杨辉三角及其空间拓展
数学史—杨辉三角
数学史—杨辉三角通过数学史学习，可以使学生在接受数学专业训练的同时，获得人文科学方面的修养，了解数学概貌，获得数理方面的修养。
而历史上数学家的业绩与品德也会在青少年的人格培养上发挥十分重要的作用。
本文将以杨辉三角为例探讨数学史的教育价值。
杨辉三角是现行高中数学教材中数学历史材料之一,它不仅记载了一些中外数学家们一段美好而又动听的故事,而且还科学地揭示了二项展开式的二项式系数的构成规律，更具有许多奇妙的性质．因此，杨辉三角是不可多得的集思想性、科学性、知识性、趣味性于一体的珍贵的历史材料．为了充分发挥杨辉三角的教育功能，笔者指导了学生对杨辉三角的研究，现将研究的过程、成果及体会分述如下．1．实践过程利用二项式定理第二课时的小结时间（约10分钟），向学生简介杨辉三角，并发给每人一份研究提纲，指导、布置研究任务．1．1杨辉三角简介杨辉三角因最早出现在我国宋朝数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》的附录中而被称为“杨辉三角”．其实，在11世纪中叶，我国北宋数学家贾宪就著就了《皇帝九章算法细草》一书，可惜这部书早已失传了．但该书部分内容（包括杨辉三角）因被收入《详解九章算法》一书而幸存．西方把杨辉三角称为“帕斯卡三角”，这是因为“帕斯卡三角”在西方最早出现在法国数学家帕斯卡1665年出版的《算术三角》的著作中，这要比贾宪晚400年左右．1．2杨辉三角的研究提纲（1）阅读．（2）如图1-1，一个儿童从A处进入图中的曲经，请计算这个儿童分别到达B、C、D、E、F、G、H、I、J、K、L、M、N、O处的最短路线的条数，并把它填入图1-2的相应的圆圈内．你从中发现有什么规律？按照你计算的结果和发现的规律对照杨辉三角，写出杨辉三角的前8行．（图1-1） （图1-2）（3）研究杨辉三角中的数字与组合数是否有关系？有怎样的关系?（4）在杨辉三角中，如图2，一些直线连接的数字分别构成了一些数列，请研究这些数列的性质．例如，杨辉三角是一个“等腰三角形”，左腰上的数字构成了常数列1，1，1，…，1…；平行于左腰的直线上的数字依次构成等差数列1，2，3，4，…；二阶等差数列（其一阶差分数列是等差数列）1，3，6，10，…；三阶等差数列（其二阶差分数列是等差数列）1，4，10，20，…；……(5)从“形”上研究杨辉三角的性质，例如奇数的分布，偶数的分布，3的倍数的分布等等．（6）研究杨辉三角其它方面的性质．（7）参考文献（略）．1．3研究活动的具体要求（1）自愿为原则，每班组成10个研究小组，每组4至5人，并推选一名组长,负责组织本组的研究及研究成果的整理，写成一篇小论文．（2）对于研究的成果，要进行严格的证明，如果是摘录的结论，请注明出处．（3）三周后进行交流，各研究小组分别委派一名代表宣读论文．（4）评选出优秀研究成果（不超过研究成果总数的三分之一）．2．研究成果（如图3）2．1杨辉三角的数字构成规律是，每行两相邻数字的和等于它们共同对应的下行的数字（如图中），这条性质可由m n m n m n C C C 11+-=+得证．2．2横行（如1—4—6—4—1）与首末两端“等距离”的两个数字相等，这条性质就是二项式系数的性质1．2．3第n 行（如1—4—6—4—1）的所有数字之和为21-n ，这条性质可由组合数的性质1112111012------=++++n n n n n n C C C C 得证．2．4当n 为奇数时,第n 行有奇数项,中间一项最大;当n 为偶数时,第n行有偶数项,中间两项相等且最大．这条性质就是二项式系数的性质2．2．5第n 行的平方和等于1)1(2--n n C （如12+42+62+42+12=70=4815)15(2C C =--）,这条性质可由恒等式1)1(2211221211201)()()()(-------=++++n n n n n n n C C C C C 得证．2．6平行于杨辉三角的腰的直线（包括腰所在的直线）上各个数字之和等于末项的下一行偏向中央的第一项（如图3中1+2+3+4+5+6=21,1+3 +6+10+15=35）,可由恒等式1121++++++=++++m n m m n m m m m m m m C C C C C得证．2．7第2n （-∈Z n ）行所有各项都是奇数．证明：第2n 行各项为k n C 12-（k =0，1，2……，12-n ）， （1）当k =0，1时，k n C 12-=1，12-n 均为奇数； （2）假设当k =m -1（m ≥2）时命题正确，即112--m n C 为奇数，则 m n C 12-=m m n -2112--m n C ……①，若m 为奇数，由①知m n C 12-=奇数奇数奇数⨯,假设m n C 12-是偶数，则有偶数=奇数奇数奇数⨯,即有偶数⨯奇数=奇数⨯奇数，矛盾，故m n C 12-必为奇数；若m 为偶数，可设m =2p 1m ，其中1m 为正奇数，N p ∈，n p <．①可化为m n C 12-=112m m p n --112--m n C ，同理可证m n C 12-仍为奇数．因而当k =m 时,命题也正确．由（1）、（2）可知第2n 行所有各项都是奇数．2．8中轴线（1，2，6，20……所在的直线）上的各项或平行于中轴的直线上的各项构成的数列，都有这样的性质：每一项与前一项的比构成的新数列的极限均为4．证明：原数列的通项为211kn n C +--(它是杨辉三角中的第n 行，且与中轴线的距离为k 的直线上的数)，当k =0时，⎭⎬⎫⎩⎨⎧--211nn C 是中轴线上的数列（n =1,3,5,…,2m -1,…）；当k =1时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧-21n n C （n =2,4,6,…,2m ,…）是平 行于中轴线且与其相邻（即距离为1）的直线上的数列;当k =2时,⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-211nn C （n =3,5,7,…,2m -1,…）是平行于中轴线且与中轴线距离为2 的直线上的数列…．因为211k n n C+--的前一项是233k n n C +--,故211kn n C +--÷233kn n C +--=])1][()1[()2)(1(4k n k n n n --+---,故有∞→n lim （211k n n C +--÷233kn n C +--）=∞→n lim ])1][()1[()2)(1(4k n k n n n --+---=4． 2．9把每一行各项从左至右分别乘以m 0,m 1,…m r ,…（m C ∈，m ≠-1），再把它们加起来所得到的和数列是公比为（1+m ）的等比数列．证明：第n 行各项为11211101,,,,-----n n n n n C C C C ,由题设新数列的通项为n a =11112211101)1(-------+=++++n n n n n n n m mC m C m C C ,故有n a ÷1-n a =（1+m ）,得证．2．10英国的《SMP 英国中学数学教科书》中，把帕斯卡三角（即杨辉三角）改写成如图4的形式，并将每一条斜线上的数字分别相加，得到数列1,1,3,5,8,13,21，…，此数列是著名的斐波那契数列．2．11在杨辉三角中（如图3）,以第n 行(包括该行)为底边,以第一行的“1”为顶点的三角形是等边三角形．我们称之为边长为n 的杨辉三角．2．12在边长为16的杨辉三角中，把偶数“聚集区”（图5中“0”代表偶数，“1”代表奇数，可称为杨辉三角的0-1三角）看作是“倒等边三角形”，只有一个偶数的“聚集区”，也可看作是一个边长为1的“倒等边三角形”．把这些“倒等边三角形”从杨辉三角中“挖去”，剩余部分就是有趣的西尔平斯基衬垫(如图6)．西尔平斯基衬垫是由波兰数学家西尔平斯基（Sierpinski ）于1915年发现的，故而得名．使用Gbasic 语言编程：运行结果如图5：（图5）（图6）通过民主评议，同学们一致认为2．7、2．8、2．12是我们依靠自己的聪明才智，并做了很多具有开拓性的工作获得的，因而无可争议地被评为优秀成果．2．10虽然不是学生自己的研究成果，但是，多数同学认为2．10也来之不易，是一个小组的同学费尽周折获得的，并且还有很强的趣味性;另外，“拿来主义”也是学习的一种方法．因此，2．10也被评为优秀成果．3．教育价值3．1德育价值3．1．1培养爱国主义思想的教育价值杨辉三角“是数学史上的重大发现，它在数学的许多领域都有及其重要的应用”[1]，这一重大发现比西方要早四百年左右，是我国数学家对数学发展的重要贡献之一．通过向学生介绍杨辉三角的来龙去脉，展示了我国悠久的历史、灿烂的文化和我国古代数学发展的成就，显示了我们中华民族的勤劳和智慧．改革开放的今天，是我国历史上经济发展和社会进步的最好时期，中华古老文化的底蕴与中华民族的聪明才智，必将化作21世纪的民主、富强、文明的社会主义现代化强国，屹立在世界的东方．这是一次生动的爱国主义思想教育，极大地激发了学生实现为社会主义现代化强国而刻苦学习的热情．3．1．2培养献身科学精神的价值通过杨辉三角的介绍和查阅大量的资料，学生还获得了许多科学知识和鲜为人知的关于科学和科学家的故事，从而引起了学生对科学的极大兴趣和热爱．在研究的过程中，学生也体会到了在科学研究中遇到挫折时的困惑和取得成功的喜悦．这些都会使学生萌发和树立爱科学、学科学、用科学、献身科学的思想．而从事科学研究首先要有科学的态度，还要有脚踏实地、知难而上的实干精神，通过这项研究，也有利于磨练学生的意志，培养学生一丝不苟的科学态度、坚忍不拔的毅力和刻苦钻研的精神．3．1．3培养合作意识和精神的价值和平与发展是当今世界的主流，而和平与发展需要合作，没有合作就没有和平，就没有发展．一个人不谋求并善于与他人合作，就很难融入现代社会，就没有发展的空间，甚至难以生存．我国已经进入了独生子女时代，学校教育要重视培养学生与他人合作的意识和精神．这项研究活动是在自愿的基础上组成研究小组，以研究小组为单位，组员之间既有分工又有合作，研究成果是集体智慧的结晶，使学生体会到了合作的快乐和合作的重要性，从而引导学生广泛交流，主动寻求合作，互相帮助共同进步．3．2智育价值3．2．1开发智力培养能力的价值这是一个研究性学习的学习过程．虽然有研究提纲，但也仅限于研究的方向，具有高度的开放性，需要学生自己提出问题，并想方设法解决问题．因此，这是一个锻炼和提高问题解决能力的好机会．有了研究的方向，学生首先对杨辉三角进行观察、分析，通过感性认识进行归纳、抽象、概括提出问题，有利于培养学生思维的灵活性和思维的广阔性；对所提出的问题进行计算、演绎、推理、分析和判断得出结论，然后加以论证或否定，有利于培养学生思维的深刻性和思维的批判性．在这个过程中，学生的思维能力、运算能力、空间想象能力都得到了锻炼和提高，有利于形成和提高分析问题和解决问题的能力，起到了开发智力培养能力的作用．3．2．2培养数学应用的意识和能力的价值使学生学会从事社会主义现代化建设事业或进一步学习所必须的数学知识，培养学生数学应用的意识和能力，是中学数学的教学目的之一．通过对杨辉三角的研究，不仅使学生所学的知识得以巩固和加强，还使学生感到自己的所学有了用武之地，提高了学生学习数学的兴趣以及数学应用的意识和能力．特别是有一组的同学，使用Gbasic 语言编程，运用计算机这一现代化手段，打印出了杨辉三角、杨辉三角的0-1三角和西尔平斯基衬垫，这一“开拓性”的工作，使学生受到了巨大的鼓舞．3．2．3培养科学研究的意识和能力的价值现代教育需要培养创新型的人才，而培养学生科学研究的意识和能力，是培养创新精神的重要方面；现代社会的发展需要人才的知识结构不断更新，因此，学习将伴随人们的终身，学校教育肩负着培养学生终身学习能力的重任，要使学生掌握与现代社会发展相适应的学习方法．指导学生对杨辉三角的研究，使学生了解了科学研究和研究性学习的过程和方法，为进一步培养和提高自学能力、科学研究能力奠定了基础．3．3美育价值2的杨辉三角的杨辉三角中的数字都关于中轴线对称；边长为n0-1三角，关于“三条高线”都对称；西尔平斯基衬垫也具有上述性质； 体现了数学的对称美．杨辉三角的0-1三角还可由下面的作出：先由三个边长为2的杨辉三角（如图7-1），方法拼成边长为4的杨辉。
杨辉三角实验报告
基本操作：
{
InitQueue (&Q) //构造一个空对列
DestroyQueue (& Q) //销毁对列
ClearQueue (& Q) //将S清为空对列
QueueEmpty(Q) //判断是否为空对列，是则返回True
QueueLength(Q) //返回对列的长度
GetHead (Q, &e) //返回队头元素
EnQueue (& Q, e) //插入元素e为新的队尾元素
DeQueue (& Q, &e) //删除队头元素，并用e返回
QueueTraverse(Q, visit()) //对每个元素都调用visit函数，如调用失败，则操作失效
（3）基于数组实现队列的物理数据结构
需求分析：
1、输入形式：输入一个整数n ，0<=n<=20
2、输出形式：打印出来前(n+1)行的杨辉三角数列
3、功能实现：输出前20层的杨辉三角序列
实验内容：
1.采用类c语言定D＝{ ai | ai∈ElemSet, i=1,2,...,n, n≥0 }
printf(" ");
printf(" 1\n");
q=InitQueue();
EnQueue(q,0);
EnQueue(q,1);EnQueue(q,1);
for(j=1;j<n;j++)
{
for(i=1;i<n-j;i++)
“杨辉三角”的拓展探究
“杨辉三角”的拓展探究余智敏;何春玲【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2016(000)003【总页数】3页(P4-6)【作者】余智敏;何春玲【作者单位】湖北武汉市第十二中学;湖北武汉市钢城十四中【正文语种】中文高中数学教材人教A版《选修2-3》中用了较大篇幅介绍“杨辉三角”,主要是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容,由它可以直观看出二项式定理的性质．杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一,它的发现显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能．“杨辉三角”将展开式中的二项式系数几何化,使之更加形象地展现在我们眼前．而三项式、四项式、五项式的相应规律却不能用“杨辉三角”来解释．因此,我们的研究还可以继续进行,而要想形象地体现出三项式乃至多项式,也要从数字规律入手.,该式利用了排列组合思想,将其看成是从n个(a+b)中每个(a+b)提取出一个a或b 的提法总数．2) (a+b+c)n中,an项有1种取法,bn项、cn项也都只有1种取法,而an-1b有种取法．据此推广到(a+b+c)m+n+p中,ambncp的“三项式系数”为.可以理解为从m+n+p个(a+b+c)中,提出m个a,有种取法,剩下n+p个(a+b+c)中,提出n个b,有种取法,再从剩下的p个(a+b+c)中提出p个c,有种取法．故通项公式应为.而具体有多少项,单纯的靠数字来推演较为麻烦．3) (a+b+c+d)n中,可类比上面,快速得出ambncpdq的四项式系数为五项式、六项式亦然．1) an可理解为一个数轴．数轴、坐标系能够将数据与图形结合,是数与形良好的载体. n无论取何值其“一次项系数”均为1,如图1所示将坐标轴上所有整点赋予“1”．2) (a+b)n,也可以做出一个坐标系,如图2所示．将x、y轴整点赋予1,而第一象限任意整点上的数等于其左边与下边的数之和．就构成了二项式系数在坐标轴上的排布表．y=-x+1上经过的2点便是(a+b)1的二项式系数．y=-x+2经过的3个点便是(a+b)2的二项式系数,故y=-x+n上的整点数字即为(a+b)n的二项式系数．另外,由于是在坐标轴上,所以每个点就可以表示为naxby(其中n为该点所赋的值,x、y为该点的坐标)．3) 类比以上规律,(a+b+c)n可放入三维坐标系中．用x+y+z=r个平行的面去切割三维坐标系,就会产生一个切面．同样,切面上每个整数点的坐标(x,y,z)表示axbycz,将x、y、z轴整点赋予值1，每个点等于其下面、后面(面对于读者)、左面的3个数之和．4) (a+b+c+d)n应在四维坐标系中,无法画出．只能推出x+y+z+w=r包含的点代表axbyczdw,无法知道其系数．3 “肩上”规律在三项式中的合情推理1) 同第2章1)所述,an几何表示仍是直线型．2) (a+b)n的几何表示就是著名的杨辉三角．如图3所示．其中任一数等于其肩上2数之和．最外侧均为1.第n行即为(a+b)n的二次项系数．第n行第m个数表示an-m+1bm-1的二项式系数,即该数左侧有几个数字就是b的几次方．3) (a+b+c)n表示为一个四面体．每个侧面都是一个杨辉三角，如图4．不妨将这个四面体一层一层“切开”来看,如图5.将每一层的3条边填入杨辉三角中的对应值,第4层之后中间就开始有点存在了,如图6所示.中间的点等于立体图中其上3个点之和,如6=2+2+2,第5层有12=6+3+3，…以此类推．每个点除了有数字,还要有对应的字母项,如图7.令三角形顶点为a、b、c,三角形中点的某字母的次数就是这个点到该字母对应顶点的对应边所隔线段数．4) an表示一维,即一条线;(a+b)n表示二维,即一个面;(a+b+c)n表示三维,一个正四面体；可以推知(a+b+c+d)n为一个超四面体．借助类比推理,延用3)的方法:把超四面体切为一层一层,变为三维,每一层对应一个n的取值．那么对于超四面体,进行看不见的、三维空间不存在的切割,就理应得到一个个三维的正四面体,且每一个正四面体如同3)中每一层一样,对应n的一个取值．每一个正四面体的4个面都对应3)中的一层．如第2个正四面体4个面都是,而除了面以外,内部的数字为上一个正四面体所对应的小四面体顶点4个数之和．而字母项,可以设4个面分别为a、b、c、d．每个数字表示的字母项的某字母次数就是这个点到该字母对应顶点的对应面的所隔面数．1) 二项式(a+b)n.2) 三项式(a+b+c)n.3) 四项式(a+b+c+d)n.1) 对称性:二项式(a+b)n的每一层数字左右对称;三项式(a+b+c)n的每一层的三角形关于三角形中心120°对称;四项式(a+b+c+d)n的每一层的正四面体关于其中心109°对称(立体对称).2) 最大值:二项式(a+b)n的每一层最大值为中间1值(或2值);三项式(a+b+c)n的每一层最大值为中心1值(或3值);四项式(a+b+c+d)n的每一层最大值为中心1值(或4值).3) 三项式(a+b+c)n特殊规律:三项式每层呈现边上大,中心小规律,但是查看三角形任一条边(包含三角形内),可以发现这些边都符合杨辉三角某行的数字之比．证明略.高中数学教学中关于多项式的数与形的探究可以适当的拓展．以“杨辉三角”为基础,用类比推理的方法拓展至更多变量的情况,并运用代数推理的工具验证这样的推理,便于学生形象地理解多项式,深入地探究多项式的性质,这样能极大地发散他们的思维,引导他们探索学习上的许许多多未知领域．。
杨辉三角形 c语言
杨辉三角形c语言1.引言1.1 概述杨辉三角形是一个经典的数学图形，它以数学家杨辉的名字命名。
杨辉三角形具有许多有趣的特点和应用，不仅在数学领域广泛应用，而且在计算机科学中也有重要的作用。
本文将介绍杨辉三角形的定义、特点以及它在C语言中的实现方法。
杨辉三角形是一个由数字构成的三角形，它的每个数字是由其上方两个数字相加得到的。
三角形的第一行只有一个数字1，从第二行开始，每个数字都是它上方两个数字的和。
杨辉三角形的形状不仅仅是一个三角形，它还具有许多有趣的数学特性，如对称性、数字排列规律等。
杨辉三角形在数学领域有广泛的应用。
它与二项式展开式密切相关，每一行的数字可以表示二项式系数。
通过杨辉三角形，我们可以轻松地计算组合数、排列数等数学问题。
此外，在统计学、概率论、组合数学等领域中也有许多应用。
在计算机科学中，杨辉三角形的生成方法可以通过编程语言来实现。
本文将以C语言为例，介绍如何使用C语言来生成杨辉三角形。
通过编写相应的算法，我们可以在计算机上生成杨辉三角形，并进行相关的操作，如打印、计算特定位置的数字等。
这对于学习C语言编程和理解算法有重要的意义。
本文的主要目的是介绍杨辉三角形的定义、特点以及在C语言中的实现方法。
通过深入理解杨辉三角形的数学特性和编程实现，读者可以更好地掌握相关的知识和技能。
同时，本文还将探讨杨辉三角形的应用和拓展，展示它在实际问题中的价值和潜力。
希望读者通过本文的学习，能够对杨辉三角形有更深入的了解，并能够运用到实际的计算和研究中。
1.2文章结构1.2 文章结构本文将按照以下结构进行阐述杨辉三角形在C 语言中的实现：1. 引言：介绍杨辉三角形以及本文的目的和意义。
2. 正文：2.1 杨辉三角形的定义和特点：详细介绍杨辉三角形的概念、特点以及其在数学中的应用。
说明杨辉三角形左右对称、每行的第一个和最后一个数均为1、每个数等于它上方两数之和等特点。
2.2 杨辉三角形的生成方法：讲解杨辉三角形的生成方法，包括递推法和组合恒等式法。
杨辉三角的探究之旅
撷英篇一、杨辉三角之由来杨辉三角是一个特殊的数阵，最早出现在北宋贾宪的“开方作法本源图”中。
南宋时期，杨辉在其著作《详解九章算术》中予以引用，且注明了“出释锁算书，贾宪用此术”。
元朝时期，朱世杰对杨辉三角作了进一步研究和推导，得出了高阶差分数列的求和。
据说在1636年，法国帕斯卡在13岁时发现了这个三角形，这个表在欧洲被认为是帕斯卡首先发现的，因此也被称作“帕斯卡三角”。
但此时已经距我国杨辉三角的发现过了六百年左右，这足以说明我国古代数学的卓越成就，在世界数学史占有重要地位。
因此有些书上称之为“中国三角形”（Chinese triangle）。
杨辉三角在整个数学史中的应用非常广泛，北宋的贾宪用其手算高次方根，元朝的朱世杰用其研究高阶差分数列（垛积术），牛顿用其算微积分，华罗庚拓宽思路，还谈到了差分方程，无穷级数等。
同学们，今天就让我们穿越时光隧道，沿着大师的足迹，来一次杨辉三角的探究之旅！二、初探杨辉三角探究角度一：杨辉三角与二项式系数第一行第二行第三行第四行第五行第六行第七行111121133114641151010511612201261……1C01C11C02C12C22C03C13C23C33C04C14C24C34C44C05C15C25C35C45C55C06C16C26C36C46C56C66……C0n-1C1n-1C2n-1…C r-1n-1C r n-1…C n-2n-1C0n-1C0n C1n C2n…C r n…C n-1n C0n 图1图2问题1：通过二项式定理的学习，请同学们观察当n 依次取1，2，3…时，（a+b）n展开式的二项式系数，即如图2所示的二项式系数表，以及杨辉三角如图1，请大家说说它们之间的联系？生：杨辉三角的第n行就是（a+b）n的二项式系数。
问题2：结合杨辉三角（图1）以及二项式系数表，找一找二项式系数有着怎样的规律？二项式系数又有哪些性质？生1：对称性。
数学归纳法及其应用杨辉三角（一）
第四课时课题研究性课题：杨辉三角(一)教学目标一、教学知识点1.理解二项式定理中二项式系数与组合数的关系.2.理解杨辉三角和二项式系数.3.有关二项式系数的性质(即杨辉三角性质).二、能力训练要求1.会运用杨辉三角中的有关性质证明或求解有关组合数问题.2.具有一定的代数逻辑推理的计算能力、数式变换能力.3.观察问题、概括问题、证明问题的能力.三、德育渗透目标1.培养学生学会提出问题、明确探究方向、体验数学活动的过程.2.培养学生创新精神、探索精神和应用能力,鼓励学生大胆猜想.3.加强对学生的爱国主义教育,激励学生的民族自豪感和为国富民强而勤奋学习的精神.教学重点杨辉三角的基本性质的探索和发现是本节课的教学重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系,它与排列、组合和概率的知识结合起来.事实上,许多重要的数学公式都跟组合数有关,因此,适当记住杨辉三角的一些性质,对于发现某些数学规律是大有帮助的.教学难点杨辉三角中的性质是本节课的教学难点,用数学归纳法证明二项式定理,也是一个难点,由于杨辉三角中有许多有趣的数量关系,究竟有什么样的关系,要利用从特殊到一般的归纳、猜想与证明的方法来突破难点.教学方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法.因为杨辉三角中的许多性质不是轻易能发现的,从一般的情况求解显得枯燥无味,而本节也是研究性课题,在教学中采用“特殊→一般”的科学思维方法,让学生讨论研究,从中发现问题,提出问题,最后利用所学的知识解决问题.让每个学生都参与教学的全过程,让他们都是智力参与.这样学生对杨辉三角性质有了主动建构的基础.教具准备实物投影仪(或幻灯机,幻灯片),学生的讨论成果展示.教学过程Ⅰ.课题导入［师］在第十章,我们在学习二项式定理时,已经简单介绍了杨辉三角的问题.(幻灯片或多媒体)早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里就记载着类似下面的表：图2－3这个表称为杨辉三角,在《详解九章算法》一书里,还说明了表里“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和,杨辉指出这个方法出于《释锁》算书,且我国北宋数学家贾宪(约公元11世纪)已经用过它,这表明我国发现这个表不晚于11世纪,在欧洲,这个表被认为是法国数学家帕斯卡(B l a ise Pa s ca l,1623年~1662年)首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角,这就是说,杨辉三角的发现是比欧洲早五百年左右,由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.(这段文字由学生齐读,目的在于让他们了解中华民族文化的辉煌,激励他们立志为中华民族的伟大复兴而读书)［师］鉴于杨辉在数学上的伟大贡献,今天我们特此专门来研究杨辉三角的有关数量关系.(板书课题,研究性课题：杨辉三角)Ⅱ.讲授新课［师］一般的杨辉三角如下： (打出幻灯片,或多媒体课件) 第0行 1 第1行 1 1 第2行 1 2 1 第3行 1 3 3 1 第4行 1 4 6 4 1 第5行 1 5 10 10 5 1 第6行 1 6 15 20 15 6 1……第n -1行1 11-n C 21-n C ... 11--r n C r n C 1- (2)1--n n C 1第n 行1 1n C 2n C ... r n C (1)-n n C 1……其中)!(!!r n r n C rn -=.［师］在学习二项式定理时,我们知道,杨辉三角的第n 行就是二项式(a +b )n 展开式的系数,请同学们回顾一下,二项式定理的内容是什么？［生1］(a +b )n=0n C a n +1n C a n -1b 1+2n C a n -2b 2+…+r n C a n -r b r +…+n n C b n.［师］你们能证明这个定理吗？［生1］利用定义证明：(a +b )n =(a +b )·(a +b )·(a +b )·…·(a +b )(n 个括号).等号右边的积的展开式的每一项,是从每个括号里任取一个字母的乘积,因而各项都是n 次式,即展开式应有下面形式的各项.a n ,a n -1b ,a n -2b 2,…,a n -r b r ,…,b n .现在来看一看上面各项在展开式中出现的次数,也就是看展开式中各项的系数是什么,在上面n 个括号中：每个都不取b 的情况有1种,即0n C 种,所以a n的系数为0n C ;恰有1个取b 的情况有1n C 种,所以a n -1·b 的系数为1n C ;恰有2个取b 的情况有2n C 种,所以a n -2·b 2的系数为2n C ;……恰有(n -1)个取b 的情况有1-n n C 种,所以ab n -1的系数为1-n n C ;n 个都取b 的情况有n n C 种,所以b n的系数为nn C .因此,(a +b )n =0n C a n +1n C a n -1b +2n C a n -2·b 2+…+r n C a n -r b r +…+n n C b n .［师］这种定义法证明固然是好,但不能代表更广泛的意义.你们能用其他方法给予证明吗？［生2］用数学归纳法证明:(1)n =1时,左边=(a +b )1=a +b ,展开式的系数为1,1,而右边=01C a +11C b =a +b ,∴左边=右边.∴n =1时等式成立. (2)假设当n =k 时等式成立,即(a +b )k =0k C a k +1k C a k -1b +…+r k C a k -r ·b r +…+k k C b k .当n =k +1时,(a +b )k +1=(a +b )k (a +b )=(0k C a k +1k C a k -1b +…+r k C a k -r b r +…+k k C b k )(a +b )=0k C a k +1+1k C a k b +…+1+r k C a k -r b r +1+…+k k C ab k +0k C a k b +…+r k C a k -r b r +1 +…+1-k k C ab k +k k C b k +1=0k C a k +1+(1k C +0k C )a k b +…+(1+r k C +r k C )a k -r b r +1+…+(k k C +1-k k C )ab k +k k C b k +1.利用010C +k k C ＝,1101+=+k k k C C C ,…,111+++=+r k r k r kC C C ,…,k k k k k k C C C 11+-=+,11++=k k k k C C 得到(a +b )k +1=01C +k a k +1+11+k C a k b +…+11++r k C a k -r b r +1+…+11C +k ab k +11++k k C b k +1. 这就是说,如果n =k 时等式成立,那么n =k +1时等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任意正整数n ,等式都成立.这样,我们就证明了二项式 定理.［师］杨辉三角有哪些基本性质？［生3］(1)对称性,与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即k n n k n C C -=(k =0,1,2,…,n ).这一性质可直接由组合数计算公式或性质得到.将r n C 可看成是以r为自变量的函数f (r ),其定义域是{0,1,2,3,…,n },直线2nr =将其图象分成对称的两部分,它是图象的对称轴.(2)增减性与最大值.因为由(1)可知n n n C C =0,11-=n n n C C ,…,kn nk n C C -=. 又k k n C k k k n n n n C k n kn1)!1()1()2)(1(1+-⋅=-+-⋯--=-,所以)(11k g k k n C C k nkn =+-=-.那么f (k )的单调性情况由kk n 1+-来决定,即g(k )＞1还是g(k )＜1.由 2111+<⇔>+-n k k k n 可知,当21+<n k 时,二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的,且在中间取得最大值.当n 是偶数时,中间的一项二项式系数2nnC 取得最大值；当n 为奇数时,中间的两项二项式系数21-n nC、21+n nC相等,且同时取得最大值.［生4］这个三角形的两条斜边都是数字1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加,也就是rn r n r n C C C 111---+=,这也是杨辉三角的最基本的性质.［师］除了杨辉三角的基本性质外,仔细观察杨辉三角的图形,我们还可以发现什么有趣的排列规律呢？(引导启发学生观察问题、分析问题、提出问题,最后再解决问题,教师应参与学生一起讨论)［生5］计算杨辉三角中各行数字的和,我们有：(板书) 第1行 1+1=2, 第2行 1+2+1=4, 第3行 1+3+3+1=8, 第4行 1+4+6+4+1=16,第5行 1+5+10+10+5+1=32, …… ……于是：猜想第n 行n nn n nr n n n n C C C C C 2C 1210=++⋯++⋯+++-,即(a +b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n .［师］你能证明这个结论吗？［生6］可以,用数学归纳法证明：(板书)(1)当n =1时,左边21101=+=C C ,右边=21=2,∴左边=右边,即当n =1时,等式成立. (2)假设n =k 时,结论成立,即k k k k krk k k k C C C C C C 2121=++⋯++⋯+++-,那么n =k +1时,11111131211101++++++++++++⋯+++⋯++++k k kk r k rk k k k k C C C C C C C C1111132211001)()()()()()(++-+-++++⋯+++++⋯+++++++=k k k k k k r k r k r k r k k k k k k k k C C C C C C C C C C C C C C )(2222222121013210k k k k r k k k k k k k k k k r k k k k k C C C C C C C C C C C C C C ++⋯++⋯+++=+++⋯++⋯++++--=2·2k =2k +1,即n =k +1时,等式也成立.由(1)(2)可知,等式对一切自然数n ∈N *都成立.［师］你在证明过程中用到了什么技巧？［生7］利用①杨辉三角的基本性质3,(前面证明过了)；②01C +k 换成0k C ；③11++k k C 换成kk C ,然后合并,再用归纳假设. ［师］他的这两步代换是十分重要的,也是较好的.如果只利用性质3是无法操作的,所以在具体的解题过程中要因题、因情而宜,不能千篇一律地都使用一个技巧. 同学们,思考一下,还有其他的方法可以证明吗？［生8］用赋值法.在二项式定理中,对a ,b 都赋值1,即可得出结论.证明：∵nn n r r n r n n n n n n n n b C b a C b a C b a C a C b a +⋯++⋯+++=+---222110)(,在上式中令a =b =1,即得n n n r r n r n n n n n n C C C C 1111111)11(22210⋅+⋯+⋅⋅+⋯+⋅⋅+⋅⋅=+---.故有n nn r n n n n C C C C C 2210=+⋯++⋯+++.［师］请同学们再观察杨辉三角,还可以得到什么结论呢？［生9］经观察计算知,每行的奇数项的和等于偶数项的和,即15314202-⋯+++=⋯+++n n n n n n n C C C C C C ＝.［师］你怎样证明它呢？［生9］利用赋值法.因为(a +b )n =0C n a n +1n C a n -1b +2n C a n -2·b 2+…+r n C a n -r b r +…+n n C b n, 令a =b =1得n n n r n n n n C C C C C 2210=+⋯++⋯+++.①令a =1,b =-1得0)1()1(3210=-+⋯+-+⋯+-+-n n n r n r n n n n C C C C C C .② 由②得⋯⋯+++=⋯+++531420n n n n n n C C C C C C . 又由①知14202-=⋯+++n n n n C C C .故命题得证.［师］用赋值法证明有关组合恒等式是十分简捷的.请同学们再观察杨辉三角的第1,3,7,15行的各数字有什么特点？［生10］第1行是1；第3行是1,3,3,1；第7行数字是1,7,21,35,35,21,7,1;第15行数字是1,15,105,…,105,15,1,这些行上的各个数字都是奇数,而第2,4,5,6,8,9,10,11,12,13,14行上的数字有奇数有偶数.［师］总结概括得很好！你们能将这种情况推广吗？(稍等片刻,让学生互相讨论、交流自己的研究结果,应该给学生留一定的时间和空间) ［生11］因为1=21-1,3=22-1,7=23-1,15=24-1,所以我们大胆猜想第2k -1行(k ∈N *)的各个数字都是奇数.［师］你能证明吗？［生11］这个我没有证明,但我认为应该是正确的！［师］不能仅靠直觉,前面我们也介绍了一些国际级数学大师在猜想中也会犯错误的,所以我们提出的猜想,要尽可能地给予证明,如果课堂上不能解决,课后再讨论证明方法也行.［生12］我有一种证明思路,利用组合数定义进行证明即可.∵12)2()1()2()32)(22)(12(1Cr 2⋅⋅⋯-⋅-⋅-⋯---=-r r r r k k k k k , 下面对r 进行分类,当r 为偶数时,设为r =2m(m ∈N), ∴12)22)(12(2)22()32)(22)(12(12⋅⋯---⋯---=-m m m m Ck k k k k r 1)32)(12](12)1([2)2()32)(12)(12(211⋅⋯⋅--⋅⋅⋯⋅-⋅⋅-⋯---=--m m m m m mk k k k m ]13)32)(12][(12)1([)2()22)(12()52)(32)(12(111⋅⋯--⋅⋅⋯-⋅-⋯--⋯------m m m m m k k k k k k ＝. 下面再对m 的奇偶性分类讨论,经过有限步的约分化简,可以得到12-krC 在r =2m 时是奇数.同样地,当r 为奇数,即r =2m+1时,我们也用这种无穷递降法进行化简,得出12-kr C 也是奇数.［师］同学们,他用这种无穷递降法求解思想来证明,你们能听懂吗？ ［众生］思路我们是清楚的,就是没有哪一种情况是坚持到底的.［师］这种无穷递降法证明有关整数类问题是十分有效的方法,它在证明过程中奇偶性是交替的,分子与分母的各个因数中只要有偶数项一定将2提取进行约分.由于r 是有限的,所以经过有限步的变换可以实现将所有的偶数因子中的“2”约分,化为全是奇数的乘法与除法.也就是他的叙述上稍加改进,即更加完善了.［生13］我在生12的基础上进行改进,也是利用无穷递降法求证,同时也运用数学归纳法的思想求解.“因为当r =0时,1102=-kC ,r =1时,12112-=-k kC 都是奇数,命题成立”.(2)假设当r =l(l≥0)时结论成立,即1C 12-k是奇数,那么r =l+1时,12)1()1()12)(2()22)(12(112⋅⋯-⋅⋅+---⋯--=+-l l l l l Ck k k k l k 12)1()2()22)(12(112⋅⋯⋅-⋅-⋯--⋅+--=l l l l l k k k k 11122-⋅+--=kl k C l l .当l 是偶数时,2k -l-1,l+1都是奇数, ∴112+-l k C 是奇数.当l 是奇数,即l=2m+1(m ∈N)时,112222221121+--=+--=+---m m m m l l k k k .对m 的奇偶性再进行分类讨论,这样无穷递推下去,因k 是有限的,只要经过有限步的变换即可使112+--l l k 变为奇数奇数.由归纳假设,可知这个命题对r =l+1时也成立.由(1)(2)可知,命题对r ∈{0,1,2, (2)-1} 都成立.［师］很好！这个学生的思路也是很清楚的,他将数学归纳法的思想运用到这个问题中了,虽然数学归纳法仅适合于无限个取值,但这种思想递推关系是可以用的.Ⅲ.课堂练习归纳已经总结的杨辉三角的性质.Ⅳ.课时小结［师］这节课我们研究了杨辉三角的有关性质,同学们,你们能归纳概括吗？［生］(1)对称性.rn n r n C -=C (r =0,1,2,…,n ),关于2nr =对称. (2)单调性及最大值.当n 为偶数时,0n C ,1nC ,…,2n nC 单调递增, 2n nC ,12+n nC,…,nnC 单调递减,且2n n C 最大.当n 为奇数时,0n C ,1n C ,…,21-n nC递增,21n n C+,121n nC++,…,nnC 递减,2121+-=n nn nCC 且为最大.(3)rn r n r n C C C 11+-=+.(4)n n n n n n C C C C 2210=+⋯+++,15314202-=⋯+++=⋯+++n n n n n n n C C C C C C .(5)第2k -1行的各项都是奇数.Ⅴ.课后作业请同学们观察杨辉三角的第2,4,8,16行中除去两端的“1”之外的数字有什么特点.根据这些特征,你能得到一般结论吗？并证明之.提示：第2k 行中除1外,各个数字都是偶数,依照问题5的方法进行证明,数学归纳法和无穷递降法结合. 板书设计§ 2.1.4研究性课题：杨辉三角(一)基本性质：(1)nn n C C =0,11-=n n n C C ,…,rn n rn C C -=.(2)单调性及最大值. (3)rn r nrn C C C 11+-=+. (4)nnn n n n C C C C 2210=+⋯+++,.20⋯=⋯++n n C C .(5)第2k-1行全是奇数. 性质(1)~(3)简要证明. (4)证法一(数学归纳法). 证法二(赋值法).a =b =1,n n n n n n C C C C 2210=+⋯+++；a =1,b =-1,0)1(210=-+⋯-+-nn n n n n C C C C . ∴1314202-=⋯++=⋯+++n n n n n n C C C C C .杨辉三角：1 1 11 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1性质5的证明.思路一(无穷递降法)：⋯=-12krC .r =2m,r =2m+1讨论. 思路二:11122112-⋅+--=+-k l k l C l l C k。
杨辉三角c语言程序10行等腰三角形
杨辉三角是一种数学中的特殊图形，具有许多有趣的性质。
在计算机编程中，利用C语言编写10行代码来生成杨辉三角是一个有趣的挑战。
我们也可以利用C语言编写10行代码来生成等腰三角形。
本文将结合杨辉三角和等腰三角形的概念，以及C语言编程的技巧，详细介绍如何在10行代码内实现这两个图形的生成。
一、杨辉三角的概念1. 杨辉三角是一个由数字组成的三角形，数字排列具有特定的规律。
2. 三角形的第一行是一个数字1，第二行的两个数字也是1。
3. 从第三行开始，每个数字都是它上方两个数字之和。
4. 杨辉三角具有许多有趣的性质，如组合恒等式等。
二、等腰三角形的概念1. 等腰三角形是一种三角形，其两边的长度相等。
2. 等腰三角形的顶点角度小于底边的两个角度。
3. 等腰三角形在计算机编程中具有一定的挑战性，需要利用循环和条件语句来实现。
三、C语言编程实现10行杨辉三角生成1. 在C语言中，我们可以利用数组和循环来实现杨辉三角的生成。
2. 我们定义一个二维数组来存储杨辉三角的数字，数组大小足够存储指定行数的数字。
3. 我们利用嵌套循环来计算每一行的数字，根据上一行的数字计算当前行的数字。
4. 我们将计算得到的数字打印出来，就得到了完整的杨辉三角。
四、C语言编程实现10行等腰三角形生成1. 对于等腰三角形的生成，我们同样可以利用C语言的数组和循环来实现。
2. 我们定义一个二维数组来存储等腰三角形的数字，数组大小足够存储指定行数的数字。
3. 我们利用嵌套循环来计算每一行的数字，根据行数和条件语句来确定每一行的数字范围。
4. 我们将计算得到的数字打印出来，就得到了完整的等腰三角形。
五、总结在本文中，我们详细介绍了杨辉三角和等腰三角形的概念，并分别利用C语言编程实现了在10行代码内生成这两个图形的方法。
通过本文的介绍和示例，我们可以看到C语言在处理数学图形的生成方面具有很强的灵活性和表现力。
编写这样的程序也对我们的逻辑思维和编程技巧提出了一定的挑战。
《杨辉三角的性质与应用》 学历案
《杨辉三角的性质与应用》学历案一、杨辉三角的简介杨辉三角，又称贾宪三角，是一个在中国数学史上具有重要地位的数学成果。
它最早出现在北宋数学家贾宪的著作中，后来南宋数学家杨辉在其《详解九章算法》中记载并予以推广。
杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数阵，其形式简洁而规律明显。
它的特点是每行数字左右对称，由 1 开始逐渐增大，并且每个数字都是其上方两数字之和。
二、杨辉三角的性质1、对称性杨辉三角具有明显的对称性，即左右对称。
这意味着每行数字从左到右和从右到左看是相同的。
这种对称性反映了数学中的一种美学和规律。
2、每行数字和每行数字之和是一个以 2 为底数，行数减 1 为指数的幂。
例如，第n 行数字之和为 2^（n 1)。
3、与二项式系数的关系杨辉三角中的数字与二项式展开的系数是完全对应的。
例如，（a＋ b)＾n 的展开式中各项的系数可以直接从杨辉三角的第 n 行得到。
4、组合数性质杨辉三角中的数字也是组合数的体现。
第 n 行第 m 个数（从 0 开始计数）等于从 n 个元素中选取 m 个元素的组合数 C(n, m)。
三、杨辉三角的应用1、数学计算在计算组合数时，通过杨辉三角可以快速得到结果，避免复杂的计算过程。
例如，要计算 C(5, 2)，直接查看杨辉三角的第 5 行第 2 个数即可。
2、概率问题在概率统计中，杨辉三角可以帮助解决一些与排列组合相关的概率问题。
例如，在抛硬币多次的情况下，计算出现特定正面或反面次数的概率。
3、计算机算法杨辉三角在计算机算法中有广泛的应用。
例如，生成组合数的算法、计算二项式展开的算法等都可以基于杨辉三角的性质进行优化。
4、数论研究杨辉三角中的数字规律在数论研究中也能提供一些线索和启发。
通过对其数字特征的分析，可以发现一些数的性质和关系。
四、通过实例理解杨辉三角的应用1、计算组合数假设要从 7 个不同的元素中选取 3 个元素的组合数 C(7, 3)。
我们可以找到杨辉三角的第 7 行，然后找到第 3 个数（从 0 开始计数），即为 35，所以 C(7, 3) ＝ 35。
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杨辉三角及其空间拓展株洲市二中G0216 刘子儒郭时伟摘要本文首先对杨辉三角中特有的数学规律作了初步探索，发现了其奇偶排列的等边三角形现象。
然后，在研究中，我们在空间杨辉三角的问题上迈出了第一步——由平面杨辉三角走向三维杨辉三角。
我们在研究过程中推导出了三维杨辉三角数坐标公式，并总结出其与三项式系数的关系。
在三维杨辉三角模型的基础上我们又续而导出四维杨辉三角和N维杨辉三角。
经过努力的研究，最后归纳出了四维及N维杨辉三角数坐标公式。
由此得出了N项式展开项系数定理。
在研究过程中我们还有机地结合现代计算机技术协助公式的推导，并将其付之实用，进一步完善了课题的研究。
对此,还有几名著名的数学教授提出了宝贵的意见。
这些都是前人从未涉足过的领域，而这篇论文把这次研究的新颖性给淋漓尽致地体现出来了。
关键词：杨辉三角空间公式系数杨辉三角，作为中国古代数学中的奇迹。
在数学计算中，日常生活中，无时不刻地展示着自己的魅力。
从古至今，从中国到外国，有无数的学者为之着迷。
但是，以往的学者们的研究只限于平面内的杨辉三角。
如果考虑到空间上的拓展，那在学术上是突破性的。
所以我们决定对杨辉三角进行全面、深刻地分析，将其拓展到三维、四维乃至N维。
研究杨辉三角，是在偶然中想到的。
对于多次出现在数学课本上的“杨辉三角”，不对其有些想法才是奇怪了。
而恰好我的母亲又叫“杨辉”。
所以，小时候第一次在《十万个为什么》中看到时就留下了深刻的印象。
再加上多次、再次地在高中数学课本中“相遇”，愈发觉得亲切。
一．杨辉三角的相关信息看似简单的一个数字列表，却蕴藏着很深的奥秘。
这无疑是我国古代劳动人民智慧的结晶，也集中地体现了数学的奥妙无穷。
有了它，我们可以轻易地计算两个数的和的几次方，甚至用来开一个数的几次方。
杨辉（约十三世纪）字谦光，钱塘（今浙江杭州）人，是我国南宋时的数学家，杨辉的数学著作有《讲解九章算法》十二卷，流传至今的只是其中的一部分，其中“开方作法本源”载有二项式系数三角形，后人称为杨辉三角形，此外，他还著有《日用算法》二卷，《乘除通变算宝》三卷，《田亩比类乘除捷法》二卷、《续古摘奇算法》二卷等。
二项式展开的系数，按（图1.1）排列成一个三角形。
这里每一行的外侧的两数都是1，中间的数字等于两肩的数的和。
这一三角形最早发现于我国南宋数学家杨辉所著《详解九章算法》一书（1261年），在我国通常称为杨辉三角形，杨辉在书中指出“一出《释锁》算书，贾宪用此术”，可见更早时代的贾宪已知道这一三角形了。
并且，当时不仅用这一三角来求二项展开式的系数，还用于对一个数开n 次方。
在西方，十五世纪和十六世纪时，也有多人发现了这一三角形。
国外却把它叫做帕斯卡三角形。
而法国数学家帕斯卡（Blaise Pascal ，1623~1662）发现这一三角形却是十七世纪的事，比我国杨辉晚了五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。
首先，让我们来看看杨辉三角的某些性质。
1.项数:在杨辉三角的第n 行的项数为(n+1)。
2.系数:在杨辉三角形的第n 行，各项的系数分别为：C 2n 、C 1n 、C 2n ……C n n （n=1、2、3……）这与二项式定理有密切的联系：1 ／＼ 1 ／＼／＼ ／＼／＼／＼ (a+b) 0 1 1 12 ／＼／＼／＼／＼3 1 3 ／＼／＼／＼／＼／＼ 6 14 10 15 110 5 1 1 4 (a+b) 1 (a+b) 2 (a+b) 3 (a+b) 4 (a+b) 520图 1.1＼／(a+b)n=C 0n a n+C 1n a n-1b 1+…+C r n a n-r b r+…+C nn b n（n ∈N *）在其中令a=b=1则 C 0n +C 1n +C 2n +…+C n n =2n所以，可推出杨辉三角形的第n 行的系数和为2n。
3.总项数:在杨辉三角形的n 行及以上，总的项数K=21(n+1)(n+2)4.通项公式:令C mn 表示第几行第(m+1)个数，则这个数的系数为C mn =!)(!!m n m n -所以这个数为M= C mn ·a n-m b m=!)(!!m n m b a n m m n --5.最大值：在杨辉三角的第几行中（m ∈N*）,当 n=2m ， K m = C n/2n ，即中间的一项 当n=2m+1，K m =C 1)/2-(n n，或K m = C 1)/2(n +n，即中间的两项。
以上是我们查阅的资料，再来看看我们自己的发现。
如果用笔将杨辉三角中的偶数与奇数分别标出，便又会出现一种奇特的现象，所有的偶数都会呈现出倒立的等边三角形状排列，而奇数都成正立三角形排列，且等边三角形（偶数）的边长依次为：3、7、15、31、63……经过反复思考比对，我们又发出现了其中的规律即：3=22-1 7=23-1 15=24-131=25-1即所有的偶数依次排出以（2n -1）（n N *）的长度为边长的倒立的等边三角形。
以上种种的性质都向我们展示了杨辉三角独特的魅力，那么，它在解题中有哪些运用呢？例：如图5.1，有一只猫在A 点，它要跑到老鼠所在的B 点，要求它只能向上或向右跑，问有几种跑法。
如图，本题的背景正是著名的杨辉三角形，只需以A 点为顶点，依次排出杨辉三角，容易解得共有35种走法。
这是信息学中典型的有向图的问题，或许信息学的朋友对信息题的数学解法并不陌生，但想不到还可以用杨辉三角解有向图吧！AB图 5.1以上的例子还有很多很多，这里就不一一列举了，这也已经足以反映杨辉三角的魅力之所在了。
二、二维直角坐标系中的杨辉三角为了研究方便，我借鉴平面直角坐标系将杨辉三角放了进去。
正如图所示，在平面直角坐标系里，杨辉三角成了直角三角形了。
且它还具有一个特点，就是这个平面直角坐标系是由两个直角坐标系重叠而成的。
一边是杨辉三角的系数的坐标系，另一边是a 、b 各项的次数的坐标系，当两者合并成为新的杨辉三角形时，一切的运算与规律都已经系统化了，沿着经过整点的斜率为-1的线，我们轻易地可以找到(a+b)n的系数与项数，这也就是坐标系，系统化的杨辉三角，二项式定理。
既然是在平面直角坐标系中（这里只考虑整点），点与坐标就会有一一对应的关系，这其中就必然有规律，经过我们的推理，得出了杨辉三角的平面公式。
∵本来杨辉三角第n 行0、1、2、…m …n+1各数则第(m+1)个数P m =C mn , 当呈直角坐标系时图 7.2bb ba 5b b 图 7.111111图 5.2图 2.1P=C y y x ①1 111331336B C D这就系统地表达了杨辉三角的内含，这更有助于我们研究其规律，及研究二项式的展开项。
三、三维直角坐标系中的杨辉三角当研究了二维直角坐标系中的杨辉三角后，就很自然地想到三维直角坐标系，我们完全可以将3个二维直角坐标系中的杨辉三角放在一起，组成三维直角坐标系中的杨辉三角。
正如上图，我们得到了一组在空间有序排列的数字，这就是我们的立体杨辉三角，那么，它又有哪些性质呢？对此我们再度展开了研究与探索： 立体杨辉三角中的每一个平面内都是一个杨辉三角的平面型，所以它就包含了一般杨辉三角的所有图 8.1X性质，其中最主要的当然是对二项展开式系数的表示，对于（a+b ）n，在面的斜线上我们依次可以找到各项系数分别是C 0n 、C 1n 、C 2n 、C 3n …C n n (n ∈N *)纵观整位体图，我们发现，以原点为顶点，过坐标轴上某一顶点截下一个正三棱锥，以下图为例我们截下立体杨辉三角中的正三棱锥O —ABC ，首先，沿底边依次有数字1，3，3，1，3，3，1，3，3，这到底有什么规律呢？我们一时还看不出来，但仔细一算，我们还忽略了一点重要的地方，假设点O 到ABC 的距离为d ，则有：OBC A ABC O V V --=OA S d S OBC ABC ⨯⨯=⨯⨯∆∆3131 OA OC OB d BAC Sin AC AB ⨯⨯⨯⨯=⨯∠⨯⨯⨯⨯213121313=d又3111222=++=OD∴D 在面ABC 上所以，这个三棱锥底面上的数字为1，3，3，1，3，3，1，3，3，6 同样也，我们共截下了3个正三棱锥，它们底边的数字为：C B A O ''''''- 1、1、1、C B A O '''- 1，2，1，2，1，2ABC O - 1，3，3，1，3，3，1，3，3，6这时，我们发现c b a c b a ++=++1)(acc bc b ab a c b a 222)(2222+++++=++abcb c a c c c b a b b c a b a a c b a 6333333)(2232232233+++++++++=++我们又继续地研究，发现这确实是我们的立体杨辉三角的规律，有了它，我们可以做出三项式的展开项的系数，即，在面对n c b a)(++这样的式子时，我们可以轻易地知道它的每一项的系数了。
在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15……这些数，即1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，1+2+3+4+5……称作三角形数，因为它们可以组成正三角形，如图而我们作的各个正三棱锥的底面上的整点数（包括原点），也正好符合三角形数的原理，而且最重要的，也是与平面的杨辉三角形的联系最紧密的是，它们正好是n c b a )(++的各项系数。
为了更清淅地观察，我们又做了立体三维的实物模型。
与平面的杨辉三角形类似，我们又做了另一个空间直角坐标系，让三条轴分别为A 、B 、C 三轴，轴上标出它们的项数递推。
这样一来，将两个空间直角坐标系合并后，我们便能得到将系数、项数合并系统化的杨辉三角立体图。
在实物模型上，我们可以更好地分析出各数字之间的关系，但我们又把目标瞄向了杨辉三角的立体公式。
公式推导：设在空间直角坐标系中有一点 P （x ，y ，z ） 首先，过y=0作x-z 平面的平行截面（并以此为“标一”） 过y=1作x-z 平面的平行截面我们发现：①当过y=y 0作x-z 平面的平行截面时，x 、z 轴上的坐标依次变成了“标一”中x （或z ）=y 0的那一行坐标。
即z1 1 1 4 3 61、yyC1+、yyC2+、yyC3+…ynyC+②过截面的某一点P（x，z）做K=－1的直线与x轴交于一点，这一点的坐标为yzyxC++,令P点的系数为MP。
在“标一”中对应一点P’（x，z），令P’的系数为MP’，则有MP=yzyxC++×MP’根据以上两点规律，便可作出证明：过y=y0作x-z平面的平行截面，则P在截面内的（x0，z0）过P做K=-1的直线交x轴于第(x0+z0)个点，对应yzyxC++而P（x0，z0）在“标一”内对应系数MP’=xzxC+∴MP=yzyxC++×xzxC+公式：对于(a+b+c)n的展开项a x b y c z(x+y+z=n)的系数P，有：P=yzyxC++×xzxC+②四、N维杨辉三角与N+1维杨辉三角之间的关系平面的杨辉三角可以求出na a) (21+立体的杨辉三角可以求出naaa) (321++我们认为：拼凑了一定数量的杨辉三角形必可以求出(a1+a2+……+a m)n的各项系数.然而，我们的运算能力毕竟有限。