鲁教版八年级上册第二章 分式与分式方程第二章 分式与分式方程小结与复习
2024八年级数学上册第二章分式与分式方程4分式方程第2课时解分式方程课件鲁教版五四制
A．a＝5或a＝0
B．a≠0
C．a≠5
D．a≠5且a≠0
2x a
3. 若关于x的分式方程 x 2
1
2 的解为非负数，则a
的取值范围是( C )
A．a≥1
B．a＞1
C．a≥1且a≠4
D．a＞1且a≠4
a
4.
关于x的分式方程 x 3
A．方程的解是x＝a－3
1，下列说法正确的是( B )
B．当a＞3时，方程的解是正数
(2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0.∴x＝0或1.
又∵整式方程(a＋2)x＝3有根，∴x＝1.
∴原分式方程的增根为1.∴(a＋2)×1＝3.∴a＝1.
(3)去分母并整理得：(a＋2)x＝3.
①当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝－2.
②当a＋2≠0时，要使原分式方程无解，
则x(x－1)＝0，得x＝0或1.
是原分式方程的解，此时原分式方程无解．
2ax
例3 已知关于x的方程
a x
2
3 的根是x＝1，求a的值．
导引：根据方程的解使方程两边的值相等，可构造关于a
的分式方程，解所得分式方程即可得a的值．
2ax
2
2a
2
, 得
解：把x＝1代入方程
,
a x 3
a 1 3
1
解得a＝ 2
1
2a
2
经检验，a＝
是分式方程
的解．
2
a 1 3
1
.
∴a的值为
2
归纳
根据方程的解构造方程，
由于所构造的方程是分式方程，
因此验根的步骤不可缺少．
kx
2k－1
－
鲁教版八年级数学上册第二章分式与分式方程2第一课时分式的乘除运算课件
m2
4m
n÷2 4
4
m2 的2结m 果是 (
n2
A. m B.
m2
C. m(mD.2)
n2
)D
m2 n2 m2 m(n 2)
解析 原式= (m· 2=)2 ,故n选D2 . m 2
(n 2)(n 2) m(m 2) m(n 2)
6.(新考法)(2022山东威海乳山模拟)已知 x2 ÷4
x2 1 x2 2x 1
81;a52cb22
解析
(1)原式=
4a4b2
5c·3
15c2
=
8a
2b
2
.
3a2 2c
(2)原式= ÷x 2
x 1
(x 1)(x 1) (x 1)2
= ·x(x+21)
(x 1)(x 1)
= x .2
x 1
能力提升全练
9.(2024山东济宁任城月考,18,★★☆)已知M= a2 ÷4a 4
4
(3)(2023贵州遵义汇川三模) xx2·31
x.2 2x 1
x3
解析 (1)原式=- 4d.
3a2c
(2)原式=(a-2)·(a =2a)+(a2. 2)
(a 2)2
(3)原式= ·x 3 (x 1)2
(x 1)(x 1) x 3
= x .1
x 1
知识点2 分式的除法
5.(教材变式·P28例3)(2023吉林长春期末)化简
∴a可取的数为-2.
当a=-2时,M=(-2)2-3×(-2)+2=4+6+2=12.
x3
(是■一■)道
x2 9
化简题,其中一部分被墨水污染了.若只知道该题化简的结果
鲁教版五四制八年级上册数学第二章 分式与分式方程 阶段核心归类 巧用分式方程的解求字母的值或取值范围
15．若分式方程x＋2 1＋x－3 1＝x2m－1的解是正数，求 m 的取值范 围． 解：去分母，得 2(x－1)＋3(x＋1)＝m，解得 x＝m－5 1.
∵原方程的解为正数，∴x＞0 且 x≠1，
即m－5 1＞0 且m－5 1≠1，∴m＞1 且 m≠6.
16．当 a 为何值时，关于 x 的分式方程x－1 1－2－a x＝2x（2－a3＋x＋1）2总 无解．
11．若关于 x 的分式方程x2－m3＋x－1＝2x无解，求 m 的值．
解：原方程可化为2mx＋x(x－1)(x－3)＝2(x－3)． 由分式方程无解，得x(x－3)＝0，即x＝0或x＝3. 把x＝0代入整式方程无解； 把x＝3代入整式方程，得6m＝0， 即m＝0.∴m的值是0.
12．若关于 x 的分式方程x－x 3－2m＝x－m3无解，求 m 的值．
8．当 k 为何值时，关于 x 的方程x－k 3＋2＝4x－－x3不会产生增根？ 解：方程两边都乘(x－3)， 得 k＋2(x－3)＝4－x，解得 x＝10－3 k. ∵方程x－k 3＋2＝4x－－x3不会产生增根， ∴10－3 k－3≠0.解得 k≠1.
9．若关于 x 的方程x－x 1－x2－k 1＝x＋x 1不会产生增根，求 k 的值． 解：原方程可化为x－x 1－（x＋1）k（x－1）＝x＋x 1. 方程两边都乘(x＋1)(x－1)，得 x(x＋1)－k＝x(x－1)，解得 x＝12k. ∵方程x－x 1－x2－k 1＝x＋x 1不会产生增根，∴x≠±1. ∴12k≠±1，即 k≠±2.
LJ版八年级上
第二章分式与分式方程
阶段核心归类 巧用分式方程的解求字母的值或取
值范围
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八年级上册《分式方程》知识点汇总鲁教版
八年级上册《分式方程》知识点汇总（鲁教版）八年级上册《分式方程》知识点汇总（鲁教版）.行程问题：基本公式：路程=速度times;时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题.b.数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法.c.工程问题基本公式：工作量=工时times;工效.d. 顺水逆水问题 v顺水=v静水+v水. v逆水=v静水-v水. 14植树问题1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:株数=段数=全长divide;株距全长=株距times;株数株距=全长divide;株数全长=株距times;株数株距=全长divide;株数 15盈亏问题(盈+亏)divide;两次分配量之差=参加分配的份数(大盈-小盈)divide;两次分配量之差=参加分配的份数(大亏-小亏)divide;两次分配量之差=参加分配的份数 16相遇问题相遇路程=速度和times;相遇时间第 2 页共 2 页⑴如果在非封闭线路的两端都要植树,⑶如果在非封闭线路的两端都不要植那:株数=段数+1=全长divide;株距-1 全长=株距times;(株数-1) 株距=全长divide;(株数-1) ⑵如果在非封闭线路的一端要植树,另一端不要植树,那就这样: 树,那么:株数=段数-1=全长divide;株距-1 全长=株距times;(株数+1) 株距=全长divide;(株数+1)2 封闭线路上的植树问题的数量关系如下：株数=段数=全长divide;株距相遇时间=相遇路程divide;速度和速度和=相遇路程divide;相遇时间 17追及问题追及距离=速度差times;追及时间追及时间=追及距离divide;速度差速度差=追及距离divide;追及时间18流水问题顺流速度=静水速度+水流速度逆流速度=静水速度-水流速度静水速度=(顺流速度+逆流速度)divide;2 水流速度=(顺流速度-逆流速度)divide;219浓度问题溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量溶质的重量divide;溶液的重量times;100%=浓度溶液的重量times;浓度=溶质的重量溶质的重量divide;浓度=溶液的重量20利润与折扣问题利润=售出价-成本利润率=利润divide;成本times;100%=(售出价divide;成本-1)times;100% 涨跌金额=本金times;涨跌百分比折扣=实际售价divide;原售价times;100%(折扣1)利息=本金times;利率times;时间税后利息=本金times;利率times;时间times;(1-20%)。
八年级上册分式方程知识点汇总鲁教版
适用精选文件资料分享八年级上册《分式方程》知识点汇总（鲁教版）八年级上册《分式方程》知识点汇总（鲁教版）. 行程问题：基本公式：行程 =速度 × 时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题 . b. 数字问题在数字问题中要掌握十进制数的表示法 .c. 工程问题基本公式：工作量 =工时 × 工效 .d. 顺流逆水问题 v 顺流 =v 静水 +v 水. v 逆水 =v 静水 -v 水. 14 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情况 : 株数 =段数 =全长 ÷ 株距全长 =株距 × 株数株距 =全长 ÷ 株数全长=株距 × 株数株距 =全长 ÷ 株数 15 盈亏问题 ( 盈+亏)÷ 两次分配量之差 =参加分配的份数 ( 大盈 - 小盈 )÷两次分配量之差 =参加分配的份数 ( 大亏 - 小亏 )÷ 两次分配量之差=参加分配的份数 16 相遇问题相遇行程 =速度和 × 相遇时间第 2 页共 2 页⑴假如在非封闭线路的两端都要植树 , ⑶假如在非封闭线路的两端都不要植那 : 株数 =段数 +1=全长 ÷ 株距 -1 全长 =株距×( 株数 -1) 株距 =全长 ÷( 株数 - 1) ⑵假如在非封闭线路的一端要植树 , 另一端不要植树 , 那就这样 : 树, 那么 : 株数 =段数 -1= 全长÷ 株距 -1 全长 =株距 ×( 株数 +1) 株距=全长 ÷( 株数 +1) 2 封闭线路上的植树问题的数目关系以下：株数 =段数 =全长 ÷ 株距相遇时间 =相遇行程 ÷速度和速度和 =相遇行程 ÷ 相遇时间 17 追及问题追及距离 = 速度差 × 追及时间追及时间 =追及距离 ÷ 速度差速度差=追及距离 ÷ 追及时间 18 流水问题顺流速度 =静水速度 +水流速度逆流速度 =静水速度 - 水流速度静水速度 =( 顺流速度 +逆流速度)÷2 水流速度 =( 顺流速度 - 逆流速度 )÷2 19 浓度问题溶质的重量 +溶剂的重量 =溶液的重量溶质的重量 ÷ 溶液的重量 ×100%=浓度溶液的重量 × 浓度 =溶质的重量溶质的重量 ÷ 浓度 =溶液的重量 20 利润与折扣问题利润 =售出价- 成本利润率 =利润 ÷ 成本 ×100%=( 售出价 ÷成本 -1)×100% 涨跌金额 =本金 × 涨跌百分比折扣 =实质售价 ÷ 原售价 ×100%( 折扣 <1) 利息 =本金 × 利率× 时间税后利息 =本金 × 利率 × 时间适用精选文件资料分享×(1-20%)。
第二章+分式与分式方程+复习课件++2024—2025学年鲁教版(五四制)数学八年级上册
x
3
2
x 1 的值为零？
x 1
（２）x满足什么条件时，分式
（３）x取何值时，分式
当分式的分母不等于零时，分式有意义；
当分式的分子等于零，而分母不等于零
时，分式的值为零。
0.6 0.4 x
例2.不改变分式的值，使 4 2 x 的分子、
5 15
分母的最高次项的系数为正整数。
0.6 0.4 x (0.4 x 0.6) 15 6 x 9
2
)
(
)
1
,
2. (
2
2
2
a b a 2ab b
a b a b
2
其中 a , b 3
3
5. 求值
+
（1） 3
, 其中 = 5,
2
2
+ 2 +
7
= ；
2
1 1
5 + − 5
（2） − = 3, 求
的值；
− −
解： 4 2
2
4
x
( x ) 15 2 x 12
15
5
5 15
熟练地利用分式的基本性质，就系数、
变符号即可。
例3.计算：
9 6x x
x 3 x 4x 4
(1)
2
2
x 16
4 x
4 x
2
2
9 6x x
x 3 x 4x 4
解：
一、分式的意义：
例1.当m取何值时，分式
鲁教版(五四制)初二上第二章分式与分式方程认识分式知识点精讲与练习
鲁教版（五四制）初二上第二章分式与分式方程认识分式知识点精讲与练习1、分式的概念普通地，假设A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
其中A叫做分子，B叫做分母。
说明：（1）分式表示两个整式相除，其中分子为被除式，分母为除式，分数线起除号和括号的作用。
例如可以表示(a－b)÷(a+b)；（2）分式的分子可以含有字母，也可以不含有字母，但分式的分母一定含有字母。
（3）分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即事先，分式才有意义；〔4〕判别一个代数式能否是分式，不能把原式变形(如约分等)后再看，而只能依据它的原本面目停止判别。
例如：关于来说，，我们不能由于是整式，就判别也是整式，理想上是分式。
2、分式有意义、有意义，分式的值为零的条件〔1〕分式有意义的条件是分式的分母不为0；〔2〕分式有意义的条件是分式的分母为零；〔3〕分式的值为零的条件是分式的分子为零，且分母不为零。
（1）分母不为零是分式概念必不可少的组成局部，无论是分数还是分式，分母为零都没有意义。
（2）分式分母的值不为0，是指整个分母的值不为0。
假设分母中的字母的值为0，但整个分母的值不为0，那么分式是有意义的。
（3）分式的值为0，是在分式有意义的条件下，再满足分子的值为零。
〔4〕假设没有特别说明，所遇到的分式都是有意义的。
例如在分式中隐含着，即，这一条件，也就是说分式中分母的值不为零。
3、分式的基本性质分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这特性质叫做分式的基本性质，用式子表示是：(其中)。
说明：（1）运用分式的基本性质时，千万不能疏忽〝〞这一条件. 如，变形时，必需满足2x+1≠0。
〔2〕分式的基本性质要求〝同乘〔或除以〕一个不等于0的整式〞即分式的分子、分母要做相反的变形，要防止只乘〔或除以〕分子(或分母)的错误；同时分子、分母都乘〔或除〕以的整式必需相反。
〔3〕在运用分式的基本性质停止分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中字母的取值范围有能够发作变化。
鲁教版初中数学八年级上 分式与分式方程(知识点)
第二章 分式与分式方程一. 分式概念：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成B A 的形式。
如果B 中含有字母，那么称BA 为分式，其中A 成为分式的分子，B 称为分式的分母。
且B ≠0。
二.分式有无意义的条件：1. 有意义：分母B ≠0，与分子无关； 2. 无意义：分母B=0，与分子无关；三. 分式的值为零的条件： 1. 分子等于零；2. 分母B ≠0，两者缺一不可。
四. 分式的基本性质：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
即M B M A B A ⋅⋅= )0(≠÷÷=M M B M A B A 五. 分式的变形：（一）约分:根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母中的公因式约去，这种变形称为分式的约分。
约分的结果必须是整式或最简分式。
（二）最简分式(分子和分母没有公因式的分式称为最简分式)。
（三）通分:根据分式的基本性质，异分母分式可以化为同分母的分式，这种变形称为分式的通分。
注：约分和通分是一种互逆的分式变形，在进行变形之前，要先将分式的分子和分母进行因式分解.知识链接：整数指数幂运算性质（1）a m a n =am+n （m ，n 是正整数)； （2）(a m )n =a mn （m ，n 是正整数）； （3）(ab)n =a n b n （n 是正整数）； （4）a m ÷a n =a m-n （a ≠0，m ，n 是正整数，ｍ＞ｎ）； （5）n b a ⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n ba （n 是正整数）； （6）n a -=n a 1（a ≠0，n 是正整数）；特别地，当a ≠0时，a 0=1．十. 分式的混合运算：式中有乘方、除法运算，应先算乘方，再算除法，最后算加减.十一. 分式方程的概念：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
十二. 分式方程（组）的解法。
1、解分式方程（组）的指导思想2. 分式方程的增根与无解增根不是分式方程的根，是能使最简公分母为零，且满足分式方程去分母后转化成整式方程的根。
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分式与分式方程小结与复习
考点呈现
考点1 分式的意义
例1 （2013年成都）要使分式
51
x -有意义，则x 的取值范围是（ ）
A. x ≠1
B. x ＞1
C. x ＜1
D. x ≠－1
解析：要使分式51x -有意义，需满足x －1≠0，解得x ≠1.故选A. 点评：要使分式有意义，必须满足其分母不等于0，从而构造出不等式，进而求得字母的取值范围.
考点2 分式的性质
例2（2013年滨州）化简3a a
，正确的结果为（ ） A.a B.a 2 C.a －1 D.a －2
解析：分式的分子与分母都含有因式a ，运用分式的基本性质约
去分子与分母的公因式a 即可，3a a
＝a 2.故选B. 点评：分式约分的依据是分式的基本性质，约分时，首先要确定分子与分母的公因式，然后约去公因式.
考点3 分式的运算
例3（2013年聊城）计算(22444x x x -+-－2x x +)÷12
x x -+. 解：(22444x x x -+-－2x x +)÷12x x -+＝[()()()2
222x x x -+-－2x x +]÷12
x x -+
＝(22x x -+－2x x +)÷12x x -+＝－22x +×21x x +-＝－21
x -. 点评：本题属于分式的混合运算，求解时除了要注意运算的顺序外，还应讲究一定的技巧，同时还应避免因符号带来的困扰.
考点4 分式的化简求值
例4 （2013年乐山）化简并求值：(
1x y -+1x y +)÷222x y x y --，其中x ，y 满足|x －2|+(2x －y －3)2＝0.
解：(
1x y -+1x y +)÷222x y x y --＝()()()()x y x y x y x y ++-+-÷222x y x y -- ＝()()
2x x y x y +-·()()2x y x y x y +--＝22x x y -. 因为x ，y 满足|x －2|+(2x －y －3)2＝0，所以x －2＝0且2x －y －3＝0，则x ＝2，2x －y ＝3. 所以原式＝22x x y -＝43
. 点评：有关分式的求值问题是历年中考的常考题型，而且经常与其他知识结合在一起，有时还设计创新型试题，同学们在学习时一定要注意体会.
考点5 解分式方程
例5 （2013年宁波）解方程：31x -＝1
x x -－5. 解：方程两边乘（x-1），得－3＝x －5（x －1）.
解得x ＝2.
检验：当x ＝2时，x-1≠0.
所以，原分式方程的解为x ＝2.
点评：解分式方程去分母时，一定要注意整式项也必须乘以最简公分母，求得的解一定要检验.
考点6 用分式方程解应用题
例6 （2013年郴州）乌梅是郴州的特色时令水果.乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150 kg ，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不太好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全倍售出，前后一共获利750元.求小李所进乌梅的数量.
分析：先设小李所进乌梅的数量为x kg ，根据前后一共获利750元，列出方程求解即可．
解：设小李进了x kg 乌梅，根据题意，得
3000300040%15020%(150)750x x x
⨯⨯-⨯⨯-=. 解得x =200.
经检验，x =200是原分式方程的解，且符合题意.
答：小李所进乌梅的数量是200 kg.
点评：本题意在考查用分式方程解决实际问题，求解时一定要认真分析题意，弄清楚已知量与未知量之间的内在联系.
误区点拨
例1 若A 、B 为不等于0的整式，则下列各式成立的是（ ）。
A.
E B E A B A ⋅⋅=（E 为整式） B.E B E A B A ++=（E 为整式） C.()()
1122+⋅+⋅=x B x A B A D. ()()2211+⋅+⋅=x B x A B A
错解：A.
剖析：分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
故B 选项明显不对。
E 和2)1+x （均可能为零，所以A 、D 选项错误。
C 选项中112≥+x ，故应选C.
正解：C
例2 若方程
08242=---x x x ，则=x 。
错解：±4.
剖析：若分式为0，则分子为0且分母不为0，分母若为0，分式无意义，所以04=-x 且0822≠--x x ，即4-=x ,所以检验
也是做题的重要步骤之一。
正解：-4.
例3 x 取何值时，分式
6522+++x x x 有意义？ 错解：原式=
()()31322+=+++x x x x ，即03≠+x ，得3-≠x ，所以3-≠x 时，分式6
522+++x x x 有意义。
剖析：本题约去分母中的2+x ，但无法确定2+x 不为零，使得未
知数x 的范围扩大，导致有漏解的现象，错于约分。
正解：由32,0652-≠-≠≠++x x x x 且即，所以32-≠-≠x x 且时，分式
6
522+++x x x 有意义。
例4 计算()()11122
2+⨯+÷-x x x x x
错解：原式=1
21122-=+÷-x x x x x . 剖析：分式的混合乘除运算是同一级运算，应按照从左向右的顺
序依次计算，不可因为计算简便而颠倒顺序，导致结果出
现错误。
正解：原式=()()()1242112111222
22-++=-+=+⨯+⨯-x x x x x x x x x x . 跟踪训练
1. 化简x
y y y x x -+-22的结果是（ ） A.y x -
B.y x +
C.1
D.22y x - 2. 求()()
x x x x x x --÷+-22646522的值是（ ） A.1
B.-1
C.x
D.-x 3. 使代数式3
4223+-÷--x x x x 有意义的x 的值是（ ） A.31-≠≠x x 且
B.31±≠≠x x 且
C.431≠-≠≠x x x 且且
D.431≠±≠≠x x x 且且 4.若65=x y ，则=+y
y x )3(2 . 5.m= 时，方程23
32+-=--x m x x 产生增根。
6.先化简，再求值：()⎪⎭
⎫ ⎝⎛++÷-+n n m m n mn m n m 222，其中m=20，n=15。
7.先化简，再求值：⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-+-÷++-12112222m m m m m m m m ，其中m 满足012=--m m 。
8.暑假期间，小灰灰请喜洋洋和懒洋洋去狼堡做客，喜洋洋决定
步行，懒洋洋选择骑自行车，喜洋洋每小时比懒洋洋少走1千米，喜洋洋决定提前一天出发，结果喜洋洋与懒洋洋同时到达狼堡，已知羊村到狼堡相距144千米，求喜洋洋与懒洋洋每小时各走多少千米？
跟踪训练
参考答案
B .1 A .2
C .3 5
42.4 1-.5 6．原式
()()()()()()()()()n
m n n m mn n m m n m mn n m n m m n m mn n m m n n m m n m -=+⨯-+=+÷-+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++÷-+=2222222 15,20==n m 315
2015=-=-=
∴n m n 原式. 7.原式 ()()()()()
()112111211212121211222
222222+=-+⨯+-=+-÷++-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-÷++-=m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m m ∵m 满足012=--m m ∴12+=m m 即：原式=11
112=++=+m m m m . 8.解：设喜洋洋每小时走x 千米，则懒洋洋每小时走()1+x 千米，且1天=24小时。
由题意，得241
144144=+-x x 解得：3,221-==x x 经检验3,221-==x x 都为方程的根，但是32-=x 不符合题意要求，舍去，
即：3121=+=+x .
答：喜洋洋每小时走2千米，懒洋洋每小时走3千米。