(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合4.排列数组合数的计算与证明

1．基本计数原理
⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．
⑴乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．
⑴加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．
2． 排列与组合
⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m
n 表示．
排列数公式：A (1)(2)(1)m
n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．
全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．
⑴组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取知识内容
排列数组合数的计算与证明
m 个元素的一个组合．
组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m
n 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!
m n n n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0
C 1n =）
⑴排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1．特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．
3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．
5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，
从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．
7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！
8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．
1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ⑴元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ⑴位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
⑴间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．
2．具体的解题策略有：
⑴对特殊元素进行优先安排；
⑴理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
⑴对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
⑴对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑴顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑴对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑴对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
排列数组合数的简单计算 【例1】 对于满足13n ≥的正整数n ，()()()56...12n n n ---=（ ）
A ．7
12A n - B ．75A n - C ．85A n - D ．125A n -
【例2】 计算3
7Α=______．
【例3】 计算310A ，6
6A ；
【例4】 计算27C =______，57C =_______．
【例5】 计算310C ，68C ；
【例6】 计算3
7A ，410A ，37C ，4850C ，231919C C +．
典例分析
【例7】 已知4
321140n n +=ΑΑ，求n 的值．
【例8】 解不等式2886x x A A -<
【例9】 证明：9
8789878A 9A 8A A -+=．
【例10】 解方程3
22A 100A x x =．
【例11】 解不等式288A 6A x x -<．
【例12】 解方程：3
2111C 24C x x +=
【例13】 解不等式：188C 3C m m ->．
【例14】 设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
），对于给定的n *∈N ，定义[][](1)(1)C (1)(1)x n n n n x x x x x --+=--+L L ，[)1x ∈+∞，，则当332x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数8C x 的值域是（ ） A ．16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．284,3⎛⎫ ⎪⎝⎭U [)28,56
D ．16284,,2833⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦
U
【例15】 组合数C r
n ()1n r n r >∈Z ≥，
、恒等于（ ） A ．
111C 1r n r n --++ B ．()()1111C r n n r --++ C ．11C r n nr -- D ．11C r n n r
--
【例16】 已知12222C :C :C 3:5:5m
m m n n n +++++=，求m 、n 的值．
排列数组合数公式的应用
【例17】 已知32212020212221C C C C C n
n n n ---+<<-，求21C n 的值．
【例18】 若2
6220
20C C ,()n n n ++=∈N ，则n =_______
【例19】 若11C C C 345m
m m n n n
-+=∶∶∶∶，则n m -=
【例20】 证明：1C (1)C C k k k n n
n n k k +=++
【例21】 证明：110011C C 11n
n i i n n i i i n ++===++∑∑．
【例22】 求证：11211A A (1)A m
m m n n n m -----=+- ．
【例23】 证明：102n
k n n
k kC n -==⋅∑．
【例24】 证明：1230123()2
n n n n n n n n n n C C C nC C C C ++++=+++L L ．
【例25】 求证：1121C C C C C n
n n n n n n n n m n m ++++++++++=L ；
【例26】 计算：239999C C +，012945613C C C C ++++L
【例27】 证明：011220C C C C C C C C C k k k k k m n m n m n m n n m --+++++=L ．
（其中min{}≤，k m n ）
【例28】 解方程12253333C C C 4
x x x x x x x --++++=++Α
【例29】 确定函数3
A x 的单调区间．
【例30】 规定A (1)(1)m
x x x x m =--+L ，其中x ∈R ，m 为正整数，且0A 1x =，这是排列数A m n （,n m 是正整数，且m n ≤）的一种推广．
⑴求3
15A -的值；
⑴排列数的两个性质：⑴11A A m m n n n --=，⑴11A A A m m m n n n m -++=（其中,m n 是正整数）
．是否都能推广到A m
x （x ∈R ，m 是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．。