定积分求法
总结定积分的求解方法
总结定积分的求解方法定积分是微积分中的一个重要概念，它是对函数在一个闭区间上的积分运算。
在实际问题中，我们经常需要求解定积分，因此掌握定积分的求解方法是非常重要的。
一、基本思想定积分的基本思想是将区间分割成若干个小区间，然后对每个小区间进行近似计算，最后将这些近似值相加得到最终结果。
具体而言，定积分可以通过以下几种方法来求解。
二、几何意义定积分的几何意义是曲线与坐标轴所围成的面积。
当函数为正时，定积分表示曲线所在区间上方的面积；当函数为负时，定积分表示曲线所在区间下方的面积。
因此，定积分可以用来求解曲线所围成的面积问题。
三、定积分的求解方法1. 利用定积分的定义公式根据定积分的定义公式，可以直接计算出定积分的值。
定积分的定义公式为：∫[a,b] f(x)dx = lim(n→∞) ∑[i=1,n] f(xi)Δx其中，[a,b]表示积分区间，f(x)表示被积函数，dx表示微元，xi表示小区间的中点，Δx表示小区间的长度。
通过将区间进行分割，计算每个小区间上的函数值与长度的乘积，再将这些乘积相加，即可得到定积分的近似值。
2. 利用定积分的性质定积分具有一些重要的性质，利用这些性质可以简化定积分的求解过程。
常见的定积分性质有：（1）线性性质：∫[a,b] (f(x)+g(x))dx = ∫[a,b] f(x)dx + ∫[a,b] g(x)dx（2）积分区间的可加性：∫[a,b] f(x)dx = ∫[a,c] f(x)dx + ∫[c,b] f(x)dx（3）定积分的换元法：∫[a,b] f(g(x))g'(x)dx = ∫[g(a),g(b)] f(u)du通过利用这些性质，我们可以将复杂的定积分转化为简单的定积分，从而简化计算过程。
3. 利用定积分的常用公式对于一些常见的函数，存在一些常用的定积分公式，可以直接使用这些公式来求解定积分。
例如，对于幂函数，可以使用幂函数的积分公式来求解；对于三角函数，可以使用三角函数的积分公式来求解。
求定积分的四种方法
定积分的四种求法定积分是新课标的新增内容，其中定积分的计算是重点考查的考点之一，下面例题分析定积分计算的几种常用方法．一、定义法例1 用定义法求230x dx ⎰的值.分析：用定义法求积分可分四步：分割，以曲代直，作和，求极限．解：（1）分割：把区间[0，2] 分成n 等分，则△x ＝2n． （2）近似代替：△32()i i i S f x x n ξ⎛⎫=∆=∆ ⎪⎝⎭（3）求和：33111222n n n i i i i i i S x n n n ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫∆≈∆=• ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑. （4）取极限：S=3332242lim n n n n n n →∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ＝443332244221lim 12lim[(1)]4n n n n n n n →∞→∞⎡⎤+++=⨯+⎣⎦ ＝224(21)lim n n n n→∞++=＝4． ∴230x dx ⎰=4．.评注：本题运用微积分的基本定理法来求非常简单．一般地，其它方法计算定积分比较困难时，用定义法，应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲．二、微积分基本定理法例2 求定积分221(21)x x dx ++⎰的值.分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．解：函数y ＝221x x ++的一个原函数是y ＝323x x x ++． 所以.221(21)x x dx ++⎰＝3221()|3x x x ++＝81421133⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝193． 评注：运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数．三、几何意义法例3 求定积分1211)x dx --⎰的值.分析：利用定积分的意义是指曲边梯形的面积，只要作出图形就可求出．解：1211x dx --⎰表示圆x 2＋y 2＝1在第一、二象限的上半圆的面积． 因为2S π=半圆，又在x 轴上方． 所以1211x dx --⎰＝2π． 评注：利用定积分的几何意义解题，被积函数图形易画，面积较易求出．四、性质法例4 求下列定积分：⑴44tan xdx ππ-⎰；⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰． 分析：对于⑴用微积分的基本定理可以解决，而⑵的原函数很难找到，几乎不能解决．若运用奇偶函数在对称区间的积分性质，则能迎刃而解．解：由被积函数tan x 及22sin 1x x x +是奇函数，所以在对称区间的积分值均为零．x y o 1-11所以⑴ 44tan xdx ππ-⎰＝0； ⑵22sin 1x x dx x ππ-+⎰＝0． 评注：一般地，若f (x )在[－a ，a ]上连续，则有性质：①当f (x )为偶函数时，()a a f x dx -⎰＝20()a f x dx ⎰；②当f (x )为奇函数时，()aa f x dx -⎰＝0．小结通过这几个例题分析，让我明白并牢固记住了如何求定积分的方法，懂得在什么情况该用何种方法解决问题；它有非常重要的意义，并且应用也非常广泛，因此掌握此四种方法可以为学好其他比如物理学应用打下良好的基础。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的一种重要概念，用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、质量、质心等物理量。
本文将总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、换元积分法、分部积分法等。
一、基本定积分的计算基本定积分是指形如∫f(x)dx的定积分，其中f(x)为已知函数。
基本定积分的计算方法主要包括常数法、分段法和凑微分法。
1. 常数法：当被积函数为常数函数时，可以直接利用积分性质计算。
如∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为积分常数。
2. 分段法：当被积函数在不同区间上有不同的表达式时，可以将积分区间划分为不同的子区间，在每个子区间上分别计算积分，然后再求和得到整个区间上的积分值。
3. 凑微分法：当被积函数可以通过凑微分的方式转化为已知函数的微分形式时，可以利用凑微分法进行计算。
凑微分法的关键是找到合适的凑微分项，使得被积函数可以表示为一个函数的微分。
例如，对于∫x^2dx，可以将其转化为∫(x^2+1-1)dx，然后利用积分性质计算。
二、换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，通过引入新的变量进行替换，将原来的积分转化为更容易计算的形式。
换元积分法的关键是选择合适的换元变量和适当的换元公式。
1. 一般换元法：当被积函数中存在形如f(g(x))g'(x)的部分时，可以选择g(x)作为新的变量进行替换。
然后利用链式法则计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
2. 三角换元法：当被积函数中存在形如sin(x)或cos(x)等三角函数时，可以选择三角函数的反函数作为新的变量进行替换。
然后利用三角函数的导数和反函数的导数计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。
三、分部积分法分部积分法是一种常用的定积分计算方法，通过将积分中的乘积拆解为两个函数的乘积，利用分部积分公式进行计算。
分部积分法的关键是选择合适的分部函数和求导函数。
分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。
定积分计算方法总结
定积分计算方法总结定积分是微积分中的重要概念之一，也是计算与物理、经济、工程等领域中的许多实际问题时常用到的方法。
本文将对定积分的计算方法进行总结，包括基本的方法、常用的变换、一些特殊的技巧等。
一、基本的定积分计算方法定积分的计算可以通过求解不定积分的方法进行。
不定积分是定积分的逆运算，即通过求解导数为被积函数的函数，然后在积分区间上进行计算。
在计算不定积分时，可以利用基本积分公式进行运算。
常见的基本积分公式包括：幂函数积分公式、三角函数积分公式、指数函数积分公式等。
熟练掌握这些基本的积分公式对于定积分的计算非常有帮助。
另外，还可以通过换元积分法、分部积分法等方法进行计算。
换元积分法是将被积函数中的自变量进行变换，以便简化积分的计算。
分部积分法则是通过对被积函数进行分解，将积分转化为两个函数之积的积分。
二、常用的定积分变换在定积分的计算中，常常需要进行变量替换或区间转化，以便于计算或简化问题。
一种常用的变换是变量替换法。
通过将积分中的自变量进行替换，可以将原本复杂的积分转化为更简单的形式。
常见的变量替换包括：三角函数替换、指数函数替换、倒数替换等。
这些替换方法可以根据问题的需求，适时选择。
另外，还有区间转化的方法。
在求解定积分时，有时需要将原本的积分区间进行转化。
这种转化可以将积分的计算变得更加简便，也有助于利用基本积分公式进行计算。
常见的区间转化方法包括：对称性转化、变量代换转化等。
三、特殊的定积分计算技巧在定积分的计算中，还存在一些特殊的技巧可以加快计算的速度，提高效率。
一种常见的技巧是分割区间法。
当被积函数在积分区间上具有不同的特性时，可以将区间进行分割，对不同的子区间采取不同的计算方法。
这样可以减少对复杂函数进行计算的难度，提高计算的准确性。
另外，还有用和差化积、凑微分等技巧。
和差化积是通过将被积函数进行展开重新组合，以简化积分的计算。
凑微分则是通过对被积函数进行一些巧妙的变换，以便进行积分。
定积分的计算方法
定积分的计算方法定积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下的面积、曲线的长度、质心、体积等问题。
在实际问题中，计算定积分可以帮助我们了解各种变化的数量或者性质。
本文将详细介绍定积分的计算方法。
一、基本概念和性质1.定积分的定义设函数y=f(x)在[a,b]上有界，将[a,b]分为n个小区间，每个小区间长度为Δx，取小区间内任意一点ξi，构造对应的面积Si=Δx*f(ξi)。
定积分的定义为：当n趋于无穷大，Δx趋向于0时，所有小区间内面积的和的极限，即为函数f(x)在[a,b]上的定积分，表示为∫a^b f(x)dx。
2.定积分的基本性质（1）线性性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，则对于任意实数k，有∫a^b kf(x)dx= k∫a^b f(x)dx。
（2）加法性质：若函数f(x)和g(x)在[a,b]上可积，则有∫a^bf(x)dx + ∫a^b g(x)dx = ∫a^b [f(x)+g(x)]dx。
（3）区间可加性：若函数f(x)在区间[a,b]上可积，且a<c<b，则有∫a^b f(x)dx = ∫a^c f(x)dx + ∫c^b f(x)dx。
二、定积分计算的方法1.利用基本初等函数的积分表对于一些基本初等函数，我们已知它们的积分表达式，可以直接进行计算。
例如，∫x^2 dx = 1/3 x^3 + C。
2.使用换元法当被积函数中含有复杂的函数表达式时，我们可以进行变量替换，使得被积函数中的形式简化，以便求解。
例如，对于∫(3x^2+2x+1)^2 dx ，令u=3x^2+2x+1 ，则有du=(6x+2)dx ，原定积分可以转化为∫u^2 du ，然后再对u进行积分，最后将u还原为x。
3.利用分部积分法若被积函数是两个函数的乘积，可以利用分部积分法来简化计算。
分部积分公式为∫udv=uv-∫vdu。
例如，对于∫x*sin(x)dx ，令u=x ，dv=sin(x)dx ，则有du=dx ，v=-cos(x) ，根据分部积分公式可得∫x*sin(x)dx = -x*cos(x)+∫cos(x)dx = -x*cos(x)+sin(x)+C。
求定积分的方法
【知识要点】一、曲边梯形的定义分割→近似代替（以直代曲）→求和→取极限三、定积分的概念一般地，设函数在区间上连续，用分点()f x [,]a b 上任取]一点 i x 11()n n i i i a f x x n==∆=∑在区间上的定积分.记为：， ()f x [,]a b ()b a S f x dx =⎰其中是积分号，是积分上限，是积分下限，是被积函数，是积分变量，是积分区间，⎰b a ()f x x [,]a b 是被积式. ()f x dx说明：（1）定积分是一个常数，可以是正数，也可以是负数，也可以是零，即无限()ba f x dx ⎰n S 趋近的常数（时）记为，而不是．S n →+∞()ba f x dx ⎰n S （2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③n [],a b []1,i i i x x ξ-∈求和：；④取极限：1()n i i b a f n ξ=-∑()1()lim n b i a n i b a f x dx f n ξ→∞=-=∑⎰四、定积分的性质根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：性质1（定积分的线性性质）； ()()()b baa kf x dx k f x dx k =⎰⎰为常数性质2（定积分的线性性质）； 1212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰a =x 0<x 1<x 2<L <x i -1<x i <L <x n =b b -a n f (ξi )b -将区间[a ,b ]等分成n 个小区间，每个小区间长度为D x （D x =），在每个小区间[x i -1,x i (i =1,2,L ,n )，作和式：S n =∑如果D x 无限接近于0（亦即n →+∞）时，上述和式S n 无限趋近于常数S ，那么称该常数S 为函数求定积分的方法我们把由直线x =a ,x =b ,y =0和曲线y =f (x )所围成的图形称为曲边梯形.二、曲边梯形的面积的求法性质3（定积分对积分区间的 ()()()()b c ba a c f x dx f x dx f x dx a cb =+<<⎰⎰⎰其中可加性） 五、定积分的几何意义（1）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由[],a b ()f x ()0f x ≥()b a f x dx ⎰直线和曲线所围成的曲边梯形的面积.,(),0x a x b a b y ==≠=()y f x =（2）从几何上看，如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由[],a b ()f x ()0f x ≤()b a f x dx ⎰直线和曲线所围成的曲边梯形的面积的相反数.,(),0x a x b a b y ==≠=()y f x =（3）从几何上看，如果在区间上函数连续，且函数的图像有一部分在轴上方，[],a b ()f x ()y f x =x 有一部分在轴下方，那么定积分表示轴上方的曲边梯形的面积减去下方的曲边梯形的面积. x ()ba f x dx ⎰x （4）图中阴影部分的面积S= 12[()()]b a f x f x dx -⎰六、微积分基本定理一般地，如果是区间上的连续函数，并且，那么，()f x [,]a b ()()F x f x '=()()()ba f x dx Fb F a =-⎰这个结论叫做微积分基本定理，又叫牛顿—莱布尼茨公式.为了方便，我们常把记成，()()F b F a -()b a F x 即.()()()()bb a a f x dx F x F b F a ==-⎰ 计算定积分的关键是找到满足的函数.()()F x f x '=()F x 七、公式（1） （2） （3） 1()cx c =1(sin )cos x x =1(cos )sin x x -=( 4) (5)； (6) 11()(1)1n n m x mx n n +=≠-+(ln )a a x x '=x x e e =')(（7） （8） 1(sin 2)cos 22x x ¢=1(ln(x 1))1x ¢+=+ 八、求定积分的方法(1)代数法： 利用微积分基本原理求；（2）几何法：数形结合利用面积求. 学科@网【方法讲评】 方法一微积分基本原理求解（代数法） 使用情景比较容易找到原函数. 解题步骤先利用定积分的性质化简函数，再利用微积分基本原理求解. 【例1】 定积分的值为____________. 11(||1)x dx --ò【点评】本题要先利用定积分的性质化简，再利用微积分基本原理求解.【反馈检测1】 ．220sin 2x dx π=⎰【反馈检测2】若)(x f 在上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则 ( )R 30()f x dx =⎰A ． B ． C ． D ．1618-24-54 方法二数形结合利用面积求（几何法） 使用情景不容易找到原函数. 解题步骤先利用定积分的性质化简函数，再利用微积分基本原理求解.【例2】计算的结果为（ ）. 10(1dx +⎰A ．1 B ． C ． D ．4π14π+12π+【解析】先利用定积分的几何意义求：令，即 dx x ⎰-1021)10(12≤≤-=x x y 表示单位圆的（如图），即是圆面积，即；所以 )0,10(122≥≤≤=+y x y x 41dx x ⎰-1021414π=.10(1dx +⎰411110210π+=-+⎰⎰dx x dx【点评】（1）本题中函数的原函数不是很容易找到，所以先利用定积分的性质化简原式，1y =再利用数形结合分析解答.（2）利用数形结合分析解答时，主要变量的范围，不要扩大了变量的范围，导致扩大了平面区域.，即表示单位圆的（如图），不是右)10(12≤≤-=x x y )0,10(122≥≤≤=+y x y x 41半圆或整个圆.(3)等价转化是数学里的重要数学思想，它要求我们在每一步的变形和推理时，都必须注意等价变换.【反馈检测3】313)___________dx +=⎰高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第18讲：求定积分的方法参考答案【反馈检测1答案】 142π-【反馈检测1详细解析】 ⎰⎰⎰⎰-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2020202022cos 212cos 212sin ππππdx x dx dx x dx x 2140214|sin 21|22020-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=ππππx x 【反馈检测2答案】 18-【反馈检测3答案】 263π++【反馈检测3详细解析】由于+．313)dx +=ò1⎰313dx ⎰其中值相当于（2，0）为圆心，以2为半径的圆在从1到3部分与轴所围成的图形1⎰x x 的面积的大小，即图中阴影部分的面积．故其值是S △ACQ +S 扇形ABQ +S △BDQ = 211121212623ππ⨯+⨯⨯+⨯=+又=6，∴ ． 313dx ⎰313)dx +=ò263π故答案为：． 263π++。
定积分的求法
3 3 1
3 2 3 3 t 2 x 2dx 0 t dt 2 2 4
n
4 2 0
6
被积函数中含有根式 ax b n N ，或同时含 n 有两个根式， x与m x m, n N 时，为了去掉根号 n n 相应地作变换 = ax＋b，即 x t b a ， p p 或 t x ，即 x t ，p为 m与 n的最小公倍数
称为定积分的分部积分公式.
x cos xdx 解：令 u x ， cos xdx dv，则v sin x，
例5：求
0
π/2
根据分部积分法公式，得
π/2
0
x cos xdx =
/2
0
xd (sin x)
2 0
x sin x
02 sin xdx
2 0
2
cos x
5、分部积分法求定积分
分部积分法是与微分学中乘积的求导法 则相对应的，它需注意积分的上下限，与不 定积分的分部积分法相类似. vx 在a, b上是连续函数， 设函数 ux ， 则
u ( x)dv ( x) [u ( x)v( x)]
a b a
b
b
a
v( x) du ( x)
(1)
a 0 a 0 a a
a a
例2：求下列各式的定积分
（ 1） x 1 x dx = 1
2
1
0
（ 2）
1 1
e e 2
x
x
1 dx = e e
4、换元法求定积分
换元积分法就是在积分过程中通过引入变量来 简化积分计算的一种积分方法．通常在应用换元 积分法求原函数的过程中，也相应的变换积分的 上下限，这样可以简化计算． 设 f x 在 a, b上连续，x xt 满足 (1) x a, x b, a xt b, 且 t ；
求定积分的方法总结
求定积分的方法总结1. 引言在微积分中，定积分是一个重要的概念。
它可以用来计算曲线下的面积、求解曲线的弧长、重心以及解决一系列与变化率相关的问题。
本文将总结几种常用的方法，帮助读者更好地理解和应用定积分的求解过程。
2. 几何法几何法是定积分求解的最直观方法之一。
通过几何图形来理解定积分的意义和求解过程，可以更好地把握其基本思想。
例如，若要求解函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的定积分：∫[a,b] f(x) dx可以将 f(x) 的图像和 x 轴围成的区域视为一个几何图形，通过求解这个图形的面积来得到定积分的值。
常见的几何图形可以是长方形、梯形、圆形等。
根据具体情况，选择合适的图形进行面积计算。
3. 微元法微元法是定积分求解的一种基本方法。
它基于函数的微分和积分之间的关系，将区间 [a, b] 分割为无穷多的微小区间，然后在每个微小区间上进行求和，最后通过取极限的方式得到定积分的值。
微元法的关键是确定微小区间的宽度，即将区间 [a, b] 分割成若干个小区间的长度。
常用的分割方法有等分法、等差数列法和等比数列法。
一般情况下，分割的区间越小，计算结果越准确。
在微元法中，需要确定每个微小区间上的函数值，可以通过函数曲线上的点来确定。
例如，可以取每个小区间的左端点、右端点或中点来表示该区间上的函数值。
通过求和并取极限，最终可以得到定积分的值。
4. 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是定积分求解的一种重要工具。
它建立了定积分和不定积分之间的关系，可以通过求解不定积分来得到定积分的值。
牛顿-莱布尼茨公式的表达式为：∫[a,b] f(x) dx = F(b) - F(a)其中，F(x) 是 f(x) 的一个原函数。
通过求解 f(x) 的不定积分，可以得到一个原函数 F(x)，再根据公式将上下限值代入，即可得到定积分的值。
牛顿-莱布尼茨公式的优点是可以直接得到定积分的值，无需进行复杂的计算。
但前提是需要知道 f(x) 的一个原函数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定积分求法
一、定积分求法
定积分是指把一段区间内的一种函数值相加以求出总和的方法。
它是微积分中的一种重要运算，可以用来解决一些微分方程的问题，也应用于电力学、力学、热学等领域。
1.求面积
定积分的一个重要应用就是求一维函数在一段区间上的积分值，假定函数y=f (x)的定积分表示为∫a bf (x)dx，a、b是两个定义域，f (x)为一个定义域上的函数，这个函数的积分值可以用来表示其定义域内的面积。
2.求曲线的长度
定积分也可以用来求出曲线的长度。
假设曲线由一个自变量x描绘出，那么曲线长度就等于∫a b(1+y' )^ dx，其中y'=dy/dx，同样可以利用定积分求出。
3.求体积
定积分也可以用来求函数描绘的物体的体积。
假设物体的高度为z=f (x,y)，那么物体的体积就等于∫a b∫a bf (x, y) dx dy，这也是定积分的应用。
4.求重心
定积分也可以用来求函数描绘的物体的重心坐标。
假设物体的重量为w=f (x,y,z)，那么物体的重心坐标就是(∫a b∫a b∫a bxf (x, y, z) dx dy dz / ∫a b∫a b∫a bw (x, y, z) dx dy dz, ∫a b
∫a b∫a byf (x, y, z) dx dy dz/ ∫a b∫a b∫a bw (x, y, z) dx dy dz,∫a b∫a b∫a bzf (x, y, z) dx dy dz/ ∫a b∫a b∫a bw (x, y, z) dx dy dz)，同样也是定积分的应用之一。
二、定积分求法的两种类型
定积分求法一般分为两类，一类是区间定积分，一类是积分形式定积分。
1.区间定积分
所谓区间定积分，是指在一个定义域上，由两个端点定义的定义域内的函数求积分。
比如，假定函数y=f (x)在[a, b]上是定义的，求函数f (x)在[a, b]上的定积分，称为区间定积分。
2.积分形式定积分
积分形式定积分是指在一个定义域上，由函数f (x)和定义域上的函数值g (x)求函数f (x)在定义域内的定积分。
比如，假定函数y=f (x)在定义域上是定义的，同时在定义域上的积分值g (x)也是定义的，求函数f (x)在定义域上的定积分，称为积分形式定积分。