人教版数学八年级上册 分式方程
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人教版数学八年级上册15.3分式方程的解法(教案)
三、教学难点与重点
1.教学重点
（1）理解分式方程的定义：重点强调分式方程的形式特点，即方程中包含有分母，且分母不为零，让学生充分理解这一核心内容。
举例：如方程2/x = 3/(x+1)，其中x≠0。
（2）掌握分式方程的解法：包括消元法、代入法、加减法等，特别是消元法在求解分式方程中的应用。
举例：消元法求解方程2/x = 3/(x+1)：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是指含有分母的方程，它是代数方程的一种特殊形式。分式方程在解决实际问题时具有重要作用，能够帮助我们处理比例、速率、百分比等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小红的糖果总数为10个，要平均分给两人，我们可以建立分式方程x/2 = 10，其中x表示每人应得的糖果数。通过解这个方程，我们可以得到答案。
2.提升学生的数学建模素养：使学生能够将实际问题抽象为分式方程模型，并运用所学方法求解，从而提高解决实际问题的能力；
3.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握分式方程的消元、代入、加减等解法，培养他们准确、迅速地进行数学运算的能力。
这些核心素养目标与新教材的要求相符，旨在帮助学生形成系统的数学知识体系，提高数学思维品质和解决问题的综合能力。
难点解析：代入法中，学生可能会遇到以下困难：
-不清楚应该将哪个表达式代入另一个表达式中；
-在代入过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，容易忽视方程中的限制条件（如分母不为零）；
-计算过程中可能因粗心导致错误。
（3）分式方程在实际问题中的应用：学生需要学会将实际问题抽象为分式方程，并正确求解。
难点解析：实际问题抽象为分式方程时，学生可能会遇到以下问题：
1.教学重点
（1）理解分式方程的定义：重点强调分式方程的形式特点，即方程中包含有分母，且分母不为零，让学生充分理解这一核心内容。
举例：如方程2/x = 3/(x+1)，其中x≠0。
（2）掌握分式方程的解法：包括消元法、代入法、加减法等，特别是消元法在求解分式方程中的应用。
举例：消元法求解方程2/x = 3/(x+1)：
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解分式方程的基本概念。分式方程是指含有分母的方程，它是代数方程的一种特殊形式。分式方程在解决实际问题时具有重要作用，能够帮助我们处理比例、速率、百分比等问题。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。假设小明和小红的糖果总数为10个，要平均分给两人，我们可以建立分式方程x/2 = 10，其中x表示每人应得的糖果数。通过解这个方程，我们可以得到答案。
2.提升学生的数学建模素养：使学生能够将实际问题抽象为分式方程模型，并运用所学方法求解，从而提高解决实际问题的能力；
3.增强学生的数学运算能力：让学生熟练掌握分式方程的消元、代入、加减等解法，培养他们准确、迅速地进行数学运算的能力。
这些核心素养目标与新教材的要求相符，旨在帮助学生形成系统的数学知识体系，提高数学思维品质和解决问题的综合能力。
难点解析：代入法中，学生可能会遇到以下困难：
-不清楚应该将哪个表达式代入另一个表达式中；
-在代入过程ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，容易忽视方程中的限制条件（如分母不为零）；
-计算过程中可能因粗心导致错误。
（3）分式方程在实际问题中的应用：学生需要学会将实际问题抽象为分式方程，并正确求解。
难点解析：实际问题抽象为分式方程时，学生可能会遇到以下问题：
人教版八年级数学上册：15.3分式方程(教案)
-对本节课所学内容进行总结，巩固知识点
-鼓励学生在日常生活中发现并解决分式方程问题，提高数学素养
7.课后作业（课后自主完成）
-针对本节课所学内容，布置课后习题，巩固所学知识
-鼓励学生自主探索、拓展学习，提高解题能力
五、教学反思
在本次分式方程的教学中，我发现学生们对于分式方程的概念和求解方法的理解总体上是不错的。他们能够跟随我的讲解，逐步掌握去分母、移项等基本操作。然而，我也注意到，部分学生在面对高次分式方程或者分式方程组时，会感到困惑，这成为了他们学习的难点。
举例：重点讲解分式方程2/(x-3) = 1/(x+2)，突出求解过程中每一步的关键操作，如交叉相乘去分母，合并同类项等。
2.教学难点
-分式方程去分母的技巧：对于复杂的分式方程，如何选择合适的去分母方法，避免出现计算错误。
-高次分式方程的求解：涉及高次方程的求解，如何运用降次或其他数学方法简化问题。
人教版八年级数学上册：15.3分式方程（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学上册：15.3分式方程
1.分式方程的定义与特点
2.分式方程的求解方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
3.应用题：利用分式方程解决实际生活中的问题
4.分式方程的常见类型及解题技巧
a.简单分式方程
b.复杂分式方程
c.高次分式方程
三、教学难点与重点
1.教学重点
-分式方程的定义及其基本性质：理解分式方程中分子、分母的关系，掌握分式方程的基本形式。
-分式方程的求解方法：重点讲解去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，强调每一步的运算规则。
-分式方程的验根方法：教会学生如何检验求得的解是否满足原方程，确保解的正确性。
-鼓励学生在日常生活中发现并解决分式方程问题，提高数学素养
7.课后作业（课后自主完成）
-针对本节课所学内容，布置课后习题，巩固所学知识
-鼓励学生自主探索、拓展学习，提高解题能力
五、教学反思
在本次分式方程的教学中，我发现学生们对于分式方程的概念和求解方法的理解总体上是不错的。他们能够跟随我的讲解，逐步掌握去分母、移项等基本操作。然而，我也注意到，部分学生在面对高次分式方程或者分式方程组时，会感到困惑，这成为了他们学习的难点。
举例：重点讲解分式方程2/(x-3) = 1/(x+2)，突出求解过程中每一步的关键操作，如交叉相乘去分母，合并同类项等。
2.教学难点
-分式方程去分母的技巧：对于复杂的分式方程，如何选择合适的去分母方法，避免出现计算错误。
-高次分式方程的求解：涉及高次方程的求解，如何运用降次或其他数学方法简化问题。
人教版八年级数学上册：15.3分式方程（教案）
一、教学内容
人教版八年级数学上册：15.3分式方程
1.分式方程的定义与特点
2.分式方程的求解方法：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1
3.应用题：利用分式方程解决实际生活中的问题
4.分式方程的常见类型及解题技巧
a.简单分式方程
b.复杂分式方程
c.高次分式方程
三、教学难点与重点
1.教学重点
-分式方程的定义及其基本性质：理解分式方程中分子、分母的关系，掌握分式方程的基本形式。
-分式方程的求解方法：重点讲解去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤，强调每一步的运算规则。
-分式方程的验根方法：教会学生如何检验求得的解是否满足原方程，确保解的正确性。
人教版 八年级数学上册 第15章分式 分式方程及其应用专题(含答案)
人教版 八年级数学上册 第15章 分式方程及其应用（含答案） 例1. 解方程：x x x --+=1211 分析：首先要确定各分式分母的最简公分母，在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解完后记着要验根解：方程两边都乘以，得()()x x +-11 x x x x x x x x x 22221112123232--=+---=--∴==()()()，即，经检验：是原方程的根。
例2. 解方程x x x x x x x x +++++=+++++12672356 解：原方程变形为：x x x x x x x x ++-++=++-++67562312 方程两边通分，得 167123672383692()()()()()()()()x x x x x x x x x x ++=++++=++=-∴=-所以即 经检验：原方程的根是x =-92。
例3. 解方程：121043323489242387161945x x x x x x x x --+--=--+-- 解：由原方程得：3143428932874145--++-=--++-x x x x 即2892862810287x x x x ---=---于是，所以解得：经检验：是原方程的根。
1898618108789868108711()()()()()()()()x x x x x x x x x x --=----=--== 例4. 解方程：61244444402222y y y y y y y y +++---++-=2 解：原方程变形为：622222220222()()()()()()()y y y y y y y y ++-+--++-= 约分，得62222202y y y y y y +-+-++-=()()方程两边都乘以()()y y +-22，得 622022()()y y y --++= 整理，得经检验：是原方程的根。
21688y y y =∴==5、中考题解：例1．若解分式方程产生增根，则m 的值是（ ）2111x x m x x x x +-++=+A. B. --12或-12或C. D. 12或12或- 分析：分式方程产生的增根，是使分母为零的未知数的值。
人教版八年级上册数学《 分式方程》(优质教案)
人教版八年级上册数学《分式方程》（优质教案）一. 教材分析人教版八年级上册数学《分式方程》这一章节是在学生已经掌握了分式的基础知识，如分式的概念、分式的运算等基础上进行讲解的。
本章主要内容是让学生了解分式方程的定义、解法以及应用。
通过本章的学习，学生应能理解分式方程的概念，掌握解分式方程的基本方法，并能够将分式方程应用于解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本章内容之前，已经掌握了分式的基本知识，具备了一定的逻辑思维能力和问题解决能力。
但学生在解分式方程时，可能会遇到理解上的困难，如分式方程的转化、求解过程中的运算等。
因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。
三. 教学目标1.了解分式方程的定义，理解分式方程与一般方程的区别。
2.掌握解分式方程的基本方法，能够熟练地求解分式方程。
3.能够将分式方程应用于解决实际问题，提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.分式方程的定义及其与一般方程的区别。
2.分式方程的解法及其应用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生思考和探索，从而掌握分式方程的知识；通过案例分析，让学生了解分式方程在实际问题中的应用；通过小组合作学习，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.教学PPT：制作有关分式方程的PPT，内容包括：分式方程的定义、解法及应用。
2.案例材料：收集一些实际问题，用于教学过程中的案例分析。
3.练习题：准备一些分式方程的练习题，用于课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT展示分式方程的定义，引导学生思考：什么是分式方程？分式方程与一般方程有什么区别？2.呈现（15分钟）通过PPT呈现分式方程的解法，主要包括：去分母、去括号、移项、合并同类项、化简等步骤。
同时，结合实际问题，让学生了解分式方程在生活中的应用。
3.操练（15分钟）让学生独立完成PPT上的练习题，教师巡回指导，解答学生的疑问。
人教版八年级数学上册1分式方程
第十五章 分式
分式方程
课题引入
现在回到本章引言中的问题。
为解决引言中提出的问题，我们得到了方程
90
30+
=
60
.
30−
①
方程①的分母中含未知数，像这样分母中含未知数的方程叫做分式
方程。我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母
中。
思考
如何解分式方程①？
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中
为多少?
【分析】这里的字母，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为 /ℎ,那么提速前列车行驶s
s
所用时间为________ℎ，
s + 50
提速后列车的平均速度为______
/ℎ,
+ 50
50)所用时间为___________ℎ。
+
提速后列车行( +
根据行驶时间的等量关系可以列出方程。
a是分式方程的解
整式方程
最简公分母为0
a是分式方程的解
课题引入
例4. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成
1
总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程
3
全部完成.哪个队的施工速度快?
1
【分析】甲队1个月完成总工程的 ，设乙队单独施工1个月能完成总
3
1
1
6
工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的______，乙队半个月完成总
解：方程两边乘( − 1)( + 2),得
( + 2) − ( − 1)( + 2) = 3
解得
=1
检验，当 = 1时，( − 1)( + 2) = 0,
分式方程
课题引入
现在回到本章引言中的问题。
为解决引言中提出的问题，我们得到了方程
90
30+
=
60
.
30−
①
方程①的分母中含未知数，像这样分母中含未知数的方程叫做分式
方程。我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母
中。
思考
如何解分式方程①？
我们已经熟悉一元一次方程等整式方程的解法，但是分式方程的分母中
为多少?
【分析】这里的字母，s表示已知数据，设提速前列车的平均速
度为 /ℎ,那么提速前列车行驶s
s
所用时间为________ℎ，
s + 50
提速后列车的平均速度为______
/ℎ,
+ 50
50)所用时间为___________ℎ。
+
提速后列车行( +
根据行驶时间的等量关系可以列出方程。
a是分式方程的解
整式方程
最简公分母为0
a是分式方程的解
课题引入
例4. 两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1个月完成
1
总工程的 ，这时增加了乙队，两队又共同工作了半个月，总工程
3
全部完成.哪个队的施工速度快?
1
【分析】甲队1个月完成总工程的 ，设乙队单独施工1个月能完成总
3
1
1
6
工程的 ，那么甲队半个月完成总工程的______，乙队半个月完成总
解：方程两边乘( − 1)( + 2),得
( + 2) − ( − 1)( + 2) = 3
解得
=1
检验，当 = 1时，( − 1)( + 2) = 0,
人教版八年级上册数学15.3分式方程第1课时分式方程及其解法课件
（4） 5 1 0 x2 x x2 x
(4)方程两边乘 x（x+1）（x-1），得5（x-1）-（x+1） =0.
解得：x = 3 .
2
检验：当 x =
3
时， x（x+1）（x-1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
5.解关于x 的方程 a b 1（ b ≠ 1）. xa
分式方程和整式方程的区别与联系
区别 联系
分式方程
整式方程
分母中含有未知数
分母中不含未知数
分式方程可以转化为整式方程
< 针对训练 > 下列方程哪些是分式方程？
① x1 5 ② 1 4
3
x x1
④
x π
2x
1
π是常数， 不是未知数
⑤ x2 4
x
③ x2 1
x
知识点2 分式方程的解法
如何解分式方程
（1） 1 2 2x x 3
（2） x 2x 1 x 1 3x 3
(2)方程两边乘 3（x+1），得3x = 2x + 3（x+1）.
解得：x = 3 .
检验：当
x
2
=
3
时，3（x+1） ≠ 0.
2
所以 x = 3 是原分式方程的解.
2
4. 解下列方程：
【选自教材P152 练习】
（3） 2 4 x 1 x2 1
2 x 1
2 1
x x
1
两边同乘
（x－1），约去分母后，得（ D ）
A.2－（2－x）=1
B.2+（2－x）=1
C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－x）=（x－1）
数学人教版八年级上册15.3分式方程(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了分式方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分式方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节分式方程的课程后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生在理解分式方程的概念上还存在一些困难。尽管我通过实际案例引入，但部分学生仍然难以将现实问题转化为数学模型。在今后的教学中，我需要更多地运用生活中的实例，帮助学生建立起数学与实际问题的联系。
数学人教版八年级上册15.3分式方程（教案）
一、教学内容
本节课选自数学人教版八年级上册第15章第3节“分式方程”。教学内容主要包括以下方面：
1.了解分式方程的定义，掌握分式方程的一般形式；
2.学会解分式方程的步骤和方法，特别是如何去分母、如何化简方程；
3.能够解决实际问题中涉及的分式方程，例如速度、浓度、比例分配等问题；
在实践活动方面，我发现学生们对实验操作非常感兴趣，这有助于他们更好地理解分式方程在实际问题中的应用。但我也注意到，有些小组在操作过程中出现了混乱，没有明确分工。为了提高实践活动的效果，我将在下一次活动中提前给学生分配好任务，确保每个成员都能参与到活动中。
另外，课程总结环节，我意识到有些学生对所学知识点，导致学生遗忘。因此，我决定在今后的教学中，每节课结束后都进行一个小测验，帮助学生巩固所学知识。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，演示分式方程在解决实际问题时如何运用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
今天的学习，我们了解了分式方程的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对分式方程的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
五、教学反思
在上完这节分式方程的课程后，我进行了深入的思考。首先，我发现学生在理解分式方程的概念上还存在一些困难。尽管我通过实际案例引入，但部分学生仍然难以将现实问题转化为数学模型。在今后的教学中，我需要更多地运用生活中的实例，帮助学生建立起数学与实际问题的联系。
数学人教版八年级上册15.3分式方程（教案）
一、教学内容
本节课选自数学人教版八年级上册第15章第3节“分式方程”。教学内容主要包括以下方面：
1.了解分式方程的定义，掌握分式方程的一般形式；
2.学会解分式方程的步骤和方法，特别是如何去分母、如何化简方程；
3.能够解决实际问题中涉及的分式方程，例如速度、浓度、比例分配等问题；
在实践活动方面，我发现学生们对实验操作非常感兴趣，这有助于他们更好地理解分式方程在实际问题中的应用。但我也注意到，有些小组在操作过程中出现了混乱，没有明确分工。为了提高实践活动的效果，我将在下一次活动中提前给学生分配好任务，确保每个成员都能参与到活动中。
另外，课程总结环节，我意识到有些学生对所学知识点，导致学生遗忘。因此，我决定在今后的教学中，每节课结束后都进行一个小测验，帮助学生巩固所学知识。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与分式方程相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，演示分式方程在解决实际问题时如何运用。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
人教版数学八年级上册15.分式方程的定义及解法课件
人教版 数学 八年级 上册
理解分式方程的概念并会判断一个方程是否是分式 方程.
掌握解分式方程的基本思路和解法.
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90
千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速
为x千米/时，根据题意可列方程
90 30+x
60 30
我们再来观察去分母的过程:
90 60 30+x 30 x
① 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
90(30-x)=60(30+x)
真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的 解相同.
1 10 x 5 x2 25
两边同乘(x+5)(x-5)
方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
“去分母法”解分式方程的步骤
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方 程的解是原分式方程的解，否则原分式方程无解； 4.写出原方程的根.
②
当x=5时,
x+5=10 (x+5)(x-5)=0
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这 个整式方程的解就不是原分式方程的解.
分式方程解的检验------必不可少的步骤 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，
所以分式方程的解必须检验．
检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式
“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
理解分式方程的概念并会判断一个方程是否是分式 方程.
掌握解分式方程的基本思路和解法.
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行90
千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等.设江水的流速
为x千米/时，根据题意可列方程
90 30+x
60 30
我们再来观察去分母的过程:
90 60 30+x 30 x
① 两边同乘(30+x)(30-x) 当x=6时,(30+x)(30-x)≠0
90(30-x)=60(30+x)
真相揭秘： 分式两边同乘了不为0的式子,所得整式方程的解与分式方程的 解相同.
1 10 x 5 x2 25
两边同乘(x+5)(x-5)
方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.
“去分母法”解分式方程的步骤
1.在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程. 2.解这个整式方程. 3.把整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方 程的解是原分式方程的解，否则原分式方程无解； 4.写出原方程的根.
②
当x=5时,
x+5=10 (x+5)(x-5)=0
真相揭秘：分式两边同乘了等于0的式子,所得整式方程的解使分母为0,这 个整式方程的解就不是原分式方程的解.
分式方程解的检验------必不可少的步骤 解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程的分母为0，
所以分式方程的解必须检验．
检验方法： 将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式
“去分母” 即方程两边同乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.
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1．怎么解分式方程？ 2．为什么解分式方程一定要检验？
练习 解下列方程：
练习 解下列方程：
练习 解下列方程：
练习 解下列方程：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练习 解分式方程：
【答案】x=3是增根，原分式方程无解
练习 解方程：
【答案】x=0
易错点 解分式方程时容易犯的错误： ①去分母时，原方程的整式部分漏乘． ②约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号．
分式方程
整式方程
整式方程
分式方程
分式方程
探究
下面我们一起研究下怎么样来解分式方程： 转化 一元一次方程
方程两边同乘以（30+v）（30-v） ，得：
解得：
检验：将v=6代入分式方程，左边= =右边，所以
v=6是原分式方程的解．
解分式方程基本思路： 分式方程
转化 去分母
整式方程
练习 解下列方程：
解分式方程
解为正数？
提示：既要考虑解的范围，又要考虑增根 【解析】由方程有解，结合上题有
且x ≠2
由题意得 解得k＜5且k≠1
已知解得范围求参数范围 k为何值时，方程
解为负数？
【解析】方程两边都乘以x-2，得k+3（x-2）=x-1. 解这个整个方程，得
解得k＞5.
已知解得范围求参数范围
关于 x 的分式方程 值范围是D （ ）
思考
刚才我们解了两个分式方程
为什么第一个去分母后所得整式方程的解是原分式 方程的解，第二个却不是呢？ 大家可以讨论一下．
要回答这个问题，还是要来回顾一下解方程的过程．
思考
两边同乘(30+v)(30-v) 100 (30-v)=60(30+v)
当v=6，(30+v)(30-v)≠0 左右两边的方程是可以等价转化的，这两个方程的解相等
两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5，(x+5)(x-5)=0
x+5=10
从右边的方程推不出左边的方程，整式方程的解不一定是分式 方程的解
怎样检验 怎样检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解？
将整式方程的解代入最简公分母， 如果最简公分母的值不为0，
则整式方程的解是原分式方程的解， 否则这个解就不是原分式方程的解．
2．已知方程有增根求参数的步骤： ①把参数当作已知数，解出分式方程 ②再根据分母为0，得到一个关于参数的方程． ③解出参数．
A.m＞3 ＜3 C.m＞-3 ＜-3
的解是正数，则字母 m 的取 B.m D.m
已知解得范围求参数范围
若关于x的分式方程 范围是C （ ）
的解为非负数，则a的取值
A.≥1 C.a≥1且a≠4
B.a＞1 D.a＞1且a≠4
提示：既要考虑解的范围，又要考虑增根
解含参分式方程
1．怎么解含参分式方程？ 2．已知含参分式方程解的范围如何求参数的范围？ 3．需要注意什么细节？
解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
x+5=10
增根 解得： x=5 检验：
从去分母后所得的 整式方程中解出的
将x=5代入x-5、x 2-25的值都为0，相应分式无意义．
所以x=5不是原分式方程的解．
∴原分式方程无解．
增根
增根的定义
增根：由去分母后所得的整式方程解出的，使分母为 零的根． 增根满足的两个要求： ①是相应_整__式___方程的根． ②使分式方程的公___分__母__为0．
经检验x=-5是原方程的根. ∴ 原方程的根是x=-5.
总结
这节课我们学会了什么？
转化 1．解分式方程的思路： 分式方程
去分母 2．解分式方程一般步骤：
①去分母 ②解整式方程 ③检验 注意：检验必不可少．
整式方程
总结
这节课我们学会了什么？
1．含参分式方程的解法： 把参数当作已知数，正常求解即可．
也可以先把方程化为 整式方程，然后把可 能的增根代入方程
所以当k=1时，方程
产生增根.
增根问题
k为何值时，分式方程
根？ 解：方程两边都乘以（x-1）（x+1），
得
x（x+1）+k（x+1）-x（x-1）=0
把 x=1代入上式，则k=-1
把 x=-1代入上式，k 值不存在
∴当k =-1，原方程有增根.
增根问题
1.当m=0时，方程
？
x=6，不会
会产生增根吗
2.当m=1时，方程 ？
x=5，不会
会产生增根吗
3.当m为何值时，方程
会产生增根呢?
x=6-m，m=3时会产生增根
增根问题 k为何值时，方程
产生增根？
解：方程两边都乘以x-2，约去分母， 得k+3（x-2）=x-1 把x=2代入以上方程得：k=1
有增
增根问题 若关于x的分式方程 的值是A （ ）
A.m=-1 C.m=3
有增根，则m
B.m=0 D.m=0或m=3
增根问题
分式方程 （C ）
A.0
B.2
2
D.1
有增根，则增根可能是 C.0或
无解问题 k为何值时，方程
无解？
提示：分式方程无解意味着什么呢？ 【解析】方程两边都乘以x-2，约去分母，得
化简，得mx+m-nx=0.
移项、合并同类项，得（m-n）x=-m.
∵m≠n≠0， ∴m-n≠0，
检验：当
∴ x=
增根问题 m为何值时
有增根呢？
解：去分母，得 x-3=m
所以
x=m+3
方程有增根，即 x=m+3 时分母x-1为0
所以m+3-1=0
所以m=-2
归纳 已知方程有增根求参数的步骤： 1．把参数当作已知数，解出分式方程 2．再根据分母为0，得到一个关于参数的方程． 3．解出参数．
k+3（x-2）=-（1-x）
解得
由题意可知 解得k=1.
是原分式方程的增根，即
无解问题 关于 x 的方程
A.-5
B.-8
无解，则m的值为A（ ）
C.-2
D.5
提示：分式方程无解意味着什么呢？
含参分式方程增根问题
1．方程有增根怎么求参数？ 2．方程无解怎么求参数？
已知解得范围求参数范围 k为何值时，方程
x与x的倒数和 用换元法解方程： 么
原方程可化为________________.
时，如果设
，那
x与x的倒数和 1．已知 x 与 x 的倒数和，如何求 x 与 x 倒数的平方？
换元法 用换元法解分式方程
时，如果设
将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ A ）
一些特殊的分式方程 解方程： 【解析】方程两边分别通分，得
例题 解下列方程：
（1）解：方程两边乘x（x-3），得 2x=3x-9
解得 x=9 检验：当x=9时，x（x=3）≠0． 所以，原分式方程的解为x=9．
例题 解下列方程：
（2）解：方程两边乘（x-1）（x-2），得 x（x+2）-（x-1）（x+2）=3 解得 x=1
检验：当x=1时，（x-1）（x+2）=0， 因此，x=1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．
分式方程
知识回顾 1．观察，这是个什么方程？ 一元一次方程
①只含有一个未知数 2．一元一次方程有什么特点？ ②未知数的次数为1
③各项都是整式
3．解一元一次方程的步骤有哪些？
解：
去分母 去括号
移项
合并同类项
系数化1
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速
顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时
间相等，江水的流速为多少？
解:设江水的流速为 v 千米/时，则
顺水速度为________千米/时；
逆水速度为________千米/ 时；
根据题意，得
说说两方程
有何异同
分式方程 像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程 下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程．
整式方程
分式方程
分式方程
③忘记检验．
解含参分式方程 解关于x的方程
解：方程两边同乘以x-a，得 a+b（x-a）=x-a 去括号，得a+bx-ba=x-a
点睛：把参数当作已知 数，正常求解即可．
移项、合并同类项，得（b-1）x=ab-2a
∵b ≠1 ∴b-1≠0
检验：当
解含参分式方程
解关于 x 的方程
解：方程两边同乘 x（x+1）,得m（x+1）-nx=0.
归纳 1．解分式方程的思路： 分式方程
转化 去分母
整式方程
2．解分式方程一般步骤： ①去分母 ②解整式方程 ③检验 注意：检验必不可少．
流程图 分式方程
解分式方程一般步骤：
去分母
整式方程
解整式方程
目标
x=a
检验
x=a是 分式方程的解
最简公分母不为最0简公分母为x0=a不是 分式方程的解
解分式方程
练习 解下列方程：
练习 解下列方程：
练习 解下列方程：
练习 解下列方程：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
练习 解分式方程：
【答案】x=3是增根，原分式方程无解
练习 解方程：
【答案】x=0
易错点 解分式方程时容易犯的错误： ①去分母时，原方程的整式部分漏乘． ②约去分母后，分子是多项式时， 要注意添括号．
分式方程
整式方程
整式方程
分式方程
分式方程
探究
下面我们一起研究下怎么样来解分式方程： 转化 一元一次方程
方程两边同乘以（30+v）（30-v） ，得：
解得：
检验：将v=6代入分式方程，左边= =右边，所以
v=6是原分式方程的解．
解分式方程基本思路： 分式方程
转化 去分母
整式方程
练习 解下列方程：
解分式方程
解为正数？
提示：既要考虑解的范围，又要考虑增根 【解析】由方程有解，结合上题有
且x ≠2
由题意得 解得k＜5且k≠1
已知解得范围求参数范围 k为何值时，方程
解为负数？
【解析】方程两边都乘以x-2，得k+3（x-2）=x-1. 解这个整个方程，得
解得k＞5.
已知解得范围求参数范围
关于 x 的分式方程 值范围是D （ ）
思考
刚才我们解了两个分式方程
为什么第一个去分母后所得整式方程的解是原分式 方程的解，第二个却不是呢？ 大家可以讨论一下．
要回答这个问题，还是要来回顾一下解方程的过程．
思考
两边同乘(30+v)(30-v) 100 (30-v)=60(30+v)
当v=6，(30+v)(30-v)≠0 左右两边的方程是可以等价转化的，这两个方程的解相等
两边同乘(x+5)(x-5) 当x=5，(x+5)(x-5)=0
x+5=10
从右边的方程推不出左边的方程，整式方程的解不一定是分式 方程的解
怎样检验 怎样检验所得整式方程的解是否是原分式方程的解？
将整式方程的解代入最简公分母， 如果最简公分母的值不为0，
则整式方程的解是原分式方程的解， 否则这个解就不是原分式方程的解．
2．已知方程有增根求参数的步骤： ①把参数当作已知数，解出分式方程 ②再根据分母为0，得到一个关于参数的方程． ③解出参数．
A.m＞3 ＜3 C.m＞-3 ＜-3
的解是正数，则字母 m 的取 B.m D.m
已知解得范围求参数范围
若关于x的分式方程 范围是C （ ）
的解为非负数，则a的取值
A.≥1 C.a≥1且a≠4
B.a＞1 D.a＞1且a≠4
提示：既要考虑解的范围，又要考虑增根
解含参分式方程
1．怎么解含参分式方程？ 2．已知含参分式方程解的范围如何求参数的范围？ 3．需要注意什么细节？
解：方程两边同乘以最简公分母（x-5）（x+5），得：
x+5=10
增根 解得： x=5 检验：
从去分母后所得的 整式方程中解出的
将x=5代入x-5、x 2-25的值都为0，相应分式无意义．
所以x=5不是原分式方程的解．
∴原分式方程无解．
增根
增根的定义
增根：由去分母后所得的整式方程解出的，使分母为 零的根． 增根满足的两个要求： ①是相应_整__式___方程的根． ②使分式方程的公___分__母__为0．
经检验x=-5是原方程的根. ∴ 原方程的根是x=-5.
总结
这节课我们学会了什么？
转化 1．解分式方程的思路： 分式方程
去分母 2．解分式方程一般步骤：
①去分母 ②解整式方程 ③检验 注意：检验必不可少．
整式方程
总结
这节课我们学会了什么？
1．含参分式方程的解法： 把参数当作已知数，正常求解即可．
也可以先把方程化为 整式方程，然后把可 能的增根代入方程
所以当k=1时，方程
产生增根.
增根问题
k为何值时，分式方程
根？ 解：方程两边都乘以（x-1）（x+1），
得
x（x+1）+k（x+1）-x（x-1）=0
把 x=1代入上式，则k=-1
把 x=-1代入上式，k 值不存在
∴当k =-1，原方程有增根.
增根问题
1.当m=0时，方程
？
x=6，不会
会产生增根吗
2.当m=1时，方程 ？
x=5，不会
会产生增根吗
3.当m为何值时，方程
会产生增根呢?
x=6-m，m=3时会产生增根
增根问题 k为何值时，方程
产生增根？
解：方程两边都乘以x-2，约去分母， 得k+3（x-2）=x-1 把x=2代入以上方程得：k=1
有增
增根问题 若关于x的分式方程 的值是A （ ）
A.m=-1 C.m=3
有增根，则m
B.m=0 D.m=0或m=3
增根问题
分式方程 （C ）
A.0
B.2
2
D.1
有增根，则增根可能是 C.0或
无解问题 k为何值时，方程
无解？
提示：分式方程无解意味着什么呢？ 【解析】方程两边都乘以x-2，约去分母，得
化简，得mx+m-nx=0.
移项、合并同类项，得（m-n）x=-m.
∵m≠n≠0， ∴m-n≠0，
检验：当
∴ x=
增根问题 m为何值时
有增根呢？
解：去分母，得 x-3=m
所以
x=m+3
方程有增根，即 x=m+3 时分母x-1为0
所以m+3-1=0
所以m=-2
归纳 已知方程有增根求参数的步骤： 1．把参数当作已知数，解出分式方程 2．再根据分母为0，得到一个关于参数的方程． 3．解出参数．
k+3（x-2）=-（1-x）
解得
由题意可知 解得k=1.
是原分式方程的增根，即
无解问题 关于 x 的方程
A.-5
B.-8
无解，则m的值为A（ ）
C.-2
D.5
提示：分式方程无解意味着什么呢？
含参分式方程增根问题
1．方程有增根怎么求参数？ 2．方程无解怎么求参数？
已知解得范围求参数范围 k为何值时，方程
x与x的倒数和 用换元法解方程： 么
原方程可化为________________.
时，如果设
，那
x与x的倒数和 1．已知 x 与 x 的倒数和，如何求 x 与 x 倒数的平方？
换元法 用换元法解分式方程
时，如果设
将原方程化为关于y 的整式方程，那么这个整式方程是（ A ）
一些特殊的分式方程 解方程： 【解析】方程两边分别通分，得
例题 解下列方程：
（1）解：方程两边乘x（x-3），得 2x=3x-9
解得 x=9 检验：当x=9时，x（x=3）≠0． 所以，原分式方程的解为x=9．
例题 解下列方程：
（2）解：方程两边乘（x-1）（x-2），得 x（x+2）-（x-1）（x+2）=3 解得 x=1
检验：当x=1时，（x-1）（x+2）=0， 因此，x=1不是原分式方程的解． 所以，原分式方程无解．
分式方程
知识回顾 1．观察，这是个什么方程？ 一元一次方程
①只含有一个未知数 2．一元一次方程有什么特点？ ②未知数的次数为1
③各项都是整式
3．解一元一次方程的步骤有哪些？
解：
去分母 去括号
移项
合并同类项
系数化1
一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速
顺流航行90千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时
间相等，江水的流速为多少？
解:设江水的流速为 v 千米/时，则
顺水速度为________千米/时；
逆水速度为________千米/ 时；
根据题意，得
说说两方程
有何异同
分式方程 像这样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
分式方程 下列方程中，哪些是分式方程？哪些整式方程．
整式方程
分式方程
分式方程
③忘记检验．
解含参分式方程 解关于x的方程
解：方程两边同乘以x-a，得 a+b（x-a）=x-a 去括号，得a+bx-ba=x-a
点睛：把参数当作已知 数，正常求解即可．
移项、合并同类项，得（b-1）x=ab-2a
∵b ≠1 ∴b-1≠0
检验：当
解含参分式方程
解关于 x 的方程
解：方程两边同乘 x（x+1）,得m（x+1）-nx=0.
归纳 1．解分式方程的思路： 分式方程
转化 去分母
整式方程
2．解分式方程一般步骤： ①去分母 ②解整式方程 ③检验 注意：检验必不可少．
流程图 分式方程
解分式方程一般步骤：
去分母
整式方程
解整式方程
目标
x=a
检验
x=a是 分式方程的解
最简公分母不为最0简公分母为x0=a不是 分式方程的解
解分式方程