2018-2019厦门市高一下数学期末质检试卷
2017-2018年福建省厦门市高一(下)期末数学试卷(解析版)
体的体积．
21．（12 分）已知函数 f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ ）的周期为 π，其图象关于直 线 x＝ 对称．
（1）求 f（x）的解析式，并画出其在区间[0，π]上的图象； （2）将 f（x）图象上的所有点的横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），再把所得图象上
求 sinβ； （2）已知点 C（0，﹣ ），D（1，0），角 α 终边的反向延长线与单位圆交于点 B．当角 α
取何值时，四边形 ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．
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20．（12 分）一木块如图所示，点 G 是△SAC 的重心，过点 G 将木块锯开，使截面平行于 侧面 SBC．
．
16．（5 分）正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1，过 A1C 的平面截此正方体所得四边形周
长的最小值是
．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分）已知△ABC 中，点 A（4，3），B（2，﹣1），点 C 在直线 l：x﹣2y+2＝0 上． （1）若 C 为 1 与 x 轴的交点，求△ABC 的面积； （2）若△ABC 是以 AB 为底边的等腰三角形，求点 C 的坐标． 18．（12 分）如图，直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是菱形，∠BAD＝60°，E
） B．
C．2
D．4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．（5 分）过圆（x+4）2+（y﹣2）2＝25 上的点 M（﹣1，﹣2）作切线 l，则 l 的方程是
2018-2019学年福建省厦门市高一上学期期末考试数学试题
厦门市2018-2019学年度第一学期高一年级质量检测数学试题★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
3、主观题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
5、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
6、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义即可求出A∩B．【详解】∵集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B={-1，0，1}．故选A．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】使函数有意义的x满足解不等式组即得解.【详解】使函数有意义的x满足解得即函数的定义域为.故选B.【点睛】本题考查了具体函数定义域，属于基础题.3.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据三角函数定义=可得结果.【详解】角的终边经过点，所以，所以==.故选A. 【点睛】本题考查了三角函数定义，已知角的终边上一点的坐标即可求得各种三角函数值，属于基础题.4.某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）即可得解.【详解】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C. 【点睛】本题考查了由函数图象写解析式，可以进行选项验证，属于基础题.5.化简的结果为（ ）A. 0B. 2C. 4D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由对数的运算性质即可得解. 【详解】==2-2=0.故选A.【点睛】本题考查对数的运算性质，熟记公式是关键，属于基础题. 6.已知是圆的一条弦，，则的值为（ ）A. -2B. 1C. 2D. 与圆的半径有关 【答案】C 【解析】 【分析】由数量积的几何意义，利用外心的几何特征计算即可得解. 【详解】是圆的一条弦,易知在方向上的投影恰好为，所以=||||==2.故选C.【点睛】本题考查了数量积的运算，利用定义求解要确定模长及夹角，属于基础题. 7.已知，则的值为（ ）A.B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可．【详解】可得cos=1-2,所以=cos=.故选D.【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的二倍角公式，诱导公式进行化简是解决本题的关键，属于基础题．8.函数，若实数满足，且，则下列结论不恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合函数的图象，逐个进行分析即可得解.【详解】函数的图象如下：可得=即=0,所以=0,故A对；可得,即，所以，，故B对；由图象可知，所以，所以1<<,,故，故C对；通过选项排除可知D不恒成立.故选D.【点睛】本题考查了函数与方程，对数运算性质，数形结合能更有效的解决问题，属于中档题.二、多选题（每题5分，满分10分，将答案填在答题纸上）9.已知函数，，则，满足（）A. ，B. ，C. D.【答案】ABC【解析】【分析】逐一分析各选项即可；A：写出，即可解决；B：判断与的单调性即可；C：写出即可得解；D：写出即可得解.【详解】函数，A:=,故A对；B：因为函数为增函数，所以，，则在上恒成立，所以在递增，又，所以，即故B对；C：，故C对；D：，故D错；故选ABC.【点睛】本题考查了函数的基本性质：奇偶性，单调性，熟练掌握各种初等函数的性质是关键，属于难题.10.已知函数，则下列说法正确的是（）A. B. 的图像关于对称C. 若，则D. 若，则【答案】BD【解析】【详解】函数A:当x=0时，=1，=1+，故A错；B：，当时，对应的函数值取得最小值为-1，所以B正确；C：时，所以函数在不单调，故C错；D：因为，所以,又即2，所以恒成立，故D对；故选BD.【点睛】本题考查了三角函数的综合性质，对称性，单调性，最值等，利用整体思想进行求解分析是关键,属于难题.三、填空题（本大题共6小题，共30分.）11.已知，，则________.【答案】【解析】【分析】得出，由可得,进而可求.【详解】得出，因为，所以=-，所以=.故答案为.【点睛】本题考查了诱导公式的应用，同角关系基本公式的应用，属于基础题.12.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_______. 【答案】【解析】【分析】若则A⊆B，根据集合，集合，即可得出实数的取值范围. 【详解】若则A⊆B，又集合，集合，所以.故答案为【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用，集合的并集运算，属于基础题.13.设，，，用“<”把排序_______.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可．【详解】=sin,=sin(-)=sin> sin==，所以<<1,又==<,所以<.故答案为<.【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性是解决本题的关键．14.方格纸中向量，如图所示，若，则_______.【答案】3【解析】【分析】选取基底，把，用基底表示，结合平面向量基本定理即可列方程求解.【详解】由已知正方形网格中，设边长为1，设互相垂直的单位向量为,则，,=()+()=()+(3),所以所以.故答案为3.【点睛】本题考查了平面向量基本定理，选好基底是关键，属于基础题．15.燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究发现，燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示燕子的耗氧量的单位数，记时耗氧量为，时耗氧量为，则是的_________倍.【答案】16【解析】【分析】把代入函数解析式，列出方程，利用对数的性质，即可计算O2是O1的多少倍．【详解】，5=，则解得，故是的16倍.故答案为16. 【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.16.如图，矩形关于轴对称，其三个顶点恰好分别落在函数、、的图像上，若点的横坐标大于1，则点的坐标为_______.【答案】【解析】【分析】设出点A（m,）, 矩形及三个顶点所在的函数方程即可得到关于m的方程即可求得点的坐标.【详解】顶点在函数上，设出点A（m,），根据恰好分别落在函数、的图像上，则可得点B（），点C（）,则点D（m，），因为矩形关于轴对称，所以，又点的横坐标大于1，所以>1,故m=2,所以点D（2，-4）.故答案为（2，-4）.【点睛】本题主要考查幂、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，属于基础题．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数的一个对称中心为，其图像上相邻两个最高点间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）用“五点作图法”在给定的坐标系中作出函数在一个周期内的图像，并写出函数的单调递减区间.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)因为的图像上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，由此得因为的对称中心为，因为的对称中心，，求得，即可得解；（2）由“五点作图法”找出函数在一个周期内的五个关键点，列表，描点，作图，即可得出函数的单调递减区间.【详解】（1）因为的图像上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，由和，可得因为的对称中心为，所以，，即，又因为，所以，所以函数的解析式为.（2）由“五点作图法”找出函数在一个周期内的五个关键点，列表如下：由，可得，所以函数的单调递减区间是.【点睛】本题考查三角函数性质，由周期，对称性得出解析式，考查五点作图法，是中档题．18.已知函数.（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；（2）函数在区间内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值（精确到0.3）；若没有零点，说明理由.（参考数据：，，，，，）【答案】（1）见解析；（2）有，【解析】【分析】（1）由条件利用函数的单调性的定义即可证得函数f（x）在区间上的单调性．（2）结合函数单调性，由零点存在性定理得出连续函数在区间上有且仅有一个零点，由二分法即可得出零点的近似值（精确到0.3）.【详解】（1）函数在区间上是增函数，设，且，则，所以，故函数在区间上是增函数.（2）是增函数，又因为，，所以连续函数在区间上有且仅有一个零点因为，所以又因为，所以又，所以零点的近似值为.【点睛】本题考查了用定义证明函数单调性，零点存在性定理的应用，二分法求零点的近似值，属于中档题.19.如图，平行四边形中，，，，点分别为边的中点，与相交于点，记，.（1）用表示，并求；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由向量加法表示，平方求得代入各值即可得解;（2）因为，与共线，设，则表示，，由得出方程，即可解出.【详解】（1）由图形可知因为所以（2）因为，与共线，设，则由于因为，所以即则，解得，所以【点睛】本题考查了向量的加法法则，求向量的模，向量共线定理和平面向量基本定理，属于中档题.20.如图，点在以原点为圆心的单位圆上，记锐角，点从开始，按逆时针方向以角速度在圆上做圆周运动，经过到达点，记的纵坐标关于时间的函数为.（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，结合图象，由任意角的三角函数的定义求得y=f（t）的表达式,即可求得的值；（2）由（1）知，，则，所以化简即可求得在上的值域.【详解】（1）由题意，点是的终边与单位圆的交点，由任意角的三角函数的定义，知又时，，即，得，即,此时.（2）由（1）知，，则所以由，得，，从而故函数在上的值域为.【点睛】本题考查了三角函数的应用，求函数y=Asin（ωx+）的解析式，三角函数定义及两角和的正弦公式，求三角函数y=Asin（ωx+）在给定区间的值域，属于中档题.21.医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物，患者单次服用制定规格的该药物后，其体内的药物浓度随时间的变化情况（如图所示）：当时，与的函数关系式为（为常数）；当时，与的函数关系式为（为常数）.服药后，患者体内的药物浓度为，这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险.（1）首次服药后，药物有疗效的时间是多长？（2）首次服药1小时后，可否立即再次服用同种规格的这种药物?（参考数据：，）【答案】（1）小时；（2）见解析【解析】【分析】（1）当时，，函数图像过点，求出，进而求出t=1时，所以当时，，函数图像过点，求出m,解指数不等式求出t的范围即可；（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度为，当时，，根据单调性，解得x=1即得解.【详解】（1）当时，，函数图像过点，所以，得所以当时，当时，，函数图像过点所以，所以由，得，所以则药物有疗效时间为小时.（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度为当时，因为函数在内单调递增，所以当时，当时，因为，所以首次服药后1小时，可以立即再次服用同等规格的药物.【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，给出函数模型进行求解，中间涉及指数方程和指数不等式解法，利用函数单调性是关键，属于中档题.22.已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】【分析】（1）函数是偶函数, 所以得出值检验即可；（2）因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.【详解】（1）因为是上的偶函数，所以，即解得，经检验：当时，满足题意.（2）因为，所以因为时，存在零点，即关于的方程有解，令，则因为，所以，所以，所以，实数的取值范围是.（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以令，得（*），记，①当时，方程（*）的解为，不满足题意，舍去；②当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意；③当时，且时，解得，方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意.综上，的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数与方程零点问题，通常采用变量分离，或者通过换元转化为熟悉的二次方程根的分布问题，属于难题.。
福建省厦门市重点名校2017-2018学年高一下学期期末复习检测数学试题含解析
福建省厦门市重点名校2017-2018学年高一下学期期末复习检测数学试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为p=3193=选A 2．在等比数列{}n a 中，227a =，13q =-，则5a =（ ） A ．3- B ．3C ．1-D ．1【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】因为等比数列{}n a ,故335212713a a q ⎛⎫=⋅=⋅-=- ⎪⎝⎭.故选：C 【点睛】本题主要考查了等比数列性质求解某项的方法,属于基础题.3．在ABC 中，π4ABC ∠=，AC =3BC =，则sin BAC ∠=（ ）A ．10B ．5C D 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦定理,代入即可求解. 【详解】因为ABC ∆中,π4ABC ∠=,5AC =,3BC = 由正弦定理可知sin sin BC ACBAC ABC=∠∠代入可得3sin sin 10BC ABCBAC AC⨯∠∠===故选:C 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用,属于基础题. 4．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当zxy取得最小值时，x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0 B ．98 C ．2 D ．94【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】由题得z=x 2+4y 2-3xy≥4xy -3xy=xy(x,y,z>0), 即z≥xy,zxy≥1.当且仅当x=2y 时等号成立, 则x+2y-z=2y+2y-(4y 2-6y 2+4y 2) =4y-2y 2=-2(y 2-2y) =-2[(y-1)2-1]=-2(y-1)2+2.当y=1时,x+2y-z 有最大值2.故选C.5．已知数列{}n a 中，12213,6,n n n a a a a a ++===-,则2016a =（ ） A ．6 B ．6-C ．3D ．3-【答案】B 【解析】 【分析】由数列的递推关系21n n n a a a ++=-，可得数列的周期性，再求解即可. 【详解】解:因为21n n n a a a ++=-,①则321n n n a a a +++=-,②①+②有: 3n n a a +=-,即63n n a a ++=-,则6n n a a +=, 即数列{}n a 的周期为6,又123,6a a ==,得3453,3,6a a a ==-=-，63a =-, 则2016a =633663a a ⨯==-, 故选:D. 【点睛】本题考查了数列的递推关系，重点考查了数列周期性的应用，属基础题. 6．已知a,b ∈R ,若关于x 的不等式20x ax b ++≥的解集为R ,则( ) A ．20a b -≥ B ．20a b -≤ C ．240a b -≥ D ．240a b -≤【答案】D 【解析】 【分析】由不等式20x ax b ++≥的解集为R ，得2y x ax b =++的图象要开口向上，且判别式0∆≤，即可得到本题答案. 【详解】由不等式20x ax b ++≥的解集为R ，得函数2y x ax b =++的图象要满足开口向上，且与x 轴至多有一个交点，即判别式240a b ∆=-≤. 故选：D 【点睛】本题主要考查一元二次不等式恒成立问题.7．若(3,1)P 为圆222240x y x +--=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（ ） A ．250x y +-= B ．20x y --= C ．250x y --= D ．270x y +-=【答案】D 【解析】 【分析】圆222240x y x +--=的圆心为O ，求出圆心坐标，利用垂径定理，可以得到OP AB ⊥，求出直线OP 的斜率，利用两直线垂直斜率关系可以求出直线AB 的斜率，利用点斜式写出直线方程，最后化为一般式方程.【详解】设圆222240x y x +--=的圆心为O ，坐标为（1，0），根据圆的垂径定理可知：OP AB ⊥，因为011132OP k -==-，所以2AB k =-， 因此直线AB 的方程为12(3)270y x x y -=--⇒+-=，故本题选D. 【点睛】本题考查了圆的垂径定理、两直线垂直斜率的关系，考查了斜率公式. 8．已知两条直线，两个平面，给出下面四个命题： ①，；②，，；③，；④，，其中正确命题的序号是（ ）A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③ 【答案】A【解析】依据线面垂直的判定定理可知命题①是正确的；对于命题②，直线还有可能是异面，因此不正确；对于命题③，还有可能直线，因此③命题不正确；依据线面垂直的判定定理可知命题④是正确的，故应选答案A.9．已知0a b +<，且0b >，那么a ，b ，a -，b -的大小关系是（ ） A ．b a b a -<<<- B ．b a a b -<<-< C ．a b a b <-<-< D ．a b b a <-<<-【答案】D 【解析】 【分析】直接用作差法比较它们的大小得解. 【详解】()()0,a b a b a b --=-+>∴->； ()20,b b b b b --=>∴>-； ()0,b a a b b a --=-+>∴->.故a b b a <-<<-. 故选：D 【点睛】本题主要考查了作差法比较实数的大小，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.10．用数学归纳法证明()11113212224n n n n ++⋅⋅⋅+>≥++的过程中，设()111122k f k k k =++⋅⋅⋅+++，从n k =递推到1n k =+时，不等式左边为（）A ．()112k f k ++ B ．()111212k k f k ++++ C ．()11112121k k f k k +++⋅⋅⋅+-++ D ．()11121k f k k ++-+【答案】C 【解析】 【分析】比较n k =与1n k =+时不等式左边的项，即可得到结果 【详解】()()11111111112222212k k k k f k f k k k k +=++⋅⋅⋅+∴+=+⋅⋅⋅++++++++ 因此不等式左边为()11112121k k f k k +++⋅⋅⋅+-++，选C. 【点睛】本题考查数学归纳法，考查基本分析判断能力，属基础题11．已知x ，y 的线性回归直线方程为0.82 1.27y x =+，且x ，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为A ．变量x ，y 之间呈现正相关关系B ．可以预测，当5x =时， 5.37y =C ． 2.09m =D ．由表格数据可知，该回归直线必过点()1.5,2.5【答案】C 【解析】 【分析】A 中，根据线性回归直线方程中回归系数b =0.82＞0，判断x ，y 之间呈正相关关系；B 中，利用回归方程计算x ＝5时y 的值即可预测结果；C 中，计算x 、y ，代入回归直线方程求得m 的值；D 中，由题意知m ＝1.8时求出x 、y ，可得回归直线方程过点（x ，y ）． 【详解】已知线性回归直线方程为y =0.82x+1.27，b =0.82＞0，所以变量x ，y 之间呈正相关关系，A 正确；计算x ＝5时，y =0.82×5+1.27＝5.37，即预测当x ＝5时y ＝5.37，B 正确；14x =⨯（0+1+2+3）＝1.5，14y =⨯（0.8+m+3.1+4.3）8.24m +=， 代入回归直线方程得8.24m+=0.82×1.5+1.27，解得m ＝1.8，∴C 错误； 由题意知m ＝1.8时，x =1.5，y =2.5，所以回归直线方程过点（1.5，2.5），D 正确． 故选C ． 【点睛】本题考查了线性回归方程的概念与应用问题，是基础题．12．已知点()1,2A -，()1,4B ，若直线l 过原点，且A 、B 两点到直线l 的距离相等，则直线l 的方程为( )A ．y x =或0x =B ．y x =或0y =C ．y x =或4y x =-D ．y x =或12y x =【答案】A 【解析】 【分析】分为斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式得到答案. 【详解】当斜率不存在时：直线l 过原点0x ⇒=，验证满足条件. 当斜率存在时：直线l 过原点，设直线为：y kx =1k =⇒= 即y x =故答案选A 【点睛】本题考查了点到直线的距离公式，忽略斜率不存在的情况是容易犯的错误. 二、填空题：本题共4小题13．正项等比数列{}n a 中，n S 为数列{}n a 的前n 项和，21a =，则3S 的取值范围是____________． 【答案】[3,)+∞ 【解析】 【分析】利用2123=1a a a =结合基本不等式求得3S 的取值范围【详解】由题意知，31232S a a a a =++≥+2213a a a =，所以3233S a ≥=，当且仅当13=1a a =等号成立，所以3[3,)S ∈+∞. 故答案为：[3,)+∞ 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和及性质，利用性质结合基本不等式求最值是关键 14．已知1tan 2α=，则sin 3cos sin cos αααα-=+______. 【答案】53- 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】解：sin 3cos tan 3sin cos tan 1αααααα--=++，1tan 2α=13sin 3cos tan 3521sin cos tan 1312αααααα---∴===-+++ 故答案为：53-【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系，齐次式的计算，属于基础题. 15．空间两点(1,2,4)M --，(1,1,2)N -间的距离MN 为_____．【答案】3 【解析】 【分析】根据空间中两点间的距离公式即可得到答案 【详解】由空间中两点间的距离公式可得; 3MN ==; 故距离为3 【点睛】本题考查空间中两点间的距离公式，属于基础题。
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。
2018—2019学年第二学期福建省中高一数学期末试卷及答案解析
2018—2019学年第二学期福建省高一数学期末试卷一、选择题1、将石子摆成如图的梯形形状．称数列5，9，14，20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2012项与5的差，即a 2012-5=（）A ．2018×2012B ．2018×2011C ．1009×2012D ．1009×2011 2、已知向量满足，若M为AB 的中点，并且，则λ+μ的最大值是 A ．B ．C ．D ．3、平面上有四个互异点A 、B 、C 、D ，已知（，则△ABC 的形状是A. 直角三角形B. 等腰直角三角形C. 等腰三角形D. 无法确定4、已知x =是函数f （x ）=sin （2x +φ）+cos （2x +φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f （x ）的图象向右平移个单位后得到函数g （x ）的图象，则函数g （x ）在[－，]上的最小值为A ．－2B ．－1C ．－D ．－5、已知α为锐角，且A ．B ．C ．－D ．±6、在△ABC 中，，则这个三角形一定是A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角D ．等腰或直角三角形 7、已知若，则实数对（λ1，λ2）为A ．（1，1）B ．（-1，1）C ．（-1，-1）D ．无数对 8、若将函数f （x ）=2sinxcosx -2sin 2x +1的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，则φ的最大负值是A ．－B ．－C ．－D ．－9、若递增等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2=2，S 3=7，则公比q 等于A ．2B ．C ．2或D ．无法确定 10、若AD 是△ABC 的中线，已知=，，则等于A ．B ．C ．D ．11、设a n =（n ∈N *），则a 3=A ．B ．C ．D ．12、化简cos 15°cos 45°－cos 75°sin 45°的值为A ．B ．C ．－D ．－二、填空题13、给出四个命题：（1）若sin2A=sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；（2）若sinA=cosB ，则△ABC 为直角三角形；（3）若sin 2A+sin 2B+sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；（4）若cos （A －B ）cos （B －C ）cos （C －A ）=1，则△ABC 为正三角形。
福建省厦门市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)
厦门市2018-2019学年度第二学期高一年级质量检测(数学)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。
在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.若点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线,则a 的值为（ ） A. 2- B. 1-C. 0D. 1【答案】A 【解析】 【分析】通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案.【详解】由题意，可知()1,1BC →=，又(),2AB a →=-，点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线，则//BC AB →→，即2a -=，所以2a =-，故选A.【点睛】本题主要考查三点共线的条件，难度较小.2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为37,10n S a a +=,则9S =（ ） A. 15 B. 30C. 45D. 90【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式及性质即可得到答案. 【详解】由于3710a a +=，根据等差数列的性质，193799()9()4522a a a a S ++===，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，难度不大.3.下列选项正确的是（ ）A. 若,?c>d a b >,则a c b d ->- B. 若0a b >>,则2211a b <C. >则a b >D. 若0,0a b c >>≠,则ac bc > 【答案】B 【解析】 【分析】通过逐一判断ABCD 选项，得到答案.【详解】对于A 选项，若2,1,2,1a b c d ====，代入0a c -=，0b d -=，故A 错误；对于C >||||a b >，故C 错误；对于D 选项，若0c <，则ac bc <，故D 错误，所以答案选B.【点睛】本题主要考查不等式的相关性质，难度不大.4.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =（ ） A.6πB.3π C.23π D.233ππ或【答案】B 【解析】 【分析】首先通过正弦定理将边化角，于是求得1cos 2C =，于是得到答案. 【详解】根据正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即s i n 2s i n c o s C C C =，而sin 0C ≠，所以1cos 2C =，又为三角形内角，所以3C π=，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理的运用，难度不大.5.已知,αβ为不同的平面,,a b 为不同的直线则下列选项正确的是（ ） A. 若//,a b αα⊂,则//a b B. 若//,//a b αα,则//a b C. 若//,a b a α⊥,则b α⊥ D. 若,a αβα⊥⊂,则a β⊥【答案】C【分析】通过对ABCD 逐一判断，利用点线面的位置关系即可得到答案.【详解】对于A 选项，,a b 有可能异面，故错误；对于B 选项，,a b 可能相交或异面，故错误；对于C 选项，//,a b a α⊥，显然b α⊥故正确；对于D 选项，//a α也有可能，故错误.所以答案选C.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力，难度不大.6.正方体1111ABCD A B C D -中,直线AC 与1BC 所成角的余弦值为（ ）B.2C.12D. 0【答案】C 【解析】 【分析】作出相关图形，通过平行将异面直线所成角转化为共面直线所成角.【详解】作出相关图形，由于11//AC A C ，所以直线AC 与1BC 所成角即为直线11A C 与1BC 所成角，由于11A C B ∆为等边三角形，于是所成角余弦值为12，故答案选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值，难度不大.7.已知01x <<,当411x x+-取得最小值时x =（ ）A. 2-1C.45D.23【解析】 【分析】可用导函数解决最小值问题，即可得到答案.【详解】根据题意，令41()1f x x x=+-，则()()222241(2)(32)()11x x f x x x x x ---'=-+=--，而当2(0,)3x ∈时，()0f x '<，当2(,1)3x ∈时，()0f x '>，则()f x 在23x =处取得极小值，故选D.【点睛】本题主要考查函数的最值问题，意在考查学生利用导数工具解决实际问题的能力，难度中等.8.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2221,2b ac AB =+边上的中线长为2,则ABC ∆面积的最大值为（ ）A. 2B.C. D. 4【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，通过+=CDB ADC π∠∠和余弦定理可计算出2a =，于是利用均值不等式即可得到答案.【详解】根据题意可知2c AD BD ==，而22224+4+44cos =2222c c b b ADC c c --∠=⋅⋅，同理224+4cos 2c a CDB c -∠=，而+=CDB ADC π∠∠，于是cos +cos 0CDB ADC ∠∠=，即2228+02c a b --=，又因为22212b a c =+，代入解得2a =.过D 作DE 垂直于AB 于点E ，因此E 为中点，故14BE c =，而22142422ABCBE BE S AB BE ∆-+==≤⋅=，故面积最大值为4，【点睛】本题主要考查解三角形与基本不等式的相关综合，表示出三角形面积及使用均值不等式是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.二、多选题:本题共2小题,每小题5分,共10分。
厦门市-2018高一下学期质量检测数学试题(终稿)
厦门市2017～2018学年度第二学期高一年级质量检测数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知α为第四象限角，2sin 3α=-，则cos α等于 A ．13B ．19C ．19-D ．13- 2．已知直线a ，b ，c ，平面α，则下列结论错误．．的是 A. 若//a b ，//b c ，则//a c B. 若a b ⊥，b c ⊥，则//a c C. 若a α⊥，b α⊥，则//a b D. 若//a b ，a α⊥，则b α⊥3．已知扇形的圆心角为56π，半径为4，则该扇形的面积为A ．53πB ．103πC ．203πD ．403π4．已知=(3,1)a x -，(,2)b x =，若a 与b 的方向相反，则实数x 的值为A ．2B ．3C ．2或3D ．2或3- 5．已知点(3,2)A 和(1,4)B -到直线30mx y ++=的距离相等，则实数m 的值为A ．0或21-B ．6-或21C ．6-或21-D ．0或21 6．已知点(1,2)A ，(3,1)B ，则AB 在y 轴正方向上的投影为 A ．3 B ．2 C ．2 D ．3 7．如图，弹簧挂着的小球作上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置的高度h 厘米由关系式2sin()3h t π=+确定．下列结论正确的是A ．小球的最高点和最低点相距2厘米B ．小球在0t =时的高度1h =C ．每秒钟小球往复运动的次数为2πD ．从1t =到3t =，弹簧长度逐渐变长8．榫卯是我国古代工匠极为精巧的发明，是中国古建筑、家具及其它器械的主要结构方式，其特点是在物件上不使用钉子，利用榫卯加固物件．图1所示的榫卯结构由两部分组成，其中一部分结构的三视图如图2所示，网格纸上小正方形的边长为1，则该部分的表面积为A ．185164π+ B ．185194π+ C ．105162π+ D ．105192π+ 9．若圆224260x y x y m +-+++=与y 轴的交点,A B 位于原点同侧，则实数m 的取值范围是A ．1m <-B ．5m <-C ．65m -<<-D ．61m -<<-10．如图，正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱长为1，M 为AB 的中点，则直线1A M 与1BC 所成角的正弦值是A.74B. 34C.3711．如图，在ABC △中，2ABC π∠=，AD 平分BAC ∠，过点B 作AD 的垂线，分别交AD ，AC 于E ，F ．若6AF =，8BC =，则=AE A ．13210AB AC + B ．1123AB AC +C ．23510AB AC +D ．2153AB AC +12．已知()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线(0)y m m =>的三个相邻交点的横坐标分别是21014,,333．当[,]x m A ∈时，)(x f 的值域为22[,]33-，则A 的值是A . 23B . 43C . 2D . 4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．过圆22(4)(2)25x y ++-=上的点)21(--，M 作切线l ，则l 的方程是________． 14．已知sin()2cos απα+=，则2sin 2cos αα-=________．15．已知a ，b ，c 均是单位向量，若3a b c +=，则a 与b 的夹角为________． 16．正方体1111D C B A ABCD -的棱长为1，过1A C 的平面截此正方体所得四边形周长的最小值是________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知ABC △中，点(4,3)A ，(2,1)B -，点C 在直线l ：220x y -+=上．（1）若C 为l 与x 轴的交点，求ABC △的面积；（2）若ABC △是以AB 为底边的等腰三角形，求点C 的坐标．18．（12分）如图，直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 是菱形，60BAD ∠=︒，E 是1CC 的中点，122AA AB ==. （1）证明：1A E BD ⊥；（2）求直线E A 1与平面ABCD 所成角的大小．19．（12分）如图，角,αβ的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，锐角α的终边与单位圆交于点A .（1）若点A 的坐标为43(,)55，OA 绕原点逆时针旋转4π，与角β的终边重合，求sin β；（2）已知点(0,3)C ，(1,0)D ，角α终边的反向延长线与单位圆交于点B ，求当角α取何值时，四边形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．20．（12分）一木块如图所示，点G 是SAC △的重心，过点G 将木块锯开，使截面平行于侧面SBC ． （1）在木块上画出符合要求的线，并说明理由； （2）若底面ABC 为等边三角形，232SA SB SC AB ====，求截面与平面SBC 之间的几何体的体积．21．（12分）已知函数()sin()(0,)2f x x πωϕωϕ=+><的周期为π，其图象关于直线4x π=对称．（1）求()f x 的解析式，并画出其在区间[]0,π上的图象；（2）将()f x 图象上的点的横坐标缩短至原来的12倍（纵坐标不变），再把所得图象上所有的点向左平移8π个单位得到()g x 的图象．当[]0,10x π∈时，求函数()()(21)()1F x g x a f x a =++--(01)a ≤<的零点个数．22．（12分）如图，圆C 与x 轴交于点(1,0)A -，(1,0)B ，其在x 轴下方的部分和半圆221x y +=(0)y ≥组成曲线Γ．过点A 的直线l 与Γ的其它两个交点为E ，F ，且点E 在x 轴上方．当E 在y 轴上时，2FA AE =．（1）求C 的方程；（2）延长EB 交Γ于点G ．求证：CFG △的面积为定值．厦门市2017～2018学年度第二学期高一年级质量检测数学参考答案一、选择题1~5 ABCAB ；6~10 DDCCB ；11~12 AB 第12题参考解答：21014()()()0333f f f m ===>，142433T ∴=-=，22T ππω∴==， 又10214103333->-，∴当1023322x +==时，()f x 取最小值， 则32222k ππϕπ⨯+=+，2,2k k πϕπ∴=+∈Z ， ()sin()cos 222f x A x A x πππ∴=+=2()32A m f ∴==．依题意23A ≥，若23A =，222A T A m -=≥=，与23A =矛盾，舍去；若23A >，则()f x 在[],m A 上单调，2T A m ∴-<，即4A <．()()22033f m f A +=-+=，()02m Af +∴=，则222m A k πππ+⨯=+，4833A k ∴=+,k ∈Z ，43A ∴=． 二、填空题13．3450x y --= 14．1- 15．60︒ 16．三、解答题17．本题考查直线平行与垂直的性质、点到直线的距离、两点距离公式以及三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想与数形结合的数学思想．本题满分10分． 解：（1）法一：点C 在直线l 上，∴当0y =时，2x =-，(2,0)C ∴- ····················· 1分2AB k =，∴直线AB 的方程为250x y --=， ··········· 2分C 到直线AB的距离d =························ 3分AB=， ······························ 4分 1122ABC S AB d ∆∴=⨯⨯=⨯ ··················· 5分法二：点C 在直线l 上，∴当0y =时，2x =-，(2,0)C ∴- ····················· 1分 2AB k =，直线AB 的方程为250x y --=， ············ 2分令0y =，则52x =， ···························· 3分15(2)(13)922ABC S ∆∴=⨯+⨯+= ······················ 5分（2）AB 中点的坐标为(3,1)，2AB k = ···················· 6分AB ∴的中垂线方程为11(3)2y x -=--，即250x y +-= ··········· 7分联立250220x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， ··························· 8分得3274x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴点37(,)24C ························· 10分18．本题考查线面的位置关系、线面角等基础知识，考查逻辑推理、运算求解等能力，考查化归转化的数学思想．本题满分12分． 解：（1）证明：连结AC ， 四边形ABCD 是菱形∴AC BD ⊥ ··················· 1分1AA ⊥平面ABCD∴1AA BD ⊥ ··················· 2分又1AA AC A = ···························· 3分∴BD ⊥平面1ACEA ···························· 5分 ∴1A E BD ⊥ ······························· 6分（2）法一：取1AA 中点F ，连结CF ，则1//A E CF ·············· 7分 ∴CF 与平面ABCD 所成角等于1A E 与平面ABCD 所成角又1AA ⊥平面ABCD∴ FCA ∠为CF 与平面ABCD 所成角 ········ 9分又60BAD ∠=︒，1AB = ∴3AC =···················10分 3tan 3AF FCA AC ∠===························ 11分 ∴30FCA ∠=︒即1A E 与平面ABCD 所成角为30︒ ······················ 12分法二：1//CE AA ，且1CE AA ≠分别延长1A E 与AC ，相交于点G ······· 7分 且1AA ⊥平面ABCD∴ 1A GA ∠为1A E 与平面ABCD 所成角 ····· 9分又60BAD ∠=︒，1AB =∴3AC =················10分 又223AG AC ==∴113tan 323AA AGA AG ∠===······················ 11分 ∴130AGA ∠=︒ ∴1A E 与平面ABCD 所成角为30︒ ······················ 12分法三：平面//ABCD 平面1111A B C D∴1A E 与平面ABCD 所成角等于1A E 与平面1111A B C D 所成角 ·········· 7分连结11A C ，又1CC ⊥平面1111A B C D∴11C A E ∠为1A E 与平面1111A B C D 所成角 ········ 9分又11160B A D ∠=︒，111A B =∴113AC = ···················· 10分 ∴111113tan 3A E C A E AC ∠=== ··········· 11分 ∴1130C A E ∠=︒，∴1A E 与平面ABCD 所成角为30︒ ············· 12分19．本题考查三角函数定义、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证、运算求解等能力，考查化归转化、数形结合等数学思想．本题满分12分． 解：（1）依题意得43cos ,sin 55αα== ···················· 1分 角α的终边绕原点逆时针转4π与角β的终边重合，∴=+2,4k k πβαπ+∈Z ·························· 2分FDEBCG∴sin sin()4πβα=+··························· 3分sin coscos sin44ππαα=+ ························· 4分324272525210=⨯+⨯=························· 5分 （2）设00(,)A x y ，则00(,)B x y --，由三角函数的定义得0cos x α=，0sin y α=，∴(cos ,sin )A αα，(cos ,sin )B αα--， ·················· 7分 ∴四边形ABCD 的面积OAD ODC OCB S S S S ∆∆∆=++111||sin ||||||cos 222OD OD OC OC αα=⋅+⋅+⋅ 133sin 2αα=++························· 9分 3sin()3πα=++···························· 10分 02πα<<，∴5336πππα<+<····················· 11分 ∴当32ππα+=时，即6πα=时，四边形ABCD 的面积达到最大值31 ···· 12分 20．本题考查线面、面面位置关系、空间几何体体积公式等基础知识，考查空间想象、推理论证、运算求解等能力，考查化归转化与数形结合等数学思想．本题满分12分． 解：（1）如图所示，过点G 作直线//EG SC ，分别交AC ，SA 于D ，E 两点， 再过点E 作直线//EF SB ，交AB 于点F ，连接DF . ············· 2分//DE SC ， DE SBC ⊄平面，SC SBC ⊂平面//DE SBC ∴平面，同理，//EF SBC 平面 ···· 4分又DE EF E =，DE DEF ⊂平面，EF DEF ⊂平面 ，G DE DEF ∈⊂平面.DEF G SBC ∴平面即过点且平行于平面的截面DE ∴，EF ，FD 即为所求． ······················· 6分（2）法一：32SA SB AB === 222SA SB AB ∴+=，即SA SB ⊥， ····················· 7分同理SB SC ⊥，SC SA ⊥， 又SB SC S =，故SA SBC ⊥面， ···················· 8分∴1119=3322S ABC SBC V S SA SB SC SA -∆=⋅⨯⋅⋅= ················ 9分 由（1）知，//DEF SBC 平面平面，所以，SA DEF ⊥平面. 点G 是SAC ∆的重心，//DE SC ，//EF SB ∴23DE AE EF SC SA SB === 311128332=111327332DEF A DEF A SBCSBC S AE DE EF AEV V S SA SC SB SA ∆--∆⋅⨯⋅⋅⎛⎫∴===⎪⎝⎭⋅⨯⋅⋅ ··········· 11分 891919(1)272276DEF SBC A SBC V V --∴=⋅-=⨯=·················· 12分 即截面与平面SBC 之间的几何体的体积196.法二：同法一得92S ABC V -=，23DE AE EF SC SA SB ===2DE AE EF ∴=== DE EF ⊥11143323A DEF DEF V S AE DE EF AE -∆∴=⋅=⨯⋅⋅= ···············11分9419236DEF SBC A SBC A DEF V V V ---∴=-=-= ··················12分 即截面与平面SBC 之间的几何体的体积196.法三：取BC 的中点H ,连接AH ，过点S 作SO ABC ⊥平面于点O ，再过点E 作EO ABC '⊥平面于点O '.依题意可知三棱锥S ABC -是正三棱锥. ······· 7分 SOABC ⊥面于点O，∴点O 是ABC ∆的重心，从而22332AO AH AB ==⨯=. SO ∴=，∴122ABC S BC AH =⋅=△， 1932S ABC ABC V S SO -∆∴=⋅=. ························ 9分点G 是SAC ∆的重心，//DE SC ，//EF SB ， ∴23ED EA EF SC SA SB===，2ED EA EF ∴=== 又由//DEF SBC 平面平面的易得//DF BC ， ADF ABC ∴∽△△，ADF ∴△也是等边三角形，且AD DF FA ===，∴三棱锥E ADF -也是正三棱锥，12ADF S DF AO =⋅=△，233EO SO '==， ∴1143333E ADF ADF V S EO -∆'=⋅=⨯= ················ 11分 9419236DEF ABC A SBC A DEF V V V ---∴=-=-= ··················12分 即截面与平面SBC 之间的几何体的体积196.21．本题考查三角函数图象与性质、三角恒等变换等基础知识；考查运算求解与推理论证等能力；考查函数与方程、分类讨论、数形结合等思想．本题满分12分． 解：（1）2ππω=，2ω∴=；······················· 1分 函数()f x 图象关于4x π= 对称，∴sin()12πϕ+=±法一： ∴,22k k ππϕπ+=+∈Z ，22ππϕ-<<，∴0ϕ= ····· 3分法二：∴cos 1ϕ=±，22ππϕ-<<，∴0ϕ= ··············· 3分∴函数()f x 的解析式为()sin 2f x x =····································· 5分 （不列表格不扣分，在图中找到5个关键点1分，图象1分）（2）依题意得()sin(4)2g x x π=+······················ 6分∴()sin(4)(21)sin 212F x x a x a π=+++-- cos 4(21)sin 21x a x a =++--······················· 7分 2(12sin 2)(21)sin 21x a x a =-++-- ············ 8分22sin 2(21)sin 2(2sin 21)(sin 2)x a x a x x a =-++-=---令()0F x =，∴1sin 22x =或sin 2x a = ··················· 9分 1sin 22x =在上有2个实根，1sin 22x =在(]0,10π上有20个实根， （i ）当12a =时，又，函数()F x 在区间[]0,10π上有20个零点． ····································· 10分 （ii ）当0a =时，sin 20x =在上有2个根 ，则()F x 在(]0,10π有20个根，又sin 20x =在[]0,10π上有21个实根，函数()F x 在区间[]0,10π上有41个零点． ································· 11分 （iii ）当102a <<或112a <<时，sin 2x a =在上有2个实根，sin 2x a =在(]0,10π 上有20个实根，又函数()F x 在区间[]0,10π上有40个零点． ····································· 12分22．本题考查圆的方程、直线和圆的位置关系、两点距离公式以及向量坐标运算等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想与数形结合等数学思想．本题满分12分．解：（1）法一：由题意，当E 在y 轴上时，坐标为()0,1E ，设(),F x y ，∴()1,1AE =，()1,FA x y =---，2FA AE =，122x y --=⎧∴⎨-=⎩， ∴3,2x y =-=-，∴()3,2F --． ····················· 2分 圆C 过A ，B 两点，∴圆心C 位于AB 的中垂线上，即点C 在y 轴上，设()0,C c，则半径||CA =C 方程为()2221x y c c +-=+， 圆C 过()3,2F --，∴()22921c c ++=+，∴3c =- ············ 4分 ∴圆C 方程为()22310x y ++=. ······················ 5分 法二：同法一，得()3,2F -- ························ 2分 易知线段AB 的中垂线与线段AF 中垂线的交点为圆心C ．AF 的中点为()2,1--，直线AF 的斜率1AF k =，∴AF 中垂线的方程为3y x =--， ····················· 3分 又AB 的中垂线为0x =，∴ C ()0,3-，∴半径||CA =， ····················· 4分 ∴圆C 方程为()22310x y ++=. ······················ 5分 （2）法一：设直线l 的方程为()10x my m =->，联立直线l 与圆C 方程，得()()221310my y -++=， (]0,π∴1sin 02≠∴(]0,πsin 00=∴∴(]0,π∴sin 0a ≠∴即()()221620m y m y ++-=，解得0y =或2261m y m -=+， ··········· 6分 所以2261F m y m -=+， 点F 在x 轴下方，∴260m -<，即3m <； 将F y 代入直线l ，F 的横坐标为22611F m m x m --=+， ∴点F 坐标为2226126(,)11m m m m m ---++； ···················· 7分 同理，设直线EB 的方程为1l ：11x y m=-+， 与圆C 方程()22310x y ++=联立，得到2212160y y m m ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 解得0y =或22261m m y m -=+，所以点G 的纵坐标为22261G m m y m -=+， ······ 8分 点G 在x 轴下方，∴2260m m -<，即13m >； 将G y 代入直线1l ，G 的横坐标为22611G m m x m +-=+； ∴点G 坐标为22226126(,)11m m m m m m +--++ ··················· 9分FG ∴==6 ··············· 11分 CFG △为等腰三角形，∴CFG △的高1h ===， 132CFG S FG h ∆∴=⋅=为定值． ······················ 12分 法二：注意到ABE ∠为圆C 内接四边形ABGF 中ABG ∠的外角，故由圆内接四边形的几何性质知=ABE EFG ∠∠，同理， =EAB EGF ∠∠；EGF ∴△∽AEB △，=EG EF FG EA EB AB∴= ······· 8分 联结,AC BF ，12ACO ACB EFB ∠=∠=∠， 又EFB △与AOC △均为直角三角形，EFB AOC ∴∽△△， ········· 10分 3EF OC EB OA ∴==，=3FG AB∴，2AB =，6FG ∴=为定值 ·········· 11分 以下同法一． ······························· 12分。
2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷(含答案)
2018~2019学年度高一下学期数学期末试卷（含答案）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.若角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=()A. −12B. −√32C. 12D. √322.已知a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，则|a⃗+b⃗ |=()A. 10B. 8C. √10D. 643.已知sin(α+π6)=2√55，则cos(π3−α)=()A. √55B. −√55C. 2√55D. −2√554.函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后所得的图象关于原点对称，则φ可以是()A. π6B. π3C. π4D. 2π35.已知直线3x−y+1=0的倾斜角为α，则12sin2α+cos2α=()A. 25B. −15C. 14D. −1206.某班统计一次数学测验的平均分与方差，计算完毕以后才发现有位同学的卷子还未登分，只好重算一次．已知原平均分和原方差分别为x−、s2，新平均分和新方差分别为x1−、s12，若此同学的得分恰好为x−，则()A. x−=x1−，s2=s12B. x−=x1−，s2<s12C. x−=x1−，s2>s12D. ，s2=s127.某班运动队由足球运动员18人、篮球运动员12人、乒乓球运动员6人组成，现从这些运动员中抽取1个容量为n的样本，若分别采用系统抽样和分层抽样，则都不用剔除个体；当样本容量为n+1个时，若采用系统抽样，则需要剔除1个个体，那么样本容量n为()A. 5B. 6C. 12D. 188.执行如图的程序框图．若输入A=3，则输出i的值为()A. 3B. 4C. 5D. 69. 已知△ABC 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则△ABC 是( )A. 等边三角形B. 锐角三角形C. 直角三角形D. 钝角三角形10. “勾股定理”在西方被称为“华达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为4的大正方形，若直角三角形中较小的锐角α=15°，现在向该大正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在图中区域1或区域2内的概率是( )A. 12B. 58C. 34D. 7811. 函数f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,0<ϕ<π2)的部分图象如图所示，则f(0)的值是( )A. √32B. √34C. √62D. √6412. 已知a ⃗ =(sin ω2x,sinωx),b ⃗ =(sin ω2x,12)，其中ω>0，若函数f(x)=a ⃗ ⋅b ⃗ −12在区间(π,2π)内没有零点，则ω的取值范围是( ) A. (0,18]B. (0,58]C. (0,18]∪[58,1]D. (0,18]∪[14,58]二、填空题（本大题共4小题，共20分）13. 甲、乙两人在相同的条件下各射击10次，它们的环数方差分别为s 甲2=2.1，s 乙2=2.6，则射击稳定程度较高的是______(填甲或乙)．14. 执行如图的程序框图，若输入的x =2，则输出的y =______．15. 《九章算术》是中国古代数学名著，其对扇形田面积给出“以径乘周四而一”的算法与现代数学的算法一致，根据这一算法解决下列问题：现有一扇形田，下周长(弧长)为20米，径长(两段半径的和)为24米，则该扇形田的面积为______平方米．16. 已知点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，则2sinα+cosα=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.2018年3月19日，世界上最后一头雄性北方白犀牛“苏丹”在肯尼亚去世，从此北方白犀牛种群仅剩2头雌性，北方白犀牛种群正式进入灭绝倒计时．某校一动物保护协会的成员在这一事件后，在全校学生中组织了一次关于濒危物种犀牛保护知识的问卷调查活动．已知该校有高一学生1200人，高二1300人，高三学生1000人．采用分层抽样从学生中抽70人进行问卷调查，结果如下：完全不知道知道但未采取措施知道且采取措施高一8x y高二z133高三712m在进行问卷调查的70名学生中随机抽取一名“知道但未采取措施”的高一学生的概率是0.2．(Ⅰ)求x，y，z，m；(Ⅱ)从“知道且采取措施”的学生中随机选2名学生进行座谈，求恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率．18.为增强学生体质，提升学生锻炼意识，我市某学校高一年级外出“研学”期间举行跳绳比赛，共有160名同学报名参赛．参赛同学一分钟内跳绳次数都在区间[90,150]内，其频率直方图如右下图所示，已知区间[130,140)，[140,150]上的频率分别为0.15和0.05，区间[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)上的频率依次成等差数列．(Ⅰ)分别求出区间[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率；(Ⅱ)将所有人的数据按从小到大排列，并依次编号1，2，3，4…160，现采用等距抽样的方法抽取32人样本，若抽取的第四个的编号为18．(ⅰ)求第一个编号大小；(ⅰ)从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)上的概率是多少？19.已知a⃗=(1,2)，b⃗ =(−3,4)．(1)若|k a⃗+b⃗ |=5，求k的值；(2)求a⃗+b⃗ 与a⃗−b⃗ 的夹角．，且α为第二象限角．20.已知sinα=35(1)求sin2α的值；)的值．(2)求tan(α+π4)(x∈R)．21.设函数f(x)=4cosx⋅sin(x+π6(1)求函数y=f(x)的最小正周期和单调递增区间；]时，求函数f(x)的最大值．(2)当x∈[0,π2)，f(0)=0，且函数f(x) 22.已知f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)(ω>0,0<|φ|<π2．图象上的任意两条对称轴之间距离的最小值是π2)的值；(1)求f(π8(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位后，得到函数y=g(x)的图象，求函数6g(x)的解析式，并求g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：角α的终边经过点(1,−√3)，则sinα=yr =−√32．故选：B．直接利用任意角的三角函数的定义，求解即可．本题考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力．2.【答案】A【解析】解：a⃗=(1,x)和b⃗ =(2x+3,−3)，若a⃗⊥b⃗ ，可得：2x+3−3x=0，解得x=3，所以a⃗+b⃗ =(10,0)，所以|a⃗+b⃗ |=10．故选：A．利用向量的垂直，求出x，然后求解向量的模．本题考查向量的数量积以及向量的模的求法，向量的垂直条件的应用，是基本知识的考查．3.【答案】C【解析】解：∵已知sin(α+π6)=2√55，∴cos(π3−α)=cos[π2−(α+π6)]=sin(α+π6)=2√55，故选：C．由条件利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查利用诱导公式进行化简三角函数式，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：函数f(x)=sin(2x+φ)的图象向右平移π6个单位后，可得y=sin(2x−π3+φ)，∵图象关于原点对称，∴φ−π3=kπ，k∈Z，可得：φ=kπ+π3．当k=0时，可得φ=π3．故选：B．根据图象变换规律，可得解析式，图象关于原点对称，建立关系，即可求解φ值．本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律和对称问题，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：∵直线3x −y +1=0的倾斜角为α，∴tanα=3， ∴12sin2α+cos 2α=12⋅2sinαcosα+cos 2α=sinαcosα+cos 2αsin 2α+cos 2α=tanα+1tan 2α+1=3+19+1=25，故选：A ．由题意利用直线的倾斜角和斜率求出tanα的值，再利用三角恒等变换，求出要求式子的值．本题主要考查直线的倾斜角和斜率，三角恒等变换，属于中档题． 6.【答案】C【解析】解：设这个班有n 个同学，数据分别是a 1，a 2，…，a i,…，a n ， 第i 个同学没登分，第一次计算时总分是(n −1)x −，方差是s 2=1n−1[(a 1−x −)2+⋯+(a i−1−x −)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]第二次计算时，x 1−=(n−1)x −+x−n=x −，方差s 12=1n [(a 1−x −)2+⋯(a i−1−x −)2+(x −x)2+(a i+1−x −)2+⋯+(a n −x −)2]=n−1ns 2， 故s 2>s 12， 故选：C ．根据平均数和方差的公式计算比较即可．本题考查了求平均数和方差的公式，是一道基础题． 7.【答案】B【解析】解：由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体； 如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时， 需要在总体中先剔除1个个体， ∵总体容量为6+12+18=36．当样本容量是n 时，由题意知，系统抽样的间隔为36n ， 分层抽样的比例是n36，抽取的乒乓球运动员人数为n36⋅6=n6， 篮球运动员人数为n36⋅12=n3，足球运动员人数为n36⋅18=n2， ∵n 应是6的倍数，36的约数， 即n =6，12，18．当样本容量为(n +1)时，总体容量是35人， 系统抽样的间隔为35n+1， ∵35n+1必须是整数，∴n 只能取6．即样本容量n =6． 故选：B ．由题意知采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，算出总体个数，根据分层抽样的比例和抽取的乒乓球运动员人数得到n 应是6的倍数，36的约数，由系统抽样得到35n+1必须是整数，验证出n 的值．本题考查分层抽样和系统抽样，是一个用来认识这两种抽样的一个题目，把两种抽样放在一个题目中考查，加以区分，是一个好题． 8.【答案】C【解析】解：运行步骤为：i =1，A =7 i =2，A =15； i =3，A =31； i =4，A =63； i =5，A =127； 故输出i 值为5， 故选：C ．根据已知的程序语句可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i 的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题． 9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了向量的加减法则，数量积的运算性质，三角形形状的判断，属于中档题．根据向量的加减运算法则，将已知化简得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，得CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.结合向量数量积的运算性质，可得CA ⊥CB ，得△ABC 是直角三角形．【解答】解：∵△ABC 中，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ =AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 即AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CB⃗⃗⃗⃗⃗ ，即CA ⊥CB ， ∴△ABC 是直角三角形， 故选C ． 10.【答案】B【解析】解：小正方形的边长为4sin750−4cos750=(√6+√2)−(√6−√2)=2√2， 故小正方形与大正方形的面积之比为(2√24)2=12，因此剩下的每个直角三角形的面积与大正方形的面积之比为12÷4=18， ∴飞镖落在区域1或区域2的概率为12+18=58． 故选：B ．由已知求出小正方形的边长，得到小正方形及直角三角形与大正方形的面积比，则答案可求．本题考查几何概型概率的求法，求出小正方形及直角三角形与大正方形的面积比是关键，是中档题．11.【答案】C【解析】解：由图知，A=√2，又ω>0，T 4=7π12−π3=π4，∴T=2πω=π，∴ω=2，∴π3×2+φ=2kπ+π(k∈Z)，∴φ=2kπ+π3(k∈Z)，∵0<ϕ<π2，∴φ=π3，∴f(x)=√2sin(2x+π3)，∴f(0)=√2sinπ3=√62．故选：C．由图知，A=√2，由T4=π4，可求得ω，π3ω+φ=2kπ+π(k∈Z)，0<ϕ<π2可求得φ，从而可得f(x)的解析式，于是可求f(0)的值．本题考查由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，求得φ是难点，考查识图能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：a⃗=(sinω2x,sinωx),b⃗ =(sinω2x,12)，其中ω>0，则函数f(x)=a⃗⋅b⃗ −12=sin2(ω2x)+12sinωx−12=12−12cosωx+12sinωx−12=√2sin(ωx−π4)，可得T=2πω≥π，0<ω≤2，f(x)在区间(π,2π)内没有零点，结合三角函数可得，{πω−π4≥02πω−π4≤π或{πω−π4≥−π2πω−π4≤0，解得14≤ω≤58或0<ω≤18，故选：D．利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点以及函数的周期，列出不等式求解即可．本题考查函数的零点个数的判断，三角函数的化简求值，考查计算能力．13.【答案】甲【解析】解：方差越小越稳定，s 甲2=2.1<s 乙2=2.6，故答案为：甲．根据方差的大小判断即可．本题考查了方差的意义，掌握方差越小越稳定是解决本题的关键，是一道基础题． 14.【答案】7【解析】解：由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，∵输入结果为2，∴y =3×2+1=7． 故答案为：7．由已知中的程序框图可知：该程序的功能是计算并输出y ={2x x >23x +1x ≤2的值，由已知代入计算即可得解．本题主要考查选择结构的程序框图的应用，关键是判断出输入的值是否满足判断框中的条件，属于基础题． 15.【答案】120【解析】解：由题意可得：弧长l =20，半径r =12， 扇形面积S =12lr =12×20×12=120(平方米)，故答案为：120．利用扇形面积计算公式即可得出．本题考查了扇形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．16.【答案】25【解析】解：点P(4m,−3m)(m <0)在角α的终边上，∴x =4m ，y =−3m ，r =|OP|=√16m 2+9m 2=−5m ， ∴sinα=y r=35，cosα=x r =−45，∴2sinα+cosα=65−45=25，故答案为：25．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sinα和cosα的值，可得2sinα+cosα的值． 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．17.【答案】解：(Ⅰ)采用分层抽样从3500名学生中抽70人，则高一学生抽24人，高二学生抽26人， 高三学生抽20人．“知道但未采取措施”的高一学生的概率=x70=0.2， ∴x =14，∴y =24−14−8=2，z=26−13−3=10，m=20−12−7=1，∴x=14，y=2，z=10，m=1；(Ⅱ)“知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E表示，高三学生1名用F表示．则从这6名学生中随机抽取2名的情况有：(A,B)，(A,C)，(A,D)，(A,E)，(A,F)，(B,C)，(B,D)，(B,E)，(B,F)，(C,D)，(C,E)，(C,F)，(D,E)，(D,F)，(E,F)共15种，其中恰好1名高一学生1名高二学生的有6种．∴P=615=25，即恰好有1名高一学生，1名高二学生的概率为25．【解析】(Ⅰ)根据分层抽样先求出x，即可求出y，z，m．(Ⅱ)知道且采取措施”的学生中高一学生2名用A，B表示，高二学生3名用C，D，E 表示，高三学生1名用F表示．根据古典概率公式计算即可．本题考查等可能事件的概率，古典概型概率计算公式等知识，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和为：1−10×0.035−0.15−0.05=0.45，且前三个频率成等差数列(设公差为d)，故[100,110)上的频率为：0.453=0.15，从而2d=0.35−0.15=0.2，解得d=0.1，∴[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率分别为0.05，0.15，0.25.……(5分) (Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，故第一个编号为18−3×5=3.……(7分) (ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，……(9分)由(1)可知区间[90,100)，[100,110)上的总人数为160×(0.05+0.15)=32人，[110,120)，[120,130)上的总人数为160×(0.25+0.35)=96人，[90,130)共有128人，令33≤a n≤128，解得7≤n≤26，∴在[110,120)，[120,130)上抽取的样本有20人，……(11分)故从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率是p=2032=58.……(12分)【解析】(Ⅰ)先求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率之和，再由前三个频率成等差数列，得[100,110)上的频率为0.15，由此能求出[90,100)，[100,110)，[110,120)上的频率．(Ⅱ)(ⅰ)从160人中抽取32人，样本距为5，由此能求出第一个编号．(ⅰ)抽取的32人的编号依次成等差数列，首项为3，公差为5，设第n个编号为a n，则a n=3+(n−1)×5=5n−2，由此能求出从此32人中随机选出一人，则此人的跳绳次数在区间[110,130)的概率．本题考查频率的求法，考查第一个编号、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．19.【答案】解：(1)根据题意，k a⃗+b⃗ =k(1,2)+(−3,4)=(k−3,2k+4)，由|k a ⃗ +b ⃗ |=5，得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解得：k =0或k =−2；(2)根据题意，设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，a ⃗ =(1,2)，b ⃗ =(−3,4)，则a ⃗ +b ⃗ =(−2,6)，a ⃗ −b ⃗ =(4,−2)；∴cosθ=40×20=−√22， ∵θ∈[0,π]；∴a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 夹角为3π4．【解析】(1)根据题意，求出k a ⃗ +b⃗ 的坐标，进而由向量模的计算公式可得√(k −3)2+(2k +4)2=5，解可得k 的值，即可得答案；(2)设a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的夹角为θ，求出a ⃗ +b ⃗ 与a ⃗ −b ⃗ 的坐标，由向量数量积的计算公式可得cosθ的值，结合θ的范围计算可得答案．本题考查向量数量积的坐标计算，关键是掌握向量数量积、模的计算公式． 20.【答案】解：(1)∵sinα=35，且α为第二象限角，∴cosα=−√1−sin 2α=−45， ∴sin2α=2sinαcosα=2×35×(−45)=−2425；(2)由(1)知tanα=sinαcosα=−34， ∴tan(α+π4)=tanα+tan π41−tanαtan π4=−34+11−(−34)=17．【解析】(1)由已知利用平方关系求得cosα，再由二倍角公式求得sin2α的值；(2)由(1)求出tanα，展开两角和的正切求得tan(α+π4)的值．本题考查同角三角函数基本关系式的应用，考查两角和的正切，是基础的计算题． 21.【答案】解：(1)f(x)=4cosx ⋅sin(x +π6)=2√3sinxcosx +2cos 2x=√3sin2x +cos2x +1=2sin(2x +π6)+1，∴函数f(x)的周期T =π，∴当2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2时，即kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，函数单调增， ∴函数的单调递增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)； (2)当x ∈[0,π2]时，2x +π6∈[π6,7π6]， ∴sin(2x +π6)∈[−12,1]，∴当sin(2x +π6)=1，f(x)max =3．【解析】(1)对f(x)化简，然后利用周期公式求出周期，再利用整体法求出单调增区间； (2)当x ∈[0,π2]时，sin(2x +π6)∈[−12,1]，然后可得f(x)的最大值．本题考查了三角函数的化简求值和三角函数的图象与性质，考查了整体思想和数形结合思想，属基础题．22.【答案】解：(1)f(x)=sin(ωx+φ)+cos(ωx+φ)=√2sin(ωx+φ+π4)，故2πω=2×π2，求得ω=2．再根据f(0)=sin(φ+π4)=0，0<|φ|<π2，可得φ=−π4，故f(x)=√2sin2x，f(π8)=√2sinπ4=1．(2)将函数y=f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到函数y=g(x)=√2sin2(x−π6)=√2sin(2x−π3)的图象．∵x∈[π6,π2]，∴2x−π3∈[0,2π3]，当2x−π3=π2时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最大值为√2；当2x−π3=0时，g(x)=√2sin(2x−π3)取得最小值为0．【解析】(1)由条件利用两角和差的正弦公式化简f(x)的解析式，由周期求出ω，由f(0)= 0求出φ的值，可得f(x)的解析式，从而求得f(π8)的值．(2)由条件利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域求得g(x)在x∈[π6,π2]上的最值．本题主要考查两角和差的正弦公式，由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由f(0)=0求出φ的值，可得f(x)的解析式；函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．。
福建省厦门市2018-2019学年高一第一学期质量检测(期末)数学试题(解析版)
厦门市2018-2019学年度第一学期高一年级质量检测数学试题一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义即可求出A∩B．【详解】∵集合A={-2，-1，0，1，2}，集合B={x|-1≤x≤1}，∴A∩B={-1，0，1}．故选D．【点睛】本题考查交集的求法，是基础题.2.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】使函数有意义的x满足解不等式组即得解.【详解】使函数有意义的x满足解得即函数的定义域为.故选B.【点睛】本题考查了具体函数定义域，属于基础题.3.已知角的终边经过点，则的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据三角函数定义=可得结果.【详解】角的终边经过点，所以，所以==.故选A.【点睛】本题考查了三角函数定义，已知角的终边上一点的坐标即可求得各种三角函数值，属于基础题.4.某研究小组在一项实验中获得一组关于之间的数据，将其整理得到如图所示的散点图，下列函数中最能近似刻画与之间关系的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）即可得解.【详解】根据图中的特殊点（2,1），（4,2）,通过选项可知只有C：满足题意.故选C.【点睛】本题考查了由函数图象写解析式，可以进行选项验证，属于基础题.5.化简的结果为（）A. 0B. 2C. 4D. 6【答案】A【解析】【分析】由对数的运算性质即可得解.【详解】==2-2=0.故选A.【点睛】本题考查对数的运算性质，熟记公式是关键，属于基础题.6.已知是圆的一条弦，，则的值为（）A. -2B. 1C. 2D. 与圆的半径有关【答案】C【分析】是圆的一条弦,所以与共线同向，所以=||||=即可得解.【详解】是圆的一条弦,所以与共线同向，所以=||||==2.故选C.【点睛】本题考查了数量积的运算，利用定义求解要确定模长及夹角，属于基础题.7.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的诱导公式结合二倍角公式进行化简即可．【详解】可得cos=1-2,所以= cos=.故选D.【点睛】本题主要考查三角函数值的计算，利用三角函数的二倍角公式，诱导公式进行化简是解决本题的关键，属于基础题．8.函数，若实数满足，且，则下列结论不恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】结合函数的图象，逐个进行分析即可得解.【详解】函数的图象如下：可得=即=0,所以=0,故A对；可得,即，所以，，故B对；由图象可知，所以，所以1<<,,故，故C对；通过选项排除可知D不恒成立.故选D.【点睛】本题考查了函数与方程，对数运算性质，数形结合能更有效的解决问题，属于中档题.二、多选题（每题5分，满分10分，将答案填在答题纸上）9.已知函数，，则，满足（）A. ，B. ，C. D.【答案】ABC【解析】【分析】逐一分析各选项即可；A：写出，即可解决；B：判断与的单调性即可；C：写出即可得解；D：写出即可得解.【详解】函数，A:=,故A对；B：因为函数为增函数，所以，，则在上恒成立，所C：，故C对；D：，故D错；故选ABC.【点睛】本题考查了函数的基本性质：奇偶性，单调性，熟练掌握各种初等函数的性质是关键，属于难题. 10.已知函数，则下列说法正确的是（）A. B. 的图像关于对称C. 若，则D. 若，则【答案】BD【解析】【详解】函数A:当x=0时，=1，=1+，故A错；B：，当时，对应的函数值取得最小值为-1，所以B正确；C：时，所以函数在不单调，故C错；D：因为，所以,又即2，所以恒成立，故D对；故选BD.【点睛】本题考查了三角函数的综合性质，对称性，单调性，最值等，利用整体思想进行求解分析是关键,属于难题.三、填空题（本大题共6小题，共30分.）11.已知，，则________.【答案】【解析】【分析】得出，由可得,进而可求.【点睛】本题考查了诱导公式的应用，同角关系基本公式的应用，属于基础题.12.已知集合，集合，若，则实数的取值范围是_______.【答案】【解析】【分析】若则A⊆B，根据集合，集合，即可得出实数的取值范围.【详解】若则A⊆B，又集合，集合，所以.故答案为【点睛】本题考查的知识点是集合的包含关系的判断与应用，集合的并集运算，属于基础题.13.设，，，用“<”把排序_______.【答案】【解析】【分析】利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可．【详解】=sin,=sin(-)=sin> sin==，所以<<1,又==<,所以<.故答案为<.【点睛】本题主要考查三角函数值的大小比较，利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性是解决本题的关键．14.方格纸中向量，如图所示，若，则_______.【答案】3【解析】【分析】选取基底，把，用基底表示，结合平面向量基本定理即可列方程求解.=()+()=()+(3),所以所以.故答案为3.【点睛】本题考查了平面向量基本定理，选好基底是关键，属于基础题．15.燕子每年秋天都要从北方飞到南方过冬，研究发现，燕子的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示燕子的耗氧量的单位数，记时耗氧量为，时耗氧量为，则是的_________倍.【答案】16【解析】【分析】把代入函数解析式，列出方程，利用对数的性质，即可计算O2是O1的多少倍．【详解】，5=，则解得，故是的16倍.故答案为16.【点睛】本题考查对数的运算，属于基础题.16.如图，矩形关于轴对称，其三个顶点恰好分别落在函数、、的图像上，若点的横坐标大于1，则点的坐标为_______.【答案】【解析】【分析】设出点A（m,）,矩形及三个顶点所在的函数方程即可得到关于m的方程即可求得点的坐标. 【详解】顶点在函数上，设出点A（m,），根据恰好分别落在函数、的图像上，则可得点B（），点C（）,则点D（m，），因为矩形关于轴对称，所以，又点的横坐标大于1，所以>1,故m=2,所以点D（2，-4）.故答案为（2，-4）.【点睛】本题主要考查幂、指、对函数的图象与性质以及基本运算能力，属于基础题．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知函数的一个对称中心为，其图像上相邻两个最高点间的距离为.（1）求函数的解析式；（2）用“五点作图法”在给定的坐标系中作出函数在一个周期内的图像，并写出函数的单调递减区间. 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)因为的图像上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，由此得因为的对称中心为，因为的对称中心，，求得，即可得解；（2）由“五点作图法”找出函数在一个周期内的五个关键点，列表，描点，作图，即可得出函数的单调递减区间.【详解】（1）因为的图像上相邻两个最高点的距离为，所以的最小正周期，由和，可得因为的对称中心为，所以，，即，又因为，所以，所以函数的解析式为.（2）由“五点作图法”找出函数在一个周期内的五个关键点，列表如下：由，可得，所以函数的单调递减区间是.【点睛】本题考查三角函数性质，由周期，对称性得出解析式，考查五点作图法，是中档题．18.已知函数.（1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明；（2）函数在区间内是否有零点？若有零点，用“二分法”求零点的近似值（精确到0.3）；若没有零点，说明理由.（参考数据：，，，，，）【答案】（1）见解析；（2）有，【解析】【分析】（1）由条件利用函数的单调性的定义即可证得函数f（x）在区间上的单调性．（2）结合函数单调性，由零点存在性定理得出连续函数在区间上有且仅有一个零点，由二分法即可得出零点的近似值（精确到0.3）.【详解】（1）函数在区间上是增函数，设，且，则，所以，故函数在区间上是增函数.（2）是增函数，又因为，，所以又因为，所以又，所以零点的近似值为.【点睛】本题考查了用定义证明函数单调性，零点存在性定理的应用，二分法求零点的近似值，属于中档题. 19.如图，平行四边形中，，，，点分别为边的中点，与相交于点，记，.（1）用表示，并求；（2）若，求实数的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由向量加法表示，平方求得代入各值即可得解;（2）因为，与共线，设，则表示，，由得出方程，即可解出.【详解】（1）由图形可知因为所以（2）因为，与共线，设，则由于因为，所以即则，解得，所以【点睛】本题考查了向量的加法法则，求向量的模，向量共线定理和平面向量基本定理，属于中档题.20.如图，点在以原点为圆心的单位圆上，记锐角，点从开始，按逆时针方向以角速度在圆上做圆周运动，经过到达点，记的纵坐标关于时间的函数为.（1）求实数的值；（2）求函数在区间上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，结合图象，由任意角的三角函数的定义求得y=f（t）的表达式,即可求得的值；（2）由（1）知，，则，所以化简即可求得在上的值域.【详解】（1）由题意，点是的终边与单位圆的交点，由任意角的三角函数的定义，知又时，，即，得，即,此时.（2）由（1）知，，则所以由，得，，从而故函数在上的值域为.【点睛】本题考查了三角函数的应用，求函数y=Asin（ωx+）的解析式，三角函数定义及两角和的正弦公式，求三角函数y=Asin（ωx+）在给定区间的值域，属于中档题.21.医药公司针对某种疾病开发了一种新型药物，患者单次服用制定规格的该药物后，其体内的药物浓度随时间的变化情况（如图所示）：当时，与的函数关系式为（为常数）；当时，与的函数关系式为（为常数）.服药后，患者体内的药物浓度为，这种药物在患者体内的药物浓度不低于最低有效浓度，才有疗效；而超过最低中毒浓度，患者就会有危险.（1）首次服药后，药物有疗效的时间是多长？（2）首次服药1小时后，可否立即再次服用同种规格的这种药物?（参考数据：，）【答案】（1）小时；（2）见解析【解析】【分析】（1）当时，，函数图像过点，求出，进而求出t=1时，所以当时，，函数图像过点，求出m,解指数不等式求出t的范围即可；（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度为，当时，，根据单调性，解得x=1即得解.【详解】（1）当时，，函数图像过点，所以，得所以当时，当时，，函数图像过点所以，所以由，得，所以则药物有疗效时间为小时.（2）设再次服用同等规格的药物小时后的药物浓度为当时，因为函数在内单调递增，所以当时，当时，因为，所以首次服药后1小时，可以立即再次服用同等规格的药物.【点睛】本题考查了函数在实际生活中的应用，给出函数模型进行求解，中间涉及指数方程和指数不等式解法，利用函数单调性是关键，属于中档题.22.已知函数是偶函数.（1）求实数的值；（2）当时，函数存在零点，求实数的取值范围；（3）设函数，若函数与的图像只有一个公共点，求实数的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3）【解析】【分析】（1）函数是偶函数, 所以得出值检验即可；（2）因为时，存在零点，即关于的方程有解，求出的值域即可；（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以，换元，研究二次函数图象及性质即可得出实数的取值范围.【详解】（1）因为是上的偶函数，所以，即解得，经检验：当时，满足题意.（2）因为，所以因为时，存在零点，即关于的方程有解，令，则因为，所以，所以，所以，实数的取值范围是.（3）因为函数与的图像只有一个公共点，所以关于的方程有且只有一个解，所以令，得（*），记，①当时，方程（*）的解为，不满足题意，舍去；②当时，函数图像开口向上，又因为图像恒过点，方程（*）有一正一负两实根，所以符合题意；③当时，且时，解得，方程（*）有两个相等的正实根，所以满足题意.综上，的取值范围是.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了函数与方程零点问题，通常采用变量分离，或者通过换元转化为熟悉的二次方程根的分布问题，属于难题.。
【高一数学试题精选】福建厦门市2018年高一数学下学期期末试卷(带解析)
福建厦门市2018年高一数学下学期期末试卷（带解析）
5 c 2018学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1． =（）
A． B． c． D．
【考点】运用诱导式化简求值．
【分析】根据诱导式可知cs =cs（π+ ），进而求得答案．
【解答】解cs =cs（π+ ）=﹣cs =﹣
故选D．
2．已知向量 =（1，2），向量 =（x，﹣2），且⊥（﹣），则实数x等于（）
A．﹣4B．4c．0D．9
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】①把转化为②用坐标运算式 =x1x2+12
【解答】解∵ ∴ ，
∴ ，
∴1+2×2﹣（1×x﹣2×2）═0，
∴x=9．
故选D．
3．已知圆c1x2+2=1，圆c2x2+2+4x﹣6+4=0，则圆c1与圆c2的位置关系是（）
A．外离B．相切c．相交D．内含
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆。