多元函数微分学的几何应用29页PPT

61-2多元函数微分学的几何应用-PPT课件

9
第五章多元函数微分学及其应用
3 4 9 x y z 5 5 25 ，故切线方程为 4 3 24 5 5 25
3 4 9 x y z 5 5 25 。即 4 3 24
4 3 3 4 24 9 法平面方程为 ( x ) ( y ) ( z ) 0 ， 5 5 5 5 25 25
3
第五章多元函数微分学及其应用
当点 M M0 时，有 t 0 ，得
x x 0 y y0 z z 0 x( t 0 ) y( t 0 ) z( t 0 )
即为曲线在点 M 0 处的切线 M 0T 的方程。
切线的方向向量 a x(t0 ), y(t0 ), z(t0 ) 。
2 y 16 x 1 例 2．求曲线 : 在对应于 x 的点 M 处 2 2 z 12 x
的切线方程与法平面方程。
例 3．求抛物柱面 z x 2 及圆柱面 x 2 y 2 1 相交所成的
3 4 9 空间曲线在 M 0 ( , , ) 处的切线方程和法平面方程。 5 5 25
M0 ( x0 , y0 , z0 ) 及 M ( x0 x, y0 y, z0 z ) ，则割线
x x 0 y y0 z z 0 ， M 0 M 的方程为 x y z
x x y y z z 上式分母除以 t ，得， x y z t t t
∴螺旋线在点 M 处的切线方程为
2 2 x 2 y 2 z 4 x 2 y 2 z 4 ，即； 2 2 2 1 1 1 6
第五章多元函数微分学及其应用
螺旋线在点 M 处的法平面方程为
2 2( x 2 ) 2( y 2 ) 2(z ) 0 ， 4

多元函数微分学的几何应用ppt课件

9.6 多元函数微分学的几何应用
2. 空间曲线的方程为两个柱面的交线
x
设曲线直角坐标方程为
x0 y y0 z z0
y z
y( x) ,
z( x)
x(t0 ) y(t0 ) z(t0 )
x x
令
x为参数,
曲线的参数方程是
y
y(
x)
z z( x) 由前面得到的结果, 在M(x0, y0, z0)处,
5
9.6 多元函数微分学的几何应用
（3）向量值函数的图像
设向量 r 的起点在坐标原点，则终
点M随t的改变而移动，点M的轨迹 Γ
称为向量值函数 r=f(t) 的终端曲 x
线，也称为该函数的图像，记作Γ
反过来，向量值函数
z
•M
rf
(t)
o
y
r f (t) ( f1(t), f2 (t), f3 (t))
f (2) (4,4,2), f (2) 42 42 22 6.
所求单位切向量一个是：(4,4,2) 2 , 2 , 1 6 3 3 3
另一个是： 2 , 2 , 1
其指向与t的增长方向一致
3 3 3 其指向与t的增长方向相反
16
9.6 多元函数微分学的几何应用
二、空间曲线的切线与法平面
lim
t t0
f
(t)
r0
7
9.6 多元函数微分学的几何应用
说明设 f (t) ( f1(t), f2(t), f3(t))
r 0 (m, n, p),
则lim f (t) t t0
r0
lltt iimmtt00
f1(t) f3(t)
m,

第二章多元函数微分法及其应用第四节多元函数微分法在几何上的应用

Fz ( x0 , y0 , z0 ) ( t0 ) 0
- 15 -
第四节
多元函数微分在几何上的应用
令 T { ( t0 ) , ( t0 ) , ( t0 )}
第八章切向量 T n 多元函数微分法及其应用
n { Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 )}
第四节
多元函数微分在几何上的应用
切平面方程
第八章
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
多元通过点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线称为曲函数面在该点的法线.法线方程微分 x x0 y y0 z z0 法 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) 及其应用
第八章
在
解: 由于
M 0 (0 , R , k ) 2 z
多对应的切向量为 T ( R , 0 , k ) , 故元函 yR zk x 2 切线方程数微 0 R k 分法 k x Rz R k 0 2 即及其 yR0 应用法平面方程 R x k ( z k ) 0 2
- 17 -
第四节
多元函数微分在几何上的应用
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M 处的法向量即
第八章多元函数微分法及其应用

多元函数微分法 PPT课件

x
y
z f [u( x, y), x, y]
z
x
y
z f u f , x u x x
两者的区别
变而对 x 的偏导数
z f u f . y u y y
把 z f (u, x, y) 中的 u 及 y
把复合函数 z f [(x, y), x, y] 中的 y 看作不看作不变而对 x 的
的偏导数都存在,函数在 z f (u, v) 对应点 (u, v) 可微，则复合函数 z f [ ( x, y), ( x, y)] 在点 ( x, y ) 处存在对 x 、 y 的偏导数,且
z z u z v , x u x v x
z z u z v . y u y v y
z z u z v v 1 v vu x u ln u 1 y u y v y
xy(1 xy)
y
y 1
(1 xy) ln(1 xy)
y
xy (1 xy) [ ln(1 xy)] 1 xy
医用高等数学
推论:
”
医用高等数学
医用高等数学
第三节
多元函数微分法
一、复合函数微分法
二、隐函数微分法
医用高等数学
一、复合函数微分法
我们知道 : 如果函数u ( x )在点 x处可导 , 而 y f ( u)在 x点对应u处可导 , 则复合函数 y f [ ( x )] 在点 x处可导, 且其导数为
u
z
v
x
医用高等数学
全导数
例4-24 设 z e
u 2v
3 u sin x v x , 而， ,求

多元函数微分学的几何应用.ppt

x1 y 1 z 1 , 123 法平面方程为
(x1)2(y1)3(z1)0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 即x2y3z6
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曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量为T((t0), (t0), (t0))
讨论:
1 若曲线的方程为y(x), z(x), 则切向量T?
2 若曲线的方程为F(x, y, z)0, G(x, y, z)0, 则切向量T? 提示:
(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0
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曲线x(t), y(t), z(t)在tt0所对应的点M0的切向量为T((t0), (t0), (t0))
例1 求曲线xt, yt2, zt3在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程
解点(1, 1, 1)所对应的参数t1 因为 xt1, yt2t, zt3t2, 所以切向量为T(1, 2, 3) 于是, 切线方程为
2dyddyxdzddxz11 dx dx
(x1)0(y2)(z1)0, 即 xz0
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二、曲面的切平面与法线
设M0(x0, y0, z0)是曲面: F(x, y, z)0上的一点, 是曲面上过点M0的任意一条曲线, 其参数方程为
x(t), y(t), z(t),
tt0对应于点M0(x0, y0, z0) 因为曲线在曲面上, 所以有
F[(t),(t),(t)]0
等式的两边在tt0点求全导数得
Fx(x0, y0, z0)(t0)Fy(x0, y0, z0)(t0)Fz(x0, y0, z0)(t0)0

2019年六节多元函数微分学几何应用.ppt

z z0
' (t0 )
z
M
Q
M T
xo
y
方向向量 T ( '(t0), '(t0),'(t0) )
切线的方向向量也称为曲线的切向量。
法平面：过点 M 且与这点的切线垂直的平面
由点法式得：点 M (x0, y0, z0)处的法平面方程为
'(t0)(x x0) '(t0)( y y0) '(t0)(z z0) 0
点M (x0, y0, z0)对应于参数t t0，
且'(t0)、 '(t0)、'(t0) 不全为0.
则
z
曲线在点M处的切线方程为：
x x0 y y0 z z0
'(t0 ) '(t0 ) '(t0 )
曲线在曲面上 F[(t), (t),(t)] 0
O x
y
F(x, y, z)在点(x0, y0, z0)处有连续偏导数,
且'(t0), '(t0),'(t0)存在上式左端在点t t0可导

d dt
F[(t), (t),(t)] |t t 0
0
(*)
(链锁法则)
由链锁法则，得
d dt
F[ (t ),
(t ), (t )]
2 y
(
x0
,
y0 )
cos
1
1
f
2 x
(
x0
,
y0)
f
2 y
(
x0
,
y0 )
例3 求球面 x2 y2 z2 14 在点(1,2,3)处的切平面及法线方程.

高等数学第九章第六节多元函数微分学的几何应用课件.ppt

当J (F,G) 0时, 可表示为 (y, z)
, 且有
dy 1 (F,G) , dz 1 (F,G) , dx J (z, x) dx J (x, y) 曲线上一点 M (x0 , y0 , z0 ) 处的切向量为
T 1, (x0 ), (x0 )
1 ,
1 J
(F,G) (z , x)
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例
一、一元向量值函数及其导数
（一）向量值函数的概念（二）向量值函数的极限和连续（三）向量值函数的导数（四）举例
➢定义
设向量值函数 f (t )在点 t0的某一邻域内有定义, 如果
x x0 Fx (x0 , y0 , z0 )
y y0 Fy (x0 , y0 , z0 )
z z0 Fz (x0 , y0 , z0 )
T
M
特别, 当光滑曲面的方程为显式
F(x, y, z) f (x, y) z
时, 令
则在点 (x, y, z),
故当函数
在点 ( x0, y0 ) 有连续偏导数时, 曲面
f (t)的三个分量函数 f1(t), f2(t), f3(t)都在 t0 可导.
当f (t)在 t0 可导时, f (t) f1(t)i f2(t) j f3(t)k.
➢运算法则
设u(t), v(t),(t)可导, C是常向量, c是任一常数，则
(1) d C 0 dt
(2) d [cu(t)] cu(t) dt
例1. 求圆柱螺旋线
在
对应点处的切线方程和法平面方程.
解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故

多元函数的微积分PPT课件

曲线的一般方程为
z
F x, y, z 0
G
x,
y,
z
0
x2 y2 1 如
z 2
o
y
x
x2 y2 1
z y, z 0
第9页/共29页
二次曲面及截痕法椭球面（几何演示）
抛物面（几何演示）
双曲面（几何演示）
第10页/共29页
曲面在坐标平面内的投影
例求上半球面 z 2 x与2上半锥y面2 所围成的立体在 xoy 面内的投影区域。
第2页/共29页
空间解析几何简介
空间直角坐标系（三维直角坐标系）
z（竖轴）
O
x（横轴）
y （纵轴）
右手原则
第3页/共29页
O O O
z 空间直角坐标系
z
z
y
y
x
y
x
x
三个坐标平面分空间为八个卦限（演示）
z
八个卦限
三个坐标平面
Ⅲ
Ⅱ
xoy 平面
Ⅳ
Ⅰ
xoz 平面
O
y
yoz 平面
x
第4页/共29页
Ⅶ
Ⅵ
∙ Px0, y0
第18页/共29页
二元函数的极限计算
6 lim x y
x0 x y
y0
×x 2 y 3y lim 3 y0 y
事实上，设 x ky k 1
x y
x y 换元时与不能相互制约
则 lim
x0 x y
y0
lim
y0
yk yk
1 1
k k
1 1
∙ Px0, y0
结果与 k 有关，故原极限不存在。