高等数学知识点总结

高等数学知识点总结导数公式：导数公式：(tan x)′ = sec2 x (c tan x)′ = csc2 x (sec x)′ = sec x tan x (csc x)′ = csc x cot x (a x )′ = a x ln a 1 (loga x)′ = x ln a基本积分表：基本积分表：三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分：(arcsin x )′ =11 x2 1 (arccos x )′ = 1 x2 1 (arctan x )′ = 1+ x2 1 (arc cot x )′ = 1+ x2∫ tan xdx = ln cos x + C ∫ cot xdx = ln sin x + C ∫ sec xdx = ln sec x + tan x + C ∫ csc xdx = ln csc x cot x + Cdx 1 x = arctan +C 2 +x a a dx 1 xa ∫ x 2 a 2 = 2a ln x + a + C dx 1 a+x ∫ a 2 x 2 = 2a ln a x + C dx x ∫ a 2 x 2 = arcsin a + C∫ cos ∫ sindx2x x= ∫ sec 2 xdx = tan x + C = ∫ csc 2 xdx = cot x + Cdx2∫a∫ sec x tan xdx = sec x + C ∫ csc x cot xdx = csc x + Cx ∫ a dx =2ax +C ln a∫ shxdx = chx + C ∫ chxdx = shx + C ∫dx x ±a2 2= ln( x + x 2 ± a 2 ) + Cπ2π2I n = ∫ sin n xdx = ∫ cos n xdx =0 0 2n 1 I n2 n∫ ∫ ∫sinx =x a2 2 2 x + a dx = x + a + ln( x + x 2 + a 2 ) + C 2 2 x a2 x 2 a 2 dx = x 2 a 2 ln x + x 2 a 2 + C 2 2 x a2 x a 2 x 2 dx = a 2 x 2 + arcsin + C 2 2 a22u 1 u2 x 2du ，x = cos ，= tan ，= u dx 1+ u2 1+ u2 2 1+ u21 / 13一些初等函数：一些初等函数：两个重要极限：两个重要极限：ex ex 双曲正弦: shx = 2 x e + e x 双曲余弦: chx = 2 shx e x e x 双曲正切: thx = = chx e x + e x arshx = ln( x + x 2 + 1）archx = ± ln( x + x 2 1) 1 1+ x arthx = ln 2 1 x三角函数公式：三角函数公式：诱导公式：·诱导公式：函数角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α ·和差角公式：和差角公式：limsinx x +x →=x1 = elimx →∞(11 ) xsin -sinα cosα cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinαcos cosα sinα -sinα -cosα -cosα -sinα sinα cosα cosαtg -tanα cotα -cotα -tanα tanα cotα -cotα -tanα tanαctg -cotα tanα -tanα -cotα cotα tanα -tanα -cotα cotα·和差化积公式：和差化积公式：sin(α ± β ) = sin α cos β ± cos α sin β cos(α ± β ) = cos α cos β m sin α sin β tan α ± tan β tan(α ± β ) = 1 m tan α tan β cot α cot β m 1 cot(α ± β ) = cot β ± cot αsin α + sin β = 2 sinα +β2 2 α+β αβ sin α sin β = 2 cos sin 2 2 α+β α β cos α + cos β = 2 cos cos 2 2 α+β α β cos α cos β = 2 sin sin 2 2cosα β2 / 13·倍角公式：倍角公式：sin 2α = 2 sin α cosα cos 2α = 2 cos2 α 1 = 1 2 sin 2 α = cos2 α sin 2 α cot2 α 1 cot 2α = 2 cotα 2 tanα tan 2α = 1 tan2 α·半角公式：半角公式：sin 3α = 3sinα 4 sin3 α cos3α = 4 cos3 α 3 cosα 3 tanα tan3 α tan 3α = 1 3 tan2 αsin tanα2=± =±α 1 cos α 1 + cos α cos = ± 2 2 2 α 1 cos α 1 cos α sin α 1 + cos α 1 + cos α sin α = = cot = ± = = 1 + cos α sin α 1 + cos α 2 1 cos α sin α 1 cos αa b c = = = 2R sin A sin B sin C·余弦定理：c = a + b 2ab cos C 余弦定理：2 2 2α2·正弦定理：正弦定理：定理·反三角函数性质：arcsin x = 反三角函数性质：π2arccos x arctan x =π2arc cot x高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：——莱布尼兹k (uv) ( n ) = ∑ C n u ( nk ) v ( k ) k =0 n= u ( n ) v + nu ( n1) v′ +n(n 1) ( n2) n(n 1)L(n k + 1) ( nk ) ( k ) u v + L + uv ( n ) u v′′ + L + 2! k!中值定理与导数应用：中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：f (b) f (a) = f ′(ξ )(b a) f (b) f (a ) f ′(ξ ) 柯西中值定理：= F (b) F (a ) F ′(ξ ) 当F( x) = x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

曲率：曲率：弧微分公式：ds = 1 + y ′ 2 dx , 其中y ′ = tg α K 平均曲率：= α .α : 从M 点到M ′点，切线斜率的倾角变化量；s：MM ′弧长。

s y ′′ α dα M 点的曲率：K = lim = = . s → 0 s ds (1 + y ′ 2 ) 3 1 . a3 / 13直线：K = 0; 半径为a的圆：K =定积分的近似计算：定积分的近似计算：矩形法：f ( x) ≈ ∫abba ( y0 + y1 + L + y n1 ) n ba 1 [ ( y0 + y n ) + y1 + L + y n1 ] n 2 ba [( y0 + y n ) + 2( y 2 + y 4 + L + y n2 ) + 4( y1 + y3 + L + y n1 )] 3n梯形法：f ( x) ≈ ∫a bb抛物线法：f ( x) ≈ ∫a定积分应用相关公式：定积分应用相关公式：功：W = F s 水压力：F = p A m1m2 , k为引力系数r2 b 1 函数的平均值：= y f ( x)dx ba ∫ a 引力：F = k 1 2 均方根：∫ f (t )dt ba a空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数：b空间2点的距离：d = M 1 M 2 = ( x2 x1 ) 2 + ( y 2 y1 ) 2 + ( z 2 z1 ) 2 向量在轴上的投影：ju AB = AB cos ,是AB与u轴的夹角。

Pr v v v v Pr ju (a1 + a 2 ) = Pr ja1 + Pr ja 2 v v v v a b = a b cosθ = a x bx + a y b y + a z bz , 是一个数量, 两向量之间的夹角：θ = cos i v v v c = a × b = ax bx j ay by k a x bx + a y b y + a z bz a x + a y + a z bx + b y + bz2 2 2 2 2 2v v v v v v a z , c = a b sin θ .例：线速度：v = w × r .bz ay by cy az czax v vv v v v 向量的混合积：b c ] = (a × b ) c = bx [a cx 代表平行六面体的体积。

v v v bz = a × b c cos α ,α为锐角时，4 / 13平面的方程：v 1、点法式：A( x x0 ) + B( y y 0 ) + C ( z z 0 ) = 0，其中n = { A, B, C}, M 0 ( x0 , y0 , z 0 ) 2、一般方程：Ax + By + Cz + D = 0 x y z 3、截距世方程：+ + = 1 a b c 平面外任意一点到该平面的距离：d = Ax0 + By0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2x = x0 + mt x x0 y y 0 z z 0 v 空间直线的方程：= = = t , 其中s = {m, n, p}; 参数方程：y = y0 + nt m n p z = z + pt 0 二次曲面：x2 y2 z 2 1、椭球面：2 + 2 + 2 = 1 a b c 2 2 x y 2、抛物面：+ = z（p, q同号）, 2 p 2q 3、双曲面：x2 y2 z2 单叶双曲面：2 + 2 2 = 1 a b c 2 2 x y z2 双叶双曲面：2 2 + 2 =（马鞍面） 1 a b c多元函数微分法及应用全微分：dz =z z u u u dx + dy du = dx + dy + dz z x y x y全微分的近似计算：z ≈ dz = f x ( x, y )x + f y ( x, y )y 多元复合函数的求导法：dz z u z v z = f [u (t ), v(t )]= + dt u t v t z z u z v z = f [u ( x, y ), v( x, y )]= + x u x v x 当u = u ( x, y )，v = v( x, y )时，du = u u v v dx + dy dv = dx + dy x y x y隐函数的求导公式：F F F dy dy d2y 隐函数F ( x, y ) = 0，= x ， 2 = ( x )＋( x ) x Fy y Fy dx dx Fy dx Fy F z z 隐函数F ( x, y, z ) = 0，= x ，= x y Fz Fz5 / 13F F ( x, y , u , v ) = 0 ( F ,G ) u 隐函数方程组：J = = G (u , v) G ( x, y, u , v) = 0 u u 1 ( F , G) v 1 ( F , G) = = x J ( x, v ) x J (u , x) u 1 ( F , G) v 1 ( F , G ) = = y J ( y, v) y J (u , y )微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用：F v = FuG Gu vFv Gvx = (t ) xx y y0 z z 0 空间曲线y = ψ (t )在点M ( x0 , y0 , z 0 )处的切线方程：0 = = ′(t 0 ) ψ ′(t 0 ) ω ′(t 0 ) z = ω (t ) 在点M处的法平面方程：′(t 0 )( x x0 ) + ψ ′(t 0 )( y y0 ) + ω ′(t 0 )( z z 0 ) = 0 v Fy Fz Fz Fx Fx F ( x, y , z ) = 0 , 则切向量T = { , , 若空间曲线方程为：G y G z Gz G x Gx G ( x, y, z ) = 0 曲面F ( x, y, z ) = 0上一点M ( x0 , y0 , z 0 )，则：v 1、过此点的法向量：n = {Fx ( x0 , y0 , z 0 ), Fy ( x0 , y 0 , z 0 ), Fz ( x0 , y0 , z 0 )} x x0 y y0 z z0 3、过此点的法线方程：= = Fx ( x0 , y0 , z 0 ) Fy ( x0 , y0 , z 0 ) Fz ( x0 , y0 , z 0 )方向导数与梯度：方向导数与梯度：Fy Gy2、过此点的切平面方程：Fx ( x0 , y0 , z 0 )( x x0 ) + Fy ( x0 , y0 , z 0 )( y y0 ) + Fz ( x0 , y0 , z 0 )( z z 0 ) = 0f f f 函数z = f ( x, y )在一点p ( x, y )沿任一方向l的方向导数为：= cos + sin l x y 其中为x轴到方向l的转角。