖关系”，初步形成函数的概念，体会函数解析式可以刻画“确定的依赖关系”.问题3下图是某一天气象站测得的该地区气温变化情况：（1）时间t和温度T是变量吗? 温度T和时间t有确定的依赖关系吗？（2）时间t的取值范围？【师生活动5】①多媒体演示：短视频演示绘制图的过程，将图形从左到右描点呈现.②引导学生对该变化过程进行类似上面两个变化过程的变量关系分析，归纳函数的完整概念并板书. 【设计意图】学生感受变量的取值随研究背景的限定而有范围，完善函数概念；体会到图也可以刻画“确定的依赖关系”，突出函数的本质属性，剥离“用数学式子表示”这一非本质属性.问题4 某场馆2018年十一长假期间测得的入馆人数统计表如下：日期和当天入馆人数是变量吗？入馆人数是日期的函数吗？说说你的理解.【师生活动6】引导学生说出“日期”和“当天入馆人数”两个变量间的联系，体会表格也可以刻画变量间“确定的依赖关系”.【设计意图】利用函数的概念判断一个变量是否是另一个变量的函数，巩固函数概念；体会用表刻画变量间“确定的依赖关系”，进一步突出函数的本质属性；归纳三种常用的刻画确定依赖关系的方式，为本单元学习函数的三种表示方法做铺垫.【师生活动7】阅读课本，圈划概念，互相交流.【设计意图】在课本上圈划概念，养成良好的学习习惯；规范语言，梳理函数的相关概念.3. 模拟实验，增进理解问题5 老师准备十一期间开着一辆电动汽车去A地旅游，但担心去的路上电动车的电量是否足够，路途中间是否需要找充电站充电？因此，老师希望知道：这辆电动汽车的剩余电量与行驶的路程有什么关系？说说你的理解？模拟实验一辆电动汽车匀速行驶的过程，汽车蓄电池原有电量30（千瓦时），观察实验过程并思考：（1）设汽车行驶的路程为x（千米），电池剩余电量为y（千瓦时），y是x的函数吗？（2）如何刻画y与x的函数关系？【师生活动】①媒体演示：短视频演示电动车的行驶过程，直观呈现电池电量的变化情况.引导学生利用函数的概念来描述两个变量之间的关系.②小组讨论：你能用什么方式来刻画y与x的关系？如何呈现？③交流分享：几何画板模拟电动车的行驶过程，将行驶路程与电池电量的具体数值直接呈现.【设计意图】再次经历探究两个变量间的函数关系的过程，巩固函数的相关概念；进一步体会刻画确定的依赖关系的三种常用方式，并初步感受三种刻画方式的优点和局限性；学生通过经历实验、采集数据列表、描点法画图、分析表与图、寻找规律、尝试得出函数解析式的过程，积累数学探究的活动经验，体会函数思想，发展直观想象、数学抽象、逻辑推理、数据分析等能力.4. 自主小结，知识梳理【设计意图】梳理知识，明晰函数的概念，进一步体会学习函数的价值.5. 布置作业，目标检测1、精读书本P52-55页，加深对课堂内容的理解；2、完成练习册18.1（1）.【设计意图】检测目标的达成情况.六.课堂教学目标检测目标检测是测量学生学习水平和衡量教师教学效果的有效手段，所以我在教学行进过程中和课后，设置了基于本节课教学目标和单元规划的检测题，如：教学过程中的问题5（具体见上文）；再如课后作业第5题：德国著名心理学家艾宾浩斯（1850年~1909年）对人的记忆进行了研究，他采用无意义的音节作为记忆的材料进行实验，获得了如下相关数据：他又根据上表绘制了一条曲线，这就是著名的艾宾浩斯遗忘曲线.观察这条曲线，回答：（1）在这一变化过程中，有哪两个变量？它们之间是否存在确定的依赖关系？其中一个变量是另一个变量的函数吗？为什么？（2）你从图中发现怎样的规律？对你的学习有什么启示？【设计意图】本题用表和图来刻画函数关系，意在检测学生对于依赖关系和函数概念的掌握情况；随后设计了一个开放性的问题，意在检测学生“用数学”的意识及能力，以下评价标准可供参考：第一层级（合格）：问题（1）解答正确；第二层级（良好）：问题（1）解答正确；问题（2）能读出变化趋势，描述大致的变化规律，能较清楚地介绍自己的学习启示；第三层级（优秀）：问题（1）解答正确；问题（2）能读出变化趋势，准确、完整地描述变化规律，能清晰地介绍自己的学习启示.上海教育出版社九年义务教育数学课本八年级第一学期第十八章函数的概念点评稿朱费迪老师是上海市宝钢新世纪学校的一位优秀青年教师，她执教的《函数的概念》是上海教育出版社初中数学八年级第一学期第十八章第一节内容。