中考数学复习《圆的基本性质》PPT课件
4.如图所示，弦AB的长等于⊙O的半径，点C在AmB上, 则∠C= 。 30°
探究案
【例 1 】在直径为 400mm 的圆柱形油槽内，装入一部分
油，油面宽320mm，求油的深度.
【解析】本题是以垂径定理为考查点的几何应用题，没 有给出图形，直径长是已知的，油面宽可理解为截面圆 的弦长，也是已知的，但由于圆的对称性，弦的位置有 两种不同的情况，如图(1)和(2) 图(1)中 OC= OB2 BC2 2002 1602 =120(mm) ∴CD=80(mm) 图(2)中OC=120(mm) ∴CD=OC+OD=320(mm)
练习案
2.如图所示，已知RtΔ ABC中， ∠C=90°,AC= 2 ,BC=1,若以C为圆心，CB为半径的 3 。 圆交AB于P，则AP＝
3
练习案
3.半径为1的圆中有一条弦，如果它的长为 3 ，那么 这条弦所对的圆周角为 ( D ) A.60° B.120° C.45° D.60°或120°
弦心 距
半径
C 半弦长 B
考点聚焦 3.圆的旋转不变性
等对等定理 （圆心角、弧、弦、弦心距 ）
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相 等，所 对的弦相等. 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
如图,在同圆中,OC⊥AB于C,OC`⊥A`B`于C` 。
∵ ， ∴ AB = A`B` （填写一个条件．你有几种填法？你的根据是什么？）
A
在同圆或等圆中：
如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。
C O B C' B'
A'
考点聚焦
4.圆周角与圆心角的关系
圆周角定理： 一条弧所对圆周角等于它所对的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等。（同圆或等圆 中，相等的圆周角所对的弧也相等） 推论2：直径(或半圆)所对的圆周角是直角；90°的圆 周角所对的弦是直径.
1.常利用弦心距，弦的一半及半径构成直角三角形. 2.遇直径条件时，常构造直径所对的圆周角，得到90° 的角. 3. 学生归纳（ ？？？）
练习案
1.如图，设⊙O的半径为r，弦AB的长为a，弦心距 OD=d且OC⊥AB于D，弓形高CD为h，下面的说法或等式： ①r=d+h ②4r2=4d2+a2 ③已知：r、a、d、h中的任两个可求其他两个， 其中正确的结论的序号是( C ) A.① C.①②③ B.①② D.②③
预习案
2.如图所示，是中国共产主义青年团团旗上的图案， 点 A 、 B 、 C 、D 、E 五 等 分 圆 ， 则 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数是 ( A ) A.180° B.150° C.135° D.120°
3.下列说法中，正确的是 ( C ) A.到圆心的距离大于半径的点在圆内 B.圆周角等于圆心角的一半 C.等弧所对的圆心角相等 D.三点确定一个圆
谈一谈
反 思 是 进 步 的 阶 梯
我的收获……
我的疑惑……
作业布置：
面对面p94《基础达标训练》
梳理第二节《位置关系》知识框架
欢迎指导，谢谢!
本节复习的内容，中考一般以选择、填空题型出 现，题目都较为简单。但在有些解答题的证明或求解 过程中，有时也会涉及到部分知识的应用。近几年陕 西中考对圆的有关性质几乎每年都在考查。
预习案
1.若AB分圆为1∶5两部分，则劣孤AB所对的圆周角为 A.30° C.60° B.150° D.120°
（A）
2.圆的轴D于E
E B C
CE=DE AC=AD CB=DB
A
推论:
C
平分弦 （不是直径） 的直径 垂直于弦，并且平分弦所对的两 条弧；
如图,已知⊙O的半径OA长为5, 弦AB的长8,OC⊥ AB于C,则OC AC=BC 3 的长为 _______. O A
C
如图： ° ⑴ 如果∠AOB=100°，则∠C= 50。 圆周角定理 一条弧所对的圆周角等 于它所对的圆心角的一 半。
O B A
⑵ 当∠C= 90° 时，A、O、B三点在同一直线上。
C O
推论：半圆（或直径） 所对的圆周角是直角； 90°的圆周角所对弦是 直径。
A
B
考点聚焦
5.中考命题分析：
欢迎您,各位老师!
旬邑县张洪镇原底初级中学
李建成
第一节 圆的基本 性质
考点聚焦 题型解析 课时训练
考点聚焦
1.与圆有关的概念
(1)弦：连结圆上任意两点的线段. (2)直径：经过圆心的弦. (3)弧：圆上任意两点之间的部分. (优弧、劣弧、半圆.） (4)等弧：在同圆或等圆中，能够完全重合的弧. (5)圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交. (6)圆周角：顶点在圆上，角的两边与圆相交.
探究案
【例 2】如图， O 是∠ CAE 平分线上的一点，以点 O 为 圆心的圆和∠CAE的两边分别交于点B、C和D、E，连 结BD、CE.
求证： (1)BC=DE (2)AC=AE
【解析】 (1)要证弧相等，即要证弦相等或弦心距离相等， 又已知OA是∠CAE的平分线，联想到角平分线性质， 故过O分别作OG⊥AC于G， OH⊥AE于H， ∴OG=OH ∴BC=DE (2)由垂径定理知：BC=DE，G、H分别是BC、DE的中点. 再由△AOG≌△AOH AG=AH AB=AD AC=AE.
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第1部分第6章第1节圆的基本性质PPT课件
圆周角定理及其推论(必考) 4．(2019 安徽，13，5 分)如图，△ABC 内接于⊙O，∠CAB＝30 °，∠CBA＝45°，CD⊥AB 于点 D.若⊙O 的半径为 2，则 CD 的长 为 2．
【解析】本题考查圆周角定理和三角函数等，体现了逻辑推理和 数学运算的核心素养．如图，连接 OB，OC，则∠BOC＝2∠A＝60°. 又∵OB＝OC，∴△BOC 是等边三角形，∴BC＝OB＝2.又∵∠CDB ＝90°，∠CBD＝45°，CD＝BC·sin45°＝2× 22＝ 2.
弦心距，另一条直线是弦的一半．如图，设圆的半径为 r、弦长为 a、 弦心距为 d，弓形高为 h，则a22＋d2＝r2，h＝r－d，这两个等式是关于 四个量 r，a，d，h 的一个方程组，只要已知其中任意两个量即可求出 其余两个量．
(2019·保定一模)小帅家的新房子刚装修完，便遇到罕见 的大雨，于是他向爸爸提议给窗户安上遮雨罩．如图 1 所示的是他了 解的一款遮雨罩，它的侧面如图 2 所示，其中顶部圆弧 AB 的圆心 O1 在竖直边缘 AD 上，另一条圆弧 BC 的圆心 O2 在水平边缘 DC 的延长 线上，其圆心角为 90°，BE⊥AD 于点 E，则根据所标示的尺寸(单位： cm)可求出弧 AB 所在圆的半径 AO1 的长度为 61 cm.
2．圆内接四边形的任意一个角的外角等于它的⑳____内__对__角____， 如图，∠DCE＝∠A.
利用垂径定理解决问题 圆中与弦有关的计算可通过连接半径和圆心到 弦中点的垂线段，把问题转化为解直角三角形的问 题来解决，垂径定理和勾股定理“形影不离”，常 结合起来使用．一般地，求解时将已知条件集中在 一个直角三角形中，这个直角三角形的斜边是圆的半径，一条直角边是
1．垂径定理：垂直于弦的直径⑦_平__分___这条弦，并且平分弦所对 的两条弧．
中考数学总复习 第七章 圆 第1节 圆的基本性质数学课件
12/14/2021 ◆教材回顾 ◆突破考点（ 考点一 考点二 ）
12/14/2021 ◆教材回顾 ◆突破考点（ 考点一 考点二 ）
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12/14/2021 ◆教材回顾 ◆突破考点（ 考点一 点（ 考点一 考点二 ）
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中考数学基础复习第25课圆的基本性质课件
第25课 圆的基本性质
【知识清单】 一、点与圆的位置关系 1.设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外⇔___d_>_r___;点P在圆上⇔___d_=_r___;点P在圆内⇔___d_<_r___. 2.确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定___一__个____圆. 3.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的___垂__直__平__分__线____的交 点.
∴OB=OC= 5 2 ，OA 5 2 ,OF BF 5 ,
2
2
2
∴D⊥AE,OF⊥BC,AD⊥BC,∴四边形OGDF为矩形,∴OG=3D, F=
2
GD5=, OF=
2
在Rt△AGO中,AG= OA2 OG2 41 ,
2
∴AD=AG+GD4=1 5 ,
2
∵AD×DE=BD×CD,
【考点4】 圆相关性质的应用 例4.如图,在▱OABC中,以O为圆心,OA为半径的圆与BC相切于点B,与OC相交于点 D. (1)求 BD 的度数; (2)如图,点E在☉O上,连接CE与☉O交于点F.若EF=AB,求∠OCE的度数.
【解析】(1)连接OB,∵BC是☉O的切线,
∴OB⊥BC.∵四边形OABC是平行四边形, ∴OA∥BC,∴OB⊥OA.∴△AOB是等腰直角三角 形.∴∠ABO=45°.∵OC∥AB,∴∠BOC=∠ABO=45°,∴
A.99°
B.108°
C.110°
D.117°
变式2.(202X·泰安)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=BC,∠BAC=30°,AD是 直径,AD=8,则AC的长为 ( B )
A.4 B.4 3 C.8 3
3 D.2 3
【知识清单】 一、点与圆的位置关系 1.设圆O的半径为r,点P到圆心的距离为OP=d.则: 点P在圆外⇔___d_>_r___;点P在圆上⇔___d_=_r___;点P在圆内⇔___d_<_r___. 2.确定圆的条件:不在同一直线上的三个点确定___一__个____圆. 3.三角形的外心:三角形外接圆的圆心,三角形三边的___垂__直__平__分__线____的交 点.
∴OB=OC= 5 2 ，OA 5 2 ,OF BF 5 ,
2
2
2
∴D⊥AE,OF⊥BC,AD⊥BC,∴四边形OGDF为矩形,∴OG=3D, F=
2
GD5=, OF=
2
在Rt△AGO中,AG= OA2 OG2 41 ,
2
∴AD=AG+GD4=1 5 ,
2
∵AD×DE=BD×CD,
【考点4】 圆相关性质的应用 例4.如图,在▱OABC中,以O为圆心,OA为半径的圆与BC相切于点B,与OC相交于点 D. (1)求 BD 的度数; (2)如图,点E在☉O上,连接CE与☉O交于点F.若EF=AB,求∠OCE的度数.
【解析】(1)连接OB,∵BC是☉O的切线,
∴OB⊥BC.∵四边形OABC是平行四边形, ∴OA∥BC,∴OB⊥OA.∴△AOB是等腰直角三角 形.∴∠ABO=45°.∵OC∥AB,∴∠BOC=∠ABO=45°,∴
A.99°
B.108°
C.110°
D.117°
变式2.(202X·泰安)如图,△ABC是☉O的内接三角形,AB=BC,∠BAC=30°,AD是 直径,AD=8,则AC的长为 ( B )
A.4 B.4 3 C.8 3
3 D.2 3
中考数学总复习 第六章 圆 第29课 圆的基本性质课件
圆重合．
(3)垂径定理：垂直于弦的直径_平__分__这__条__弦__ ，并且_平__分__弦__所__对__的__弧___ ．
推 论 ： ① 平 分 弦 ( 不 是 直 径 ) 的 直 径 ____垂__直__于__弦
，并且
__平__分__弦__所__对__的__两__条__弧 ；②弦的垂直平分线经过 圆心 ，并且平分弦所
对的两条弧；③平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对
的另一条弧．
(4)在同圆或等圆中，如果__两__个__圆__心__角_ 、__两__条__弧_ 、 两条弦 、 ___两__条__弦__的__弦__心__距__ 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别 相等．
(5)圆心角与圆周角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的_圆__心__角__ 的一半．
第六章 圆
第 29 课 圆的基本性质
知识梳理
知识回顾 1．主要概念 (1)圆：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一 个端点 A 随之旋转所形成的图形叫做___圆_ ．固定的端点叫___圆__心 ，线段 OA 叫做__半__径_ ． (2)弧和弦：圆上任意两点之间的部分叫做__圆_弧__ ，连结圆上任意两点 的线段叫做___弦_ ，经过圆心的弦叫做__直__径_ ，直径是最长的 弦 ． (3)圆心角：顶点在圆上，角的两边与圆相交的角叫___圆__心__角 ． (4)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做___圆__周__角 ．
3．半径为 3 的圆中，一条弦长为 4，则圆心到这条弦的距离是( C )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 7
4．如图，已知⊙O 的直径 AB⊥CD 于点 E，则下列结论一定错误的是( B )
圆 初三 ppt课件ppt课件
CHAPTER
06
圆的综合题解题思路
圆的综合题解题方法
利用圆的性质
根据圆的性质，如圆周 角定理、垂径定理等， 推导出其他相关条件或
结论。
数形结合
将圆的性质与代数方程 相结合，通过代数运算
解决问题。
构造辅助线
在解题过程中，根据需 要构造辅助线，以连接 圆上的点或与其他图形
建立联系。
运用相似三角形
在解题过程中，通过构 造相似三角形，利用相 似三角形的性质解决问
THANKS
感谢观看
详细描述
圆的一般方程是$x^{2} + y^{2} + Dx + Ey + F = 0$，其中$D, E, F$是三个系数 。这个方程表示所有满足这个方程的点都在圆上。通过解这个方程，可以得到圆 上三个点的坐标。
圆的参数方程
总结词
圆的参数方程是一种基于三角函数的描述圆的方式，它通过 角度和半径来描述圆上的点。
题。
圆的综合题解题技巧
寻找隐含条件
在题目中寻找隐含条件，这些条件可 能对解题起到关键作用。
化复杂为简单
将复杂的问题分解为多个简单的问题 ，逐一解决，最后再综合起来。
利用特殊到一般的思路
先考虑特殊情况，再推广到一般情况 ，这样有助于找到解题思路。
注意图形的变化
在解题过程中，注意图形的变化，如 角度、长度等的变化，并利用这些变 化解决问题。
VS
详细描述
根据圆的对称性质，我们可以利用已知圆 上的任意一点或直径两端点来作出一个与 已知圆相切或重合的新圆。具体操作包括 通过圆心和已知圆上一点作圆，以及通过 两个已知圆的中心和它们之间的距离作圆 。
利用已知点作圆
中考数学复习考点研究课件：26.第26课时 圆的基本性
例 1 (2016乐山)如图，C、D是以线段AB为直径的⊙O上两点， 若CA＝CD，且∠ACD＝40°，则∠CAB＝( ) B A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°
例1题图
【 解 析 】∵CA ＝ CD ， ∠ ACD ＝ 40° ， ∴ ∠ D ＝ ∠CAD＝ 180°-ACD ＝70°，∵AC所对圆周角是
d是弦心距，h表示弓形高，半径OD与弦AB垂直，
则有（1）r= ⑱___+hd；
（2）r2 (1 a)2 d 2 ( 1 a)2 (r h)2
2
2a
（3）sin∠AOD= ⑲__2r__
（⑳4_）_dr_c_o_s_（∠或AOrDr=h ）
圆内接四边 形的性质
圆内接四边形的对角 21 互__补__，如图4， ∠A+∠BCD= 22 _1_8_0_°，∠A+∠BCD= 23 _1_8_0_°_
定理：垂直于弦的直径⑨平__分__弦__，并且平分弦所对的
⑩两__条__弧__ 垂
径
平分弦（不是直径）的直径⑪_垂__直___于弦，并且
定
⑫_平__分___弦所对的两条弧
理
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所
及
对的两条弧
其 推
推 论
平分弦所对的一条弧的直径垂直平条弧
圆的两条平行弦所夹的弧⑬ 相__等___
圆内接四边形的任意一个外角等于它的 _2_4_内__对__角__，如图4，∠DCE= 25 _∠_A__
正多边形和圆（2011版新课标新增内容）
名称 内角 外角 中心角 边长
正五边形 108° 72 ° 72 °
2R·sin60 °
正六边形 120 ° 60 ° 60 ° R
例1题图
【 解 析 】∵CA ＝ CD ， ∠ ACD ＝ 40° ， ∴ ∠ D ＝ ∠CAD＝ 180°-ACD ＝70°，∵AC所对圆周角是
d是弦心距，h表示弓形高，半径OD与弦AB垂直，
则有（1）r= ⑱___+hd；
（2）r2 (1 a)2 d 2 ( 1 a)2 (r h)2
2
2a
（3）sin∠AOD= ⑲__2r__
（⑳4_）_dr_c_o_s_（∠或AOrDr=h ）
圆内接四边 形的性质
圆内接四边形的对角 21 互__补__，如图4， ∠A+∠BCD= 22 _1_8_0_°，∠A+∠BCD= 23 _1_8_0_°_
定理：垂直于弦的直径⑨平__分__弦__，并且平分弦所对的
⑩两__条__弧__ 垂
径
平分弦（不是直径）的直径⑪_垂__直___于弦，并且
定
⑫_平__分___弦所对的两条弧
理
弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所
及
对的两条弧
其 推
推 论
平分弦所对的一条弧的直径垂直平条弧
圆的两条平行弦所夹的弧⑬ 相__等___
圆内接四边形的任意一个外角等于它的 _2_4_内__对__角__，如图4，∠DCE= 25 _∠_A__
正多边形和圆（2011版新课标新增内容）
名称 内角 外角 中心角 边长
正五边形 108° 72 ° 72 °
2R·sin60 °
正六边形 120 ° 60 ° 60 ° R
北师大版中考专题复习课件：圆的基本性质(共张)
圆与其他图形的交点作图
圆与其他图形的交点：圆与其他图形的交点可以是直线、曲线、点等。 直线与圆的交点：直线与圆的交点可以是一个点，也可以是两个点。 曲线与圆的交点：曲线与圆的交点可以是一个点，也可以是多个点。 点与圆的交点：点与圆的交点可以是一个点，也可以是多个点。
圆与其他图形的相切作图
确定半径：选择任意长 度作为半径
圆周角与圆心角的关系
圆周角：圆周上任意一点与圆心连线所成的角
圆心角：圆心与圆周上任意一点连线所成的角
关系：圆周角等于圆心角的一半
证明：利用圆周角与圆心角的定义，结合三角形内角和定理，可以证明圆周角等于圆心角的 一半。
圆与直线的位置关系
圆与直线相交： 圆心到直线的 距离小于半径
圆与直线相切： 圆心到直线的 距离等于半径
连接切点：连接切点与 圆心，得到切线
确定切点：选择与圆相 切的点
确定切线：选择与圆相 切的线
连接切点：连接切点与 圆心，得到切线
确定圆心：选择任意一 点作为圆心
确定切点：选择与圆相 切的点
确定切线：选择与圆相 切的线
连接切点：连接切点与 圆心，得到切线
确定切点：选择与圆相 切的点
汇报人：PPT
圆心性质
圆心是圆的中心点， 也是圆的对称中心
圆心到圆上任意一 点的距离相等，这 个距离称为半径
圆心是圆的内接正 多边形的中心，也 是圆的外切正多边 形的中心
圆心是圆的内接正 多边形的顶点，也 是圆的外切正多边 形的顶点
半径性质
半径是圆的基本属性之一，决 定了圆的大小
半径是连接圆心和圆上任意一 点的线段
内接多边形的边长：等于圆 的半径
内接多边形的边数：与圆的 直径数相同
内接多边形的面积：等于圆 的面积乘以边数
第9讲圆的基本性质复习课件(共46张PPT)
全效优等生
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垂径定理的应用 例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知 弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃， 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
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图3－9－4
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推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个 弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件： 确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
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∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
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垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等 腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半 以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m， 设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2， 即 r2＝322＋(r－1)2， 解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.
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垂径定理的应用 例3 如图3－9－4所示，某窗户由矩形和弓形组成，已知 弓形的跨度AB＝3 m，弓形的高EF＝1 m，现计划安装玻璃， 请帮工程师求出弧AB所在圆O的半径．
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图3－9－4
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推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所 对的两条弧．
3．同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦、两个 弦心距中有一组量相等，它们所对应的其余各组量也分别相等.
确定圆的条件： 确定一个圆必须明确两个要素：①圆心(决定圆的位置)； ②半径(决定圆的大小)．
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∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝12AB＝12×4 2＝2 2. 在 Rt△PBE 中，PB＝3， ∴PE＝ 32－（2 2）2＝1， ∴PD＝ 2PE＝ 2， ∴a＝3＋ 2.
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垂径定理 1．与弦有关的题目，要求解边与角时，连结半径构造等 腰三角形是常用的辅助线． 2．求圆中的弦长时，通常作辅助线，由半径、弦的一半 以及弦心距构成直角三角形运用勾股定理进行求解．
【思路生成】根据垂径定理可得 AF＝12AB，再表示出 AO， OF，然后利用勾股定理列式进行计算．
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解：∵弓形的跨度 AB＝3 m，EF 为弓形的高， ∴OE⊥AB，∴AF＝12AB＝32 m， 设 AB 所在圆 O 的半径为 r，弓形的高 EF＝1 m，∴AO ＝r，OF＝r－1. 在 Rt△AOF 中，AO2＝AF2＋OF2， 即 r2＝322＋(r－1)2， 解得 r＝183. 答：弧 AB 所在圆 O 的半径为183 m.
2018年春中考复习数学课件：圆的基本性质-(共16张PPT)
例 4 如图，在⊙O 上位于直径 AB 的异侧有定点 C 和 动点 P，AC＝12AB，点 P 在半圆弧 AB 上运动(不与 A，B 两点重合)，过点 C 作直线 PB 的垂线 CD 交 PB 于 D 点．
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(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC； (2)当点 P 运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图②中 画出△PCD，并说明理由； (3)如图③，当点 P 运动到 CP⊥AB 时，求∠BCD 的度数．
(3) ∵AC＝12AB，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°.
∴∠CPB＝∠CAB＝60°.
∵PC⊥AB，∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°，
∴△PBC 为等边三角形．
又 CD⊥PB，∴∠BCD＝30°.
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探究一 垂径定理及其推论
命题角度： 1. 垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用．
例 1 如 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， 弦
CD⊥AB，垂足为 P.若 CD＝8，OP＝3，则⊙O
的半径为( B )
A．10
B．8
C．5
D．3
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解 析 连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4. 在Rt△OCP中，∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5.
[方法点析] 垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条 弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的 计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
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探究二 圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度： 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．
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(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC； (2)当点 P 运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图②中 画出△PCD，并说明理由； (3)如图③，当点 P 运动到 CP⊥AB 时，求∠BCD 的度数．
(3) ∵AC＝12AB，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°.
∴∠CPB＝∠CAB＝60°.
∵PC⊥AB，∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°，
∴△PBC 为等边三角形．
又 CD⊥PB，∴∠BCD＝30°.
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探究一 垂径定理及其推论
命题角度： 1. 垂径定理的应用； 2. 垂径定理的推论的应用．
例 1 如 图 ， AB 是 ⊙O 的 直 径 ， 弦
CD⊥AB，垂足为 P.若 CD＝8，OP＝3，则⊙O
的半径为( B )
A．10
B．8
C．5
D．3
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解 析 连接OC，∵CD⊥AB，CD＝8，∴PC＝CD＝×8＝4. 在Rt△OCP中，∵PC＝4，OP＝3，∴OC＝＝＝5.
[方法点析] 垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条 弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的 计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．
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探究二 圆心角、弧、弦之间的关系
命题角度： 在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．