幂模运算快速算法
幂模运算
2. 大数幂模与乘模运算•Montgomery 幂模算法在实现了vlong 类型后，大数的存储和四则运算的功能都完成了。
考虑到RSA 算法需要进行幂模运算，需要准备实现这些运算的方法。
所以写一个vlong 的友元，完成幂模运算功能。
幂模运算是RSA 算法中比重最大的计算，最直接地决定了RSA 算法的性能，针对快速幂模运算这一课题，西方现代数学家提出了很多的解决方案。
经查阅相关数学著作，发现通常都是依据乘模的性质n n b n a n b a mod ))mod ()mod ((mod )(⨯=⨯，先将幂模运算化简为乘模运算。
通常的分解习惯是指数不断的对半分，如果指数是奇数，就先减去一变成偶数，然后再对半分，例如求D=n C E mod ，E=15，可分解为如下6个乘模运算。
n C n C C C m od m od 21=⨯= n C n C C C m od m od 312=⨯= nC n C C C mod mod 6223=⨯= nC n C C C mod mod 734=⨯= nC n C C C mod mod 14445=⨯= nC n C C C mod mod 1556=⨯=归纳分析以上方法，对于任意指数E ，可采用如图2-4的算法流程计算 。
图2-4 幂模运算分解为乘模运算的一种流程按照上述流程，列举两个简单的幂模运算实例来形象的说明这种方法。
①求17mod215的值开始 D = 1 P = 2 mod 17 = 2 E = 15E奇数 D = DP mod n = 2 P = PP mod n = 4 E = (E-1)/2 =7E奇数 D = DP mod n = 8 P = PP mod n = 16 E = (E-1)/2 =3E奇数 D = DP mod n = 9 P = PP mod n = 1 E = (E-1)/2 =1E奇数 D = DP mod n = 9 P = PP mod n = 1 E = (E-1)/2 =0最终D = 9 即为所求。
蒙哥马利算法详解(一)
蒙哥马利算法详解(一)蒙哥马利算法详解什么是蒙哥马利算法蒙哥马利算法（Montgomery Algorithm）是一种用于大整数模幂运算的快速算法。
它在密码学中广泛应用，特别是在RSA加密和解密操作中。
原理概述蒙哥马利算法利用模幂运算中的数学性质，通过将大整数转换为蒙哥马利余数形式，从而加速运算。
转换为蒙哥马利余数1.选择合适的模数 R（一般为 2 的某次幂），使得模 R 的结果比较容易计算。
2.根据模数 R，计算出 R 的逆元R’，满足R × R’ ≡ 1 (modn)，其中 n 为要计算的大整数。
3.将大整数 n 转换为蒙哥马利余数形式n’ = (n × R) mod n，即n’ = n × R mod n。
4.将指数 e 也转换为蒙哥马利余数形式e’ = (e × R) mod n。
蒙哥马利幂运算1.对于大整数 x，计算其蒙哥马利余数表示x’ = (x × R) modn。
2.初始化结果r’ = 1。
3.对于 e 的每一个二进制位 b，从高位到低位进行以下操作：•如果 b = 1，则将r’ 更新为r’ = (r’ × x’) mod n。
•将x’ 更新为x’ = (x’ × x’) mod n。
4.循环结束后，结果r’ 即为最终的蒙哥马利幂运算结果。
蒙哥马利逆转换1.将蒙哥马利幂运算结果r’ 转换为普通表示r = (r’ × R’mod n) mod n。
优势与应用•蒙哥马利算法的优势在于其快速的模幂运算速度，加速了RSA加密和解密操作。
•在实际应用中，蒙哥马利算法可用于优化RSA密钥生成和加密解密过程中的模幂运算，提升运算效率。
注意事项•在实现蒙哥马利算法时，需要注意大整数操作的溢出问题。
•进行蒙哥马利算法运算时，需要保证模数 n 是一个正整数。
该算法的运用在密码学中具有重要意义，大大提高了RSA算法的运算速度，值得进一步学习和研究。
基础算法—快速幂详解
基础算法—快速幂详解幂运算是⾮常常见的⼀种运算，求取,最容易想到的⽅法便是通过循环逐个累乘，其复杂度为，这在很多时候是不够快的，所以我们需要⼀种算法来优化幂运算的过程。
⼀、快速幂——反复平⽅法该怎样去加速幂运算的过程呢？既然我们觉得将幂运算分为n 步进⾏太慢，那我们就要想办法减少步骤，把其中的某⼀部分合成⼀步来进⾏。
⽐如，如果能被2整除，那我们可以先计算⼀半，得到的值，再把这个值平⽅得出结果。
这样做虽然有优化，但优化的程度很⼩，仍是线性的复杂度。
再⽐如，如果我们能找到，那我们就能把原来的运算优化成，只需要次运算就可以完成，效率⼤⼤提升。
可惜的是，这种条件显然太苛刻了，适⽤范围很⼩。
不过这给了我们⼀种思路，虽然我们很难找到，但我们能够找到。
这样，我们可以通过递推，在很短的时间内求出各个项的值。
我们都学习过进制与进制的转换，知道⼀个进制数的值可以表⽰为各个数位的值与权值之积的总和。
⽐如，2进制数，它的值可以表⽰为10进制的，即。
这完美地符合了上⾯的要求。
可以通过2进制来把转化成的序列之和，⽽2进制中第位（从右边开始计数，值为或是）则标记了对应的是否存在于序列之中。
譬如，为⼆进制的，他可以表⽰为，其中由于第⼆位为，项被舍去。
如此⼀来，我们只需要计算的值（这个序列中的项不⼀定都存在，由的⼆进制决定）并把它们乘起来即可完成整个幂运算。
借助位运算的操作，可以很⽅便地实现这⼀算法，其复杂度为。
typedef long long ll;ll mod;ll qpow(ll a, ll n)//计算a^n % mod{ll re = 1;while (n){if (n & 1)//判断n 的最后⼀位是否为1re = (re * a) % mod;n >>= 1;//舍去n 的最后⼀位a = (a * a) % mod;//将a 平⽅}return re % mod;}取模运算⼀般情况下是需要的，当然也可以省去。
快速模幂算法范文
快速模幂算法范文下面我们将详细介绍快速模幂算法的原理和步骤。
1.原理：假设要计算 a^b mod c 的值，其中 a 是底数，b 是指数，c 是模数。
快速模幂算法的基本思想是将指数 b 进行二进制拆分，然后利用二进制的运算特性进行迭代计算。
2.步骤：-将指数b转换为二进制形式。
例如，b=13(1101)。
- 初始化两个变量：result=1 作为最终结果的累积值，和 base=a作为当前底数。
- 从二进制数的最低位开始，如果最低位是1，则将当前底数乘以result，并对结果取模 c。
例如，result = 1 * a = a mod c。
- 将当前底数进行平方运算，并对结果取模 c，base = a^2 mod c。
-将指数b右移一位，相当于b=b/2-重复上述步骤，直到指数b的所有位都被处理完毕。
- 返回结果 result。
3.例子：让我们以a=3,b=13,c=7为例进行演示。
-将指数b的二进制表示为1101- 初始化 result=1，base=3- 最低位为1，将当前底数乘以 result，并对结果取模 c，result = 1 * 3 = 3 mod 7- 进行平方运算，base = 3^2 mod 7 = 9 mod 7 = 2 mod 7-右移一位，b=110。
-最低位为0，不进行计算。
- 进行平方运算，base = 2^2 mod 7 = 4 mod 7-右移一位，b=11- 最低位为1，将当前底数乘以 result，并对结果取模 c，result = 3 * 4 = 12 mod 7- 进行平方运算，base = 4^2 mod 7 = 16 mod 7 = 2 mod 7-右移一位，b=1- 最低位为1，将当前底数乘以 result，并对结果取模 c，result = 12 * 2 = 24 mod 7 = 3 mod 7- 进行平方运算，base = 2^2 mod 7 = 4 mod 7-右移一位，b=0。
幂运算常用的8个公式幂数口诀
幂运算常用的8个公式幂数口诀幂运算常用的8个公式是：1、同底数幂相乘；2、幂的乘方；3、积的乘方；4、同底数幂相除；5、a^（m+n）＝a^m·a^n；6、a^mn=（a^m）·n；7、a^m·b^m=（ab）＾m；8、a^（m-n）＝a^m÷a^n（a≠0）。
幂运算常用的8个公式幂运算常用的8个公式是：1、同底数幂相乘：a^m·a^n=a^（m+n）。
2、幂的乘方：（a^m）n=a^mn。
3、积的乘方：（ab）＾m=a^m·b^m。
4、同底数幂相除：a^m÷a^n=a^（m-n）（a≠0）。
5、a^（m+n）＝a^m·a^n。
6、a^mn=（a^m）·n。
7、a^m·b^m=（ab）＾m。
8、a^（m-n）＝a^m÷a^n（a≠0）。
幂数口诀指数加减底不变，同底数幂相乘除。
指数相乘底不变，幂的乘方要清楚。
积商乘方原指数，换底乘方再乘除。
非零数的零次幂，常值为1不糊涂。
负整数的指数幂，指数转正求倒数。
看到分数指数幂，想到底数必非负。
乘方指数是分子，根指数要当分母。
幂运算是什么意思1、幂运算是一种关于幂的数学运算。
掌握正整数幂的运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法），能用字母式子和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算。
2、思考对于数学的学习是最核心的，对做题更是如此。
数学是考你对知识点的运用，能够理解这些知识点，然后解题，通过解题巩固所学知识。
一开始不会解题，要忍住不去翻看答案，自己先思考。
3、在学习法则的过程中，不是简单地套用公式，而是除了理解法则的形成过程外，还需要知道每一个法则的具体适用情况，并会变式和引申。
在运用幂的运算法则进行计算时，一定要审清题，特别注意系数、符号和指数，其次要正确运用公式，看清底数和指数的变化，学会用转化的方法和整体的思想去解决问题。
快速幂算法
快速幂取余
所谓的快速幂，实际上是快速幂取模的缩写，简单的说，就是快速的求一个幂式的模(余)。
在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。
应用的公式：
d=a b mod n=(…((((a mod n)*a)mod n)*a)mod n…*a)mod n {共b个a}
(a × b) mod c=( (a mod c) × b) mod c.
1.有三根杆子A，B，C。
A杆上有3N个(N>1)穿孔圆盘，共有N个不同的大小，每个尺寸都有三个完全相同的圆盘，盘的尺寸由下到上依次变小。
要求按下列规则将所有圆盘移至C 杆：
1.每次只能移动一个圆盘；
2.大盘不能叠在小盘上面。
费马小定理，积模分解公式，高效幂，快速幂模及米勒-拉宾检验
费马⼩定理，积模分解公式，⾼效幂，快速幂模及⽶勒-拉宾检验转载⾃好⽂章，整理收藏。
1.费马⼩定理：有N为任意正整数，P为素数，且N不能被P整除（显然N和P互质），则有：N^P%P=N(即：N的P次⽅除以P的余数是N) 或 (N^(P-1))%P=1互相变形：原式可化为：(N^P-N)%P=0(N*(N^(P-1)-1))%P=0所以，N*(N^(P-1)-1)是N和P的公倍数⼜因为 N与P互质，⽽互质数的最⼩公倍数为它们的乘积所以⼀定存在正整数M使得等式成⽴：N*(N^(P-1)-1)=M*N*P所以N^(P-1)-1=M*P因为M是整数所以(N^(P-1)-1)%P=0即：N^(P-1)%P=12.积模分解公式引理， 若：X%Z=0，则(X+Y)%Z=Y%Z 设有X、Y和Z三个正整数，则必有：(X*Y)%Z=((X%Z)*(Y%Z))%Z证明：1. 当X和Y都⽐Z⼤时，必有整数A和B使下⾯的等式成⽴： X=Z*I+A（1） Y=Z*J+B（2）除模运算的性质 将（1）和（2）代⼊(X*Y)modZ得： ((Z*I+A)(Z*J+B))%Z 所以 (Z*(Z*I*J+I*A+I*B)+A*B)%Z（3） 所以 Z*(Z*I*J+I*A+I*B)能被Z整除 概据引理，（3）式可化简为：(A*B)%Z ⼜因为：A=X%Z，B=Y%Z，代⼊上式，成为原式右边。
2. 当X⽐Z⼤⽽Y⽐Z⼩时： X=Z*I+A 代⼊(X*Y)%Z得： (Z*I*Y+A*Y)%Z 根据引理，转化得：(A*Y)%Z 因为A=X%Z，⼜因为Y=Y%Z，代⼊上式，即得到原式右边。
同理，当X⽐Z⼩⽽Y⽐Z⼤时，原式也成⽴。
3. 当X⽐Z⼩，且Y也⽐Z⼩时，X=X%Z，Y=Y%Z，所以原式成⽴。
3.快速乘⽅算法unsigned Power(unsigned n, unsigned p) //n^p{unsigned ans = 1;while (p > 1){if (( p & 1 )!=0) ans *= n;n *= n;p /= 2;}return n * ans;}4."蒙格马利”快速幂模算法__int64 Montgomery(__int64 n, __int64 p, __int64 m){ // 快速计算 (n ^ p) % m 的值，与power算法极类似__int64 r = n % m; // 这⾥的r可不能省__int64 k = 1;while (p > 1){if ((p & 1)!=0){k = (k * r) % m; // 直接取模}r = (r * r) % m; // 同上p /= 2;}return (r * k) % m; // 还是同上}蒙格马利极速版：unsigned Montgomery(unsigned n,unsigned p,unsigned m){ //快速计算(n^p)%m的值unsignedk=1;n%=m;while(p!=1){if(0!=(p&1))k=(k*n)%m;n=(n*n)%m;p>>=1;}return(n*k)%m;}5.素数判断根据费马⼩定理，对于两个互质的素数N和P，必有：N^(P-1)%P=1费马测试算法思路是这样的：对于N，从素数表中取出任意的素数对其进⾏费马测试，如果取了很多个素数，N仍未测试失败，那么则认为N是素数。
蒙哥马利算法原理
蒙哥马利算法原理蒙哥马利算法是一种用于在大整数运算中进行模幂运算的快速算法。
它在密码学领域被广泛应用于RSA算法、椭圆曲线密码算法等。
蒙哥马利算法的原理是利用模运算的特性，将大整数的幂运算转化为更简单的乘法运算，从而提高运算效率。
在介绍蒙哥马利算法之前，我们先来了解一下模运算的定义。
对于给定的两个正整数a和n，模运算的结果是a除以n所得的余数。
用数学符号表示为a mod n。
例如，对于整数17除以6的模运算，结果为17 mod 6 = 5。
模运算具有以下几个重要的性质：1. (a + b) mod n = (a mod n + b mod n) mod n2. (a - b) mod n = (a mod n - b mod n) mod n3. (a * b) mod n = (a mod n * b mod n) mod n蒙哥马利算法的核心思想是将大整数的幂运算转化为模运算的乘法运算。
具体步骤如下：1. 将底数a和指数b转化为二进制形式。
例如，对于a=3和b=11，它们的二进制形式分别为a=101、b=1011。
2. 通过反复平方和模运算，计算出a的各个幂次的模运算结果。
首先，计算出a mod n的结果，然后依次计算出a^2 mod n、a^4 mod n、a^8 mod n等，直到计算出a^b mod n的结果。
3. 根据指数b的二进制形式，利用模运算的性质计算出a^b mod n的结果。
例如，对于a^11 mod n，根据b=1011，我们可以根据模运算的性质得到以下计算式：a^11 mod n = (a^8 mod n * a^2 mod n * a^1 mod n) mod n。
蒙哥马利算法的优势在于它将大整数的幂运算转化为了一系列的模运算和乘法运算，避免了对大整数进行重复的乘法运算，从而大大提高了计算效率。
在实际应用中，蒙哥马利算法能够高效地对大质数进行加密和解密运算，保证了密码算法的安全性和可靠性。
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幂模运算快速算法——滑动窗口算法
设e 的二进制表达式为：∑-==
10)2(k i i i e e ，其中}1,0{∈i e 。
那么，n X e mod 的幂模运算二进制算法如下：
输入：X ，e ，n
输出：n X C e
mod =
Step 1: 1=C
Step 2: for 1-=k i downto 0
Step 2.1: n C C C mod )*(=
Step 2.2: if 1=i e then n X C C mod )*(=
Step 3: return C
由二进制法的计算过程可知：当指数e 的二进制位为0时，会减少乘模的次数。
二进制法的直接推广是m 进制法，其基本思想是把指数分成r bits(即m 2log bits)的数据块，每次取指数e 的r bits 进行运算，从而使整个幂模运算的效率提高。
假定e 的每个比特是0或1的概率相同，则m 进制法一个数据块是全0的可能性为r -2，当r 增加时，数据块为全0的可能性会减少，因此在Step 2.2需做乘模的可能性增加；而当r 减小时，算法总的乘模次数也会增加。
滑动窗口技术提供了一种折衷，允许零数据块和非零数据块是变长的，目的是增加全0数据块的数量，从而使总的乘模次数减少。
具体方法是：把k bits 指数分解成z 个零窗口或非零窗口i F ，i F 长度为)(i F L 。
规定最大窗口长度为d ，即))(max(i F L d =，显然总窗口数z 可能不等于d k 。
d 的取值与模数的位长有关。
对单一窗口的幂模运算进行预处理，即预计算n X w mod ，其中
12,,7,5,3-=d w ，因为指数分解的原则使非零窗口的最低有效位必定为1，故w 为为奇数，从而使预处理次数减少了一半。
滑动窗口算法处理幂模运算的过程如下：
输入：X ，e ，n
输出：n X C e mod =
Step 1: 预计算。
Step 2: 将k bits 的指数e 分解成长度为)(i F L 的零窗口或非零窗口i F ，1,,2,1,0-=z i 。
Step 3: 1=C
Step 4: for 1-=z i downto 0
Step 4.1: n C C i F L mod )(2=
Step 4.2: if 0≠i F then n X C C i F mod )*(=
Step 5: return C
窗口的划分采用了从左至右扫描的变长滑动窗口技术，因为计算是从高位至低位进行的。
如果采用从
右至左扫描的变长滑动窗口技术虽然可以使零窗口的数量有所增加，但它存在一个增加开销的缺点——需要记录各窗口的大小，而从左至右扫描则恰好相反。