高次幂取模
高精度取模
分析思路
456 mod 13 可以写成如下过程： 456=400+50+6 若不看 0 则为 4 , 5 , 6 三位数， 这样就把一个很多位数的数字分成了每位都是单 独的，在数组中也是这种形式。 我们首先从第一位开始,依次到末尾，如下： ((4%13*10+5)%13*10+6)%13 = 1 ① 这样做为什么可以呢？ (400%13+50%13+6%13)%13=1 ② 这样大家都比较明白，因为这是同余定理。
参考代码
long hmod(long a,long k,long m) { if(!k) return s[t[k]]; //边界处理 long i,ans=1,tmp=hmod(a,k-1,m); //进入下一层 for(i=0;i<10;i++) ans=ans*tmp%m; //10次方运算 return ans*s[t[k]]%m; //返回这一层的计算结果 }
（高精度幂） 单精度
Hale Waihona Puke 模单精度这个标题可能有点不好理解，举例如下： a b mod m ,这是不是快速幂取模的内容，不是， 要注意这里的 b 是高精度数，也就是说 b 有可能 上百位。但是思想也有快速幂取模中的分治。 那是否就是按照b/2/2…/2的那种形式呢？ 因为b为高精度，所以我们尽量避免程序中出现 关于高精度的除法，即使是除以单精度。
续上
为什么上面的两个式子是等价的？ 也许你已经发现①式中有几处*10，若将%13都 去除那么①的结果就是456。 这样一来相信那样做的道理就不用我来解释了。 大家思考一下便会理解其中的奥妙。 有了这样的等式高精度模单精度就不成问题了！
参考代码
读入及转换为整型数略。 long ans=0; for(i=1;i<=n;i++) ans=(ans*10+a[i])%m; a数组代表高精度数，m代表要模的单精度，ans 为最终的结果。
高次幂方程怎么解
高次幂方程怎么解
高次幂方程的解法一般比较复杂，没有一般的通解公式。
以下列举一些常见的解法：
1.因式分解法：如果高次幂方程能够因式分解，则可以将其转化为一组一次或低次幂方程，从而求得解。
2.换元法：有些高次幂方程可以通过一些特殊的代换或变换，转化为比较容易解决的一次或低次幂方程。
常见的代换包括三角函数代换、指数函数代换等。
3.数值法：有时候高次幂方程的解很难用代数方法求出来，可以使用数值法逼近其解。
常见的数值法包括牛顿迭代法、二分法、割线法等。
4.根号解法：一些高次幂方程可以通过根号解法转化为无理数方程，从而求解。
常见的根号解法包括拉格朗日等价形式法和积和变换法。
总之，高次幂方程的解法需要根据具体情况而定，有时候需要多种解法结合才能求出其解。
矩阵快速幂取模
矩阵快速幂取模参考博客1：据说，矩阵快速幂在递推式优化上相当神奇，⽽且效率很⾼。
两矩阵相乘，朴素算法的复杂度是O(N^3)。
如果求⼀次矩阵的M次幂，按朴素的写法就是O(N^3*M)。
既然是求幂，不免想到快速幂取模的算法，有快速幂取模的介绍，a^b %m 的复杂度可以降到O(logb)。
如果矩阵相乘是不是也可以实现O(N^3 * logM)的时间复杂度呢？答案是肯定的。
先定义矩阵数据结构： struct Mat {double mat[N][N];}; O(N^3)实现⼀次矩阵乘法Mat operator * (Mat a, Mat b) {Mat c;memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));int i, j, k;for(k = 0; k < n; ++k) {for(i = 0; i < n; ++i) {if(a.mat[i][k] <= 0) continue; //(针对ZOJ2853)剪枝，cpu运算乘法的效率并不是想像的那么理想（加法的运算效率⾼于乘法，⽐如Strassen矩阵乘法）for(j = 0; j < n; ++j) {if(b.mat[k][j] <= 0) continue; //剪枝c.mat[i][j] += a.mat[i][k] * b.mat[k][j];}}}return c;} 下⾯介绍⼀种特殊的矩阵：单位矩阵很明显的可以推知，任何矩阵乘以单位矩阵，其值不改变。
有了前边的介绍，就可以实现矩阵的快速连乘了。
Mat operator ^ (Mat a, int k) {Mat c;int i, j;for(i = 0; i < n; ++i)for(j = 0; j < n; ++j)c.mat[i][j] = (i == j); //初始化为单位矩阵for(; k; k >>= 1) {if(k&1) c = c*a;a = a*a;}return c;} 举个例⼦: 求第n个Fibonacci数模M的值。
快速幂取模算法详解
快速幂取模算法详解转载https:///ltyqljhwcm/article/details/53043646 article>1.⼤数模幂运算的缺陷：快速幂取模算法的引⼊是从⼤数的⼩数取模的朴素算法的局限性所提出的，在朴素的⽅法中我们计算⼀个数⽐如5^1003%31是⾮常消耗我们的计算资源的，在整个计算过程中最⿇烦的就是我们的5^1003这个过程缺点1：在我们在之后计算指数的过程中，计算的数字不都拿得增⼤，⾮常的占⽤我们的计算资源（主要是时间，还有空间）缺点2：我们计算的中间过程数字⼤的恐怖，我们现有的计算机是没有办法记录这么长的数据的，所以说我们必须要想⼀个更加⾼效的⽅法来解决这个问题2.快速幂的引⼊：我们⾸先从优化的过程开始⼀步⼀步优化我们的模幂算法1.朴素模幂运算过程：1. #define ans=12. for(int i=1;i<=b;i++)3. {4. ans*=a;5. }根据我们上⾯说的，这种算法是⾮常的⽆法容忍的，我们在计算的过程中出现的两个缺点在这⾥都有体现在这⾥我们如果要做优化的话，我肥就是每个过程中都加⼀次模运算，但是我们⾸先要记住模运算是⾮常的消耗内存资源的，在计算的次数⾮常的⼤的时候，我们是没有办法忍受这种时间耗费的2.快速幂引⼊：在讲解快速幂取模算法之前，我们先将⼏个必备的知识1.对于取模运算：(a*b)%c=(a%c)*(b%c)%c这个是成⽴的：也是我们实现快速幂的基础之后我们来看看快速幂的核⼼本质我通过离散课上的学习，将快速幂的本质差不多理解了⼀下，感觉还是很深刻的在这⾥，我们对指数懂了⼀些⼿脚，核⼼思想在于将⼤数的幂运算拆解成了相对应的乘法运算，利⽤上⾯的式⼦，始终将我们的运算的数据量控制在c的范围以下，这样我们可以客服朴素的算法的缺点⼆，我们将计算的数据量压缩了很⼤⼀部分，当指数⾮常⼤的时候这个优化是更加显著的，我们⽤Python来做⼀个实验来看看就知道我们优化的效率有多⾼了1. from time import *2. def orginal_algorithm(a,b,c): #a^b%c3. ans=14. a=a%c #预处理，防⽌出现a⽐c⼤的情况5. for i in range(b):6. ans=(ans*a)%c7. return ans8.9. def quick_algorithm(a,b,c):10. a=a%c11. ans=112. #这⾥我们不需要考虑b<0，因为分数没有取模运算13. while b!=0:14. if b&1:15. ans=(ans*a)%c16. b>>=117. a=(a*a)%c18. return ans19.20. time=clock()21. a=eval(input(“底数:”))22. b=eval(input(“指数:”))23. c=eval(input(“模:”))24. print(“朴素算法结果%d”%(orginal_algorithm(a,b,c)))25. print(“朴素算法耗时:%f”%(clock()-time))26. time=clock()27. print(“快速幂算法结果%d”%(quick_algorithm(a,b,c)))28. print(“快速幂算法耗时:%f”%(clock()-time))实验结果：4. 朴素算法结果55. 朴素算法耗时:3.2899526. 快速幂算法结果57. 快速幂算法耗时:0.006706我们现在知道了快速幂取模算法的强⼤了，我们现在来看核⼼原理：1. 对于任何⼀个整数的模幂运算2. a^b%c3. 对于b我们可以拆成⼆进制的形式4. b=b0+b1*2+b2*2^2+…+bn*2^n5. 这⾥我们的b0对应的是b⼆进制的第⼀位6. 那么我们的a^b运算就可以拆解成7. a^b0*a^b1*2*…*a^(bn*2^n)8. 对于b来说，⼆进制位不是0就是1，那么对于bx为0的项我们的计算结果是1就不⽤考虑了，我们真正想要的其实是b的⾮0⼆进制位9.10. 那么假设除去了b的0的⼆进制位之后我们得到的式⼦是11. a^(bx*2^x)*…*a(bn*2^n)12. 这⾥我们再应⽤我们⼀开始提到的公式，那么我们的a^b%c运算就可以转化为13. (a^(bx*2^x)%c）*…*(a^(bn*2^n)%c)14. 这样的话，我们就很接近快速幂的本质了1. (a^(bx*2^x)%c)*…*(a^(bn*2^n)%c)2. 我们会发现令3. A1=(a^(bx*2^x)%c)4. …5. An=(a^(bn*2^n)%c)6. 这样的话，An始终是A(n-1)的平⽅倍（当然加进去了取模匀速那），依次递推现在，我们基本的内容都已经了解到了，现在我们来考虑实现它：1. int quick(int a,int b,int c)2. {3. int ans=1; //记录结果4. a=a%c; //预处理，使得a处于c的数据范围之下5. while(b!=0)6. {7. if(b&1) ans=(ans*a)%c; //如果b的⼆进制位不是0，那么我们的结果是要参与运算的8. b>>=1; //⼆进制的移位操作，相当于每次除以2，⽤⼆进制看，就是我们不断的遍历b的⼆进制位9. a=(a*a)%c; //不断的加倍10. }11. return ans;12. }现在，我们的快速幂已经讲完了我们来⼤致的推演⼀下快速幂取模算法的时间复杂度⾸先，我们会观察到，我们每次都是将b的规模缩⼩了2倍那么很显然，原本的朴素的时间复杂度是O(n)快速幂的时间复杂度就是O(logn)⽆限接近常熟的时间复杂度⽆疑逼朴素的时间复杂度优秀很多，在数据量越⼤的时候，者中优化效果越明显3.OJ例题POJ1995题意：快速幂版题1. #include“iostream”2. #include“cstdio”3. #include“cstring”4. #include“cstdlib”5.6. using namespace std;7.8. int ans=0;9. int a,b;10. int c;11.12. int quick(int a,int b,int c)13. {14. int ans=1;15. a=a%c;16. while(b!=0)17. {18. if(b&1) ans=(ans*a)%c;19. b>>=1;20. a=(a*a)%c;24.25. int main()26. {27. int for_;28. int t;29. scanf(“%d”,&t);30. while(t–)31. {32. ans=0;33. scanf(“%d%d”,&c,&for_);34. for(int i=1;i<=for_;i++)35. {36. scanf(“%d%d”,&a,&b);37. ans=(ans+quick(a,b,c))%c;38. }39. printf(“%d\n”,ans);40. }41. return 0;42. }</div></div></article>。
包括加减乘除、幂次方、取模、辐角、共轭
包括加减乘除、幂次方、取模、辐角、共轭数学运算是我们日常生活中不可或缺的一部分，它们可以帮助我们解决各种问题。
在数学运算中，包括加减乘除、幂次方、取模、辐角、共轭等几个重要的概念。
首先，加减乘除是我们最常见的四则运算。
当我们要计算两个数的和时，可以使用加法运算。
例如，当我们需要计算两本书的总页数时，可以将它们的页数相加。
而当我们要计算两个数的差时，就需要使用减法运算。
比如，当我们要计算一年的租金总额时，可以将每个月的租金相减。
乘法运算则用于计算两个数的积，比如我们要计算购买三个苹果的总价格时，可以将苹果的价格与数量相乘。
而除法运算则用于计算两个数的商，比如我们要将一块蛋糕平均分成四份时，就需要使用除法运算。
此外，幂次方运算也是非常常见的。
当我们要计算一个数的幂时，可以使用幂次方运算。
例如，当我们要计算2的3次幂时，可以将2乘以自身三次，结果为8。
幂次方运算可以用于解决许多实际问题，比如计算复利等。
另外，取模运算在数学中也有重要的应用。
取模运算可以将一个数除以另一个数后得到的余数，例如，当我们要计算一个数除以10后的余数时，可以使用取模运算。
取模运算在密码学、计算机科学等领域中也发挥着重要作用。
此外，辐角是一个非常有趣的概念。
在复数运算中，辐角是一个复数向量与实轴正半轴之间的夹角。
辐角可以帮助我们描述复数的方向和位置，它在工程学、物理学等领域中都有重要的应用。
最后，共轭是一个重要的数学运算符号。
在复数运算中，共轭可以将一个复数的虚部变为其相反数。
共轭可以帮助我们简化复数运算，并且在电路分析、信号处理等领域中被广泛使用。
综上所述，加减乘除、幂次方、取模、辐角、共轭等数学运算在我们的日常生活和各个领域中都发挥着重要的作用。
了解和掌握这些运算，将帮助我们更好地解决问题，并在各个领域中发挥更大的作用。
数学运算，为我们探索世界提供了有力的工具，让我们一起学好数学、善用数学！。
数论中的模指数运算法则
数论是研究整数的性质和关系的数学分支，而模指数运算则是数论中的一种重要运算方法。
模指数运算法则包括同底数幂相乘、幂相除、幂相加、幂相减等规则，这些规则能够方便地计算模指数运算的结果。
首先，考虑同底数幂相乘的模指数运算法则。
对于同一底数的两个幂数，假设a和b分别表示底数和指数，m表示模数。
按照模指数运算法则，我们可以将两个幂数相乘，然后再取模。
即(a^b) * (a^c) ≡ a^(b+c) (mod m)。
这个法则可以简化幂运算的操作，使得计算更加高效和简便。
接下来，考虑幂相除的模指数运算法则。
对于同一底数的两个幂数，假设a和b分别表示底数和指数，m表示模数。
按照模指数运算法则，我们可以将两个幂数相除，然后再取模。
即(a^b) / (a^c) ≡ a^(b-c) (mod m)。
这个法则同样能够简化幂运算的操作，使得计算更为高效。
此外，还有幂相加的模指数运算法则。
对于同一底数的两个幂数，假设a和b 分别表示底数和指数，m表示模数。
按照模指数运算法则，我们可以将两个幂数相加，然后再取模。
即(a^b) * (a^c) ≡ a^(b*c) (mod m)。
这个法则可以将幂相加的运算转化为幂相乘的运算，使得计算更加方便。
最后，还有幂相减的模指数运算法则。
对于同一底数的两个幂数，假设a和b 分别表示底数和指数，m表示模数。
按照模指数运算法则，我们可以将两个幂数相减，然后再取模。
即(a^b) / (a^c) ≡ a^(b/c) (mod m)。
同样，这个法则可以将幂相减的运算转化为幂相除的运算，使得计算更为简单。
综上所述，数论中的模指数运算法则包括同底数幂相乘、幂相除、幂相加、幂相减等规则。
这些法则能够简化幂运算的操作，使得计算更加高效和方便。
在实际应用中，模指数运算法则常常被用于密码学、编码解码等领域。
因此，掌握和理解模指数运算法则是数论研究和应用的重要基础。
在学习模指数运算法则时，我们需要注意底数、指数和模数的取值范围，以防止出现溢出和计算错误。
取模运算在线
取模运算在线是时候对数进行划分，以解决数学问题了。
一个简单的划分技巧能把大数都转化成小很多且简单很多的数。
取模运算正是运用这一技巧把所有的数字都划分成不同的类。
卡尔·弗里德里希·高斯被誉为数学王子。
取模运算是由数学大师卡尔·弗里德里希·高斯引入的，或者至少是他起的名字。
这个德国人是整个数学史上最重要的人物之一、他在许多领域做出了重大发现，其中包括帮助证明了（在非欧几何中）直线可能是弯曲的！高斯也是一位天文学家。
1801年，他协助定位谷神星。
（谷神星其实很大，大概与美国一样宽广，现在谷神星被归为矮行星。
）高斯曾是一个儿童歌手，青少年时期就已经有了不少的发明。
他24岁时在小行星定位上取得了成就。
同年，他还出版了《算术研究》，这本书可能是自2000多年前的《几何原本》之后关于数字的最具影响力的图书。
《算术研究》一书中引入了取模运算的概念。
寻找等价类《算术研究》一书中描述了取模运算。
其实，这种运算并不是全新的，人类早已经在这本书出版之前数世纪就用这种方法读时钟了。
但是，高斯发展了一种数字同余的方式。
这里，“同余”或多或少有相等的意味，而且意义重大。
形状和尺寸考察事物的形状，我们能很容易理解同余的含义。
在数学中，所有的正方形被看作是相似的。
也就是说，它们虽然尺寸大小和摆放方位不同，但有相同的形状。
比如说，一个底边水平放置的正方形可以旋转得到一个直角顶点朝上的菱形。
一个小的正方形和一个大的相似，虽然它们不是全等的。
两个正方形如果有相同的边长，即使摆放的方位不同也是全等的。
当考察这些图形时，很容易分辨哪些正方形是相似的，哪些是全等的。
而一个正方形的尺寸和方位能够转化为一串带着系数和变量的数学符号（向量和矩阵）。
用这种方式可以处理各种事物，而不仅仅是图形，进而取模运算能用于分辨所有事物的同余与否。
现实生活中的应用高斯应用取模运算解决了许多非常艰深的问题。
其实，取模运算还是比较容易理解的。
高次幂函数取模算法
⾼次幂函数取模算法⾼次幂函数取模算法在平常的⼯作学习中，我们经常需要⽤到求取⼀个数字或者幂运算的余数，尤其在密码学中最为常⽤的RSA算法就经常要⽤到这种运算，我们称之为⾼次幂函数的取模运算。
在本篇⽂章中，将会⾸先介绍运⽤程序求解⾼次幂函数取模的暴⼒求解⽅法，然后针对暴⼒⽅法算法效率低下的缺点，给出⼀种快速的取模算法。
暴⼒取模算法由于我们的⾼次幂函数往往拥有很⾼的幂，⽽我们在计算机中只有int、float、double、long long这⼏种变量类型，远远不能满⾜我们对于⼤数字运算的要求，从⽽导致数据溢出⽆法完成运算。
所以这⾥我们需要在每次迭代取模的过程中进⾏取模运算，从⽽保证数据不会溢出。
代码如下：int get_mod(int a, int b, int c){long long result = 1;//声明为long long类型防⽌溢出while(b--){result = result * a % c;//这个算法的核⼼就是在迭代运算过程中进⾏取模运算}return static_cast<int> (result);}这种算法的正确性⽏庸置疑，但是如果幂指数太⼤的话，需要耗费的时间就更⾮常多，直接导致运算效率低下，所以只适⽤于指数不⼤的情况下使⽤，下⾯我们要讲解的就很好地解决了这个问题，⽽且该算法⾮常简单，效率极⾼，完全可以⼿动演算。
蒙哥马利算法蒙哥马利算法是⼀种快速的⼤数（通常达到⼏百个⼆进制）的模乘算法，由在1985年提出。
下⾯直接放代码：int get_mod(int a, int b, int c){long long res = 1;//声明为long long类型防⽌数据溢出int temp = a;while(b > 0){if( b & 1)//取幂指数⼆进制最后⼀位{res = (res * temp) % c;}temp = (temp * temp) % c;b >>= 1;//幂指数⼆进制向右移动⼀位}return static_cast<int> (res);//以int类型返回最终结果}使⽤这个算法，即便是处理很⼤的数据都可以快速的求得余数，⾮常好⽤，这⾥想说，学好数学才是真的⽣产⼒！：：个⼈站点，欢迎访问，欢迎评论！。
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主要代码
long mod(long a,long b,long m) { if(!b) return 1; //边界处理 if(b==1) return a%m; //边界处理 long ans=mod(a,b/2,m); //进入下一层 ans=ans*ans%m; //返回值ans代表a if(b&1) ans=ans*a%m; //奇数情况处理 return ans; //返回ans代表a modm }
续上
按照上述的方法继续分下去… 最终肯定会得到 21 mod 3 这种情况！这样 就好办了！这便是递归的边界，到此我们就 可以返回2 mod 3的值了！ 另一个问题，再分时有两种情况！ 2100=(250)2 , 100是偶数 299=(249)2 *2 , 99是奇数 第二种情况需要在第一种情况上乘上一次基 数。
b/2 b
调用
上述函数是有三个参数，且有返回值！ 它的功能是计算ab mod m的值！ 如何在主函数里调用呢？ 例如我们要计算2100mod3的结果！我们可 以首先定义一个变量ans，在主函数读入工 作完成后，我们可以写 ans=mod(2,100,3); ans 里的数值便是2100mod3的结果了。
高次幂取模
(快速幂取模) (张鹏)
基本概念及思想
对形如ab mod m 的运算（b一般较大） 但a,b,m都在long型范围内 算法的主要思想是分治，分而治之。将大的 问题分成若干个相似的较小的问题！ 具体实现是用递归的方法！
举例
2100 mod 3 像这种运算如果先算出2100 的值，然后再模 上3，相信比较困难！ 我们可以将100变小点 2100=(250)2 =((225)2)2=((((21)2)2)…)2 若我们已经得出250 mod 3的值，我们便很 简单地得出2100 mod 3的值。
递推法
用递推法首先要将b转换为二进制数， (b)10=(b)2。 举例: (45)10=(101101)2 545 mod 3 =2 二进制数由0和1组成，它们分别代表着偶数 和奇数。 递推时在0和1处的处理是有差别的。
参考代码
二进制转换： long s=0; while(b>0) { t[++s] = b%2; b/=2;long ans=1; for(i=1;i<=s;i++) if(t[i]) ans=ans*ans*a%m; else ans=ans*ans%m;
End
Thank you