《数学物理方程》习题精练

《数学物理方程》习题精练5

(椭圆型方程的边值问题)

内容 1.分离变量法

2.调和函数的性质与极值原理

3.Dirichlet 问题的Green 函数法

1. 分离变量法

(1)Poisson 方程边值问题的“特解法”

Poisson 方程描述稳恒场的分布情况，对于Poisson 方程的边值问题，虽不像波动方程和热传导方程那样有所谓的Duhamel 原理，但若能找到Poisson 方程的一个特解，常可把它转化成Laplace 方程的边值问题来求解，这便是所谓的“特解法”. 今有边值问题

(*)⎪⎩⎪⎨⎧∂∈=∈=+∂D

y x y x u D y x y x f u u D yy xx ),( ),,(),( ),,(ϕ

设),(y x w 是Poisson 方程的一个解(特解)，),(y x u 是所给边值问题的解.令

),(),(),(y x w y x v y x u +=，

则),(y x v 满足如下的边值问题

(**)⎪⎩⎪⎨⎧∂∈-=∈=+∂∂D

y x w y x v D

y x v v D D yy xx ),( ,),(),( ,0ϕ

亦即),(y x v 是域D 上的调和函数.这样，就把Poisson 方程的边值问题(*)转化成Laplace 方程的边值问题(**).对于特殊的区域D ，我们还可以用分离变量法来求解(**).

例1 求解Poisson 方程的边值问题

⎪⎩⎪

⎨

⎧=<+-=+=+.0)( ,2

22222a y x yy xx u a y x xy u u 解 ①先寻求Poisson 方程的一个特解),(y x w .

显然，xy xy y x -=+-

∆)](12

1[33

，于是得到一个特解为 θθρcos sin 12

1

)(121)(121),(42233-=+-=+-=xy y x xy y x y x w .

令 θθθρ2sin 24

1

cos sin 1214-=-=+=v v w v u ，

则新的未知函数v 满足如下的定解问题：

⎪⎩

⎪

⎨⎧=-=<=∆===,2sin 241)( ,04

θρρρρa w u v a v a a a ②在平面极坐标系下用分离变量法求解关于v 的圆域边值问题：

根据Laplace 方程圆域Dirichlet 问题的形式解(或Poisson 积分公式)

n

n

n n

d n n f a d n n f a d f u ρ

αθααπ

αθααπααπ

θρπ

π

π

] sin sin )(1 cos cos )(1

[)(21

),(20

1

20

20

⎰∑⎰⎰+

+

+=

∞

=

我们得到(令αα2sin 24

1)(4

a f =

) n

n n n d n n a a d n n a a d a v ραθααπαθααπααπ

θρπ

π

π

] sin sin 2sin 24

11

cos cos 2sin 2411[2sin 24121

),(204

120

4

204⎰∑⎰⎰+

++=

∞

=

第一项和第二项积分等于零，第三项积分当且仅当2=n 时不等于零.

θρααππ

2sin ]2sin [24220

22

⎰=

d a θρ2sin 24

2

2a =.

[或者由分离变量法得到Laplace 方程满足自然单值条件和在圆域内有界的解为

∑∞

=+=0

)sin cos (),(n n n n n D n C v ρθθθρ，

由边界条件得

θθθ2sin 24

1)sin cos (4

a a n D n C n n n n =

+∑∞

=， 比较两端系数得 2

224

1 ),2( 0 , 0a D n D C n n =

≠==， ∴ θθρ2sin 24

),(2

a v =]. 故所求Poisson 方程边值问题的解为

θρρθρθρ2sin )(24

12sin 242sin 24222

422-=-=+=a a w v u .

附注 用“特解法”求解Poisson 方程的边值问题，由于特解的寻求多种多样，自然是

越简单越好，以减少繁杂的计算.特解找到后，则问题便转化成Laplace 方程的边值问题.就圆域而言，在极坐标系下分离变量，问题已经解决.因而特解的寻求以对称形式为好，对

本例来说结果是现成的.

例2 求解Poisson 方程边值问题

⎪⎩⎪

⎨

⎧==+-=∆=+,0)0( ,42

22222a y x u y x u 解 特解 2

2

2

)(ρ-=+-=y x w ， 令 2

ρ-=+=v w v u ，则v 满足

⎪⎩⎪⎨⎧==∆=.

,

02

a v v a ρ 其解为 ∑∞

=+=

)sin cos (),(n n n n

n D n C

v ρθθθρ，

代入边界条件有

2

)sin cos (a a n D n C

n n n

n =+∑∞

=θθ， 比较系数得 ),2,1( 0 ,2

0 ====n D C a C n n . ∴ ,),(2

a v =θρ 故 2

2

),(ρθρ-=+=a w v u .

附注 〈ⅰ〉这个问题在用“特解法”转化成Laplace 方程的边值问题后，由于区域是圆域，且在边界上取常数值(2

a ),故只可能是常数解2

a ，这是Laplace 方程边值问题所共有的特点，是应予以重视的.这也可从调和函数的极值原理立即推出.

〈ⅱ〉Poisson 方程的边值问题都可以通过“特解法”转化成Laplace 方程边值问题的求解，因而Laplace 方程边值问题的求解是关键.

〈ⅲ〉非圆域情形的Laplace 方程的边值问题，用分离变量法求解，可不必化成极坐标.

例如矩形域： 而边界条件的特点是：一组为齐次边值，而另一组必为非齐次

边值(否则只有零解).齐次边值用来构成特征值问题，而非齐次边值用来确定叠加系数，这是必须注意的. 总之，“特解”的寻求多种多样，具体问题具体分析，切忌死搬硬套. ★亥姆霍兹(Helmholtz)方程在柱坐标系下的变量分离 在柱坐标系下，Helmholtz 方程 03=+∆cu u 变为

01)(12

2222=+∂∂+∂∂+∂∂∂∂cu z u

u u θρρρρρ . (A) 设 ),()(),,(θρθρV z Z z u =，可得

0)(2

2222=++∂∂+∂∂∂∂cZV dz

Z

d V V Z V Z θρρρρρ，