(完整版)高中数学完整讲义——排列与组合4.排列数组合数的计算与证明
1．基本计数原理
⑴加法原理 分类计数原理：做一件事，完成它有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =+++L 种不同的方法．又称加法原理．
⑴乘法原理
分步计数原理：做一件事，完成它需要分成n 个子步骤，做第一个步骤有1m 种不同的方法，做第二个步骤有2m 种不同方法，……，做第n 个步骤有n m 种不同的方法．那么完成这件事共有12n N m m m =⨯⨯⨯L 种不同的方法．又称乘法原理．
⑴加法原理与乘法原理的综合运用
如果完成一件事的各种方法是相互独立的，那么计算完成这件事的方法数时，使用分类计数原理．如果完成一件事的各个步骤是相互联系的，即各个步骤都必须完成，这件事才告完成，那么计算完成这件事的方法数时，使用分步计数原理．
分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础，也是求解排列、组合问题的基本思想方法，这两个原理十分重要必须认真学好，并正确地灵活加以应用．
2． 排列与组合
⑴排列：一般地，从n 个不同的元素中任取()m m n ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．（其中被取的对象叫做元素）
排列数：从n 个不同的元素中取出()m m n ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号A m
n 表示．
排列数公式：A (1)(2)(1)m
n n n n n m =---+L ，m n +∈N ，，并且m n ≤．
全排列：一般地，n 个不同元素全部取出的一个排列，叫做n 个不同元素的一个全排列． n 的阶乘：正整数由1到n 的连乘积，叫作n 的阶乘，用!n 表示．规定：0!1=．
⑴组合：一般地，从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个元素中任取知识内容
排列数组合数的计算与证明
m 个元素的一个组合．
组合数：从n 个不同元素中，任意取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中，任意取出m 个元素的组合数，用符号C m
n 表示． 组合数公式：(1)(2)(1)!C !!()!
m n n n n n m n m m n m ---+==-L ，,m n +∈N ，并且m n ≤． 组合数的两个性质：性质1：C C m n m n n -=；性质2：11C C C m m m n n n -+=+．（规定0
C 1n =）
⑴排列组合综合问题
解排列组合问题，首先要用好两个计数原理和排列组合的定义，即首先弄清是分类还是分步，是排列还是组合，同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法：
1．特殊元素、特殊位置优先法
元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；
位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置；
2．分类分步法：对于较复杂的排列组合问题，常需要分类讨论或分步计算，一定要做到分类明确，层次清楚，不重不漏．
3．排除法，从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法．
4．捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列．
5．插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不相邻的元素插空．
6．插板法：n 个相同元素，分成()m m n ≤组，每组至少一个的分组问题——把n 个元素排成一排，
从1n -个空中选1m -个空，各插一个隔板，有11m n C --．
7．分组、分配法：分组问题（分成几堆，无序）．有等分、不等分、部分等分之别．一般地平均分成n 堆（组），必须除以n ！，如果有m 堆（组）元素个数相等，必须除以m ！
8．错位法：编号为1至n 的n 个小球放入编号为1到n 的n 个盒子里，每个盒子放一个小球，要求小球与盒子的编号都不同，这种排列称为错位排列，特别当2n =，3，4，5时的错位数各为1，2，9，44．关于5、6、7个元素的错位排列的计算，可以用剔除法转化为2个、3个、4个元素的错位排列的问题．
1．排列与组合应用题，主要考查有附加条件的应用问题，解决此类问题通常有三种途径： ⑴元素分析法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； ⑴位置分析法：以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；
⑴间接法：先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列数或组合数． 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题；再通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理；然后分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏；最后列出式子计算作答．
2．具体的解题策略有：
⑴对特殊元素进行优先安排；
⑴理解题意后进行合理和准确分类，分类后要验证是否不重不漏；
⑴对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排，以防出现重复；
⑴对于元素相邻的条件，采取捆绑法；对于元素间隔排列的问题，采取插空法或隔板法； ⑴顺序固定的问题用除法处理；分几排的问题可以转化为直排问题处理；
⑴对于正面考虑太复杂的问题，可以考虑反面．
⑴对于一些排列数与组合数的问题，需要构造模型．
排列数组合数的简单计算 【例1】 对于满足13n ≥的正整数n ，()()()56...12n n n ---=（ ）
A ．7
12A n - B ．75A n - C ．85A n - D ．125A n -
【例2】 计算3
7Α=______．
【例3】 计算310A ，6
6A ；
【例4】 计算27C =______，57C =_______．
【例5】 计算310C ，68C ；
【例6】 计算3
7A ，410A ，37C ，4850C ，231919C C +．
典例分析
【例7】 已知4
321140n n +=ΑΑ，求n 的值．
【例8】 解不等式2886x x A A -<
【例9】 证明：9
8789878A 9A 8A A -+=．
【例10】 解方程3
22A 100A x x =．
【例11】 解不等式288A 6A x x -<．
【例12】 解方程：3
2111C 24C x x +=
【例13】 解不等式：188C 3C m m ->．
【例14】 设[]x 表示不超过x 的最大整数（如[2]2=，514⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
），对于给定的n *∈N ，定义[][](1)(1)C (1)(1)x n n n n x x x x x --+=--+L L ，[)1x ∈+∞，，则当332x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，函数8C x 的值域是（ ） A ．16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C ．284,3⎛⎫ ⎪⎝⎭U [)28,56
D ．16284,,2833⎛⎤⎛⎤ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦
U
【例15】 组合数C r
n ()1n r n r >∈Z ≥，
、恒等于（ ） A ．
111C 1r n r n --++ B ．()()1111C r n n r --++ C ．11C r n nr -- D ．11C r n n r
--
【例16】 已知12222C :C :C 3:5:5m
m m n n n +++++=，求m 、n 的值．
排列数组合数公式的应用
【例17】 已知32212020212221C C C C C n
n n n ---+<<-，求21C n 的值．
【例18】 若2
6220
20C C ,()n n n ++=∈N ，则n =_______
【例19】 若11C C C 345m
m m n n n
-+=∶∶∶∶，则n m -=
【例20】 证明：1C (1)C C k k k n n
n n k k +=++
【例21】 证明：110011C C 11n
n i i n n i i i n ++===++∑∑．
【例22】 求证：11211A A (1)A m
m m n n n m -----=+- ．
【例23】 证明：102n
k n n
k kC n -==⋅∑．
【例24】 证明：1230123()2
n n n n n n n n n n C C C nC C C C ++++=+++L L ．
【例25】 求证：1121C C C C C n
n n n n n n n n m n m ++++++++++=L ；
【例26】 计算：239999C C +，012945613C C C C ++++L
【例27】 证明：011220C C C C C C C C C k k k k k m n m n m n m n n m --+++++=L ．
（其中min{}≤，k m n ）
【例28】 解方程12253333C C C 4
x x x x x x x --++++=++Α
【例29】 确定函数3
A x 的单调区间．
【例30】 规定A (1)(1)m
x x x x m =--+L ，其中x ∈R ，m 为正整数，且0A 1x =，这是排列数A m n （,n m 是正整数，且m n ≤）的一种推广．
⑴求3
15A -的值；
⑴排列数的两个性质：⑴11A A m m n n n --=，⑴11A A A m m m n n n m -++=（其中,m n 是正整数）
．是否都能推广到A m
x （x ∈R ，m 是正整数）的情形?若能推广，写出推广的形式并给予证明；若不能，则说明理由．。
6.2排列与组合(学生版) 讲义-2021-2022学年人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册
排列与组合一排列概念的理解1．排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．2．根据排列的定义，两个排列相同的充要条件：(1)两个排列的元素_完全相同；(2)元素的排列顺序也相同．注意点：(1)要求m≤n.(2)按照一定顺序排列，顺序不同，排列不同．二画树状图写排列利用“树状图”法解决简单排列问题的适用范围及策略(1)适用范围：“树状图”在解决排列元素个数不多的问题时，是一种比较有效的表示方式．(2)策略：在操作中先将元素按一定顺序排出，然后以先安排哪个元素为分类标准进行分类，再安排第二个元素，并按此元素分类，依次进行，直到完成一个排列，这样能做到不重不漏，然后再按树状图写出排列．三简单的排列问题要想正确地表示排列问题的排列个数，应弄清这件事中谁是分步的主体，分清m个元素和n(m≤n)个不同的位置各是什么．四排列数公式1．排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．2．排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝n！n－m！(n，m∈N*，m≤n)．3．全排列：把n个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列．正整数1到n的连乘积，叫做n的阶乘，用n！表示，于是，n个元素的全排列数公式可以写成A n n＝n(n－1)(n－2)×…×2×1＝n！.规定：0！＝1.注意点：(1)乘积是m个连续正整数的乘积；(2)第一个数最大，是A的下标n；(3)第m个数最小，是n－m＋1.五利用排列数公式化简与证明排列数公式的阶乘形式主要用于与排列数有关的证明、解方程和不等式等问题，具体应用时注意阶乘的性质，提取公因式，可以简化计算．六排列数公式的简单应用对于简单的排列问题可直接代入排列数公式，也可以用树状图法．情况较多的情形，可以进行分类后进行．七元素的“在”与“不在”问题解决排列应用题，常用的思考方法有直接法和间接法．排列问题的实质是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制条件主要表现在某元素不排在某个“位子”上或某个“位子”不排某些元素，解决该类排列问题的方法主要是按“优先”原则，即优先排特殊元素或优先满足特殊“位子”．八“相邻”与“不相邻”问题处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的原则．元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列．元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素．九定序问题在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的(不一定相邻)．解决这类问题的基本方法有两个：(1)整体法，即若有(m＋n)个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这(m＋n)个元素排成一列，有A m＋nm＋n种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有A m m种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有A m＋nm＋nA m m种满足条件的不同排法；(2)插空法，即m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中．十组合概念的理解组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．注意点：(1)组合中取出的元素没有顺序；(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．十一利用组合数公式化简、求值与证明(1)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C m n表示．(2)组合数公式：C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…n－m＋1m！或C m n＝n！m！n－m！(n，m∈N*，且m≤n)．(3)规定：C0n＝1.注意点：(1)m≤n，m，n∈N*；(2)C m n＝A m nA m m＝n n－1n－2…[n－m－1]m！常用于计算；(3)C m n＝n！m！n－m！常用于证明．(1)两个组合数公式在使用中的用途有所区别．(2)在解有关组合数的方程或不等式时，必须注意隐含条件，即C m n中的n为正整数，m为自然数，且n≥m.因此求出方程或不等式的解后，要进行检验，将不符合的解舍去．十二简单的组合问题解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于排列问题与取出的元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关．其次要注意两个基本原理的运用，即分类与分步的灵活运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．十三组合数的性质1组合数的性质1：C m n＝C n－mn.注意点：(1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想；(2)两边下标相同，上标之和等于下标．十四组合数的性质2组合数的性质2：C m n＋1＝C m n＋C m－1n.注意点：(1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数；(2)体现了“含”与“不含”的分类思想．性质2常用于有关组合数式子的化简或组合数恒等式的证明．应用时要注意公式的正用、逆＝C m n＋1－用和变形用．正用是将一个组合数拆成两个，逆用则是“合二为一”，使用变形C m－1nC m n，为某些项前后抵消提供了方便，在解题中要注意灵活应用．十五组合数在实际问题中的简单应用在求与两个基本原理的应用有关的问题时，即分类与分步的运用，在分类与分步时，一定要注意有无重复和遗漏．十六有限制条件的排列、组合问题有限制条件的抽(选)取问题，主要有两类(1)“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数．(2)“至多”“至少”问题，其解法常有两种解决思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏．十七多面手问题解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理．十八分组、分配问题角度1不同元素分组、分配问题“分组”与“分配”问题的解法(1)分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种：①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n！；②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n！；③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象．(2)分配问题属于“排列”问题，分配问题可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配．角度2相同元素分配问题反思感悟相同元素分配问题的处理策略(1)隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”．每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此法称之为隔板法．隔板法专门解决相同元素的分配问题．(2)将n个相同的元素分给m个不同的对象(n≥m)，有C m－1种方法．可描述为(n－1)个空中插n－1入(m－1)块隔板．考点一 排列的概念【例1】(2021年广东汕头)(1)下列问题是排列问题的是( )A ．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B ．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C ．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D ．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？(2)从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指数．则上述问题为排列问题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5【练1】(2020·新疆)已知2132n A =，则n =( )A ．11B ．12C ．13D ．14考点二 排列数 【例2】(2020·全国高二单元测试)对于满足13n ≥的正整数n ，(5)(6)(12)n n n --⋅⋅⋅-=( )A ．712n A -B ．75n A -C ．85n A -D ．125n A -【练2】(2020·江西九江一中)5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为( )A ．15B ．25C ．35D ．45考点三 排队问题【例3】(2021·全国高二练习)有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.【练3】(2020·江苏高二期中)由1，2，3，4，5，6组成没有重复数字且1，3不相邻的六位数的个数是( )A．36B．72C．600D．480考点四数字问题【例4】(2020·浙江省东阳中学)由0，1，2，3，4，5共6个不同数字组成的6位数，要求0不能在个位数，奇数恰好有2个相邻，则组成这样不同的6位数的个数是( )A．144B．216C．288D．432考点五组合的概念【例5】(2020·广东湛江高二单元测试)给出下列问题：①有10个车站，共需要准备多少种车票？②有10个车站，共有多少中不同的票价？③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？以上问题中，属于组合问题的是_________(填写问题序号).【练5】下列问题不是组合问题的是 ( )A ．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？B ．平面上有2015个不同的点，它们中任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？C ．集合{a 1，a 2，a 3，…，a n }的含有三个元素的子集有多少个？D ．从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？考点六 组合数【例6】(2020·陕西高二期末)若()6671*n n n C C C n +-=∈Ν，则n 等于( )A ．11B ．12C ．13D ．14【练6】(2020·山东菏泽·高二期末)已知4m ≥，3441m m m C C C +-+=( )A ．1B ．mC ．1m +D ．0考点七 组合应用 【例7】(2020·江苏金湖中学)一个口袋内有3个不同的红球，4个不同的白球(1)从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法有多少种？(2)若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取4个球，使总分不少于6分的取法有多少种？【练7】(2020·北京朝阳·高二期末)从3名男生和4名女生中各选2人组成一队参加数学建模比赛，则不同的选法种数是( )A．12B．18C．35D．36考点八全排列【例8】(2020·全国专题练习)在新冠肺炎疫情防控期间，某记者要去武汉4个方舱医院采访，则不同的采访顺序有( )A．4种B．12种C．18种D．24种【练8】(2020·中山大学附属中学高二期中)一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为( )A．4B．44C．24D．48考点九相邻问题【例9】(2021·河北张家口市)某班优秀学习小组有甲､乙､丙､丁､戊共5人，他们排成一排照相，则甲､乙二人相邻的排法种数为( )A．24B．36C．48D．60【练9】(2020·沙坪坝区·重庆八中)小涛、小江、小玉与本校的另外2名同学一同参加《中国诗词大会》的决赛，5人坐成一排，若小涛与小江、小玉都相邻，则不同坐法的总数为( )A．6B．12C．18D．24考点十 不相邻问题【例10】(2020·河北石家庄市·石家庄二中高二期中)省实验中学为预防秋季流感爆发，计划安排学生在校内进行常规体检，共有3个检查项目，需要安排在3间空教室进行检查，学校现有一排6间的空教室供选择使用，但是为了避免学生拥挤，要求作为检查项目的教室不能相邻，则共有( )种安排方式. A ．12 B ．24 C ．36 D ．48【练10】(2020·全国)六个人排队，甲乙不能排一起，丙必须排在前两位的概率为( ) A ．760B ．16C ．1360D ．14考点十一 分组分配【例11】(2020·全国)疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有( ) A ．60种 B ．90种C ．150种D ．240种【练11】(2020·全国)将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有________种不同的分法．考点十二 几何问题【例12】(2020·全国)如图，MON 的边OM 上有四点1A 、2A 、3A 、4A ，ON 上有三点1B 、2B 、3B ，则以O 、1A 、2A 、3A 、4A 、1B 、2B 、3B 中三点为顶点的三角形的个数为( )A ．30B ．42C ．54D ．56【练12】(2021·全国)直线x m =，y x =将圆面224x y +≤分成若干块，现有5种颜色给这若干块涂色，且任意两块不同色，则所有可能的涂色种数是( ) A ．20 B ．60C ．120D ．240考点十三 方程不等式问题【例13】(2020·全国)方程10x y z ++=的正整数解的个数__________.【练13】(2021·太原市)不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为( ) A ．55 B ．60C ．91D ．540考点十四 数字问题【例14】(2020·南通西藏民族中学)从1，2，3，4，5，6中任取三个不同的数相加，则不同的结果共有( ) A ．6种 B ．9种C ．10种D ．15种【练14】已知集合{}A a b c d =，，，，从集合A 中任取2个元素组成集合B ，则集合B 中含有元素b 的概率为( )A．16B．13C．12D．1课后练习1.（2021高二下·天津期中）用1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，要求偶数不能相邻，则这样的五位数有（）个A.120B.216C.222D.2522.（2021高二下·临沂期末）若A n3=8C n2，则n=（）A.4B.5C.6D.73.（2021高二下·梅州期末）在象棋比赛中，参赛的任意两位选手都比赛一场，其中胜者得2分，负者得0分，平局各得1分．现有四名学生分别统计全部选手的总得分为55分，56分，57分，58分，但其中只有一名学生的统计结果是正确的，则参赛选手共有（）A.6位B.7位C.8位D.9位4.（2021高三上·运城开学考）某市抽调5位医生分赴4所医院支援抗疫，要求每位医生只能去一所医院，每所医院至少安排一位医生.由于工作需要，甲､乙两位医生必须安排在不同的医院，则不同的安排种数是（）A.90B.216C.144D.2405.（2020高二上·昌平期末）某社区5名工作人员要到4个小区进行“爱分类”活动的宣传，要求每名工作人员只去一个小区，每个小区至少去一名工作人员，则不同的安排方法共有种.6.（2021·富平模拟）2021年是中国共产党百年华诞.某学校社团将举办庆祝中国共产党成立100周年革命歌曲展演.现从《歌唱祖国》､《英雄赞歌》､《唱支山歌给党听》､《毛主席派人来》4首独唱歌曲和《没有共产党就没有新中国》､《我和我的祖国》2首合唱歌曲中共选出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必须是合唱，则不同的安排方法共有种.7.（2021高二下·郑州期末）2021年7月1日是中国共产党成立100周年纪念日，2021年也是“十四五”开局之年，必将在中国历史上留下浓墨重彩的标注，作为当代中学生，需要发奋图强，争做四有新人，首先需要学好文化课．现将标有数字2，0，2，1，7，1的六张卡片排成一排，组成一个六位数，则共可组成个不同的六位数．8.（2021·三明模拟）设n∈N且n<5，若62021+n能被5整除，则n等于.9.（2021高二下·江苏期中）用0，1，2，3，4，5这六个数字：(最后运算结果请以数字作答)（1）能组成多少个无重复数字的四位偶数？（2）能组成多少个无重复数字且为5的倍数的四位数？（3）能组成多少个无重复数字且比1230大的四位数？)m(m∈N∗)的展开式中，第三项系数是10.（2021高二下·郑州期末）在二项式(x2+2√x．倒数第三项系数的18（1）求m的值；（2）求展开式中所有的有理项．精讲答案【例1】 【答案】(1)B(2)B【解析】(1)排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B 中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选B. (2)排列与顺序有关，故②④⑤是排列． 【练1】 【答案】B【解析】∵2132n A =，∴(1)132n n -=，整理，得，21320n n --=；解得12n =，或11n =- (不合题意，舍去)；∴n 的值为12. 故选：B. 【例2】 【答案】C【解析】根据排列数定义，要确定元素总数和选取个数，元素总数为5n -，选取个数为(5)(12)18n n ---+=，85(5)(6)(12)n n n n A ---⋅⋅⋅-=.故选：C ．【练2】 【答案】C【解析】将5人随机排成一列，共有55120A =种排列方法；当甲、乙不相邻时，先将5人中除甲、乙之外的3人排成一列，然后将甲、乙插入，故共有323461272A A =⨯=种排列方法，则5人随机排成一排，其中甲、乙不相邻的概率为7231205P ==. 故选：C. 【例3】【答案】(1)2520；(2)5040；(3)576；(4)1440；(5)3600；(6)3720.【解析】(1)从7人中选5人排列，共有57765432520A =⨯⨯⨯⨯=(种)．(2)分两步完成，先选3人站前排，有37A 种方法，余下4人站后排，有44A 种方法，按照分步乘法计数原理计算可得一共有347476543215040A A ⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(种).(3)捆绑法，将女生看成一个整体，进行全排列，有44A 种，再与3名男生进行全排列有44A 种，共有4444576A A ⨯=(种)．(4)插空法，先排女生，再在空位中插入男生，故有43451440A A ⨯=(种)． (5)先排甲，有5种方法，其余6人有66A 种排列方法，共有6653600A ⨯=(种).(6) 7名学生全排列，有77A 种方法，其中甲在最左边时，有66A 种方法，乙在最右边时，有66A 种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有55A 种方法，故共有76576523720A A A -⨯+= (种).【练3】 【答案】D【解析】根据题意将2,4,5,6进行全排列，再将1,3插空得到4245480A A ⨯=个.故选：D .【例4】 【答案】B【解析】先从3个奇数中选出2个捆绑内部全排共有236A =种排法，再把捆绑的2个奇数看成一个整体，因为这个整体与剩下的一个奇数不相邻，将2个非0偶数全排有222A =种选法， 奇数插空全排有236A =种选法，最后把0插空，0不能在两端，有3种排法，可组成这样不同的6位的个数为6263216⨯⨯⨯=种排法， 故选：B【例5】 【答案】②④【解析】①有10个车站，共需要准备多少种车票？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；②有10个车站，共有多少中不同的票价？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；③平面内有10个点，共可作出多少条不同的有向线段？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；④有10个同学，假期约定每两人通电话一次，共需通话多少次？相当于从10个不同元素任取2个并成一组，属于组合问题；⑤从10个同学中选出2名分别参加数学和物理竞赛，有多少中选派方法？相当于从10个不同元素任取2个按一定顺序排列起来，属于排列问题；以上问题中，属于排列问题的是②④. 【练5】 【答案】 D【解析】 组合问题与次序无关，排列问题与次序有关，D 项中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法，因此是排列问题，不是组合问题，选D. 【例6】 【答案】B【解析】根据题意，6671n n n C C C +-=变形可得，6671n n n C C C +=+；由组合性质可得，6771n n n C C C ++=，即6711n n C C ++=，则可得到16712n n +=+⇒=.故选：B.【练6】 【答案】D【解析】3443444411110m m m m m m m m C C C C C C C C ++++=--++-==.故选：D【例7】【答案】(1) 13；(2) 22.【解析】(1 )从中任取3个球，红球的个数不比白球少的取法：红球3个，红球2个和白球1个.当取红球3个时，取法有1种；当取红球2个和白球1个时，.取法有213412C C =种.根据分类计数原理,红球的个数不少于白球的个数的取法有11213+=种. (2 )使总分不少于6分情况有两种：红球2个和白球2个，红球3个和白球1个.第一种，红球2个和白球2个，取法有223418C C =种; 第二种，红球3个和白球1个，取法有31344C C =种,根据分类计数原理，使总分不少于6分的取法有18422+=种. 【练7】 【答案】B【解析】先从3名男生中选出2人有233C =种，再从4名女生中选出2人有246C =种，所以共有1863=⨯种，故选：B【例8】 【答案】D【解析】由题意可得不同的采访顺序有4424A =种，故选：D.【练8】 【答案】C【解析】一个市禁毒宣传讲座要到4个学校开讲，一个学校讲一次，不同的次序种数为44=432124A ⨯⨯⨯=.故选：C 【例9】 【答案】C【解析】先安排甲､乙相邻，有22A 种排法，再把甲、乙看作一个元素，与其余三个人全排列，故有排法种数为424248A A ⨯=.故选：C【练9】 【答案】B【解析】解：将小涛与小江、小玉捆绑在一起，与其他两个人全排列，其中小涛位于小江、小玉之间，按照分步乘法计算原理可得323212A A ⋅=故选：B【例10】 【答案】B【解析】6间空教室，有3个空教室不使用，故可把作为检查项目的教室插入3个不使用的教室之间，故所有不同的安排方式的总数为3424A =.故选：B.【练10】 【答案】C【解析】丙排第一，除甲乙外还有3人，共33A 种排法，此时共有4个空，插入甲乙可得24A ，此时共有3234=612=72A A ⋅⨯种可能；丙排第二，甲或乙排在第一位，此时有1424C A 排法，甲和乙不排在第一位， 则剩下3人有1人排在第一位，则有122323C A A 种排法，此时故共有1412224323+=84C A C A A 种排法. 故概率6672841360P A +==. 故选：C. 【例11】【答案】C【解析】5名专家到3个不同的区级医院，分为1，2，2和1,1,3两种情况；分为1，2，2时安排有1223542322C C C A A ;分为1，1，3时安排有1133543322C C C A A 所以一共有12211333542543332222150C C C C C C A A A A +=故选：C 【练11】 【答案】360【解析】先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有16C 种选法；再从余下的5本中选2本，有25C 种选法；最后余下3本全选，有33C 种选法．故共有12365360C C C ⋅⋅=种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有3360360A =种分配方法.故答案为: 360.【例12】 【答案】B【解析】利用间接法，先在8个点中任取3个点，再减去三点共线的情况，因此，符合条件的三角形的个数为33384542C C C --=.故选：B.【练12】 【答案】D【解析】当2m ≤-或2m ≥时，圆面224x y +≤被分成2块， 此时不同的涂色方法有5420⨯=种，当22m -<≤-或22m ≤<时，圆面224x y +≤被分成3块， 此时不同的涂色方法有54360⨯⨯=种， 当22m -<<时，圆面224x y +≤被分成4块， 此时不同的涂色方法有5432120⨯⨯⨯=种， 所有可能的涂色种数是240． 故选：D 【例13】 【答案】36【解析】问题中的x y z ､､看作是三个盒子，问题则转化为把10个球放在三个不同的盒子里，有多少种方法．将10个球排一排后，中间插入两块隔板将它们分成三堆球，使每一堆至少一个球．隔板不能相邻，也不能放在两端，只能放在中间的9个空内．∴共有2936C =种．故答案为：36 【练13】【答案】C【解析】不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数⇔将12个相同小球放入三个盒子，允许有空盒的放法种数.现在在每个盒子里各加一个相同的小球，问题等价于将15个相同小球放入三个盒子，没有空盒的放法种数，则只需在15个小球中形成的空位(不包含两端)中插入两块板即可，因此，不定方程12x y z ++=的非负整数解的个数为21491C =.故选：C.【例14】 【答案】C【解析】在这六个数字中任取三个求和，则和的最小值为1236++=，和的最大值为45615++=，所以当从1，2，3，4，5，6中任取三个数相加时，则不同结果有10种．故选：C. 【练14】 【答案】C【解析】A 中任取2个元素组成集合B ，则B 的情况有{}{}{}{}{}{}123456,,,,,,,,,,,B a b B a c B a d B b c B b d B c d ======，共6个，其中符合情况的集合为145,,B B B 共3个，故集合B 中含有元素b 的概率为3162P ==故选：C练习答案1. 【答案】 D【考点】排列、组合及简单计数问题 【解析】解：由题意知，分两种情况：①五位数是由2个偶数，3个奇数组成，共有A 33C 32A 42=216个； ②五位数是由3个偶数，2个奇数组成，共有C 32A 22A 33=36个；则这样的五位数一共有216+36=252个故答案为：D【分析】由排列与组合，结合题意，直接求解即可2.【答案】C【考点】排列及排列数公式，组合及组合数公式【解析】由题意知：n!3!=8⋅n!2!(n−2)!，即(n−2)!=24=4!，可得n−2=4，∴n=6.故答案为：C【分析】利用排列组合数计算公式，即可得出答案。
高中数学第六章计数原理6.2排列与组合6.2.36.2.4组合组合数第一课时组合与组合数公式课件新人
[学透用活] [典例 2] (1)计算：C410－C37·A33. (2)证明：①mCnm＝nCnm－－11； ②Cnm＋2＝Cnm＋2Cnm－1＋Cnm－2.
[解] (1)原式＝C410－A37 ＝140××39××28××17－7×6×5 ＝210－210＝0.
(2)证明：①mCnm＝m·m！nn！－m！ ＝m－n1·n！－n1－！m！ ＝n·m－1n！－1n！－m！＝nCmn－－11. ②∵Cnm＋2Cnm－1＋Cnm－2 ＝(Cnm＋Cnm－1)＋(Cnm－1＋Cnm－2) ＝Cnm＋1＋Cnm－＋11 ＝Cnm＋2， ∴原式成立．
[典例 3] 现有 10 名教师，其中男教师 6 名，女教师 4 名． (1)现要从中选 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？ (2)选出 2 名男教师或 2 名女教师参加会议，有多少种不同的选法？ (3)现要从中选出男、女教师各 2 名去参加会议，有多少种不同的选法？
[解] (1)从 10 名教师中选 2 名去参加会议的选法种数，就是从 10 个不同
(2)左边＝(C0n＋1＋C1n＋1)＋C2n＋2＋C3n＋3＋…＋Cmn＋－m1－1 ＝(C1n＋2＋C2n＋2)＋C3n＋3＋…＋Cmn＋－m1－1 ＝(C2n＋3＋C3n＋3)＋…＋Cmn＋－m1－1 ＝…＝Cmn＋－m2－1＋Cmn＋－m1－1 ＝Cnm＋－m1＝右边， ∴原式成立.
题型三 简单的组合应用问题 [学透用活]
(3)四个人互发一个电子邮件，共写了多少个电子邮件？ 解：(1)从集合 A 中取出两个数后，改变两个数的顺序，其和不变．因此其 和的值与元素的顺序无关，是组合问题． (2)从集合 A 中取出两个数相除，若改变其分子、分母的位置，其结果就不 同，因此其商的值与元素的顺序有关，是排列问题． (3)四人互发电子邮件，由于发信人与收信人是有区别的，与顺序有关，故
高考数学复习考点知识专题讲解课件51---排列与组合
新高考 大一轮复习 · 数学 (2)(2020·辽宁五校协作体联考)在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给 6 位“萌 娃”布置一项搜寻空投食物的任务．已知：①食物投掷地点有远、近两处；②由
于 Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪 同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两
解析：设 5 名同学也用 A，B，C，D，E 来表示，若恰有一人坐对与自己车票相 符的坐法，设 E 同学坐在自己的座位上，则其他四位都不坐自己的座位，则有 BADC，BDAC，BCDA，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共 9 种坐法，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有 9×5＝45(种)． 答案：45
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新高考 大一轮复习 · 数学 3．排列数、组合数的公式及性质
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新高考 大一轮复习 · 数学
题组一 思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列．( × ) (2)一个组合中取出的元素讲究元素的先后顺序．( × ) (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( √ ) (4)(n＋1)！－n！＝n·n！.( √ ) (5)若组合式 Cxn＝Cmn ，则 x＝m 成立．( × ) (6)kCnk＝nCkn－－11.( √ )
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新高考 大一轮复习 · 数学
6．寒假里 5 名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排 A， B，C，D，E 五个座位(一排共五个座位)，上车后五人在这五个座位上随意坐， 则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有________种．(用数字作答)
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高中数学 第一章 计数原理 1.2 排列与组合 1.2.1 排列
答案:6
12
2.排列数公式 (1)排列数公式:A������������ = (���������-������!���)!=n(n-1)(n-2)…(n-m+1),这里 n,m∈ N+,并且 m≤n. (2)一般地,n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元 素的一个全排列. A������������ =n!. (3)规定:0!=1.
12
(2)排列数公式的阶乘表示为
Amn
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n
·(n -1)·(n -2)·…·(n -m +1)·(n -m )·…·2·1 (n -m )·(n -m -1)·…·3·2·1
=(nn-m! )!,即Amn
=
n! (n -m
.
)!
在一般情况下,排列数的第一个公式Amn =n(n-1)·(n-2)…(n-m+1)
∴④式不正确.
答案:C
排列应用题的常见类型及解法有哪些? 剖析排列中具有典型意义的两类问题是“排数”问题和“排队”问 题,绝大多数排列问题都可转化为这两种形式. (1)无限制条件的排列应用题,直接利用排列数公式计算. (2)有限制条件的排列应用题,采用直接法或间接法.应注意以下 几种常见类型:
①含有特殊元素或特殊位置的,通常优先安排特殊元素或特殊位
=
������(������-1)! (������-������)!
=
������! (������-������)!
=
A������������ ,
∴②式正确;③式显然正确;
∵
A������������--11
=
(������-1)! [(������-1)-(������-1)]!
高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3
的两位数的方法．
A．①③
B．②④
C．①②
D．①②④
C [①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．]
2．若C2n＝28，则n＝( A．9 C．7
) B．8 D．6
B [C2n＝n×n2－1＝28，解得n＝8.]
3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相 等，则车票票价的种数是________．
思考2：如何理解组合与组合数这两个概念？
[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样， “组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个 不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具 体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素 a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫 一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.
1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借 助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直 观地写出组合做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐 步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交 换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层 及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
[解] (1)原式＝140××39××28××17－73× ×62× ×51·(3×2×1)＝210－210＝0.
n≥5－n， n＋1≥9－n， (2)由9－n≥0， 5－n≥0， n∈N*，
得n＝4或5.
当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5， 当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.
高中数学第一章计数原理1.2排列与组合1.2.2.1课件新人教A版选修2-3
2.针对问题1中的(2)你能否总结其特征? 提示:从5个不同元素中任取2个元素组成一组,不考虑 这两个元素的顺序.
结论:
1.组合:
一般地,从_n_个__不__同__元__素__中__取__出__m_(_m_≤__n_)_个__元__素__合成一 组,叫做从_________________________的一个组合.
而且与元素的安排顺序有关,是排列问题.排列数为
=504.
A
3 9
(2)取出3个数字之后,无论怎样改变这3个数字的顺序, 其和均不变,此问题只与取出元素有关,而与元素的安 排顺序无关,是组合问题.组合数为 =84.
(3)2名学生完成的是同一份工作,没C有39 顺序,是组合问
题.组合数为 =6.
C
2 4
C C 3n6 18
4n2 18
3n+6=18-(4n-2),
解得n=8或n=2.
而3n+6≤18且4n-2≤18,即n≤4且n∈N*, 所以n=8不符合题意,舍去,故n=2.
【补偿训练】
1.解方程:(1)
Cx1 13
C123x3.
(2)
C C x2 x3 x2 x2
110A3x3.
【解析】(1)由原方程得x+1=2x-3或x+1+2x-3=13, 所以x=4或x=5,
Cmn Cnnm.
【预习自测】
1.如果 =28,则n的值为 (
C
2 n
A.9
B.8
C.7
) D.6
【解析】选B.
=28,所以n=8或n=-7(舍).
C2n 28得nn21
2.给出下面几个问题,其中是组合问题的是 ( ) ①某班选10名同学参加计算机汉字录入比赛; ②从1,2,3,4中选出2个数,构成平面向量a的坐标; ③从1,2,3,4中选出2个数分别作为实轴长和虚轴长,构 成焦点在x轴上的双曲线的方程; ④从正方体的8个顶点中任取两点构成线段.
2020学年高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2.1组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3
◎典题试解
不等式 C2n－n<5 的解集为________． 解析 由 C2n－n<5，得n（n2－1）－n<5，∴n2－3n
－10<0.解得－2<n<5.由题设条件知 n≥2，且 n∈N*，∴ n＝2，3，4.故原不等式的解集为{2，3，4}．
答案 {2，3，4}
公 阶乘
n！
式 式 Cnm＝_m__！__（__n_－__m__）__！__
性质 Cnm＝__C_nn_－_m_，Cmn＋1＝C__nm_＋__C_nm_－_1__
备注 ①n，m∈N*，且 m≤n；②规定：C0n＝1
核心要点探究
知识点一 组合的定义
探究1：通过下列问题的探究，明确排列与组合的关 系：
现从中抽取4件检查． (1)都不是次品的取法有多少种？ (2)至少有1件次品的取法有多少种？ (3)不都是次品的取法有多少种？
【自主解答】 (1)都不是次品的取法有 C490种． (2)解法一 至少有 1 件次品的取法有 C110C390＋C210C290 ＋C310C190＋C410种． 解法二 至少有 1 件次品的取法有 C4100－C490种． (3)解法一 不都是次品的取法有 C490＋C110C390＋C210 C290＋C310C190种． 解法二 不都是次品的取法有 C4100－C410种．
②由33nn≥ ≤3n8＋－2n1， ，得129≤n≤221，所以 n＝10.
n∈N*，
n∈N*，
所
以原
式
＝
C 2380 ＋
C
30 31
＝
C
2 30
＋
C
1 31
＝
30×29 2×1
＋
31
高中数学排列与组合课件(经典)
或 A120 10 9 90
例3.(1)凸五边形有多少条对角线？ (2)凸n（ n>3）边形有多少条对角线？ 解：（1） (5 3) 5 5
2
（2） (n 3) n
2
例4、在100件产品中有98件合格品，2件次品。产品 检验时,从100件产品中任意抽出3件。 (1)一共有多少种不同的抽法? (2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种? (3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种?
m个元素的组合数，用符号 Cnm表示.
注意： Cnm 是一个数，应该把它与“组合”区别开来．
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所
有组合个数是: C32 3
如:已知4个元素a 、b 、 c 、 d ,写出每次取出两个
元素的所有组合个数是：C42 6
练一练
1.写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。
(2)甲乙、甲丙、甲丁、乙丙、乙丁、丙丁 乙甲、丙甲、丁甲、丙乙、丁乙、丁丙
例1、一位教练的足球队共有17名初级学员，按照足球 比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人。问：
（1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上 场方案？
（2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守 门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？
从7位同学中 选出3位同学 构成一个组合
剩下的4位同 对应 学构成一个组
合
从7位同学中 选出3位同学
从7位同学中 选出4位同学
的组合数
C
3 7
的组合C数74
即：C73 C74
思考二：上述情况加以推广可得组合数怎样的性质？
一般地,从n个不同元素中取出m个不同元素后,剩下n–m个元素, 因此从n个不同元素中取出m个不同元素的每一个组合,与剩下的n– m个元素的每一个组合一一对应,所以从n个不同元素中取出m个不同 元素的组合数,等于从这n个元素中取出 n-m个元素的组合数.即
第49讲-排列与组合(讲义版)
第49讲排列与组合一、考情分析1.理解排列、组合的概念；2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.二、知识梳理1.排列与组合的概念2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数.(2)从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.3.排列数、组合数的公式及性质[微点提醒]1.解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法).分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏.2.对于分配问题，一般先分组，再分配，注意平均分组与不平均分组的区别，避免重复或遗漏.三、经典例题考点一排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.(1)选5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体排成一排，女生必须站在一起；(4)全体排成一排，男生互不相邻；(5)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；(6)(一题多解)全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边.解(1)从7人中选5人排列，有A57＝7×6×5×4×3＝2 520(种).(2)分两步完成，先选3人站前排，有A37种方法，余下4人站后排，有A44种方法，共有A37·A44＝5 040(种).(3)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A44种方法，再将女生全排列，有A44种方法，共有A44·A44＝576(种).(4)(插空法)先排女生，有A44种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A35种方法，共有A44·A35＝1 440(种).(5)法一(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A66种排列方法，共有5×A66＝3 600(种).法二(特殊位置优先法)左右两边位置可安排另6人中的两人，有A26种排法，其他有A55种排法，共有A26A55＝3 600(种).(6)法一(特殊元素优先法)甲在最右边时，其他的可全排，有A66种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有A15种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有A15种，其余人全排列，只有A55种不同排法，共有A66＋A15A15A55＝3 720.法二(间接法)7名学生全排列，只有A77种方法，其中甲在最左边时，有A66种方法，乙在最右边时，有A66种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有A55种方法，故共有A77－2A66＋A55＝3 720(种).规律方法排列应用问题的分类与解法(1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法.(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有限制条件的排列问题的常用方法.考点二组合问题【例2】某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货.现从35种商品中选取3种.(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C234＝561(种)，∴某一种假货必须在内的不同取法有561种.(2)从34种可选商品中，选取3种，有C334种或者C335－C234＝C334＝5 984(种).∴某一种假货不能在内的不同取法有5 984种.(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有C120C215＝2 100(种).∴恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种.(4)选取2种假货有C120C215种，选取3种假货有C315种，共有选取方式C120C215＋C315＝2 100＋455＝2 555(种).∴至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种.(5)选取3种的总数为C335，选取3种假货有C315种，因此共有选取方式C335－C315＝6 545－455＝6 090(种).∴至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.规律方法组合问题常有以下两类题型变化：(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取.(2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.考点三 分组、分配问题【例3】 (1)国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教，现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有________种不同的分派方法.(2)某学校派出5名优秀教师去边远地区的三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有( )A.80种B.90种C.120种D.150种(3)A ，B ，C ，D ，E ，F 六人围坐在一张圆桌上开会，A 是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的坐法有( )A.24种B.30种C.48种D.60种解析 (1)先把6个毕业生平均分成3组，有C 26C 24C 22A 33种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A 33＝6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有C 26C 24C 22A 33·A 33＝90种分派方法. (2)分两类：一类，第一步将5名老师按2，2，1分成3组，其分法有C 25C 23C 11A 22种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C 25C 23C 11A 22·A 33＝90种分派方法； 另一类，第一步将5名老师按3，1，1分成3组，其分法有C 35C 12C 11A 22种，第二步将分好的3组分派到3个学校，则有C 35C 12C 11A 22A 33＝60种分派方法. 所以不同的分派方法的种数为90＋60＝150(种).(3)B ，C 二人必须坐相邻的两把椅子，有4种情况，B ，C 可以交换位置，有A 22＝2种情况；其余三人坐剩余的三把椅子，有A 33＝6种情况，故共有4×2×6＝48种情况.答案 (1)90 (2)D (3)C规律方法 1.对于整体均分问题，往往是先分组再排列，在解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A n n (n 为均分的组数)，避免重复计数.2.对于部分均分问题，解题时要注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m 组元素个数相等，则分组时应除以m ！.3.对于不等分问题，首先要对分配数量的可能情形进行一一列举，然后再对每一种情形分类讨论.在每一类的计数中，又要考虑是分步计数还是分类计数，是排列问题还是组合问题.[方法技巧]1.对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑(1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数.2.排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题倍除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件.四、课时作业1．（2020·永安市第一中学高三开学考试）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期日各有1人参加，则不同的选派方法共有（）A．40种B．60种C．100种D．120种2．（2019·湖北武汉·高三其他（文））用0，l，2，3，4可以组成数字不重复的两位数的个数为（）A．15B．16C．17D．183．（2020·重庆市万州第二高级中学高二开学考试）将5封信投入3个邮筒，不同的投法有（）A．35种B．53种C．3种D．15种4．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三二模（理））为了落实“精准扶贫”工作，县政府分派5名干部到3个贫困村开展工作，每个贫困村至少安排一名干部，则分配方案的种数有（）A．540 B．240 C．150 D．1205．（2020·江苏宿迁·高二期中）把4本不同的书分给3名同学，每个同学至少一本，则不同的分发数为（）A．12种B．18种C．24种D．36种6．（2020·武威第六中学高二期末（理））某天的值日工作由4名同学负责，且其中1人负责清理讲台，另1人负责扫地，其余2人负责拖地，则不同的分工共有（）A．6种B．12种C．18种D．24种7．（2020·岑溪市第一中学高二月考）我国古代有着辉煌的数学研究成果，《周牌算经》《九章算术》《海岛算经》《孙子算经》《缉古算经》等5部专著是产生于魏晋南北朝时期的重要数学文献，某中学拟从这5部专著中分成两组（一组2部，一组3部）作为“数学文化”课外阅读教材，则所选专著中《九章算术》《海岛算经》恰好在同一组的概率为（）A．15B．25C．35D．1108．（2020·湖北云梦·高二月考）从某学习小组的4名男生和4名女生中任意选取3名学生进行体能检测，其中至少要选到男生与女生各一名，则不同的选取种数为（）．A．96 B．48 C．72 D．369．（2020·湖北武汉·高二期中）从2，4中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A．6 B．12 C．18 D．2410．（2020·湖南雁峰·衡阳市八中高二月考）现有7件互不相同的产品，其中有4件正品，3件次品，每次从中任取一件测试，直到3件次品全被测出为止，则第三件次品恰好在第4次被测出的所有检测方法有（）种. A．1080B．72C．432D．86411．（2020·四川成都·月考（理））美国在今年对华为实行了禁令，为了突围实现技术自主，华为某分公司抽调了含甲､乙的5个工程师到华为总部的4个不同的技术部门参与研发，要求每个工程师只能去一个部门，每个部门至少去一个工程师，且甲乙两人不能去同一个部门，则不同的安排方式一共有（）种A．96 B．120 C．180 D．21612．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高三月考（理））甲、乙、丙、丁四个人去旅游，可供选择的景点有3个，每人只能选择一个景点且甲、乙不能同去一个景点，则不同的选择方案的种数是（）A．54B．36C．27D．2413．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））将9个相同的小球放入3个不同的盒子，要求每个盒子中至少有一个小球，且每个盒子里的小球个数都不相同，则不同的放法有A．15种B．18种C．19种D．21种14．（2020·黑龙江萨尔图·大庆实验中学高三月考（理））若把单词“error"的字母顺序写错了，则可能出现的错误写法的种数为（）A．17 B．18 C．19 D．2015．（2020·江苏徐州·高三月考）某大学4名大学生利用假期到3个山村参加基层扶贫工作，每名大学生只去1个山村，每个山村至少有1人去，则不同的分配方案共有（）A．6种B．24种C．36种D．72种16．（2020·北京高二期末）从4个人中任选3个人分别去完成3项不同的工作，则不同的安排方法有（）A．12种B．24种C．36种D．64种17．（2020·北海市教育教学研究室高二期末（理））若将牡丹、玫瑰、月季、山茶、芙蓉、郁金香6盆鲜花放入3个不同的房间中，每个房间放2盆花，其中牡丹、郁金香必须放入同一房间，则不同的放法共有（）A．12种B．18种C．36种D．54种18．（2020·江苏省溧阳中学高三开学考试）6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有（）A．120种B．90种C．60种D．30种19．（2020·甘肃省会宁县第二中学高二期中（理））把3盆不同的兰花和4盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的1，2，3，4，5，6，7所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（）A．2680种B．4320种C．4920种D．5140种20．（2020·全国高二单元测试）有5名优秀毕业生到母校的3个班去作学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为（）A．150B．180C．200D．28021．（2020·天津滨海新·高三其他）世界第三届无人驾驶智能大赛在天津召开，现在要从小张、小赵、小李、小罗、小王五名志愿者中选派四人分别从事翻译、安保、礼仪、服务四项不同工作，若小张和小赵只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有______种.22．（2020·浙江高三其他）已知,A B两个小孩和甲、乙、丙三个大人排队，A不排两端，3个大人有且只有两个相邻，则不同的排法种数有．23．（2020·河北高三月考）2020年是我国脱贫攻坚决战决胜之年，某县农业局为支持该县的扶贫工作，决定派出8名农技人员（5男3女），并分成两组，分配到2个贫困村进行扶贫工作，若每组至少3人，且每组都有男农技人员，则不同的分配方案共有______种（用数字填写答案）．24．（2020·山西高三月考（理））某学校组织劳动实习，其中两名男生和两名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主人与四名同学站一排合影留念.已知农场主人站在中间，两名男生不相邻，则不同的站法共有______种.25．（2019·河南中牟·高二期中（理））有甲、乙、丙三项任务，甲、乙各需1人承担，丙需2人承担且至少1人是男生．现从3男3女共6名学生中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是__________．（用具体数字作答）26．（2019·浙江省杭州第二中学高三一模）10次投篮中，投中5次，其中恰有一个2连中和一个3连中的情形有_________种(用数字作答).27．（2020·越秀·广东实验中学高三月考）大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的8个专业中，选择3个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则该考生有____种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．28．（2020·上海市七宝中学高三月考）我校5位同学报考了北京大学“强基计划”第I专业组，并顺利通过各项考核，已知5位同学将根据综合成绩和志愿顺序随机地进入教学类､物理学类､力学类这三个专业中的某一个专业，则这三个专业都有我校学生的概率是__________(结果用最简分数表示).29．（2020·四川省新津中学高三开学考试（理））学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有_________种．30．（2020·重庆市第七中学校高二月考）从红、黄、蓝、黑四种颜色中选出3种颜色，给如图所示的六个相连的圆涂色，若每种颜色只能涂两个圆，且相邻两个圆所涂颜色不能相同，则不同的涂色方案的种数是________.。
6.2排列与组合-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册同步讲义
6.2 排列与组合 一、排列1、排列数从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的所有___排列_____的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数 用符号表示为：A m n2、排列相同的条件两个排列相同，当且仅当两个排列的元素__完全相同______，且元素的___排列顺序_____也相同．3、排列数的公式：)())((121+---=m n n n n A m n ，其中*,N n m ∈且n m ≤4、把n 个不同的元素全部取出的一个排列，叫做n 个元素的一个全排列，即：12321⨯⨯⨯⨯--= ))((n n n A n n也就是说，将n 个不同的元素全部取出的排列数，等于正整数1到n 的连乘积，叫做n 的阶乘，用!n 表示，即!n A n n =。
规定：10=!5、排列数公式也可以写成：)!(!m n n A m n -=，其中*,N n m ∈且n m ≤ 二、组合1、组合：从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素作为一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合2、组合数：从n 个不同元素中取出m (m ≤n )个元素的__所有组合______的个数，叫作从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号表示为：m n C3、组合数公式：)!(!!!)())((m n m n m m n n n n A A C m m m n mn -=+---==121 ，其中*,N n m ∈且n m ≤ 规定：10=n C4、组合数的性质：（1）m n n m n C C -=；（2）11-++=m nm n m n C C C题型一 排列概念例1 判断下列问题是否为排列问题．(1)北京、上海、天津三个民航站之间的直达航线的飞机票的价格(假设来回的票价相同)；(2)选2个小组分别去植树和种菜；(3)选2个小组去种菜；(4)选10人组成一个学习小组；(5)选3个人分别担任班长、学习委员、生活委员；(6)某班40名学生在假期相互通信．知识梳理知识典例问题，否则就不是排列问题．【自主解答】 (1)中票价只有三种，虽然机票是不同的，但票价是一样的，不存在顺序问题，所以不是排列问题．(2)植树和种菜是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(3)(4)不存在顺序问题，不属于排列问题．(5)中每个人的职务不同，例如甲当班长或当学习委员是不同的，存在顺序问题，属于排列问题．(6)A 给B 写信与B 给A 写信是不同的，所以存在着顺序问题，属于排列问题．所以在上述各题中(2)(5)(6)属于排列问题．写出下列问题的所有排列．(1)从1,2,3,4四个数字中任取两个数字组成两位数，共有多少个不同的两位数？(2)写出从4个元素a ，b ，c ，d 中任取3个元素的所有排列．【精彩点拨】 (1)直接列举数字．(2)先画树形图，再结合树形图写出．【自主解答】 (1)所有两位数是12,21,13,31,14,41,23,32,24,42,34,43，共有12个不同的两位数．(2)由题意作树形图，如图．故所有的排列为：abc ，abd ，acb ，acd ，adb ，adc ，bac ，bad ，bca ，bcd ，bda ，bdc ，cab ，cad ，cba ，cbd ，cda ，cdb ，dab ，dac ，dba ，dbc ，dca ，dcb ，共有24个题型二 排列公式计算例 2 (1)计算：A 59＋A 49A 610－A 510；(2)证明：A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n . 【精彩点拨】 第(1)题可直接运用排列数公式，也可采用阶乘式；第(2)题首先分析各项的关系，利用A m n ＝n ！(n －m )！进行变形推导．【自主解答】 (1)法一：A 59＋A 49A 610－A 510＝5A 49＋A 4950A 49－10A 49＝5＋150－10＝320. 法二：A 59＋A 49A 610－A 510＝9！4！＋9！5！10！4！－10！5！＝5×9！＋9！5×10！－10！＝6×9！4×10！＝320. (2)∵A m n ＋1－A m n ＝(n ＋1)！(n ＋1－m )！－n ！(n －m )！＝n ！(n －m )！·⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＋1－m －1 巩固练习＝m ·n ！(n ＋1－m )！ ＝m A m －1n， ∴A m n ＋1－A m n ＝m A m －1n . 给出下列四个关系式：①(1)!!1n n n +=+ ②11m m n n A nA --= ③!()!m n n A n m =- ④11(1)!()!m n n A m n ---=- 其中正确的个数为（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【分析】①根据阶乘公式判断.②根据排列数公式判断③根据排列数公式判断.④根据排列数公式判断.【详解】①因为()()()()(1)!1121,!1221n n n n n n n n +=+⋅⋅-⋅⋅⋅⋅=⋅--⋅⋅⋅⋅，故正确.②()111!!,()!()!m m n n n n n A nA n m n m --=-==--，故正确. ③!()!m n n A n m =-，正确. ④因为!()!m n n A n m =-，所以11(1)!()!m n n A n m ---=-，故不正确. 故选：C 题型三 组合例 3 判断下列各事件是排列问题还是组合问题．(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？【精彩点拨】 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．【自主解答】 (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．巩固练习甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛（1）列出所有各场比赛的双方（2）列出所有冠、亚军的可能情况 解答 解：（1）甲、乙、丙、丁4个足球队举行单循环赛，分别为（甲乙），（甲丙），（甲丁），（乙丙），（乙丁），（丙丁），（2）所有冠亚军的可能有12种，分别为（甲乙丙丁），（甲丙乙丁），（甲丁乙丙），（乙甲丙丁），（乙丙甲丁），（乙丁甲丙），（丙甲乙丁），（丙乙甲丁），（丙丁甲乙），（丁甲乙丙），（丁乙甲丙），（丁丙甲乙）题型四 组合公式计算例 4 (1)式子n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！可表示为( ) A ．A 100n ＋100B ．C 100n ＋100 C ．101C 100n ＋100D ．101C 101n ＋100(2)求值：C 5－n n ＋C 9－n n ＋1. 【精彩点拨】 根据题目的特点，选择适当的组合数公式进行求值或证明．【自主解答】 (1)分式的分母是100！，分子是101个连续自然数的乘积，最大的为n ＋100，最小的为n ， 故n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)100！＝101·n (n ＋1)(n ＋2)…(n ＋100)101！＝101C 101n ＋100. 【答案】 D(2)由组合数定义知：所以4≤n ≤5，又因为n ∈N ＋，所以n ＝4或5.当n ＝4时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 14＋C 55＝5；当n ＝5时，C 5－n n ＋C 9－n n ＋1＝C 05＋C 46＝16.（多选）下列等式中，成立的有（ ）巩固练习 巩固练习A ．!!m n n A m =B ．11m m m n n nC C C -++=C ．m n m n nC C -=D ．11m m n n A nA --= 【答案】BCD【分析】根据排列数公式和组合数性质判断．【详解】!(1)(1)()!m n n A n n n m n m =--+=-，A 错； 根据组合数性质知,B C 正确；11!(1)!()![(1)(1)]!m m n n n n n A nA n m n m --⋅-===----，D 正确． 故选：BCD ．题型五 排列式应用例 5 5名同学合影，其中3位男生，2位女生，站成了一排，要求3位男生不相邻的排法有（ ）A ．12种B ．10种C ．15种D ．9种【答案】A【分析】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法以及排列式即可求解.【详解】首先排女生，再排男生，然后再根据插空法可得：23232132112A A ⋅=⨯⨯⨯⨯=. 故选：A把1､2､3､4､5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排成一个数列.（1）45312是这个数列的第几项？（2）这个数列的第71项是多少？（3）求这个数列的各项和.【答案】（1）第95项；（2）第71项是3开头的五位数中第二大的数；（3）3999960.【分析】巩固练习出不大于45312的数的个数，进而可到结果；（2）分别求出1开头的五位数，2开头的五位数，3开头的五位数，对应的个数总和为72，进而可得出结果； （3）根据个位，十位，百位，千位，万位上的数字的取值情况，分组求和，即可得出结果.【详解】（1）先考虑大于45312的数，分为以下两类：第一类5开头的五位数有：4424A =第二类4开头的五位数有：45321一个∴不大于45312的数有：5454112024195A A --=--=(个) 即45312是该数列中第95项.（2）1开头的五位数有：4424A =2开头的五位数有：4424A =3开头的五位数有：4424A =共有24372⨯=(个).所以第71项是3开头的五位数中第二大的数，即35412.（3）因为1，2，3，4，5各在万位上时都有4424A =个五位数，所以万位数上的数字之和为454(12345)10A ++++⋅⋅同理，它们在千位，百位，十位，个位上也都有4424A =个五位数，所以这个数列的各项和为()4432104(12345)1010101010A ++++⋅⋅++++1524111113999960=⨯⨯=. 题型六 组合式应用例 6 从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，则不同的选取方法种数为__________(用数字作答). 【答案】45【分析】根据题意分为两类：2男1女和1男2女，结合分类计数原理和组合数的计算公式，即可求解.【详解】由题意，从3名男医生和5名女医生中，选派3人组成医疗小分队，要求男､女医生都有，可分为两类：第一类，若2男1女，共有213515C C =种不同的选取方法；第二类，若1男2女，共有123530C C =种不同的选取方法，由分类计数原理，可得不同的选取方法种数为153045+=种.故答案为：45.从进入决赛的9名选手中决出2名一等奖，3名二等奖，4名三等奖，则可能的决赛结果共有________种.（用数字作答）【答案】1260【分析】根据分步计数原理计算可得答案.【详解】 第一步，决出三等奖，有4998761264321C ⨯⨯⨯==⨯⨯⨯种； 第二步，决出二等奖，有3510C =种； 第三步，决出一等奖，有221C =种，根据分步计数原理可得，共有1261011260⨯⨯=种.故答案为：1260 1、若3254n A C =，则n =（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】B【分析】根据排列数与组合数公式列方程计算即可.【详解】解：由3254n A C =得：()154342n n -⨯⨯=⨯，解得：6n =或5n =-（舍去）. 故选：B.2、下列等式不正确的是（ ）A ．111m m n n m C C n ++=+B ．12111m m m n n n A A n A +-+--=C ．11m m n n A nA --=D ．1k k k n n nnC C kC +=+ 巩固练习 巩固提升【分析】根据排列组合数公式依次对选项，整理变形，分析可得答案．【详解】A ，根据组合数公式，11!1(1)!1!()!1(1)!()!1mm n n n m n m C m n m n m n m n +++++==⨯=⨯-++-+，A 不正确； B ，()()()()()()()()()()1211121121121m m n n n n n n n m n n n n m n n n n A m A +++---+----+==----+，()()()2121111m n n n A n n n m --=---+故12111m m m n n n A A n A +-+--= B 正确；C ，()()()11121m m n n n n n n m nA A --=---+=故 C 正确；D ，()()()()()()()11111k k k k nn n n n k n k n n n k n n n k n k nC kC C C +-=-=---+=--+-=故 D 正确； 故选：A ．3、若22242n C A =，则!3!(4)!n n -的值为（ ） A ．60B ．70C ．120D ．140 【答案】D【分析】 先由22242n C A =可求出n ，再代入式子即可求出.【详解】 ()22212422n n n C A -=⨯=，解得7n =或6-（舍去）， !7!76543211403!(4)!3!3!321321n n ⨯⨯⨯⨯⨯⨯∴===-⨯⨯⨯⨯⨯. 故选：D.4、某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，则不同选法种数是（ ）A ．10B ．30C ．60D ．125【答案】C【分析】先从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，再根据学科的不同排列求解.【详解】根据题意，某校从5名同学中选择3人分别参加数学、物理、化学竞赛，选出的3人有顺序的区别，则有3560A =种选法；5、某小组共有5名男同学，4名女同学.现从该小组中选出3名同学分别到A ，B ，C 三地进行社会调查，每地1名，若选出的同学中男女均有，则不同的安排方法有（ ）A ．70种B ．140种C ．840种D ．420种【答案】D【分析】先按“男1女2”或“男2女1”选出3名同学，再排到三个地方，由此计算出不同的方法数.【详解】如果按“男1女2”选出3名同学，则方法数有1254C C 30=种，如果按“男2女1”选出3名同学，则方法数有215440C C =种，再将选出的3名同学安排到3个地方，则总的方法数有()333040420A +⨯=种. 故选：D6、三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有( )A ．72种B ．108种C ．36种D ．144种 【答案】D【分析】根据题意，利用捆绑法和插空法，再利用分布乘法原理，即可求出结果．【详解】解：先将男生甲与男生乙“捆绑”，有22A 种方法，再与另一个男生排列，则有22A 种方法，三名女生任选两名“捆绑”，有23A 种方法，再将两组女生插空，插入男生3个空位中，则有23A 种方法，利用分步乘法原理，共有22222233144A A A A =种. 故选：D ．7、以长方体1111ABCD A BC D -的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情兄有（ ）种A ．1480B ．1468C ．1516D ．1492【答案】B【分析】 根据平行六面体的几何特征，可以求出以平行六面体1111ABCD A BC D -的任意三个顶点为顶点作三角形的总个数，及从中随机取出2个三角形的情况总数，再求出这两个三角形共面的情况数，即可得到这两个三角形不共面的情况数，即可得到答案．【详解】因为平行六面体1111ABCD A BC D -的8个顶点任意三个均不共线，故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有38=56C 个三角形，从中任选两个，共有2561540C =种情况，因为平行六面体有六个面,六个对角面，从8个顶点中4点共面共有12种情况，每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形，故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540-12×6=1468种，故选：B.8、5个男同学和4个女同学站成一排（1）4个女同学必须站在一起，有多少种不同的排法？（2）任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？（3）其中甲、乙两同学之间必须有3人，有多少种不同的排法？（4）男生和女生相间排列方法有多少种？【答案】（1）17280；（2）43200；（3）302400；（4）2880.【分析】（1）捆绑法求解即可；（3）特殊位置法求解即可；（4）插空法求解即可.【详解】（1）4个女同学必须站在一起，则视4位女生为以整体，可得排法为646417280A A =；（2）先排5个男同学，再插入女同学即可，所以排法为：545643200A A =；（3）根据题意可得排法为：33257325302400C A A A =； （4）5个男生中间有4个空，插入女生即可，故有排法54542880A A =.9、现有5本书和3位同学，将书全部分给这三位同学.（1）若5本书完全相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？（2）若5本书都不相同，共有多少种分法？（3）若5本书都不相同，每个同学至少有一本书，共有多少种分法？【答案】（1）6种；（2）243种；（3）150种.【分析】（1）用挡板法求解；（2）每本书都有三种分配方法，求幂便可得到答案；（3）用分组分配问题的求解方法求解，①将5本书分成3组，②将分好的三组全排列，对应3名学生，由分步计数原理计算可得答案.【详解】解：（1）根据题意，若5本书完全相同，将5本书排成一排，中间有4个空位可用，在4个空位中任选2个，插入挡板，有246C =种情况， 即有6种不同的分法；（2）根据题意，若5本书都不相同，每本书可以分给3人中任意1人，都有3种分法，则5本不同的书有5333333243⨯⨯⨯⨯==种；（3）根据题意，分2步进行分析：①将5本书分成3组，若分成1、1、3的三组，有31522210C C A =种分组方法，若分成1、2、2的三组，有1225422215C C CA=种分组方法，则有101525+=种分组方法；②将分好的三组全排列，对应3名学生，有336A=种情况，则有256150⨯=种分法.10、现有编号为A，B，C，D，E，F，G的7个不同的小球．（1）若将这些小球排成一排，且要求A，B，C三个球相邻，则有多少种不同的排法？（2）若将这些小球排成一排，要求A球排在中间，且B，C，D各不相邻，则有多少种不同的排法？（3）若将这些小球排成一排，要求A，B，C，D四个球按从左到右排（可以相邻也可以不相邻），则有多少种不同的排法？（4）若将这些小球放入甲，乙，丙三个不同的盒子，每个盒子至少一个球，至多3个球，则有多少种不同的放法？【答案】（1）720；（2）216；（3）210；（4）1050.【分析】（1）把A，B，C三个球看成一个整体，利用捆绑法可求所有的排法总数；（2）先排好A，再就B，C，D中哪些在A的左侧，哪些在A的右侧分类讨论后可求不同的排法总数；（3）从7个位置中选出4个位置给A，B，C，D，再排余下元素，从而可得不同的排法总数；（4）三个盒子所放的球数分别为1,3,3或2,2,3，就两类情形分别计数后可得不同的排法总数.【详解】（1）把A，B，C三个球看成一个整体，则不同的排法总数为3535720A A=种. （2）A在正中间，所以A的排法只有1种，因为B，C，D互不相邻，故B，C，D三个球不可能在同在A的左侧或右侧，若B，C，D有1个在A的左侧，2个在A的右侧，则不同的排法有22133233108C A C A=，同理可得若B，C，D有2个在A的左侧，2个在A的右侧，不同的排法有22133233108C A C A=，故所求的不同排法总数为1216216⨯=种.（3）从7个位置中选出4个位置给A，B，C，D，且A，B，C，D四个球按从左到右排，共有排法47C种，再排余下元素，共有33A种，故不同排法总数为4373356210C A=⨯=种. （4）三个盒子所放的球数分别为1,3,3或2,2,3，若三个盒子所放的球数分别为1,3,3，则不同排法共有331126373222420C CC C AA⨯=，若三个盒子所放的球数分别为2,2,3，则不同排法共有223124273222630C CC C AA⨯=，故不同的排法总数为1050.。