第六讲 图形与变换

“图形与变换”练习
1．请仔细观察下列轴对称图形的构成，然后在横线上画出恰当的图形．
2．如图,正方形ABCD 的边长为8,M 在DC 上，且DM ＝2,N 是对角线上的一动点，的最小值为_ __________
(第2题图) (第3题图) (第4题图)
3．如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B = 90°，AD = 3，BC = 5，AB = 1，把线段CD 绕点D 逆时针旋转90 °到DE 位置，连结AE ，则AE 的长为 . 4．如图，把△ABC 绕点C 顺时针旋转35°，得到△A ′B ′C ，A ′B ′交AC 于点D ，若∠A ′DC=900，则∠A 度数为（ ） A.45° B.55° C.65° D.75°
5．上右图是万花筒的一个图案，图中所有小三角形均是全等三角形，其中把菱形ABCD 以A 为中心旋转多少度后可得图中另一阴影的菱形（ ）
A.顺时针旋转60°
B. 顺时针旋转120°
C.逆时针旋转60°
D. 逆时针旋转120°
6．已知：如图，(42)E -，，(11)F --，，以O 为位似中心，
按比例尺1:2，把EFO △缩小，则点E 的对应点E '的坐标 为（ ）
A ．(21)-，或(21)-，
B ．(84)-，或(84)-，
C ．(21)-，
D ．(84)-，
7．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC 的顶点均在格点上，点B 的坐标为（1,0） ①画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，
②画出将△ABC 绕原点O 按逆时针旋转90°所得的△A 2B 2C 2，
③△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成轴对称图形吗？若成轴对称图形，画出所有的对称轴； ④△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2成中心对称图形吗？若成中心对称图形，写出所有的对
A
B C D E
x
y
E
F
O
_ N
_ M
_ D
_ C _ B _ A
称中心的坐标.
8.在平面内，先将一个多边形以点O 为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ，并且原多边形上的任一点P ，它的对应点P '在线段
OP 或其延长线上；接着将所得多边形以点O 为旋转中心，逆时针旋转一个角度
θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为()O k θ，，其中点O 叫
做旋转相似中心，k 叫做相似比，θ叫做旋转角． （1）填空：
①如图1，将ABC △以点A 为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转60，得到ADE △，这个旋转相似变换记为A （ ，
）；
②如图2，ABC △是边长为1cm
的等边三角形，将它作旋转相似变换
)A ，得到ADE △，则线段BD 的长为
cm ；
（2）如图3，分别以锐角三角形ABC 的三边AB ，BC ，CA 为边向外作正方形
ADEB ，BFGC ，CHIA ，点1O ，2O ，3O 分别是这三个正方形的对角线交点，
试分别利用12AO O △与ABI △，CIB △与2CAO △之间的关系，运用旋转相似变
换的知识说明线段12O O 与2AO 之间的关系．
Ｃ
D
E
图1
Ａ
B
Ｃ
D
E
图2
Ｅ
Ｄ
Ｂ
Ｆ
Ｃ
Ｈ
Ａ
Ｉ
3O
1O
2O
图3
9. 如图1，一副直角三角板满足AB ＝BC ，AC ＝DE ，∠ABC ＝∠DEF ＝90°,∠EDF ＝30°
【操作】将三角板DEF 的直角顶点E 放置于三角板ABC 的斜边AC 上，再将三角．．．板．DEF ．．．绕点．．E ．旋转．．
，并使边DE 与边AB 交于点P ，边EF 与边BC 于点Q 【探究一】在旋转过程中， （1） 如图2，当CE
1EA
＝时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明. （2） 如图3，当
CE
2EA
＝时EP 与EQ 满足怎样的数量关系？，并说明理由. （3） 根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当
CE
EA
＝m 时，EP 与EQ 满足的数量关系式为_________,其中m 的取值范围是_______(直接写出结论，不必证明)
【探究二】若，AC ＝30cm ，连续PQ ，设△EPQ 的面积为S(cm 2)，在旋转过程中： （1） S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值，若不存在，
说明理由.
（2） 随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化？不出相应S 值的取值
范围.
F
C(E)
A(D)
Q P
D
E
F
C
B
A Q
P
D
E
F
C
B
A
10．如图，在直角梯形纸片ABCD 中，AB DC ∥，90A ∠=，CD AD >，将纸片沿过点D 的直线折叠，使点A 落在边CD 上的点E 处，折痕为DF ．连接EF 并展开纸片．
（1）求证：四边形ADEF 是正方形；
（2）取线段AF 的中点G ，连接EG ，如果BG CD =，试说明四边形GBCE 是等腰梯形．
E
C
B
D
A G F
答案：
1．略 2.10 3.52 4.C 5.D 6.A 7. 解：如下图所示，（4）对称中心是（0，0） 8. 解：（1）①2，60； ②2；
（2）12AO O △
经过旋转相似变换)A ，得到ABI △，此时，线段12O O 变为线段BI ；CIB △
经过旋转相似变换452C ⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，得到2CAO △，此时，线段BI 变为线段1AO ．
2
212
⨯
=，454590+=，122
O O AO ∴=，122
O O AO ⊥．
[][].
1,755.6250.2,5.62505.62,105)2(.75,310.
50,210.
310210,4
14121,)1(6
20,1)3(21
,
2
1
.∽90,,2
1
,,2
1
,.32,
3
1
.∽,//,90,)2(.
,,≌,90,,,,.,,90,90,,)1(:.92
22220000
0个有对应时或当个有对应时故当时当取得最大值时当取得最小值时当其中则设探究二综上不重合若点显然重合若点同理于点作于点作综上不重合若点显然重合若点的平分线为连接于点作于点作探究一解EPQ S S EPQ S cm S EB x cm S cm EN x cm S cm EN x x x EQ EQ EP S x EQ m m
EQ EM EQ EP EN EM EQ EP ENQ Rt MEP Rt PEN NEQ MEP P M EN EM EQ EP P M EN EM BC AB AB EN AC AE BC EM ABC AME BC EM ABC N BC EN M AB EM EQ EP EQ EP ENQ Rt EPM Rt PEN NEQ MEP P M EQ
EP P M EN EM ABC BE EA CE BC AB MEN ABC BE N BC EN M AB EM EPQ EPQ EPQ EPQ ∆≤<=∆≤<=======∴≤≤==⋅==+≤<====∴∆∆∴∠-=∠=∠=
==∴=∴===∴∆∆∴∴=∠⊥⊥==∴∆∆∴∠-=∠=∠==∴∠∴===∠∴=∠⊥⊥∆∆∆∆ 10．
证明：（1）90A ∠=，AB DC ∥，90ADE ∴∠=．
由沿DF 折叠后DAF △与DEF △重合，知AD DE =，90DEF ∠=．
∴四边形ADEF 是矩形，且邻边AD AE ，相等． ∴四边形ADEF 是正方形．
（2）CE BG ∥，且CE BG ≠，∴四边形GBCE 是梯形．
四边形ADEF 是正方形，AD FE ∴=，90A GFE ∠=∠=． 又点G 为AF 的中点，AG FG ∴=．连接DG ．
在AGD △与FGE △中，AD FE =，A GFE ∠=∠，AG FG =， AGD FGE ∴△≌△，DGA EGB ∴∠=∠．
BG CD =，BG CD ∥，∴四边形BCDG 是平行四边形． DG CD ∴∥．DGA B ∴∠=∠．EGB B ∴∠=∠． ∴四边形GBCE 是等腰梯形．
注：第（2）小题也可过点C 作CH AB ⊥，垂足为点H ，证EGF CBH △≌△．
E
C
B
D
A
G F。