江苏省东台市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质(1)导学案(无答案)苏教版选修1
江苏省东台市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质2导学案无答案苏教版选修1_1
2.4.2抛物线的几何性质(2)主备人： 学生姓名： 得分：一、教学内容：（理科）抛物线的几何性质（2）二、教学目标：1、进一步掌握抛物线定义和几何性质2．掌握与弦中点相关的性质；3．掌握与⊥相关的性质.三、课前预习：1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程（1）x y 82=（2）y x 42= （3）0322=+x y （4）261x y -= 2．抛物线y x 42=上的点P 到焦点的距离是10，求P 点坐标四、讲解新课1.抛物线的焦半径（定义）及其应用：定义：焦半径公式：2．抛物线的焦点弦：（1）弦长公式：=AB ________________________（2）通径：3、有关例题例1：过抛物线x y 42=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（ ）A ．10B ．8C ．6D ．4例2：过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF的长分别是p 、q ，则q p 11+=（ ） A ．a 2 B ．a 21 C ．a 4 D ．a4例3：过抛物线的焦点F任作一条直线，交这抛物线于两点，求证：以为直径的圆和这抛物线的准线相切．五、课堂练习1．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（）2. 直线与抛物线相交于两点，求证：.六、课堂小结七、课后作业1、直线与抛物线相交于、两点，求证：.2、过点作斜率为1的直线，交抛物线于两点，求.3、4、过抛物线焦点的直线与它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程。
江苏省东台市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质(1)导学案(无答案)苏教版选修1_1
2.4.1抛物线的几何性质(1)主备人： 学生姓名： 得分：一、教学内容：抛物线的几何性质（1）二、教学目标：掌握抛物线的几何性质，能应用抛物线的几何性质解决问题． 三、课前预习：1、已知抛物线标准方程是x y 62=，求它的焦点坐标和准线方程.2．根据下列条件写出抛物线的标准方程 （1）焦点是)0,2(-F（2）准线方程是31=y（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上（4）经过点)2,6(-A四、讲解新课探究1 类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质？根据抛物线)0(22>=p px y 的图象研究抛物线的几何性质． 1．范围．当x 的值 →+∞ 时，y→+∞，这说明此抛物线向右上方和右下方无限延伸．2．对称性．从图象上看：抛物线关于x 轴对称；从方程上看：把y 换成y -方程不变，图象关于x 轴对称． 3．顶点．抛物线和它对称轴的交点叫抛物线的顶点，即坐标原点． 4．离心率．抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率．由定义知，抛物线y2＝2px （p>0）的离心率为e ＝1． 5．抛物线的几何性质．五、有关例题例1 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(2,M -，求它的标准方程．例2 探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处． 40cm ，求抛物线的标准方程和焦点位置．例3 图中是抛物线形拱桥，当水面在位置l 时，拱顶离水面2米，水面宽4米．水下降1米后，水面宽多少？若在水面上有一宽为2米，高为1．6米的船只，能否安全通过拱桥？六、课堂练习七、课堂小结 八、课后作业1.抛物线的通经：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通经，抛物线)0(22>=p px y 的通经为 .2．已知抛物线的顶点为原点，焦点在y 轴上，抛物线上点(),2m -到焦点的距离为4，则m的值为_________________3.抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为____________ 4.已知抛物线24y x =上一点到焦点的距离为5，则这点坐标为____________ 5．抛物线22y x =上的两点A 、B 到焦点的距离之和为5，则线段AB 的中点的横坐标是 ．6．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线042=--y x 上， 求抛物线的方程．7．已知抛物线的顶点是双曲线14491622=-y x 的中心，而焦点是双曲线的左顶点， 求抛物线的方程．8.抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．。
高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.2 抛物线的几何性质 苏教版选修1-2
解析答案
12345
2.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的
坐标为___(_18_，__±__42_)___.
解析 F的垂直平分线上，而 F(14，0)，
所以的 P 的横坐标为18，代入抛物线方程得 y＝± 42，
程 (p>0)
(p>0)
(p>0)
(p>0)
图形
范围
性质 对称轴 顶点
离心率
x≥0 ， y∈R x轴
x≤0 ， x∈R， x∈R，
y≥0
y≤0
y∈R
x轴
y轴
y轴
(0,0)
e＝1
答案
知识点二 焦点弦
直线过抛物线y2＝2px (p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2) 两点，由抛物线的定义知，AF＝x1＋p2，BF＝x2＋p2，故AB＝ x1＋x2＋p . 知识点三 直线与抛物线的位置关系 直 线 y ＝ kx ＋ b 与 抛 物 线 y2 ＝ 2px(p>0) 的 交 点 个 数 决 定 于 关 于 x 的 方 程
故点
P
的坐标为(18，±
2 4 ).
解析答案
12345
3.抛物线y＝4x2上一点到直线y＝4x－5的距离最短，则该点坐标为 (12，1).
解析 因为y＝4x2与y＝4x－5不相交，设与y＝4x－5平行的直线方程为
y＝4x＋m.
则yy＝＝44xx2＋，m， ⇒4x2－4x－m＝0.
①
设此直线与抛物线相切，此时有Δ＝0，
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 已知抛物线的对称轴在坐标轴上，以原点为顶点，且经过 点M(1，－2).求抛物线的标准方程和准线方程.
江苏省东台市高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.1抛物线的标准方程导学案苏教版
2.4.1抛物线的标准方程主备人： 学生姓名： 得分：一、教学内容：抛物线及抛物线方程二、教学目标：1、掌握抛物线的定义和标准方程及其推导过程，理解抛物线中的基本量；2、掌握求抛物线的标准方程的基本方法；3、能够熟练画出抛物线的草图，进一步提高学生“应用数学”的水平．三、课前预习：回顾椭圆和双曲线的定义．四、讲解新课1．抛物线定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F 叫做抛物线的焦点，定直线l 叫做抛物线的准线．注: （1）定点F 不在这条定直线l 上；（2）定点F 在这条定直线l 上，则点的轨迹是什么？2．推导抛物线的标准方程：如图所示，建立直角坐标系，设KF p =（0p >）,那么焦点F 的坐标为)0,2(p ，准线l 的方程为2p x -=，设抛物线上的点(,)M x y ，则有 |2|)2(22p x y p x +=+-． 化简方程得 ()022>=p px y ． 方程()022>=p px y 叫做抛物线的标准方程．3．抛物线的标准方程：4、有关例题例1 已知抛物线标准方程，求它的焦点坐标和准线方程．（1） x y 42=； （2）26x y = ；（3） ()022≠=a ay x ； （4）()02≠=m mx y ．例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）焦点坐标是F （0，－3）； （2）经过点)4,2(--P5、课堂练习1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程．（1）x y 62=; （2）y x 32-=; （3）22x y =2．根据下列条件写出抛物线的标准方程．（1）焦点是F （6，0）．（2）准线方程是32=y ．（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上．（4）经过点A （6，－2）五、课堂小结六、课后作业1.写出下列抛物线的焦点坐标及准线方程：（1）20x y +=,焦点坐标______________ 准线方程______________（2）280x y-=，焦点坐标______________ 准线方程______________（3）2(0)y ax a=>，焦点坐标______________ 准线方程______________2.过点(1,2)-的抛物线的标准方程是_______________3．抛物线xy42=上的点P到焦点的距离是5，P点坐标是______________．4.22y px=上横坐标为6的点到焦点的距离是10，则焦点到准线的距离是______________5.若点P在焦点为F的抛物线28y x=-上，且10PF=，则P到y轴的距离为_____6.在抛物线28y x=上一点到x轴的距离为4，则该点到焦点的距离为______________7.已知抛物线22(0)y px p=>上的点(3,)M m到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值.8.已知抛物线的焦点在y轴上，点(,3)M m-是抛物线上的一点，M到焦点的距离是5，求m的值及抛物线的标准方程、准线方程.。
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质1数学教案
2．4.2 抛物线的简单几何性质1．抛物线的简单几何性质※2.焦半径与焦点弦[说明：此部分为拓展内容，大纲无要求，学有余力的学生可选择性记忆]□20抛物线上一点与焦点F 的连线的线段叫做焦半径，□21过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P (x 0，y 0)，焦点弦端点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则四种标准形式下的焦点弦，焦半径公式为通过抛物线的焦点作垂直于对称轴交抛物线于A ，B 两点的线段AB ，称为抛物线的通径，如图所示．对于抛物线y 2＝2px (p >0)，由A ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，－p ，可得|AB |＝2p ，故抛物线的通径长为2p .1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)抛物线是中心对称图形．( )(2)抛物线是双曲线的一支，也有渐近线．( ) (3)抛物线是轴对称图形．( )答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)顶点在原点，对称轴为y轴且过点(4,1)的抛物线方程是_______________．(2)已知点(－2,3)与抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的距离是5，则p＝________.(3)抛物线y＝2px2(p>0)的对称轴为__________________________________．(4)(教材改编P72T3)过抛物线y2＝8x的焦点，作倾斜角为45°的直线，则被抛物线截得的弦长为________．答案(1)x2＝16y(2)4 (3)y轴(4)16解析(4)由抛物线y2＝8x的焦点为(2,0)，得直线的方程为y ＝x－2.代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0.∴x1＋x2＝12，弦长＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.探究1 抛物线的简单几何性质例1 (1)已知抛物线y2＝8x，求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围；(2)抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线的焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[解] (1)抛物线y2＝8x，p＝4，所以顶点、焦点、准线、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.(2)椭圆的方程可化为x24＋y29＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p＝6.∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3或x＝3.拓展提升与抛物线几何性质相关问题的求解策略(1)求抛物线的标准方程及其几何性质的题目，关键是求抛物线的标准方程，若能得出抛物线的标准方程，则其几何性质就会迎刃而解．(2)几何性质中范围的应用，经常出现在求最值中，解题时可设出抛物线上点的坐标，结合抛物线的范围求解．【跟踪训练1】如图，已知边长为2的等边三角形AOB，O 为坐标原点，AB⊥x轴．(1)求以O为顶点且过AB的抛物线方程；(2)求抛物线的焦点坐标，准线方程及离心率e.解(1)如图，设AB⊥x轴于E，则由AB＝2得E(3，0)，∴A (3，1)．设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则1＝2·p ·3， ∴2p ＝33.∴抛物线方程为y 2＝33x .(2)由(1)知2p ＝33，∴p 2＝312，∴抛物线的准线方程为x ＝－312，焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎪⎫312，0，离心率e ＝1.探究2 抛物线的焦点弦问题例2 已知AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)的过焦点F 的一条弦．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，直线AB 的倾斜角为θ.求证：(1)|AB |＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2；(2)|AB |＝2psin 2θ；(3)x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2；(4)1|AF |＋1|BF |为定值2p；(5)S △AOB ＝p 22sin θ.[证明] (1)∵x 1＋x 2＝2x 0，∴|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2⎝⎛⎭⎪⎫x 0＋p 2.(2)(ⅰ)当θ≠90°时，设直线AB 的方程为y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2(k ≠0)．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，y 2＝2px ，消去y ，得k 2x 2－p (k 2＋2)x ＋k 2p 24＝0，∴x 1＋x 2＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋2k 2p .又k ＝tan θ＝sin θcos θ，代入|AB |＝x 1＋x 2＋p ，得|AB |＝sin 2θ＋2cos 2θsin 2θ·p ＋p ＝2p sin 2θ. (ⅱ)当θ＝90°时，直线AB 的方程为x ＝p2，此时|AB |＝2p ，也满足|AB |＝2p sin 2θ，综上，|AB |＝2psin 2θ.(3)由(2)得x 1x 2＝p 24(定值)．∴y 21y 22＝4p 2x 1x 2＝p 4.∵y 1y 2<0，∴y 1y 2＝－p 2(定值)． (4)由抛物线的定义，知|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p2，∴1|AF |＋1|BF |＝1x 1＋p2＋1x 2＋p2＝⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋x 2＋p x 1x 2＋p 2x 1＋x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋p p 24＋p 2x 1＋x 2＋p 24＝x 1＋x 2＋pp 2x 1＋x 2＋p＝2p(定值)．(5)如图，∵抛物线方程为y 2＝2px (p >0)．∴其焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0. ∴S △AOB ＝S △AOF ＋S △BOF＝12|OF |·|AF |·sin(π－θ)＋12|OF |·|BF |·sin θ＝12·p2·sin θ·|AB |. 由(2)知，|AB |＝2p sin 2θ，∴S △AOB ＝p22sin θ.拓展提升抛物线焦点弦问题的求解方法解决过焦点的直线与抛物线相交的有关问题时，一是注意将直线方程和抛物线方程联立得方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦长、焦半径公式的应用．解题时注意整体代入思想的运用，简化运算．【跟踪训练2】 已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点．(1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解 (1)因为直线l 的倾斜角为60°， 所以其斜率k ＝tan60°＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，所以直线l 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32.联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3⎝⎛⎭⎪⎫x －32，消去y 得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5，而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，所以|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义知|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3＝9，所以x 1＋x 2＝6.于是线段AB 的中点M 的横坐标是3，又准线方程是x ＝－32，所以M 到准线的距离等于3＋32＝92.探究3 抛物线中的定值、定点问题例3 已知抛物线x 2＝2py (p >0)，其焦点F 到准线的距离为1.过F 作抛物线的两条弦AB 和CD (点A ，C 在第一象限)，且M ，N 分别是AB ，CD 的中点．(1)若AB ⊥CD ，求△FMN 面积的最小值；(2)设直线AC 的斜率为k AC ，直线BD 的斜率为k BD ，且k AC ＋4k BD＝0，求证：直线AC 过定点，并求此定点．[解] (1)抛物线的方程为x 2＝2y ，设AB 的方程为y ＝kx ＋12，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，x 2＝2y ，得x 2－2kx －1＝0，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫k ，k 2＋12，同理N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，1k2＋12，∴S△FMN＝12|FM |·|FN |＝12k 2＋k 4·1k 2＋1k 4＝122＋k 2＋1k2≥1.当且仅当k ＝±1时，△FMN 的面积取最小值1.(2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，D (x 4，y 4)，AB 的方程为y ＝kx ＋12，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋12，x 2＝2y得x 2－2kx －1＝0，∴x 1x 2＝－1，同理，x 3x 4＝－1，故k AC ＋4k BD ＝y 1－y 3x 1－x 3＋4·y 2－y 4x 2－x 4＝12x 21－x 23x 1－x 3＋4·12x 22－x 24x 2－x 4＝12(x 1＋x 3)＋2·(x 2＋x 4) ＝12(x 1＋x 3)－2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 3＝(x 1＋x 3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2x 1x 3＝0.注意到点A ，C 在第一象限，x 1＋x 3≠0，故得x 1x 3＝4， 直线AC 的方程为y －x 212＝x 1＋x 32(x －x 1)，化简得y ＝x 1＋x 32x －x 1x 32即y ＝x 1＋x 32x －2.所以直线AC 恒经过点(0，－2)． 拓展提升直线与抛物线位置关系的判断方法判断直线与抛物线的位置关系，一般是将直线与抛物线方程联立消元，转化为形如一元二次方程的形式，注意讨论二次项的系数是否为0.另外，在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题，解此类问题的方法一般有两种：(1)从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线．【跟踪训练3】 如图，过抛物线y 2＝x 上一点A (4,2)作倾斜角互补的两条直线AB ，AC 交抛物线于B ，C 两点，求证：直线BC 的斜率是定值．证明 设k AB ＝k (k ≠0)， ∵直线AB ，AC 的倾斜角互补，∴k AC ＝－k (k ≠0)，即直线AB 的方程是y ＝k (x －4)＋2.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －4＋2，y 2＝x ，消去y 后，整理得k 2x 2＋(－8k 2＋4k －1)x ＋16k 2－16k ＋4＝0. ∵A (4,2)，B (x B ，y B )是上述方程组的解， ∴4·x B ＝16k 2－16k ＋4k2， 即x B ＝4k 2－4k ＋1k2， 以－k 代换x B 中的k ，得x C ＝4k 2＋4k ＋1k2， ∴k BC ＝y B －y C x B －x C ＝k x B －4＋2－[－k x C －4＋2]x B －x C＝k x B ＋x C －8x B －x C＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫8k 2＋2k 2－8－8kk 2＝－14.∴直线BC 的斜率为定值．探究4 与抛物线有关的最值问题例4 求抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0的最小距离．[解] 设A (t ，－t 2)为抛物线上的点，则点A 到直线4x ＋3y －8＝0的距离d ＝|4t －3t 2－8|5＝|3t 2－4t ＋8|5＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232－43＋8＝15⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪3⎝⎛⎭⎪⎫t －232＋203＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫t －232＋43. ∴当t ＝23时，d 有最小值43.[解法探究] 此题有没有其他解法呢？ 解 如图，设与直线4x ＋3y －8＝0平行的抛物线的切线方程为4x ＋3y ＋m ＝0(m ≠－8)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2，4x ＋3y ＋m ＝0，消去y 得3x 2－4x －m ＝0， ∴Δ＝16＋12m ＝0， ∴m ＝－43.∴最小距离为⎪⎪⎪⎪⎪⎪－8＋435＝2035＝43.拓展提升解决与抛物线有关的最值问题的思路求抛物线最值的常见题型是求抛物线上一点到定点的最值、求抛物线上一点到定直线的最值，解有关抛物线的最值问题主要有两种思路：一是利用抛物线的定义，进行到焦点的距离与到准线的距离的转化，数形结合，利用几何意义解决；二是利用抛物线的标准方程，进行消元代换，得到有关距离的含变量的代数式，以目标函数最值的求法解决．【跟踪训练4】 如图，已知△AOB 的一个顶点为抛物线y 2＝2x 的顶点O ，A ，B 两点都在抛物线上，且∠AOB ＝90°.(1)证明：直线AB 必过一定点； (2)求△AOB 面积的最小值．解 (1)证明：显然直线OA 存在斜率且不等于0. 设OA 所在直线的方程为y ＝kx ， 则直线OB 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y 2＝2x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k 2，y ＝2k ，即A点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k2，2k .同理，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k x ，y 2＝2x ，解得B 点的坐标为(2k 2，－2k )．∴AB 所在直线的方程为y ＋2k ＝2k＋2k2k2－2k2(x －2k 2)，化简并整理，得⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －k y ＝x －2.不论实数k 取何不等于0的实数，当x ＝2时，恒有y ＝0. 故直线过定点P (2,0)．(2)A ，B 所在直线过定点P (2,0)，所以可设A ，B 所在直线的方程为x ＝my ＋2.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋2，y 2＝2x ，消去x 并整理得y 2－2my －4＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝2m ，y 1y 2＝－4. 于是|y 1－y 2|＝y 1－y 22＝y 1＋y 22－4y 1y 2＝2m2＋16＝2m 2＋4.S △AOB ＝12×|OP |×(|y 1|＋|y 2|)＝12|OP |·|y 1－y 2|＝12×2×2m 2＋4 ＝2m 2＋4.∴当m ＝0时，△AOB 的面积取得最小值4. 探究5 直线与抛物线的位置关系例5 已知抛物线C ：y 2＝－2x ，过点P (1,1)的直线l 斜率为k ，当k 取何值时，l 与C 有且只有一个公共点，有两个公共点，无公共点？[解] 直线l ：y －1＝k (x －1)，将x ＝－y 22代入整理得，ky 2＋2y ＋2k －2＝0.(1)k ＝0时，把y ＝1代入y 2＝－2x 得，x ＝－12，直线l 与抛物线C只有一个公共点⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1.(2)k ≠0时，Δ＝4－4k (2k －2)＝－8k 2＋8k ＋4. 由Δ＝0得，k ＝1±32，∴当k <1－32或k >1＋32时，Δ<0，l 与C 无公共点．当k ＝1±32时，Δ＝0，l 与C 有且只有一个公共点．当1－32<k <1＋32且k ≠0时，Δ>0，l 与C 有两个公共点．综上知，k <1－32或k >1＋32时，l 与C 无公共点；k ＝1±32或k ＝0时，l 与C 只有一个公共点；1－32<k <0或0<k <1＋32时，l 与C 有两个公共点． 拓展提升直线与抛物线交点个数的判断方法设直线l ：y ＝kx ＋m ，抛物线：y 2＝2px (p >0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0，①若a ≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点； 当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点； 当Δ<0时，直线与抛物线相离，无交点．②若a ＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合，因此直线与抛物线有一个交点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．【跟踪训练5】 已知点A (0,2)和抛物线C ：y 2＝6x ，求过点A 且与抛物线C 有且仅有一个公共点的直线l 的方程．解 当直线l 的斜率不存在时，由直线l 过点A (0,2)可知， 直线l 就是y 轴，其方程为x ＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y 2＝6x ，得y 2＝0.因此，此时直线l 与抛物线C 只有一个公共点O (0,0)． 如果直线l 的斜率存在，则设直线l 的方程为y ＝kx ＋2. 这个方程与抛物线C的方程联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝6x ，由方程组消去x 得方程，ky 2－6y ＋12＝0.①当k ＝0时，得－6y ＋12＝0，可知此时直线l 与抛物线相交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫23，2. 当k ≠0时，关于y 的二次方程①的判别式Δ＝36－48k .由Δ＝0得k ＝34，可知此时直线l 与抛物线C 有且仅有一个公共点，直线l 的方程为y ＝34x ＋2，即3x －4y ＋8＝0.因此，直线l 的方程为x ＝0或3x －4y ＋8＝0或y ＝2. 探究6 与抛物线有关的中点弦问题例6 已知A ，B 为抛物线E 上不同的两点，若抛物线E 的焦点为(1,0)，线段AB 恰被M (2,1)所平分．(1)求抛物线E 的方程； (2)求直线AB 的方程．[解] (1)由于抛物线的焦点为(1,0)， 所以p2＝1，解得p ＝2.所求抛物线方程为y 2＝4x . (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 21＝4x 1①，y 22＝4x 2②， 且x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2，由②－①得(y 1＋y 2)(y 2－y 1)＝4(x 2－x 1)，所以y 2－y 1x 2－x 1＝2，所以所求直线AB 的方程为y －1＝2(x －2)，即2x －y －3＝0. [变式探究] 若例6中条件“线段AB 恰被M (2,1)所平分”改为“线段AB 恰被M (1,1)所平分”，问这样的直线AB 是否存在？若存在，求出直线AB 的方程，若不存在，说明理由．解 存在．设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2, ②且y 1＋y 2＝2，由②－①，得y 22－y 21＝4(x 2－x 1)，∴y 2－y 1x 2－x 1＝2.∴直线AB 的方程为y －1＝2(x －1)，即2x －y －1＝0. 拓展提升“中点弦”问题的两种解题策略(1)点差法：将两个交点的坐标代入抛物线的方程，作差由k＝y 1－y 2x 1－x 2求斜率，再由点斜式求解． (2)传统法：设直线方程，并与抛物线的方程联立，消去x (或y )得关于y (或x )的一元二次方程，由根与系数的关系，得两根之和即为中点纵(或横)坐标的2倍，从而求斜率．【跟踪训练6】 已知抛物线y 2＝2x ，过点Q (2,1)作一条直线交抛物线于A ，B 两点，试求弦AB 的中点的轨迹方程．解 设弦AB 的中点为M ，并设A ，B ，M 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x ，y )．由题意有⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝2x 1， ①y 22＝2x 2， ②x 1＋x 2＝2x ， ③y 1＋y 2＝2y . ④由①－②，得y 21－y 22＝2(x 1－x 2)，所以y 1－y 2x 1－x 2＝1y.又因为k AB ＝k MQ ，即y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2.所以y －1x －2＝1y，即y 2－y ＝x －2， 所以⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝x －74.故弦AB的中点的轨迹方程为⎝⎛⎭⎪⎫y －122＝x －74.1.讨论抛物线的几何性质，一定要利用抛物线的标准方程；利用几何性质，也可以根据待定系数法求抛物线的方程.2.直线与抛物线交点的个数，等价于直线方程、抛物线方程联立得到的方程组解的个数．注意直线斜率不存在和得到的方程二次项系数为0的情况.3.设抛物线方程y 2＝2px (p >0)上任一点A (x 1，y 1)，焦点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，则|AF |＝x 1＋p2，这就是焦半径公式．若直线AF 交抛物线另一点B (x 2，y 2)．由焦半径公式得|AB |＝x 1＋x 2＋p .4.直线与抛物线的相交弦问题共有两类：一类是过焦点的弦，一类是不过焦点的弦．解决弦的问题，大多涉及到抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率．常用的办法是将直线方程与抛物线方程联立，转化为关于x 或y 的一元二次方程，然后利用根与系数的关系，这样避免求交点，尤其是弦的中点问题，还应注意“点差法”的运用.1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是( )A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12y D ．x 2＝±6y答案 C解析 因为顶点在原点，对称轴是y 轴，则开口向上或向下，由p2＝3，得p ＝6.故方程为x 2＝±2py ＝±12y . 2．抛物线x 2＝－8y 的通径为线段AB ，则AB 长是( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．1 答案 C解析 抛物线x 2＝－8y ，通径为|－8|＝8.故选C.3．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p >0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于( )A ．2B ．1C ．4D ．8 答案 C解析 抛物线y 2＝2px (p >0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p 2＝8，所以p ＝4，焦点F 到抛物线准线的距离等于4.故选C.4．抛物线y ＝ax 2＋1与直线y ＝x 相切，则a 等于________．答案 14解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝ax 2＋1，y ＝x ，消y 得ax 2－x ＋1＝0.∵直线y ＝x 与抛物线y ＝ax 2＋1相切，∴方程ax 2－x ＋1＝0有两相等实根．∴判别式Δ＝(－1)2－4a ＝0，∴a ＝14. 5．已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，|AB |＝23，求抛物线方程． 解 由已知，抛物线的焦点可能在x 轴正半轴上，也可能在负半轴上．故可设抛物线方程为y 2＝ax (a ≠0)．设抛物线与圆x 2＋y 2＝4的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． ∵抛物线y 2＝ax (a ≠0)与圆x 2＋y 2＝4都关于x 轴对称， ∴点A 与B 关于x 轴对称，∴|y 1|＝|y 2|且|y 1|＋|y 2|＝23，∴|y 1|＝|y 2|＝3，代入圆x 2＋y 2＝4，得 x 2＋3＝4，∴x ＝±1，∴A(±1，3)或A(±1，－3)，代入抛物线方程，得(3)2＝±a，∴a＝±3.∴所求抛物线方程是y2＝3x或y2＝－3x.。
圆锥曲线与方程2.4抛物线2.4.2抛物线的简单几何性质课件新人教A版选修2108031125
探究二 直线与抛物线的位置关系 [典例 2] 已知过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点，斜率为 2 2 的直线交抛 物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)两点，且|AB|＝9. (1)求该抛物线的方程； → ＝OA → ＋λOB → ，求 λ 的值． (2)O 为坐标原点，C 为抛物线上一点，若OC
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py (p>0)
x2＝－2py (p>0)
y轴
x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
x轴
O(0,0)
p F2，0 p F－2，0 p F0，2
p F0，－2
p x＝－2
利用抛物线几何性质求标准方程的方法 (1)先定型．(2)再定量．(3)必要时要结合图形．
1．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆 9x2＋4y2＝36 短轴所在的直线， 抛物线焦点到顶点的距离为 3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．
x 2 y2 解析：椭圆的方程可化为 ＋ ＝1， 4 9 其短轴在 x 轴上， ∴抛物线的对称轴为 x 轴， ∴设抛物线的方程为 y2＝2px 或 y2＝－2px(p>0)． p ∵抛物线的焦点到顶点的距离为 3，即 ＝3， 2 ∴p＝6. ∴抛物线的标准方程为 y2＝12x 或 y2＝－12x， 其准线方程分别为 x＝－3 或 x＝3.
答案：x＝－1
探究一 [典例1]
抛物线性质的应用
x2 y2 已知双曲线方程是 8 － 9 ＝1，求以双曲线的右顶点为焦点的抛物
线的标准方程及抛物线的准线方程．
[解析]
x2 y2 p 因为双曲线 8 － 9 ＝1的右顶点坐标为(2 2 ，0)，所以 2 ＝2 2 ，且
高中数学第2章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的几何性质课件苏教版选修2_1
0，p2到双曲线的渐近线的距离为
3×2 0±p2＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程
为 x2＝16y.
(2)不妨设抛物线的方程为 y2＝2px，如图所示，AB 是抛物线的通径，∴AB ＝2p，又 OF＝12p，∴S△OAB＝12·AB·OF＝12·2p·12p＝12p2＝4，故 p＝2 2.
[答案] (1)x2＝16y (2)y2＝4 2x
[答案] 2
[合 作 探 究·攻 重 难]
根据抛物线的几何性质求抛物线标准方程
x2 y2 (1)已知双曲线 C1：a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率为 2.若抛物线
C2：x2＝2py (p>0)的焦点到双曲线 C1 的渐近线的距离为 2，则抛物线 C2 的方程
为________．
(2)已知抛物线的焦点 F 在 x 轴正半轴上，直线 l 过 F 且垂直于 x 轴，l 与抛
类型
y2＝2px(p>0)
y2＝ －2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝ －2py(p>0)
图象
焦点
Fp2，0
F－p2，0
F0，p2
F0，－p2
准线
x＝－p2
x＝p2
性 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R
质 对称轴
x轴
y＝－p2
y＝p2
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
y轴
顶点 离心率
由y4＝x＋－3xy2＋，m＝0， 消去 y 得 3x2－4x－m＝0， ∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－43. ∴最小距离为－85＋43＝2350＝43.
[名师指津] 抛物线中最值的求解策略 (1)可借助于抛物线的有关知识转化为函数的最值求解，但要注意抛物线的 范围. (2)当条件中有关于抛物线上的点 P 到焦点 F 的距离问题，一定要考虑抛物 线的定义，注意点 P 到 F 的距离与点 P 到准线距离的转化.
高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质课件新人教A版选修2_1
题型一
题型二
题型三
题型四
反思顶点在原点,对称轴为x轴的抛物线方程可设为y2=mx(m≠0),当 m>0时,开口向右;当m<0时,开口向左.顶点在原点,对称轴为y轴的 抛物线方程可设为x2=my(m≠0),当m>0时,开口向上;当m<0时,开口 向下.以上两种设法均可避开讨论抛物线的开口方向,焦点到准线 ������ 的 距离为 .
,
������ ,-������ 2
, 连接这两点的线段
叫做抛物线的通径,它的长为 2p.
【做一做1】 设A为抛物线y2=4x上一点,点B(1,0),且|AB|=1,则点 A的横坐标的值为( ) A.-2 B.0 C.-2或0 D.-2或2 解析:由抛物线y2=4x的焦点为B(1,0),且|AB|=1,准线为x=-1,结合 抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离知,xA=0. 答案:B
1 ������
2
,
题型一
题型二
题型三
题型四
抛物线的定义与性质的应用
【例 1】
������2 已知抛物线的顶点在原点,对称轴重合于椭圆 9
������2 + 16
=
1 短轴所在的直线, 抛物线的焦点到顶点的距离为 5, 求抛物线的方程.
分析:先确定抛物线方程的形式,再由条件题型四
解法一:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴, 则可设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为5, ������ ∴ = 5, ∴ ������ = 10. 2 ∴所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x. 解法二:由已知条件可知抛物线的对称轴为x轴. 则设抛物线的方程为y2=mx(m≠0). ∵抛物线的焦点到顶点的距离为5, ������ ∴ = 5, ∴ ������ = ±20. 4 故所求抛物线的方程为y2=20x或y2=-20x.
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241抛物线的几何性质(1)
主备人：学生姓名：______________ 得分：____________________
一、教学内容：抛物线的几何性质( 1)
二、教学目标：掌握抛物线的几何性质，能应用抛物线的几何性质解决问题.
三、课前预习：
2
1、已知抛物线标准方程是y 6x，求它的焦点坐标和准线方程.
2. 根据下列条件写出抛物线的标准方程
(1)焦点是F( 2,0)
1
(2)准线方程是y 1
3
(3)焦点到准线的距离是4,焦点在y轴上
(4)经过点A(6, 2)
四、讲解新课
探究1类比椭圆、双曲线的几何性质，抛物线又会有怎样的几何性质?
根据抛物线2y2px(p°)的图象研究抛物线的几何性质.
1.范围.
时，- y ................................................ .. ..............
当X的值，这说明此抛物线向右上方和右下方无限延伸.
2.对称性.
从图象上看: 抛物线关于x轴对称；
从方程上看: 把y换成y方程不变，图象关于X轴对称.
3.顶点.
抛物线和它对称轴的交点叫抛物线的顶点，即坐标原点.
4. 离心率.
抛物线上的点与焦点的距离和它到准线的距离之比，叫做抛物线的离心率. 由定义知，抛物
线y2 = 2px ( p>0)的离心率为e= 1.
5. 抛物线的几何性质.
方程
y2 = 2px
(P>0)
y2= -2px
(P>0)
x2 = 2py
(p>0)
x2= -2py
(p>0)
_______ ・y______图形
J
I卜L y I J ry4I
O'
、■O x O x/°\x
I
开口方向
焦占
八'、八、、
准线
范围
顶点
对称轴
离心率
例1已知抛物线关于
x
轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点
M(2，2 2)，求它的标准方程.
例3图中是抛物线形拱桥，当水面在位置I时，拱顶离
水面2米，水面宽4米.水下降1米后，水面宽多少？若在水面上有
一宽为2米，高为1 . 6米的船只，能否安全通过拱桥？
例2探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.
六、课堂练习
1.厂存的焦点坐标是 ____________
2-求适合下列条件的捷勒线的才程’
（1）顶点在原点，焦点为（0, —5）・ （2）准线方程为"九顶盘为原点.
（3）对钾为x 稱，顶点在虑点，且过点（-3, 4）,
程是 ______________ ,焦点坐标畀 _________ ,腥遥方程是 ___________ .
4若玖环必）是拋物线* = 上一点.F 为抛物戏的焦臥则肿= ______________
已甸圆〃十；？-念m 与抛物线-2px （p > 0） 的推痢切.
七、课堂小结 八、课后作业
1. 抛物线的通经：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦叫做抛物线的通经，抛物线
2
y 2px （p °）的通经为
2. ____________________ 已知抛物线的顶点为原点， 焦点在y 轴上，抛物线上点 m ，2到焦点的距
离为4，则m 的值为 _________
3. 抛物线x y —上 点 A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 _____________________
4. 已知抛物线y
4x
上一点到焦点的距离为 5，则这点坐标为 _____________________
5•抛物线 亍 2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和为
5,则线段AB 的中点的横坐标
是
.
6 •已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线
x 2y 4 °上,
求抛物线的方程.
2 2
7.
已知抛物线的顶点是双曲线 16x 9y M4的中心，而焦点
是双曲线的左顶点, 求抛物线的方程.
8. 抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与 程.
乩顶点在原点, 对称轴为，牠, 且焦点科有代z-^+2=0上的抛物线的标准方
y
轴垂直的弦长为16，求抛物线方。