解一元二次方程练习题(韦达定理)

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解一元二次方程练习题(配方法)

1．用适当的数填空：

①、x 2+6x+ =（x+ ）2； ②、x 2－5x+ =（x － ）2；

③、x 2+ x+ =（x+ ）2； ④、x 2－9x+ =（x － ）2

2．将二次三项式2x 2-3x-5进行配方，其结果为_________． 3．已知4x 2

-ax+1可变为（2x-b ）2

的形式，则ab=_______．

4．将一元二次方程x 2-2x-4=0用配方法化成（x+a ）2

=b 的形式为______，•所以方程的根为_______．

5．若x 2+6x+m 2是一个完全平方式，则m 的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．±3 D ．以上都不对 6．用配方法将二次三项式a 2-4a+5变形，结果是（ ）

A ．（a-2）2+1

B ．（a+2）2-1

C ．（a+2）2+1

D ．（a-2）2-1 7．把方程x+3=4x 配方，得（ ）

A ．（x-2）2=7

B ．（x+2）2=21

C ．（x-2）2=1

D ．（x+2）2=2 8．用配方法解方程x 2+4x=10的根为（ ）

A ．2

B ．-2

C ．

D ．

9．不论x 、y 为什么实数，代数式x 2+y 2+2x-4y+7的值（ ）

A ．总不小于2

B ．总不小于7

C ．可为任何实数

D ．可能为负数 10．用配方法解下列方程：

（1）3x 2-5x=2． （2）x 2+8x=9 （3）x 2+12x-15=0 （4）

4

1 x 2

-x-4=0

7、01842=+--x x 8、0222=-+n mx x 9、()00222>=--m m mx x

11.用配方法求解下列问题

（1）求2x 2-7x+2的最小值 ； （2）求-3x 2+5x+1的最大值。

一．填空题：

1．关于x 的方程mx 2-3x= x 2-mx+2是一元二次方程,则m___________．

2．方程4x(x-1)=2(x+2)+8化成一般形式是______________,二次项系数是____,一次项系数是_____,常数项是____.

3．方程x 2=1的解为______________.

4．方程3 x 2=27的解为______________； x 2+6x+____=(x+____)2； a 2±____+4

1

=(a ±____ )2 5．关于x 的一元二次方程(m+3) x 2+4x+ m 2- 9=0有一个解为0 , 则m=______. 二．选择题：

6．在下列各式中

①x 2

+3=x; ②2 x 2

- 3x=2x(x- 1) – 1 ; ③3 x 2

- 4x – 5 ; ④x 2

=- x

1+2 是一元二次方程的共有( )

A 0个

B 1个

C 2个

D 3个 8．一元二次方程的一般形式是( )

A x 2+bx+c=0

B a x 2+c=0 (a ≠0 )

C a x 2+bx+c=0

D a x 2+bx+c=0 (a ≠0) 9．方程3 x 2

+27=0的解是( )

A x=±3

B x= -3

C 无实数根

D 以上都不对 10．方程6 x 2- 5=0的一次项系数是( ) A 6 B 5 C -5 D 0

11．将方程x 2- 4x- 1=0的左边变成平方的形式是( )

A (x- 2)2

=1 B (x- 4)2

=1 C (x- 2)2

=5 D (x- 1)2

=4

三.。将下列方程化为一般形式,并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项

五. 用配方法或公式法解下列方程.：

(10) x 2

－6x+9 =0 （1）x 2

+ 2x + 3=0 （2）x 2

+ 6x －5=0 (3) x 2

－4x+ 3=0

(4) x 2

－2x －1 =0 (5) 2x 2

+3x+1=0 (6) 3x 2

+2x －1 =0

(7) 5x 2－3x+2 =0 (8) 7x 2－4x －3 =0 (9) -x 2-x+12 =0

韦达定理：对于一元二次方程2

0(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么

1212,b c

x x x x a a

+=-=

说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12b

x x a

+=-的负号与b 的符号的区别 根系关系的三大用处 （1）计算对称式的值

例 若12,x x 是方程2

220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：

(1) 22

12x x +； (2)

12

11x x +； (3) 12(5)(5)x x --；

(4) 12||x x -．

解：由题意，根据根与系数的关系得：12122,2007x x x x +=-=-

(1) 2222

121212()2(2)2(2007)4018x x x x x x +=+-=---=

(2)

1212121122

20072007

x x x x x x +-+===- (3) 121212(5)(5)5()2520075(2)251972x x x x x x --=-++=---+=-

(4) 12||x x -=

===说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

222121212()2x x x x x x +=+-，

121212

11x x x x x x ++=，22

121212()()4x x x x x x -=+-，

12||x x -=2212121212()x x x x x x x x +=+，

33312121212()3()x x x x x x x x +=+-+等等．韦达定理体现了整体思想．

【课堂练习】

1．设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22

的值为_________

2．已知x 1，x 2是方程2x 2

－7x ＋4＝0的两根，则x 1＋x 2＝ ，x 1·x 2＝ ，

（x 1－x 2）2

＝

3．已知方程2x 2

－3x+k=0的两根之差为212

，则k= ;

4．若方程x 2

+(a 2

－2)x －3=0的两根是1和－3，则a= ;

5．若关于x 的方程x 2+2(m －1)x+4m 2

=0有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为 ;

6． 设x 1,x 2是方程2x 2

－6x+3=0的两个根，求下列各式的值： (1)x 12x 2+x 1x 22

(2) 1x 1 －1x 2

7．已知x 1和x 2是方程2x 2－3x －1=0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：

2221x 1

x 1+

（2）构造新方程

理论：以两个数为根的一元二次方程是。

例 解方程组 x+y=5