杨辉三角解析(队列实现)
利用队列实现逐行打印杨辉三角形的前n行
利⽤队列实现逐⾏打印杨辉三⾓形的前n⾏
分别打印⼆项式(a+b)^n展开项的系数，在程序中利⽤了⼀个队列，在输出上⼀⾏系数时，将下⼀⾏的系数预先放⼊队列中。
在各⾏系数间插⼊0。
void YANGVI(int n){
Queue q(n+2); //建⽴队列对象q并初始化。
int i=1,j,s=0,t,u;
q.EnQueue(1);q.EnQueue(1); //插⼊第⼀⾏元素
for(i=1; i<=n; i++){
cout<<endl; //换⾏
q.EnQueue(0); //每⾏刚开始打印的时候，先在队列尾部插⼊⼀个0
for(j=1; j<=i+2; j++){ //第i⾏有i+1个系数和1个0
q.DeQueue(t); //第i⾏第j个系数t出队列
u=s+t; //s为第i⾏第j-1个系数,j==1时s必为0
q.EnQueue(u); //计算第i+1⾏第j个系数u=s+t并进队列
s=t;
if(j!=i+2) cout<<s<<''; //打印移除的系数，第i+2个是0
}
}
}
最后第n⾏的n+2次循环执⾏完后，队列⾥是第n+1⾏的n+2个数，0还没来得及⼊队列（因为换⾏后才会把0⼊队列）。
要杨辉三角的原理与应用
要杨辉三角的原理与应用一、原理介绍杨辉三角是一种数学图形，它由数字排列而成，具有以下特点：1.每一行的端点数字均为1。
2.每一行的第二个数字到倒数第二个数字均等于上一行相邻两个数字之和。
3.每个数字等于它上方两数字之和。
以下是杨辉三角的前几行：11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1二、应用场景杨辉三角在数学和计算机科学领域具有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用场景。
1. 组合数计算杨辉三角可以被用来计算组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数量。
通过观察杨辉三角中的数字规律，我们可以发现组合数可以通过杨辉三角中的数字来表示。
例如，要计算组合数C(5, 3)，我们可以直接在第5行中找到第3个数字，即为组合数的值。
2. 概率计算杨辉三角也可以用于概率计算。
在概率领域，二项式定理表示了一个二项式的展开，其中杨辉三角中的数字被用来计算二项式系数。
通过利用杨辉三角中的数字规律，可以轻松计算不同概率事件的发生概率。
3. 递归算法实现杨辉三角还可以作为递归算法的一个经典案例。
通过递归的方式生成杨辉三角，可以简洁地实现该图形的生成过程。
递归算法可以通过将大问题划分为更小的子问题来解决，而杨辉三角的生成过程正是通过不断计算上一行数字来生成下一行的。
4. 动态规划动态规划也是杨辉三角的一个重要应用。
在动态规划中，前一状态的信息被用来计算当前状态的值。
杨辉三角的生成规律与动态规划中的状态转移函数相似，因此可以将杨辉三角的原理应用于动态规划的问题求解中。
三、总结杨辉三角作为一种数学图形，在计算与编程领域有着重要的应用。
它不仅可以用于计算组合数和概率，还可以被用作递归算法和动态规划的示例。
通过深入理解杨辉三角的原理，我们可以掌握更多有用的数学和计算机科学技巧，为问题求解提供更多可能性。
通过灵活运用杨辉三角的原理，我们能够解决更加复杂的问题，提高算法效率和编程能力。
希望本文对读者有所启发，并能够在实际应用中发挥积极作用。
用队列方法输出杨辉三角
/*用队列方法输出杨辉三角。
*/#include<iostream.h>#include<iomanip.h>#include<stdlib.h>#define ElemType int/*-----LNode的结点类型定义-----*/struct LNode{ElemType data; //值域LNode* next; //链接指针域};/*-----队列的链接存储结构的定义-----*/struct LinkQueue{LNode* front; //队首指针LNode* rear; //队尾指针};/*------1.初始化链队-----*/void InitQueue(LinkQueue& HQ){HQ.front=HQ.rear=NULL; //把队首和队尾指针置为空}/*-----2.向链队中插入一个元素------*/void EnQueue(LinkQueue& HQ, ElemType item){LNode* newptr=new LNode; //得到一个新的结点newptr->data=item; //把item 的值赋给新结点的值域newptr->next=NULL; //把新结点的指针域置为空if(HQ.rear==NULL) //若链队为空，则新结点既是队首又是队尾{HQ.front=HQ.rear=newptr;}else //若链队非空，则新结点被链接到队尾并修改队尾指针{HQ.rear=HQ.rear->next=newptr;}}/*-------3.从队列中删除一个元素-------*/ElemType OutQueue(LinkQueue& HQ){if(HQ.front==NULL) //若链队为空则终止运行{cerr<<"链队为空，无法删除！"<<endl;exit(1);}ElemType temp=HQ.front->data; //暂存队首元素以便返回LNode* p=HQ.front; //暂存队首指针以便收回队首指针HQ.front=p->next; //使队首指针指向下一个结点if(HQ.front==NULL) //若删除后链队为空，则使队尾指针为空{HQ.rear=NULL;}delete p; //回收原队首结点return temp; //返回被删除的队首元素}void YanyHuiTriangular(LinkQueue& HQ, int n){int i,j; //i，j 都是循环变量int first,second; //first,second 分别记录上一行的两个累加数EnQueue(HQ,1);for(i=1; i<n+1; i++){ //第 0 至 n-1 行元素分别入列，并输出；最后第 n 行入列first=0; second=0;//控制每行前头空格的输出for(j=0; j<n-i+1; j++){cout<<setw(3)<<' ';}for(j=0; j<i; j++){second=OutQueue(HQ);cout<<setw(3)<<second<<setw(3)<<' ';EnQueue(HQ,first+second);first=second;}cout<<endl; //输完一行，回车EnQueue(HQ,second);}//最后输出最后一行元素（即第 n 行出列）for(j=0; j<n+1; j++){cout<<setw(3)<<OutQueue(HQ)<<setw(3)<<' '; }cout<<endl;}void main(){LinkQueue LQ;InitQueue(LQ);cout<<"用队列输出杨辉三角!"<<endl<<endl; int n;cout<<"请输入要输出多少行杨辉三角："; cin>>n;YanyHuiTriangular(LQ,n);}。
数据结构实验报告(杨辉三角-约瑟夫环)
数据结构实验报告实验一杨辉三角形(Pascal’s triangle)一、需求分析1.输入的形式和输入值的范围本程序中，需输入的杨辉三角级数level为正整数，由键盘输入，以回车结束2.输出的形式通过屏幕输出杨辉三角3.程序所能达到的功能用户从键盘输入需要的杨辉三角级数，从屏幕输出杨辉三角4.测试数据输入：5输出： 1 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 1二、概要设计以链队列结构实现该实验1.抽象数据类型定义ADT Queue {数据对象：D = { ai | ai∈ElemSet , i = 1,2,…,n,n≥0 }数据关系：R1={<ai-1,ai> | ai-1 , ai∈D, i=2,…,n}约定其中ai端为队列头，an端为队列尾基本操作：InitQueue ( &Q )操作结果：构造一个空队列QDestroyQueue ( &Q )初始条件：队列Q已存在操作结果：队列Q被销毁，不再存在ClearQueue ( &Q )初始条件：队列Q已存在操作结果：将Q清为空队列QueueEmpty ( Q )初始条件：队列Q已存在操作结果：若Q为空队列，则返回TRUE，否则FALSEQueueLength ( Q )初始条件：队列Q已存在操作结果：返回Q的元素个数，即队列长度GetHead ( Q , &e )初始条件：Q为非空队列操作结果：用e返回Q的队头元素EnQueue ( &Q , e )初始条件：队列Q已存在操作结果：插入元素e为Q的新队尾元素DeQueue ( &Q , &e )初始条件：Q为非空队列操作结果：删除Q的队头元素，并用e返回其值QueueTraverse ( Q , visit( ) )初始条件：Q已存在且非空操作结果：从队头到队尾，依次对Q的每个数据元素调用函数visit( )。
数据结构实验- 杨辉三角
实验4 杨辉三角1 实验要求打印二项展开式（a+b）^i的系数，将其系数构成杨辉三角形。
2 简单的需求分析1，该程序的描述是：建立一个循环队列，以及一个利用队列实现逐行打印杨辉三角形的前n行的算法，最后在主函数中输入所要打印的杨辉三角形的行数，调用函数输出结果。
2，程序运行后,首先会出现"请输入二项式为几次幂"，用户根据自己的选择输入后，系统便会输出打印的情况。
3 概要设计1、所用的抽象数据类型：（1）//循环队列的类定义template<class T>class SeqQueue{public:SeqQueue(int sz=10); //构造函数~SeqQueue(){delete[] elements;} //析构函数bool EnQueue(const T& x); //若队列不满，则将x进队，否则队溢出处理bool DeQueue(T& x); //若队列不空，则退出队头元素x并由函数返回true，否则队空，返回falseprotected:int rear,front; //队尾与队头指针T* elements; //存放队列元素的数组int maxSize; //队列最大可容纳元素个数};（2） //链式栈的类定义void YANGVI(int n){//分行打印二项式(a+b)^n展开式的系数，在程序中利用一个队列，在输出上一行系数时，将其//下一行的系数预先放入队列中，在各行系数之间插入一个0int k;SeqQueue<int> q(n+2); //建立队列对象并初始化int i=1,j,s=k=0,t,u,m; //计算下一行系数时用到的工作单元q.EnQueue(i);q.EnQueue(i); //预先放入第一行的两个系数for(i=1;i<=n;i++) //逐行处理{cout<<endl; //换一行q.EnQueue(k); //各行间插入一个0for(j=1;j<=i+2;j++) //处理第i行的i+2个系数（包括一个0）{q.DeQueue(t); //读取一个系数u=s+t; q.EnQueue(u); //计算下一行系数，并进队列s=t;if(j!=i+2) cout<<s<<' '; //打印一个系数，第i+2个是0 }}}2、函数调用关系：在main（）函数中，先输入所要打印的杨辉三角形的行数，然后调用YANGVI(int n)函数4 详细设计部分#include<iostream.h>#include<assert.h>#include<stdio.h>//循环队列的类定义template<class T>class SeqQueue{public:SeqQueue(int sz=10); //构造函数~SeqQueue(){delete[] elements;} //析构函数bool EnQueue(const T& x); //若队列不满，则将x进队，否则队溢出处理bool DeQueue(T& x); //若队列不空，则退出队头元素x并由函数返回true，否则队空，返回falseprotected:int rear,front; //队尾与队头指针T* elements; //存放队列元素的数组int maxSize; //队列最大可容纳元素个数};//循环队列的构造函数template<class T>SeqQueue<T>::SeqQueue(int sz):front(0),rear(0),maxSize(sz){//建立一个最大具有maxSize个元素的空队列elements=new T[maxSize];//创建队列空间assert(elements!=NULL);//断言：动态存储分配成功与否}//循环队列的进队template<class T>bool SeqQueue<T>::EnQueue(const T& x){if((rear+1)%maxSize==front) {return false;} //队列满则插入失败，返回else{elements[rear]=x; //按照队尾指针指示位置插入rear=(rear+1)%maxSize; //队尾指针加1return true; //插入成功，返回}}//循环队列的出队template<class T>bool SeqQueue<T>::DeQueue(T& x){if(front==rear) {return false;} //若队列空则删除失败，返回else{x=elements[front];front=(front+1)%maxSize; //队头指针加1return true;//删除成功，返回}}//打印杨辉三角形的前n行函数定义void Y ANGVI(int n){//分行打印二项式(a+b)^n展开式的系数，在程序中利用一个队列，在输出上一行系数时，将其//下一行的系数预先放入队列中，在各行系数之间插入一个0int k;SeqQueue<int> q(n+2); //建立队列对象并初始化int i=1,j,s=k=0,t,u,m; //计算下一行系数时用到的工作单元q.EnQueue(i);q.EnQueue(i); //预先放入第一行的两个系数for(i=1;i<=n;i++) //逐行处理{cout<<endl; //换一行q.EnQueue(k); //各行间插入一个0for(j=1;j<=i+2;j++) //处理第i行的i+2个系数（包括一个0）{q.DeQueue(t); //读取一个系数u=s+t; q.EnQueue(u); //计算下一行系数，并进队列s=t;if(j!=i+2) cout<<s<<' '; //打印一个系数，第i+2个是0}}}//主函数void main(){int m;cout<<"请输入二项式为几次幂"<<endl;cin>>m;Y ANGVI(m);cout<<endl;}/5 调试与测试1.输入所要打印的杨辉三角形的行数2，显示结果。
循环队列实现杨辉三角形的打印
循环队列实现杨辉三⾓形的打印知识温习循环队列：即将顺序队列的数组看成是⼀个环状的空间，规定最后⼀个单元的后继为第⼀个单元。
运⽤循环队列可以有效的解决链队列的“假溢出”现象。
假溢出其实是指在链队列中，当rear==MAXSIZE时就认为队满。
然⽽由于元素的出队，使得数组前⾯出现⼀些空单元，⽽元素⼜只能在队尾⼊队，如果此时已经到数组的尾部，就认为队列已满，但其实还存在上述那些空单元未使⽤，队列并未真正满。
这种现象即为“假溢出”现象。
真正的队满条件应该是rear-front==MAXSIZE。
在循环队列中，我们通过数学中的求模运算来改变头指针和尾指针的位置。
进队操作时，队尾指针的变化是：rear=（rear+1）mod MAXSIZE；⽽出队操作时，队头指针的变化是：front=（front+1）mod MAXSIE。
杨辉三⾓形11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1从上图中可以看出，杨辉三⾓形的特点：每⾏的第⼀个元素和最后⼀个元素都为1，其他位置上的元素总是等于上⼀⾏与之相邻的两个元素之和。
故第i⾏的元素要由第i-1⾏的元素来⽣成。
可以利⽤循环队列实现杨辉三⾓形的打印过程：在循环队列中依次存放第i-1⾏上的元素，然后逐个出队并打印，同时⽣成第i⾏元素并⼊队。
下⾯⽤第6⾏元素⽣成第7⾏元素为例⼦来说明打印过程：①第7⾏的第⼀个元素1⼊队。
element[Q->rear] = 1;Q->rear = (Q->rear + 1)% MAXSIZE;②循环做以下操作，⽣成第7⾏的中间5个元素并⼊队。
element[Q->rear] = element[Q->front] + element[(Q->front+1)%MAXSIZE];Q->rear = (Q->rear + 1)%MAXSIZE;Q->front = (Q->front + 1)%MAXSIZE;③第6⾏的最后⼀个元素1⼊队。
杨辉三角知识讲解
杨辉三角知识讲解杨辉三角是中国古代数学宝库中的一颗明珠，它以其独特的形式和深刻的数学意义而闻名于世。
杨辉三角是由中国数学家杨辉在13世纪发现并命名的，但实际上它的起源可以追溯到更早的时期。
这个三角形的形式非常简单，但它蕴含的数学规律却非常复杂。
在本文中，我们将深入探讨杨辉三角的基本原理和一些有趣的应用。
让我们来看一下杨辉三角的形式。
它是一个由数字构成的三角形，第一行只有一个数字1，接下来的行每一行的数字都是上一行相邻两个数字之和。
例如，第二行有两个数字1，第三行有三个数字1，第四行的两个1之间的数字是上一行两个1之和，即2，以此类推。
这种规律一直延续到三角形的最后一行，最后一行的数字就是杨辉三角的第n行。
杨辉三角的规律不仅仅是一些数字的排列，它还有一些非常有趣的数学性质。
首先，杨辉三角的每一行都对应着二项式系数的展开式中的一项。
例如，第n行的数字依次是1、n、n(n-1)/2、n(n-1)(n-2)/6，以此类推。
这个性质可以通过数学归纳法来证明，但我们不会在文章中提到具体的证明过程。
除了二项式系数的性质，杨辉三角还有一些其他有趣的应用。
其中之一是计算组合数。
组合数是指从n个元素中取出m个元素的不同方式的数量。
在杨辉三角中，第n行的第m个数字就是从n个元素中取出m个元素的不同方式的数量。
这个性质可以通过杨辉三角的定义和组合数的定义来证明。
杨辉三角还有一些其他的应用，例如在概率论中的二项分布、多项式定理的展开、计算幂等等。
这些应用都与杨辉三角的数学规律密切相关，但我们不会在文章中详细讨论它们。
总结一下，杨辉三角是中国古代数学的宝贵遗产，它以其独特的形式和深刻的数学意义而闻名于世。
它不仅仅是一种数字的排列，还有一些非常有趣的数学性质和应用。
通过研究杨辉三角，我们可以更好地理解数学中的一些基本概念和原理。
希望本文能够帮助大家更好地理解杨辉三角的知识，并对数学产生更浓厚的兴趣。
注：本文旨在介绍杨辉三角的基本原理和一些有趣的应用，不涉及具体的数学证明和计算过程。
队列实现杨辉三角的算法原理
队列实现杨辉三角的算法原理
杨辉三角是一种数学模式，每个位置上的数字等于它上方两个数字之和。
队列可以用来实现杨辉三角的算法，其原理如下：
1. 首先，创建一个空的队列。
2. 将1入队列，作为第一行的元素。
3. 进行循环，从第二行开始到第n行：
- 将当前队列中的元素依次出队，并将它们存储在一个临时数组temp中。
- 在temp数组末尾添加一个0，作为哨兵元素。
- 再将temp数组中的元素依次相加，并将结果入队列。
4. 打印队列中的元素，即可得到杨辉三角的结果。
这个算法的基本思路是利用队列先进先出的特性，每次处理一行的数据。
在处理每一行时，将队列中的元素依次出队，并计算它们的和，然后将和再次入队，作为下一行的元素。
通过不断重复这个过程，最终得到的队列中的元素就是杨辉三角的结果。
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for(i=1;i<=N;++i)
{
for(j=0;j<30-3*i;++j)//打印每行前面的空格
printf(" ");
do
{
DeQueue();
GetHead();
if(e!=0) printf("%6d",e);
EnQueue();
}while(e!=0);
UpQueue();
puts("");//每行后回车换行
}
以n=4举例
结果为：
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
解析：
queue_size=n+2;//队列的最大容量queue_size=6（数组空间大小）
for(i=0;i<n-2;++i) queue[i]=0;//初始化
queue[i]=1,queue[i+1]=1,queue[i+2]=0;
front=i-1,rear=n+1;
初始化后的队列(queue数组)：
front
0 0 1 1 0
rear
打印第一行（即for（）循环中i=1）
DeQueue(); 删除队首元素，并将0赋值s 实际只将front向下移一位，front=2，即指向queue[2] GetHead(); 取队首元素，e= queue[front]= queue[2]=1
if(e!=0) printf("%6d",e); e！=0 打印e 即1
继续执行do……while语句因为e不为0
DeQueue(); 删除队首元素，并将queue[2]赋值s front=3
GetHead(); 取队首元素，e= queue[front]=queue[3]=1
if(e!=0) printf("%6d",e); e！=0 打印e 即1
EnQueue(); 在队尾添加元素s+e 此时queue[rear]=queue[0]=2 rear=1
继续执行do……while语句因为e不为0
DeQueue(); 删除队首元素，并将queue[3]赋值s front=4
GetHead(); 取队首元素，e= queue[front]=queue[4]=0
if(e!=0) printf("%6d",e); e==0 不执行printf（）语句
EnQueue(); 在队尾添加元素s+e 此时queue[rear]=queue[1]=1 rear=2
此时e==0跳出do……while语句
即打印第一行完毕输出： 1 1
UpQueue(); 在队尾添加元素0 即queue[rear]=queue[2]=0 rear=3
队列为：
2 1 0 1 0 1
puts("");//每行后回车换行rear
front
打印第二行
DeQueue(); s=0 front=5
GetHead(); e=1
if(e!=0) printf("%6d",e); e！=0 打印e 即1
EnQueue(); 在队尾添加元素s+e 此时queue[rear]=queue[3]=1 rear=4
继续……
DeQueue(); s=1 front=6 对queue_size取模即指向queue[0] front=0
GetHead(); e=2
if(e!=0) printf("%6d",e); e！=0 打印e 即2
EnQueue(); 在队尾添加元素s+e 此时queue[rear]=queue[4]=3 rear=5
继续……
DeQueue(); s=2 front=1
GetHead(); e=1
if(e!=0) printf("%6d",e); e！=0 打印e 即1
EnQueue(); 在队尾添加元素s+e 此时queue[rear]=queue[5]=3 rear=6对queue_size取模即指向queue[0] rear=0
继续……
DeQueue(); s=1 front=2
GetHead(); e=0
if(e!=0) printf("%6d",e); e==0 不打印
EnQueue(); 在队尾添加元素s+e 此时queue[rear]=queue[0]=1 rear=1
此时e==0跳出do……while语句
即打印第二行完毕输出： 1 2 1
UpQueue(); 在队尾添加元素0 即queue[rear]=queue[1]=0 rear=2
队列为：
……
剩下依此类推……。