ch.2-1 内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分精编版
热统试题——精选推荐
热统试题2005—2006学年度第⼆学期期末考试试卷（卷）系别：物理与电⼦信息学院课程名称：热⼒学统计物理注意事项：1、教师出题时请勿超出边界线；2、学⽣答题前将密封线外的内容填写清楚，答题不得超出密封线；3、答题请⽤蓝、⿊钢笔或圆珠笔。
⼀、填空题：（每题4分，共20分）1、热⼒学第⼆定律可表为i e ds s d ds +=其中i ds 为熵产⽣，它们的取值范围是：。
2、)(KL L 为动理系数，昻萨格关系为lk kl L L =试说明其含义。
：。
3、在弱简并理想玻⾊⽓体和费⽶⽓体中，⽓体的内能为]2411[233λn g NKT U ±=，（“+”代表费⽶⽓体，“-”代表玻⾊⽓体），由此认为量⼦统计关联使费⽶粒⼦间出现作⽤，玻⾊粒⼦间出现作⽤。
4、当温度T 〈c T 时，将发⽣玻⾊---爱因斯坦凝聚，其内容为在能级E=O 有。
5、巨则分布描写的是具有确定、、的系统。
⼆、计算、证明题（共80分）1、⽤巨则分布导出单原⼦理想⽓体的物态⽅程和内能。
（20）2、试证明，在绝对零度下，⾃由电⼦的壁数为v n 41，其中V N n =是电⼦的密度，v 是平均速率。
（20）3、已知kTVp T S eW2??-??-∝，以p S ??,为⾃变量，证明2)(212)(21S p kC p SpV kT eW ?-????? ????∝，从⽽求出2)(S ?和2)(p ? （20）4、设有⼀园柱形容器，半径为 R ，⾼为L ，以⾓速度ω绕其轴线转动，容器内有⼀同轴的园柱体，半径为<<-δδ(R R) , ⾼为L ，⽤扭丝固定，两园柱之间充有⽓体，试证明，扭丝所受的⼒矩为δηωπL R G 32=由⼒矩G 可以测出⽓体的粘滞系数。
其中⽜顿粘滞定律为dx dv P xy 0η=（10）5、设粒⼦的质量为m ，带有电量e 在平衡状态下遵从麦克斯韦分布，试根据玻⽿兹曼⽅程证明在弱电场下的电导率可以表为：2τσm ne =其中0τ为驰豫时间。
统计物理课件第二章
T
a v2
实际气体的内能不仅与温度有关， 而且与体积有关。
二.焓态方程和定压热容量
H p
T
V
T V T
p
Cp
T S T
p
第一式给出了温度不变时, 系统焓随压强的变化率与物态方程 的关系，称为焓态方程。
第二式是定压热容量。
三.简单系统的 C p CV ?
同理：
窖内辐射场是各向同性和非偏振的。 内能密度也是均匀的。
辐射通量密度：
单位时间内通过单位面积，向一侧辐射的总辐射能量。
一般记为 J u 。
物理意义： 在窖璧开一小孔，电磁辐射将从小孔射出，设小孔足够小，辐射场的 平衡状态将不受到显著破坏。因此，小孔辐射反映了平衡辐射的特征。 实际上，我们研究平衡辐射就是通过小孔辐射来研究的。
辐射场
小孔辐射
可以证明：
1 Ju 4 cu
（上式中，c 为光速，u 为辐射能量密度）
证明：
由图2-4的右图可见，在d t 时 间内，一束电磁辐射通过面 积d A的辐射能量为：
cd t
u
4
d dAcos
考虑各个传播方向（见图2-4左图），可以得到投射到dA一侧的总辐射
能为：
JudtdA
cdt u ddAcos 4
T
气体经节流过程后，温度降低。
1 ， 0
T
气体经节流过程后，温度升高。
1 ， 0
T
气体经节流过程后，温度不变。
0 时的温度称为反转温度 1 称为反转曲线
T
例：昂尼斯物态方程：
p
nRT V
1
n V
B(T )
B(T )远小于1
p
热力学统计物理-基础题库
Q 一、选择题：（每题 3 分）下列选项正确的是（）.(热力学系统的平衡状态及其描述)（容易）A ． 与外界物体有能量交换但没有物质交换的系统称为绝热系统。
B ． 与外界物体既有能量交换又有物质交换的系统称为封闭系统。
C ． 与外界物体既没有能量交换又没有物质交换的系统称为孤立系统。
D ． 热力学研究的对象是单个的微观粒子。
答案：B.简单系统的物态方程的一般形式为().（物态方程）（容易）A. f ( p ,V ) = 0 ；B. f ( p ,V ,T ) = C ；C. f ( p ,V ,T ) = 0 ；D. f ( p ,V ) = C ；答案：C.下列关于状态函数的定义正确的是（）.（焓自由能吉布斯函数）（容易）A ． 系统的焓是： H = U - pV ；B ． 系统的自由能函数是： F = U + TS ；C ． 系统的吉布斯函数是： G = U - TS + pV ；D ． 系统的熵函数是： S = ；T答案：C.状态函数焓的全微分表达式为dH 为 ( ).（内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS - pdV ；B. TdS + Vdp ；C. -SdT - pdV ；D. -SdT + Vdp答案：B.内能函数的全微分表达式为dU 为 ( ). （内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS -pdV ；B. TdS +Vdp ；C. -SdT -pdV ；D. -SdT +Vdp答案：A.自由能函数的全微分表达式为dF 为 ( ). （内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS -pdV ；B. TdS +Vdp ；C. -SdT -pdV ；D. -SdT +Vdp答案：C.吉布斯函数的全微分表达式为dG 为 ( ). （内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A. TdS -pdV ；B. TdS +Vdp ；C. -SdT -pdV ；D. -SdT +Vdp答案：D.下列关于状态函数全微分正确的是（）.（内能焓自由能和吉布斯函数的全微分）（中等）A．内能: dU =TdS -pdV ；B．焓: dH =TdS -Vdp ；C．自由能: dF =-SdT +pdV ；D．吉布斯函数: dG =-SdT -Vdp ；答案：A.下面几个表达式中错误的是( ).(热量和焓)(容易).∂∂p ∂TCp =T∂TA.CVB.CV =∂U； V=∂S； V∂HC. C = ；p∂SD. ；p答案：B.下面关于热力学第零定律的表述错误的是（）。
ch.2-1 内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分
（循环关系）
（链式关系）
（复合函数求导法）
2z 2z = xy yx
（全微分条件法）
① 基本方程记忆规则
a.函数的相邻两量为自变量，对应两量为系数。 b.箭头离开系数，取负；箭头指向系数，取正。 例如，与U相邻的两自变量分别为S和V，对应的系数为T和 p，前者箭头指向系数，后者箭头离开系数，故可写出
dU=TdS－pdV
用同样的方法，可方便的写出其他三个基本方程。
② 八个偏导数的记忆方法
由(2.1.2)式dH=TdS＋Vdp ，有
H H T , V S p p S
(2.1.6)
由(2.1.3)式dF=-SdT-pdV ，有
F S , T V F p V T (2.1.7)
从四个基本方程出发，利用系数比较法，可很方便地写 出八个偏导数。例如，由dU=TdS－pdV出发，设U=U(S,V), 写出U的全微分，然后比较系数，即可得到
③ 麦氏关系的记忆方法
沿顺时针方向，例如，从S出法，S对V求导T不变，等 于p对T求导V不变。箭头都指向不变量或都离开不变量取 正，一个指向不变量，而一个离开不变量则取负，得
S V T p p T
热力学关系的记忆方法
四个基本方程，八个偏导，四个麦 氏关系。 首先，画两正交箭头，从上到下为 S→T，从左到右为P→V。 为了便于记住箭头的方向，可默读 一个英文句子： The Sun is pouring down his rays upon the Trees, and the brook is flowing from the Peak to the Valley. 然后，按顺时针方向加上E(=U)、F、 G和H。
热力学与统计物理第二章知识总结精品资料
热力学与统计物理第二章知识总结§2.1内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分热力学函数中的物态方程、内能和熵是基本热力学函数，不仅因为它们对应热力学状态描述第零定律、第一定律和第二定律，而且其它热力学函数也可以由这三个基本热力学函数导出。
焓：自由能：吉布斯函数：下面我们由热力学的基本方程(1)即内能的全微分表达式推导焓、自由能和吉布斯函数的全微分•焓、自由能和吉布斯函数的全微分o焓的全微分由焓的定义式，求微分，得，将（1）式代入上式得(2)o自由能的全微分由得(3)o吉布斯函数的全微分(4)从方程（1）（2）（3）（4）我们容易写出内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分dU，dH，dF，和dG独立变量分别是S，V；S，P；T，V和T，P所以函数U（S，V），H（S，P），F（T，V），G（T，P）就是我们在§2.5将要讲到的特性函数。
下面从这几个函数和它们的全微分方程来推出麦氏关系。
二、热力学（Maxwell）关系(麦克斯韦或麦氏)(1)U（S，V）利用全微分性质（5）用（1）式相比得（6）再利用求偏导数的次序可以交换的性质，即（6）式得（7）（2） H（S，P）同（2）式相比有由得（8）（3） F（T，V）同（3）式相比（9）（4） G（T，P）同（4）式相比有（10）（7），（8），（9），（10）式给出了热力学量的偏导数之间的关系，称为麦克斯韦（J.C.Maxwell）关系，简称麦氏关系。
它是热力学参量偏导数之间的关系，利用麦氏关系，可以从以知的热力学量推导出系统的全部热力学量，可以将不能直接测量的物理量表示出来。
例如，只要知道物态方程，就可以利用（9），（10）式求出熵的变化，即可求出熵函数。
§2.2麦氏关系的简单应用证明1. 求选T,V为独立变量，则内能U（T,V）的全微分为（1）熵函数S(T,V)的全微分为( 2)又有热力学基本方程(3)由(2)代入(3)式得(4)•(4)相比可得(5)(6)由定容热容量的定义得(7)2. 求选T 、P为独立参量，焓的全微分为（8）焓的全微分方程为（9）以T、P为自变量时熵S（T、P）的全微分表达式为(10)将(10)代入(9)得(11) (8)式和(11)式相比较得(12)(13)(14)3求由(7) (14)式得(15) 把熵S看作T,V的函数,再把V看成T,P的函数,即对上式求全微分得∴代入（15）式得由麦氏关系得（16）即得证4、P，V，T三个变量之间存在偏导数关系而可证（17）§2.3气体的节流过程和绝热膨胀过程气体的节流过程(节流膨胀)和绝热膨胀是获得低温的两种常用方法,我们利用热力学函数来分析这两种过程的性质一,气体的节流(焦耳---汤姆逊效应)1、定义：如图所示有一由绝热材料制成的管子,中间用一多孔塞(节流阀)隔开,塞子一边维持较高的压强P,另一边维持较低的压强P,在压力的作用下,气体由高压的一边经过多孔塞流向低压的一边。
内能晗自由能和吉布斯函数全微分记忆顺口溜
内能晗自由能和吉布斯函数全微分记忆顺口溜内能的全微分顺口溜：内能全微分，记清记明现在。
熵变热交与工过程表达我用它。
温度压强体积不说变化量就以du。
吉布斯函数全微分顺口溜：吉布斯全微分，内容真全面。
化学势等熵增温度压强凭借它。
迈尔关系慢慢用变化量就以dG。
在热力学中，内能和吉布斯函数是两个重要的物理量。
它们的全微分描述了系统的变化过程中的能量变化和物理性质的变化。
以下是对这两个全微分的顺口溜解释。
首先是内能，内能全微分的表达方式是dU。
内能是系统中分子的平均能量，它受到熵变、热交和功的影响。
在内能的全微分中，我们需要记住以下要点：- 系统的熵变（entropy change）和热交（heat exchange）与内能有关。
- 进行的过程可以通过表达式表示，我们用它（we use it）来描述。
-温度、压强和体积的变化通常会对内能产生影响，但在这个表达中我们不明确指出。
- 整个过程的变化量可以用du来表示，du是内能的全微分符号。
接下来是吉布斯函数，吉布斯函数全微分的表达方式是dG。
吉布斯函数是系统的自由能，在化学过程中具有重要的意义。
-吉布斯函数的全微分对系统的变化进行了全面描述。
-化学势的变化和熵的增加与吉布斯函数存在关系。
-温度、压强也与吉布斯函数有关，它们是这个表达式的关键因素。
-迈尔关系是一个重要的概念，使用它可以推导出吉布斯函数与其他物理性质之间的关系。
-整个过程的变化量可以用dG来表示，dG是吉布斯函数的全微分符号。
通过这样的顺口溜，我们可以更加容易地记住内能和吉布斯函数的全微分表达方式，并更好地理解它们在热力学中的作用和意义。
热统第二章
dG SdT Vdp (2.1.4)
强调:上式仅适合简单系统 注意它们是采用什么作为独立变量
一.麦氏关系
1.如以S.V为独立变量时, →U=U(S.V)则 与(2.1.1)比较 有
U U dU d S dV S V V S
dU TdS pdV
一.节流过程
1.实验 气体从高压的一边经多孔塞缓慢地流 到另一边 2.实验事实 气体节流后温度改变 3.实验分析 (1)为等焓过程 ∵两端维持定压 ∴外界对左边气体做功
p1
p2
V2
p2
p1
V1
绝热壁
多孔塞
→焦－汤效应(1852年)
设在左边 V1 的气体到右边后成为 V2
W1 p1V1 p1V1
∴右边气体对外界做功W2 p2V2 p2V2
该过程中外界做的净功
W W1 W2 pV 1 1 p2V2
U2 U1 W Q绝热W pV 1 1 p2V2
由热力学第一定律
即
U2 p2V2 U1 pV 1 1 H 2 H1
T p H
T )S 0 p
必有T
此时气体减少内能对外做功 同样的讨论知 必有T 绝热膨胀可以致冷，它不需预冷。
§2.4基本热力学函数的确定
热力学中,最基本的热力学函数是物态方程.内能.和熵 其它热力学函数均可由它们导出 一.选T.V为状态参量 1.物态方程 P=P(T.V) →实验测定 (2.4.1)
《热力学与统计物理》第二章 均匀物质的热力学性质
§2.2 内能、焓、自由能、吉布斯函数的全微分
本节要求： ①掌握状态函数的全微分； ②记住热力学偏导数和麦克斯韦关系。
一.状态函数的全微分
dU TdS pdV 看成是U以S,V为变量的全微分 U (S,V )
1
,得:
T V
U
T U
V
U V
T
U V
T
U
T
V
利用方法1可求出 U
V T
，连同
CV
的定义便得到
T V
U
1 CV
T
p T
V
p
CV
U T
V
U V
T
T
p T
V
p
由此可见，已知 CV 和状态方程便可求得气体的焦耳系数。
方法4.链式关系法
条件：若所求偏导数包含S，且已在分子或分母上，但 不能用热容量的定义或麦氏关系消除时，可用此法。
说明：本章在定义新的态函数和导出普遍热力学关 系时，都以P、V、T 系统为例进行。
§2.1 自由能和吉布斯函数
本节要求：①理解自由能和吉布斯函数的概念； ②理解自由能判据和吉布斯判据
一.自由能
1.定义:
对于等温条件:
引入新的热力学函数: 自由能 F U TS
有: 2.最大功原理：系统自由能的减少是在等温过程中
热力学基本方程
dU TdS pdV dH TdS Vdp dF SdT pdV dG SdT Vdp
热力学偏导数
T
U S
V
p
U V
S
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从四个基本方程出发，利用系数比较法，可很方便地写 出八个偏导数。例如，由dU=TdS－pdV出发，设U=U(S,V), 写出U的全微分，然后比较系数，即可得到
③ 麦氏关系的记忆方法
沿顺时针方向，例如，从S出法，S对V求导T不变，等 于p对T求导V不变。箭头都指向不变量或都离开不变量取 正，一个指向不变量，而一个离开不变量则取负，得
z
=
1 y x
z
(倒数关系）
z x
y
=
-
1
（循环关系）
x w
z
=
x y
z
y w
z
（链式关系）
x y
z
=
x y
w
+
x w
y
w y
z
（复合函数求导法）
2z = 2z xy yx
（全微分条件法）
2U V S
;
p S
V
2U
SV
利用全微分条件，上二式相等，所以有
T V
S
p S
V
将(2.1.6)的两个偏导的两边分别对S和p求导，得
T 2H
p
S
pS
;
V S
p
§2.1 内能、焓、自由能和吉布斯函数的全微分
一、4个基本方程
dU=TdS-pdV dH=TdS+Vdp dF=-SdT-pdV dG=-SdT+Vdp
(2.1.1) (2.1.2) (2.1.3) (2.1.4)
二、8个偏导数
由(2.1.1)式dU=TdS-pdV ，有
T
U S
V
由(2.1.4)式dG=-SdT＋Vdp ，有
S
G T
p
,
V
G p
T
(2.1.8)
三、4个麦氏关系
由全微分条件 2 z 2 z xy yx
将(2.1.5)的两个偏导的两边分别对S和V求导，再利用 全微分条件求得
T V
S
S V
T
p T
V
将(2.1.8)的两个偏导的两边分别对p和T求导，得
S
2G
p
T
pT
;
V T
p
2G T p
利用全微分条件，上二式相等，所以有
S
p
T
V T
的量，即函数（如，U、H、F、G、S）用可以直接测 量的量(如，p、V、T、Cp、CV、α、β、κT)表达出来。
为此，我们会经常用到下面介绍的一些关系式。
设给定四个状态参量x、y、z和w，且
F(x，y，z) = 0， 而w是变量x,y,z 中任意两个的函数，则有下列等式成立:
x
y
然后，按顺时针方向加上E(=U)、F、 G和H。
① 基本方程记忆规则
a.函数的相邻两量为自变量，对应两量为系数。 b.箭头离开系数，取负；箭头指向系数，取正。 例如，与U相邻的两自变量分别为S和V，对应的系数为T和 p，前者箭头指向系数，后者箭头离开系数，故可写出
dU=TdS－pdV
用同样的方法，可方便的写出其他三个基本方程。
S p V T T V
按此方法，分别从V、T和p出发，就可得到另外三个 麦氏关系。沿逆时针方向也可得出四个麦氏关系，只不过 顺序不同而已。
（2）证明热力学恒等式的几种方法
推导和证明热力学关系是热力学部分技能训练的 重点。推导热力学关系的一般原则是：将不能直接测量
,
p
U V
S
由(2.1.2)式dH=TdS＋Vdp ，有
(2.1.5)
T
H S
p
,
H
V
p
S
(2.1.6)
由(2.1.3)式dF=-SdT-pdV ，有
S
F T
V
,
p
F V
T
(2.1.7)
p
热力学关系的记忆方法
四个基本方程，八个偏导，四个麦 氏关系。
首先，画两正交箭头，从上到下为 S→T，从左到右为P→V。
为了便于记住箭头的方向，可默读 一个英文句子：
The Sun is pouring down his rays upon the Trees, and the brook is flowing from the Peak to the Valley.
2H Sp
利用全微分条件，上二式相等，所以有
T p
S
V S
p
将(2.1.7)的两个偏导的两边分别对V和T求导，得
S V
T
2F V T
;
p T
V
2F T V
利用全微分条件，上二式相等，所以有