第1章--时域离散信号和时域离散系统
数字信号处理 第一章
x(n + N) = Asin[ω0 (n + N) +ϕ]
k N = (2π / ω0 ) K
13
具体正弦序列有以下三种情况： （1） 当2π/ω0为整数时，k=1，正弦序列是以 2π/ω0为周期的周期序列。
2π π π 例如, sin( n) ， ω 0 = ， = 16 ， 该正弦序列 ω0 8 8
δ ( n)
1, δ (n) = 0,
n=0 n≠0
-2 -1 0
1
1 2
n
6
时域离散信号与系统 几种常见的序列 2.单位阶跃序列 2.单位阶跃序列 u (n) u(n)
1, u(n) = 0,
∞
n≥0 n<0
...
-1 0 1 2 3 n
δ (n) = ∇u(n) = u(n) − u(n −1)
38
时域离散信号与系统
[例]：已知两线性时不变系统级联，其单位抽样响应 已知两线性时不变系统级联， 分别为h (n)=δ(n)-δ(n-4)； 分别为h1(n)=δ(n)-δ(n-4)；h2(n)=an u(n), |a|<1, x(n)=u(n)时 求输出y(n) y(n)。 当输入 x(n)=u(n)时，求输出y(n)。 [解 ]： x(n) w(n)
？？？？
33
时域离散信号与系统
二：时不变系统
若系统响应与激励加于系统的时刻无关， 若系统响应与激励加于系统的时刻无关，则为时不变 系统，又称移不变系统。 系统，又称移不变系统。
T [ x ( n )] = y ( n ) T [ x ( n − m )] = y ( n − m )
例:判断y(n)=ax(n)+b所的系统是否为时不变系统？ 判断y(n)=ax(n)+b所的系统是否为时不变系统？ y(n)=ax(n)+b所的系统是否为时不变系统
数字信号处理课件-高西全
k 0 N 1
4． 实指数序列
x(n) a u(n)， a为实数
n
5． 正弦序列
x(n) A sin(n )
6． 复指数序列
N 16
N 5
非周期信号
N乘法，是指同一时 刻的序列值逐项对应相加和相乘。
2． 移位
移位序列x(n－n0) ，当n0>0时, 称为x(n)的 延时序列；当n0<0时，称为x(n)的超前序列。 例3 已知x(n)波形，画出x(n-2)及x(n+2)波形图。
绪论
数字信号处理的对象是数字信号. 数字信号处理是采用数值计算的方法完成 对信号的处理.
数字信号处理的特点
灵活性 高精度和高稳定性 便于大规模集成 可以实现模拟系统无法实现的诸多功能
第1章 时域离散信号和时域离散系统
掌握常见时域离散信号的表示及运算。 掌握时域离散系统的线性、时不变性、因 果性及稳定性的含义及判别方法。 掌握采样定理。
经典解法（实际中很少采用）
递推解法（方法简单，但只能得到数值解，
不易直接得到公式解）
变换域法（Z域求解，方法简便有效）
递推解法
例10、设因果系统用差分方程
y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，输入x(n)=δ(n) 若初始条件y(-1)=0，求输出序列y(n)。
解：由初始条件 y(1) 0及
1.4 时域离散系统的输入输出描述 法——线性常系数差分方程
N阶线性常系数差分方程表示：
数字信号处理第一章离散时间信号和离散时间
离散卷积的计算
计算它们的卷积的步骤如下： (1)折叠：先在哑变量坐标轴k上画出x(k)和h(k)，将h(k)以纵坐标为对称轴折 叠成 h(-k)。 (2)移位：将h(-k)移位n，得h(n-k)。当n为正数时，右移n；当n为负数时，左 移n。 (3)相乘：将h(n-k)和x(k)的 对应取样值相乘。 (4)相加：把所有的乘积累加 起来，即得y(n)。
第一章 时域离散信号和时域离散系统
内容提要
离散时间信号和离散时间系统的基本概念 –序列的表示法和基本类型 –用卷积和表示的线性非移变系统 –讨论系统的稳定性和因果性问题 –线性常系数差分方程 –介绍描述系统的几个重要方式
离散时间信号的傅里叶变换和系统的频率响应 模拟信号的离散化
–讨论了模拟信号、取样信号和离散时间信号(数字 序列)的频谱之间的关系
根据线性系统的叠加性质 y(n) x(m)T[ (n m)] m
根据时不变性质:T[ (n m)] h(n m)
y(n) x(m)h(n m) x(n) h(n) m=-
(1.3.7)
通常把式(1.3.7)称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符 号“*”表示，即：
y(n n0 ) T[kx(n n0 )], 是移不变系统 (2) y(n) nx(n), 即y(n n0 ) (n n0 )x(n n0 ) 而T[x(n n0 )] nx(n n0 ) y(n n0 ),不是移不变系统
1.3.3 线性时不变系统及输入与输出的关系 既满足叠加原理，又满足非移变条件的系统，被称为线性 非移变系统。这类系统的一个重要特性，是它的输入与输 出序列之间存在着线性卷积关系。
§1. 2 时域离散信号
信号处理（ＰＤＦ）
时域离散信号：§例：已知模拟信号是一个正弦波，将它转换成时域离散信号和数字信号。
} {,0,0.9sin 50,0.9sin100,0.9sin150T T ππ时域离散信号n 只能取整数总结：时域离散信号可以通过对模拟信号得到，如果将它的每一个序列值经过有限位的，得到一个用二进制编码表示的序列，该序列就数字信号。
序列值一般有无限位小数。
如果用四位二进制数表示的幅度，二进制数第一位表示符号位，该二进制编码形成的信号数字信号数字信号编码、量化号之间是有差别的。
总结：随着二进制编码位数增加，数字信号和时域离散信号之间的差别越来越小。
[x n 换算成十进制，则x(n 位数有关，如果用换算成十进制，则时域离散信号的来源有两类：¾¾例：每天上午压均正常，收缩压不正常，仅记录收缩压并用时域离散信号号也称为时域离散信号表示方法（（（x(n)……¾，如果将它的每一个序列值经过有限位的，得到一个用二进制编码表示的序列，该序列就是字信号¾号之间的差别越来越小。
110()00n n n δ=⎧=⎨≠⎩δδ()t δ10 ()00nu nn≥⎧=⎨<⎩101()0n N n N R n ≤≤−⎧=⎨⎩其它4、实指数序列()()nx n a u n =a 为实数5、复指数序列00()()j n j n nx n e e eσωωσ+==⋅00cos()sin()n ne n je n σσωω=+0ω为数字域频率j n n 3x(n)=0.9e π例：6、正弦序列0()sin()x n A n ωφ=+()()sin()a t nTx n x t A nT φ===Ω+0/sT f ω=Ω=Ω0ω：数字域频率Ω：模拟域频率T ：采样周期s f ：采样频率()sin()a x t A t φ=Ω+模拟正弦信号：数字域频率是模拟域频率对采样频率的归一化频率弧度弧度/秒(x n8x 要使表示成取(3)任何整数例：判断解：如果一个正弦型序列是由一个连续信号采样而得到的，那么，时间间隔得到的采样序列是周期序列呢？设连续正弦信号信号的周期为ω频率乘以频率。
数字信号处理西安邮电大学第一章 (2)
x(n N ) A sin[(n N )0 ] A sin( N0 n0 )
若Nω0=2πk, 当k为正整数时，则
x(n) x(n N )
这时的正弦序列就是周期性序列，其周期满足N=2πk/ω0
（N，k必须为整数）。可分几种情况讨论如下。 （1） 当2π/ω0为正整数时，周期为2π/ω0。 （2） 当2π/ω0不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示 成分数），设
x(n)
x(0) x(－1) x(－2) x(－3)
x(1)
x(2)
x(3)
－5 －4 x(－5)
－3 －2 －1 0
1
2
3 4
5
6
n
x(－4) x(4)
x(5) x(6)
图 1-1 离散时间信号x(n)的图形表示
离散时间信号常常可以由对模拟信号(如语音信号)进行等 间隔采样而得到。例如，对于一个连续时间信号xa(t)，以每秒
y(n)=T［x(n)］
y(n-n0)=T［x(n-n0)］ 例1.3.2 检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统， a和b是常数。 解： y(n)=ax(n)+b y(n-n0)=ax(n- n0)+b y(n- n0)=T［x(n- n0)］ 因此该系统是时不变系统。
例1.3.3 检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。 解 ： y(n)=nx(n) y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0) T［x(n- n0)］=nx(n- n0) y(n- n0)≠T［x(n- n0)］ 因此该系统是时变系统。 同样方法可以证明
x(n)* (n) x(n)
x(n)* (n m) x(n m)
第1章习题解答
ay1 (n) by2 (n)
所以系统是线性系统
T [ x(n n0 )] x(m n0 )
m 0
n
令 m n0 k，则
n n0 m 0
x (m n )
m 0 0
n
n n0
x (k )
n n0
k 0n0
第1章 时域离散信号和时域离散系统
2．解： （1）序列波形如图1：
6 3
x(n)
1
3
1
2 1 0 1 2 3 4
n
图1
（2）
x(n) 3 (n 4) (n 3) (n 2) 3 (n 1) 6 (n) 6 (n 1) 6 (n 2) 6 (n 3) 6 (n 4)
所以系统是线性系统
设
x1 (n) x(n n0 )
所以
T [ x(n n0 )] T [ x1 (n)] x1 (n2 ) x(n2 n0 ) y(n n0 ) x[(n n0 )2 ] T [ x(n n0 )]
所以系统是时变系统
第1章 时域离散信号和时域离散系统
因此，该系统是稳定系统。
第1章 时域离散信号和时域离散系统
6. 解：（4） y(n)=x(n－n0)
当n0 > 0时，输出y(n)只与n时刻以前的输入有关，因此， 该系统是因果系统。 当n0 < 0时，输出y(n)与n时刻以后的输入有关，因此，
该系统是非因果系统。
设|x(n)| ≤M，则|y(n)| ≤M
时不变： • 平移 • 乘或加常数，即直流偏置或固定增益放大 • 微分和下限为的积分运算 • 有零初始状态的常参数电路或常系数微分方程 • 所有即时映射 时变： • 翻转、尺度运算 • 乘或加与输入无关的变量，即交流偏置或时变增益放大， 因为对后者而言，所乘或加的与输入无关的变量并不随输 入的延迟而延迟 • 下限为零的积分； • 具有非零初始状态的电路或微分方程，因为初始状态定义 于零时刻，它不会随着输入的延迟而延迟到另一时刻；同 样地，变系数微分方程中的变系数的时间变量并没有因输 入的延迟而延迟。
数字信号处理第三版西科大课后答案第1章
第1章 时域离散信号和时域离散系统 1.1.2 重要公式（1） ∞-∞==-=m n h n x m n h m x n y )(*)()()()( 这是一个线性卷积公式， 注意公式中是在－∞~∞之间对m 求和。
如果公式中x(n)和h(n)分别是系统的输入和单位脉冲响应， y(n)是系统输出， 则该式说明系统的输入、 输出和单位脉冲响应之间服从线性卷积关系。
（2）x(n)=x(n)*δ(n)该式说明任何序列与δ(n)的线性卷积等于原序列。
x(n －n0)=x(n)*δ(n －n0)（3）∞-∞=-=k a n k X T X )j j (1)j (ˆs ΩΩΩ这是关于采样定理的重要公式， 根据该公式要求对信号的采样频率要大于等于该信号的最高频率的两倍以上， 才能得到不失真的采样信号。
∞-∞=--=n a a T nT t T nT t nt x t x /)(π]/)(πsin[)()(这是由时域离散信号理想恢复模拟信号的插值公式。
1.2 解线性卷积的方法解线性卷积是数字信号处理中的重要运算。
解线性卷积有三种方法， 即图解法（列表法）、 解析法和在计算机上用MA TLAB 语言求解。
它们各有特点。
图解法（列表法）适合于简单情况， 短序列的线性卷积， 因此考试中常用， 不容易得到封闭解。
解析法适合于用公式表示序列的线性卷积， 得到的是封闭解， 考试中会出现简单情况的解析法求解。
解析法求解过程中， 关键问题是确定求和限， 求和限可以借助于画图确定。
第三种方法适合于用计算机求解一些复杂的较难的线性卷积， 实验中常用。
解线性卷积也可用Z 变换法，以及离散傅里叶变换求解， 这是后面几章的内容。
下面通过例题说明。
设x(n)=R 4(n), h(n)=R 4(n)， 求y(n)=x(n)*h(n)。
该题是两个短序列的线性卷积， 可以用图解法（列表法）或者解析法求解。
表1.2.1给出了图解法（列表法）， 用公式可表示为y(n)={…, 0, 0, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1, 0, 0, …}下面用解析法求解， 写出卷积公式为∑∞-∞=∞-∞=-=-=m m m n R m R m n h m x n y )()()()()(44在该例题中， R 4(m)的非零区间为0≤m ≤3， R 4(n －m)的非零区间为0≤n －m ≤3，或写成n －3≤m ≤n ，这样y(n)的非零区间要求m 同时满足下面两个不等式：0≤m ≤3 m －3≤m ≤n上面公式表明m 的取值和n 的取值有关， 需要将n 作分段的假设。
数字信号处理-原理实现及应用(高西全-第3版)第1章 时域离散信号和系统
2020/7/5
信息与通信工程系—数字信号处理
14
时域离散信号的表示
用图形表示
直观
1
0.5
xaT(n)
0
-0.5
-1
-4
-2
0
2
4
6
n
为了醒目，在每一条竖线的顶端加一个小黑点。
2020/7/5
信息与通信工程系—数字信号处理
15
Matlab 语言中的序列表示
t=-0.025:0.001:0.025; xat=0.9*sin(50*pi*t); subplot(2,1,1); plot(t,xat);axis([-0.025,0.03,-1,1]); xlabel('t'); ylabel('xat(t)');
a nun
1 a 0
1 1 O 1
23
4n
2020/7/5
信息与通信工程系—数字信号处理
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正弦序列
x(n) Asin(nT ) Asin(n )
T 采样间隔 ； 模拟信号的角频率
数字域的数字频率
T 1
x(n)
0
2 /10
-1
-10 -5
0
5 10
n
2020/7/5
信息与通信工程系—数字信号处理
信号的产生、传输和处理需要一定的物理装置，这样 的物理装置常称为系统。
系统的基本作用是对输入信号进行加工和处理，将其
转换为所需要的输出信号。
2020/7/5
信息与通信工程系—数字信号处理
6
1.1 引言
信号、系统数学描述的意义
为了把握信号与系统的特征参数
系统输出的预测
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答案 （1）非因果、稳定 （2）非因果、不稳定。
课堂练习
2、已知x1 (n) 3 (n 1) 2 (n 2), x2 u(n) u(n 3)，求x(n) x1 (n) * x2 (n)
答案：x(n) {1,4,6,5,2}
课堂练习
3、判断题： 一个系统是因果系统的充要条件是，单位序列 响应h(n)是因果序列。 答案： 错
§1.1.1 信号的分类
按照自变量与函数值的取值形式不同分类： 时间 幅度
3
x(t)
连续 离散 离散
连续 连续 量化
2
连续时 间信号
1 3
x(n)
0
10
20
30
40
2 1 0 3 0 5 10 15 20
离散时 间信号 数字5 20
§1.1.2时域离散信号
解： （1）{1，2，3，4，4，3，2，1} （2）{2，2，0，0，-2，-2}
§ 1.3 模拟信号数字处理方法
绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点， 因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用 数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号， 这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如下图所示。图中 的预滤与平滑所起的作用在后面介绍。本节主要介绍采样定理和采样恢复。
为什么进行信号抽样
离散信号与系统的主要优点：
(1) 信号稳定性好: 数据用二进制表示，受外界影响小。 (2) 信号可靠性高: 存储无损耗，传输抗干扰。 (3) 信号处理简便: 信号压缩，信号编码，信号加密等
(4) 系统精度高: 可通过增加字长提高系统的精度。 (5) 系统灵活性强: 改变系统的系数使系统完成不同功能。
到公式解）P 17-18
变换域法（Z域求解，方法简便有效）
递推解法
例、设因果系统用差分方程 y(n)=ay(n－1)+x(n)描述，输入x(n)=δ(n) 若初始条件y(-1)=0，求输出序列y(n)。
解：由初始条件 y(1) 0及
差分方程y(n) ay(n 1) x(n)
得
n 0时, y (0) ay(1) δ (0) 1 n 1时，y (1) ay(0) δ (1) a n 2时, y (2) ay(1) δ (2) a 2 n n时, y (n) a n y ( n) a n u ( n)
c.矩形序列RN(n)=u(n)-u(n-N)
1
n 0
1
2
3
d.实指数序列x(n)=anu(n)， a为实数
§1.1.2时域离散信号——常见序列
e. 复指数序列 x(n)=e(σ+jω0)n
σ=0 ，x (n)=e jω0n x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立：
4
6
8
10
§1.1.2时域离散信号——常见序列
a． 单位采样序列δ(n)
1 ( n) 0
n0 n0
单位采样序列的作用：表示任意序列
x ( n)
m
x(m) (n m)
例1. 写出图示序列的表达式
x(n) (n 1) 2 (n) (n 1) 2 (n 2) 1.5 (n 3)
对模拟信号 xa(t)进行等间隔采样，采样间隔为 T，得到采样值序 列
时域离散信号 x(n)=xa(nT)， -∞＜n＜∞
可以用集合符号表示，例如： x(n)={…1.3,2.5,3.3,1.9,0,4.1…}
x(n)
5 4.5 4 3.5 3
2.5 2 1.5 1 0.5 0
-2
0
2 n
5、 判断下面的序列是否是周期的; 若是周期的， 确定 其周期。 3 (1) x(n) A cos πn A是常数
7 8
(2)
x ( n)
1 j( n ) e 8
解： （1） 因为ω= （2） 因为ω=
3 7 π, 所以
2π
数， 因此是周期序列， 周期T=14
1 , 所以 8 2π
例、设差分方程如下，求输出序列y(n)。
y(n) ay(n 1) x(n) ，x(n) δ(n), y(n) 0, n 0
解：y(n 1) a 1 ( y(n) δ(n))
n 1时, y (0) a 1 ( y (1) δ (1)) 0 n 0时, y (1) a 1 ( y (0) δ (0)) a 1 n 1时, y (2) a 1 ( y (1) δ (1)) a 2 y ( n) a , n 0
1.3
概念
模拟信号的抽样
抽样是把时间上连续的模拟信号变成一 系列时间上离散的抽样值的过程。
理想抽样 抽样分为 脉冲抽样
34
1.3
模拟信号的抽样
1.3.1 理想抽样
1、实现方法
用周期性单位冲激脉冲与模拟信号相乘，即：
35
对模拟信号进行采样可以看做一个模拟信号通过一个电 子开关S。
实际抽样
ˆa (t ) xa (t ) PT (t ) x
信号处理是研究用系统对含有信息的信号进行处理 （变换）以获得人们所希望的信号，从而达到提取信 息，便于利用的一门学科。 包括：滤波、变换、估值、检测、压缩、识别等
模拟信号的数字处理——采样
xa(t)
x ( n)
预滤 A/DC 数字信号处理
y ( n)
D/AC
平滑滤波
ya(t)
§ 1.3.1 采样与采样定理
• 3. 线性时不变系统
• y(n)=x(n)*h(n)
§1.2.1 时域离散系统
4.因果系统与稳定系统
因果系统： h(n)=0， n<0
稳定系统：是指系统有界输入，系统输出也是有界的。系统稳定的 充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为
n
h(n )
设 LTI 系统的单位系统脉冲响应 h(n)=anu(n) ，式中 a 是
b、单位阶跃序列u(n)
1 u ( n) 0
n0 n0
(n)与u(n)的关系？
(n) u (n) u (n 1)
u ( n)
m
(m)
n
或 u ( n) ( n k )
k 0
§1.1.2时域离散信号——常见序列
R4 (n )
课堂练习
4、将序列x(n)用一组幅度加权和延迟的冲激序列的和 来表示 。
x(n) x(1) (n 1) x(0) (n) x(1) (n 1) x(2) (n 2) x(3) (n 3)
k 1
x(k ) (n k )
3
课堂练习
电子开关合上时间τ→0， 则形成理想采样
理想抽样
Pδ (t )
n
δ (t nT )
ˆa (t ) xa (t ) Pδ (t ) xa (t ) (t nT ) x
如果正弦序列是由模拟信号xa (t)采样得到的，那么 xa(t)=sin(Ωt) xa(t)|t=nT=sin(ΩnT)
x(n)=sin(ωn)
/ fs
数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为 ω=ΩT或 周期性判断：
x(n) x(n N ) sin(n) sin( (n N ))
实常数，试分析该系统的因果稳定性。
解：（ 1 ）因果性： 由于n 0时，h(n) 0，因此系统是因果的。 （2）稳定性 : 1 | a | 1 n | h( n) | | a | 1 | a | n n 0 | a | 1 | a | 1时，系统稳定； | a | 1时，系统不稳定。
§1.2 系统
系统是将信号进行处理（或变换）以达到人们要求的各种设备。硬件或软件编程实 现 分类： a. 模拟系统（连续时间信号系统）、离散时间信号系统、数字系统 b. 线性系统、非线性系统 c. 时变系统、时不变系统 d. 因果系统、非因果系统 e. 稳定系统、非稳定系统
cosN 1
sin N 0
sin n cosN cosn sin N 2 N 2k N k
k为正整数
§1.1.2时域离散信号——常见序列
2 2 1. 为整数，则N = 2 2 P 2 Q Q 2. 为有理数，即 ，则N = 2 2 为整数，则序列为非周期的 3. 为无理数，不存在正整数k使得 k
若初始条件改为y(-1)=1，求y(n)
初始条件y(1) 1， 方程y(n) ay(n 1) x(n)
n 0时, y (0) ay(1) δ (0) 1 a n 1时, y (1) ay(0) δ (1) (1 a)a n 2时, y (2) ay(1) δ (2) (1 a)a 2 n n时, y (n) (1 a)a n y (n) (1 a)a n u (n)
数字信号处理
内容简介
第一章 时域离散信号和时域离散系统 第二章 时域离散信号和系统的频域分析
第三章 离散傅里叶变换
第四章 快速傅里叶变换
第五章 时域离散系统的基本网络结构
第六章 无限脉冲响应数字滤波器的设计