数学物理方程的基本知识教程文件
数学物理方程讲义全.
古典解：如果将某个函数 u 代入偏微分方程中，能使方程成 为恒等式，则这个函数就是该偏微分方程的解。
通解：解中含有相互独立的和偏微分方程阶数相同的任意常 数的解。
特解：满足方程及定解条件的解，也称为定解问题的解。
光滑解：可无穷次可微的解。
解析解：可展开成收敛幂级数形式的解。 形式解：未经过验证的解为形式解。
2u 2u 0 x2 y 2
u a 2 2u
t
x 2
02 11 0 02 1 0 0
椭圆型方程 抛物型方程
数学物理方程
第一章 绪论
§4、线性叠加原理
线性方程的解具有叠加特性
对n个自变量的二阶线性偏微分方程
L u
m i, j 1
根据判别式 (x, y) a122 a11a22 的符号可将二阶线性偏微分方程化为3类
1）(x, y) a122 a11a22 >0 原方程为双曲型偏微分方程 u Au Bu Cu F 双曲型方程的第一标准型形式
u u Au Bu Cu F 双曲型方程的第二标准型形式
数学物理方程
第一章 绪论
§3、二阶线性偏微分方程的分类
二阶线性偏微分方程的一般形式
m
2u
i, j1 aij (x) xix j
m i
u bi (x) xi
c(x)u
f (x)
特别对有两个自变量（x，y）函数的二阶线性偏微 分方程可写为：
a11
2u x2
2a12
数学物理方程
第一章 绪论
数学物理方程
-----用数学方程来描述一定的物理现象。 ☆ 课程的内容
数学物理方程复习资料
∞ n=1
bn
sin= nπl x (x ∈ C), 其中 bn
2= l f (x) sin nπ xdx (n 1, 2,3, ).
l0
l
∑ ∫ 当 f (x) 为偶函数时， f (x) = a20 + n∞=1 an cos= nπl x (x ∈ C), 其中 an
2= l f (x) cos nπ xdx (n
的常微分方程，并由齐边值条件可得固 有值问题。
二阶线常性微齐分次方微程分方程→
特征方程为 r2 + λ =0
求解固有值问题，即解出固有值以及固 有函数
结合定解条件讨论 λ 的取值范围
确定系数，由选定的固有值来求 T (t) ，
进而得到一系列特解，然后利用叠加原 理叠加特解得到一个无穷级数解，并由 初始条件确定无穷级数的系数。 M2 积分变换法 根据自变量的变化范围以及定解条件 的具体情况，选取适当的积分变换。然 后对方程两端取变换，把一个含两个自 变量的偏微分方程化为含一个参变量 的常微分方程。
（1） 固定端（第一边值条件= ）： u = x 0= 0, u =x l 0, t ≥ 0
（2） （3）
自由端（第二边值条件= ）： ∂∂ux = x 0= 0, ∂∂ux=x l 0, t ≥ 0
弹性支承端（第三边值条件= ）： (∂∂ux + σ u) x 0= =0, (∂∂ux + σ u) x l =0, t ≥ 0 ，其中σ = k / T 。
1.偏微分方程&数学物理方程：含有未知多元函数及其偏导数（也可仅含有偏导数）的方程称为偏微分方程； 描述物理规律的偏微分方程称为数学物理方程。 2.方程的阶：偏微分方程中未知函数的偏导数的最高阶数；
数学物理方程教学大纲
《数学物理方程》教学大纲一、课程基本信息1、课程代码：MA0722、课程名称：数学物理方程/ Equations of Mathematical Physics3、学时/学分：54学时/3学分4、先修课程：复变函数、积分变换, 电磁场5、面向对象：电子科学与技术（或信息工程）6、开课院（系）、教研室：电子信息与电气工程学院电子工程系7、教材、教学参考书：①《电磁理论中的应用数学基础》，周希朗，东南大学出版社，2006②《数学物理方程》（第二版以后版本）, 梁昆淼，人民教育出版社，1978。
③《数学物理方法》（第二版）, 陆全康等，高等教育出版社，2003。
④《工程数学丛书》，贺才兴等，上海交通大学出版社，1988二、课程的性质和任务《数学物理方程》课程属于工程数学系列课程的延伸部分,是电子科学与技术专业选修课程之一。
作为一种数学工具，数学物理方程在各个科学技术领域特别是电子科学与技术、信息工程等学科具有广泛应用。
因此，学习和掌握有关数学物理方程有关的基本理论、基本分析和推演方法，对于将来从事工程技术工作的本科生来说是必不可少的。
通过该门课程的学习，期望学生能深刻地理解各种特殊函数的基本性质以及二阶线性偏微分方程的基本求解方法，掌握有关偏微分方程构成的定解问题的求解思路，提高学生解决有关问题的能力。
三、课程的教学内容和要求第一章基础知识了解广义正交曲线坐标系；熟悉二项式系数的表示、双重级数变量代换以及二阶线性常微分方程及其分类。
第二章特殊函数①熟悉伽马函数和贝塔函数的定义以及特点。
②熟悉各类贝塞尔函数的特点；掌握贝塞尔函数的递推公式以及第一类贝塞尔函数的生成函数及其积分表达式；了解含有贝塞尔函数的定积分的求解；掌握可化为贝塞尔方程的微分方程同价的求解；了解贝塞尔函数的正交性和富里叶—贝塞尔级数以及贝塞尔函数的渐进公式的推导。
③熟悉第一类勒让德函数和第二类勒让德函数的特点；熟悉勒让德多项式的微分表达式—洛德利格斯公式、勒让德多项式的生成函数以及勒让德多项式的递推公式；了解勒让德多项式的积分表达式以及勒让德多项式的正交性和富里叶—勒让德级数；熟悉连带勒让德多项式。
数学物理方程讲义
x x0 y 0
y
w (s , t )dsdt f ( x ) g ( y )
(f , g为任意连续可微函数)
(4)u u ( x , y ) : u x u y
作变量代换s x y , t x y u x us s x ut t x us ut u y us s y ut t y us ut ut 0 u f (s ) (f为任意函数) u(x, y ) f (x y ) 一般地，au x bu y 0 (a, b为常数)
x 2t， x 6 xt 满足热传导方程
2 3
(6)u u ( x , y ) : u xx u yy 0(调和方程)
可验证: y 3 3x 2 y , x 3 3xy 2 , sin nx sinh ny (n 0) 均为解
(7)u u ( x , y ) : u xxyy 0
半线性(Semi-Linear)：主部(含最高阶导数的部分)线性 N 1 A ( x ) D u A ( x , u , Du , , D u ) g ( x ), 0
N
N
拟线性(Quasi-Linear)：最高阶导数本身是线性的 N 1 N 1 A ( x , u , Du , , D u ) D u A ( x , u , Du , , D u ) g ( x ), 0 完全非线性(Fully Nonlinear)：最高阶导数是非线性的
§2.1 波动方程的定解问题 波动方 波动方程是描述振动与波的传播现象的一种发展方程 动 波 传 种发 方 弦的横振动（弦振动方程） 杆的纵振动 一维非线性弹性振动 报方程 电报方程 膜的横振动 声波方程 电磁波方程
《数学物理方程》教学大纲
《数学物理方程》教学大纲第一篇：《数学物理方程》教学大纲《数学物理方程》教学大纲（Equations of Mathematical Physics）一.课程编号：040520 二.课程类型：限选课学时/学分：40/2.5适用专业：信息与计算科学专业先修课程：数学分析，高等代数，常微分方程、复变函数三.课程的性质与任务：本课程是信息与计算科学专业的一门限选课程。
数理方程主要是指在物理学、力学以及工程技术中常见的一些偏微分方程。
通过本课程的学习，要求学生掌握数学物理方程的基本知识、解偏微分方程的经典方法与技巧。
本课程主要讲述三类典型的数学物理方程，即波动方程、热传导方程、调和方程的物理背景、定解问题的概念和古典的求解方法, 如波动方程的分离变量法、D`Alembert解法、积分变换法、Green函数法，变分法等。
四、教学主要内容及学时分配（一）典型方程和定解条件的推导（7学时）一些典型方程的形式, 定解条件的推导。
偏微分方程基本知识、方程的分类与化简、迭加原理与齐次化原理。
（二）分离变量法（7学时）三类边界条件下的分离变量法, 圆域内二维拉普拉斯方程定解问题的求法,求解一类非齐次方程的定解问题,非齐次边界条件的处理方法.（三）积分变换法（8学时）Fourier变换和Laplace变换的定义和基本性质，Fourier变换和Laplace变换的在求解数学物理方程中的应用。
（四）行波法（7学时）一维波动方程的求解方法，高维波动方程的球面平均法，降维法（五）格林函数（6学时）微积分中学中的几个重要公式；调和函数的Green公式和性质；格林函数；格林函数的性质；格林函数的求解方法。
（六）变分法（5学时）变分法的一些基本概念，泛函极值的必要条件、泛函的条件极值问题五、教学基本要求通过教师的教学，使学生达到下列要求（一）掌握典型方程和定解条件的表达形式，了解一些典型方程的推导过程，会把一个物理问题转化为定解问题。
数学物理方程第一章
2u 2u 2u u a2 2 f ( x, y, z, t ) 2 2 t y z x
2
utt x, y, t a uxx x, y, t u yy ( x, y, t ) f x, y, t
当n=3时，为三维波动方程，表示电磁波的传播或者声波
在空气中的传播，一般写成：
2
utt x, y, z, t a uxx x, y, z, t uyy ( x, y, z, t) uzz ( x, y, z, t) f x, y, z, t
4.定解条件与定解问题： 一根弦线的特定的振动状况，还依赖于初始时刻弦 线的状态和通过弦线的两端所受到的外界的影响，因此 为了确定一个具体的弦振动，除了列出它满足的方程以 外还必须写出适合的初始条件和边界条件。 1）初始条件：弦在初始条件的状态，这里指位移和速度
u 即： ( x,0) ( x) (0 x l ) （初始时刻的位移） u t ( x,0) ( x) (0 x l ) （初始时刻的速度） 这里 ( x), ( x) 为已知函数。 2）边界条件：弦在两端的状态，一般有三种。 第一类边界条件（Dirichlet边界条件）：端点的位移 变化。
且弦在 M 1 , M 2 的切线正向与 x 轴正向的夹角为 1 , 2 由于弦做“横振动”，弦在水平方向上的受力为0，则有：
T ( x1 ) cos1 T ( x2 ) cos 2
u x 1
cos 1 1 ux
2
T ( x1 ) T ( x2 )
数学物理方程
二、定解问题
1.初值问题（Cauchy问题） 只有泛定方程和初始条件的定解问题。 2.边值问题 泛定方程加上边界条件的定解问题。 注意：位势方程只有边值问题（位势方程与时间无关，所 以不提初始条件）。 3.混合问题 既有初始条件又有边界条件的定解问题。
三、叠加原理
原理： 线性方程的解可以分解成几个部分的线性叠加， 只要这些部分各自满足的方程的相应的线性叠加 正好是原来的方程 如：L u1 = f1 L u2 = f2 则：L (au1+ bu2)= af1 + bf2
数学物理方程
第一章方程的一般概念
第一节方程的基本概念
定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为 偏微分方程。
一般形式：
F ( x1 , x2 ,
, xn , u, ux , ux ,
1 2
, uxn , ux x
1 1
,
)0
以及
其中u 为多元未知函数，F是 x1 , x2 , u的有限个偏导数的已知函数。
这样方程变为
u ( x dx, t ) u ( x, t ) FT { } F ( x, t )dx dxutt , x x FT F ( x, t ) 2 令a , f ( x, t ) ,
则
utt a uxx f ( x, t )
2
为一维波动方程。
其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。 (2)当 0 时，特征线 ( x, y) c. 令 ( x, y), ( x, y).
其中 ( x, y)是与 ( x, y)线性无关的任意函数，这样以 , 为新变量方程(1)化为标准形 u Au Bu Cu D, 其中A,B,C,D都是 , 的已知函数。 (3)当 0 时，令 1 ( ), 1 ( ). 以 , 为新
数学物理方程---_1_数学建模与基本原理介绍 105页PPT文档
学
定解问题的完整提法：
建 模
在给定的边界条件和初始条件下，根据已知的物理规律，在及其
给定的区域里解出某个物理量u，即求u(x,y,z,t)。
基 本
原
定解条件：边界条件和初始条件的总体。它反映了问题的
理 介
特殊性，即个性。
绍
泛定方程：不带有边界和初始条件的方程称为泛定方程。
西安交通大学理学院它反映了问题的共性。
T （ u xx d x u xx ） f 0 (x ,t) d x (d x ) u tt
数 学 物 理 方 程
T u xx d d x x u xx f0 (x ,t) T u x x f0 (x ,t)u tt
令 a2 T /
f(x,t)f0(x,t)/
学
建
模
及
其
基
本
原
理
介
绍
8
西安交通大学理学院
设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附近
产生振幅极小的横振动
数
第
学 物 理 方
u(x,t): 坐标为x 的点在t时刻沿垂线方向的位移
一 章
程
求：细弦上各点的振动规律
数 学
建
以弦线所处的平衡位置为x轴，垂直于弦线且通过弦
模 及
线的一个端点的直线为u轴建立坐标系。
u(x)
F
u+u
如考虑弦的重量： T2 2 沿x-方向，不出现平移
u
数
1
B
学
物 理
T1
gdx
0 方
程
x
x+x
T 2co s2 T 1co s10 （1第）
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定解问题
• 问题的提出
• 定解条件 – 初始条件 – 边界条件
• 定解问题 – 初值问题 – 边值问题 – 混合问题
初始条件
• 意义
– 反映系统的特定历史
• 分类 – 初始状态（位置），用 u |t=0 = f(x)表示； – 初始变化（速度），用 ut|t=0 = g(x)表示.
边界条件
• 意义 –反映特定环境对系统的影响
u|t0(x), ut (x),0xl.
2. 有限长杆上的热传导 (第2.2节)
ut a 2u xx , 0 x L u |x0 0, u |xL 0
u |t0 (x)
3.拉普拉斯方程--圆形区域 (第2.3节)
2u uxxuyy 0,
u|0
f
().
4. 非齐次方程的解法 (第2.4节)
• 分类 –按条件中未知函数及其导ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的次数分： • 线性边界条件和非线性边界条件； –线性边界条件中 • 按给出的是函数值或导数值分： –第一、二、三类边界条件； • 按所给数值是否为零分： –齐次边界条件和非齐次边界条件.
定解问题
• 定解问题的组成
–泛定方程：反映同一类现象的普遍性； –定解条件：描述具体对象的特殊性.
定解问题
泛定方程
演化方程 稳定方程
线性边界条件 边界条件
波动方程 输运方程 拉普拉斯方程 泊松方程 第一类 第二类 第三类
周期性
自然边界条件 有界性
初始条件 初始状态 初始速度
本课程的主要内容:
一、分离变量法
1.有界弦的自由振动 (第2.1节)
utt a2uxx,0xl,t 0, u|x00, u|xl0,t 0,
狄氏问题的解 (第4.4节)
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2.半无限杆上的热传导问题-Laplace变换法 第3.3节 例2, 补充 Laplace变换 ut a2uxx, 0x,t 0, u|t00, x0, u|x0 f (t),t 0.
四、拉普拉斯方程的格林函数法 (第四章)
1. 拉普拉肆方程边值问题的提法 (第4.1节) 2. 格林公式 (第4.2节) 3. 格林函数 (第4.3节) 4. 两种特殊区域上的格林函数及其
utta2uxxf(x,t), 0xl,t0, u|x0u|xl0, t0,
u|t0(x), ut (x), 0xl.
二、行波法
1.一维波动方程的达朗贝尔公式 (第3.1节)
uutt|t0 a 2ux(xx)0,,ut|t 0 x(x )
补充 这个方程非齐次方程的解法(Duhamel原理).
2 tu2 a2x2u2f(x,t),
x,t0
u(x,0)(x),u(x,0)(x), x
t
三、积分变换法
1.无限杆上的热传导问题-Fourier变换法 第3.3节 例1, 补充 Fourier变换
u ut|t 0 a 2u x (x )x f( x, t)x, x, t0
数学物理方程的基本知识
2元二阶线性微分方程的分类
• 一般形式:
a uxx+ b uxy+ c uyy+ d1ux+ d2uy + e u = f(x,y) • 特征方程：
a x2 + bxy + cy2 = 0 • 判别式
= b2 － 4ac
• 分类
> 0 为双曲型，如波动方程； = 0 为抛物线型，如热传导方程； < 0 为椭圆型，如泊松方程和Laplace方程.
• 定解问题的分类
–初值问题(Cauchy Problem) • 无边界条件（环境对问题的影响可以忽略不计）
–边值问题 • 无初始条件（历史对问题的影响可以忽略不计） –第一边值问题(Dirichlet Problem) –第二边值问题(Neumann Problem) –第三边值问题(Robin Problem)
–混合问题 • 同时有边界条件和初始条件.
定解问题
• 定解问题的适定性
–适定性的意义 • 定解问题是实际问题的数学模型，适定性是对模型 能否反映实际问题的一般要求.
–适定性的内容 • 存在性 • 唯一性 • 稳定性
–不适定问题举例 • 一般来说，方程的阶数对应于定解条件的个数； • 条件多了，将会破坏解的存在性； • 条件少了，将会破坏解的唯一性.