最新08--第八章圆锥曲线方程
圆锥曲线的极坐标方程、焦半径公式、焦点弦公式
圆锥曲线的极坐标方程知识点精析 椭圆、双曲线、抛物线可以统一定义为：与一个定点(焦点)的距离和一条定直线(准线)的距离的比等于常数e 的点的轨迹．以椭圆的左焦点(双曲线的右焦点、抛物线的焦点)为极点，过点F 作相应准线的垂线，垂足为K ，以FK 的反向延长线为极轴建立极坐标系． 椭圆、双曲线、抛物线统一的极坐标方程为： θρcos 1e ep-=.其中p 是定点F 到定直线的距离，p ＞0 ． 当0＜e ＜1时，方程表示椭圆；当e ＞1时，方程表示双曲线，若ρ＞0，方程只表示双曲线右支，若允许ρ＜0，方程就表示整个双曲线；当e=1时，方程表示开口向右的抛物线.引论（1）若 1+cos epe ρθ=则0＜e ＜1当时，方程表示极点在右焦点上的椭圆 当e=1时时，方程表示开口向左的抛物线 当e ＞1方程表示极点在左焦点上的双曲线（2 ）若1-sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在下焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向上的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在上焦点的双曲线 （3）1+sin epe ρθ=当 0＜e ＜1时，方程表示极点在上焦点的椭圆 当e=1时，方程表示开口向下的抛物线 当 e ＞1时!方程表示极点在下焦点的双曲线 例题选编（1）二次曲线基本量之间的互求例1.确定方程1053cos ρθ=-表示曲线的离心率、焦距、长短轴长。
解法一：310253331cos 1cos 55ρθθ⨯==-- 31053e P ∴==，2332555851015103383c a c a a b a c c c ⎧⎧⎧===⎪⎪⎪⎪⎪⎪∴⇒⇒⎨⎨⎨⎪⎪⎪-===⎪⎪⎪⎩⎩⎩52b ∴== 31554e ∴=方程表示椭圆的离心率，焦距，2554长轴长，短轴长解法二：根据极坐标的定义，对右顶点对应点的极角为0，因此只需令0θ=，右顶点的极径，同理可得左顶点的的极径。
根据左右顶点极径之和等于长轴长，便可以求出长轴。
圆锥曲线标准方程求法
圆锥曲线标准方程求法一、椭圆标准方程求法1、定义法【例1】已知ABC ∆的周长是18，)0,4(),0,4(B A -，求点C 的轨迹方程。
【变式】：在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cosC 有最小值为257.建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程.【例2】已知椭圆C 以坐标轴为对称轴，以坐标原点为对称中心，椭圆的一个焦点为()0,1，点⎪⎪⎭⎫⎝⎛26,23M 在椭圆上，求椭圆C 的方程；【例3】已知圆221:(1)16F x y ++=，定点2(1,0)F ．动圆M 过点F 2，且与圆F 1相内切．求点M 的轨迹C 的方程.【例4】设j i R y x ,,,∈为直角坐标系内y x ,轴正方向的单位向量，,)2(j y i x a ++=j y i x b )2(-+=，且8||||=+b a ．求点),(y x M 的轨迹C 的方程；2、待定系数法1.已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x，且G 上一点到G 的两个焦点的距离之和为12，椭圆G 的方程．2．已知椭圆1C ：22221(0)y x a b a b+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C 的方程．3.已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1．求椭圆C 的方程．4.设椭圆:E 22221x y a b+=（,0a b >>）过2)M ，(6,1)N 两点，O 为坐标原点，求椭圆E 的方程。
3、转化已知条件【例1】已知点,A B 的坐标分别是(0,1)-,(0,1),直线,AM BM 相交于点M ,且它们的斜率之积为12-.求点M 轨迹C 的方程;【例2】设Q 、G 分别为ABC ∆的外心和重心,已知)0,1(-A ,)0,1(B ,AB QG //｡求点C 的轨迹E【例3】已知动点P 到直线334-=x 的距离是到定点(0,3-)的距离的332倍.求动点P 的轨迹方程;【例4】已知M （4，0）、N （1，0），若动点P 满足||6PN MP MN =⋅。
圆锥曲线与方程课件教案
第八章圆锥曲线的方程脑图一、第一定义【利用第一定义求轨迹】例1．（Ⅰ）若ABC∆的两个顶点坐标为()4,0A-，()4,0B，ABC∆的周长为18，则顶点C的轨迹方程为．（Ⅱ）设点Q是圆C：25)1(22=++yx上一动点，点()1,0A是圆内一点，AQ的垂直平分线与CQ交于点M，求点M的轨迹方程．（Ⅲ）动圆M过定点(4,0)P-，且与圆C：22(4)16x y-+=相切，求动圆圆心M的轨迹方程．（Ⅳ）已知1F、2F分别为双曲线22221x ya b-=的左、右焦点，点P为右支上一点，过1F作12F PF∠的角平分线的垂线，垂足为M，求点M的轨迹．（Ⅴ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅲ）（Ⅳ）．【焦点三角形问题】例2．（Ⅰ）已知P是椭圆2214xy+=上一点，12F F、分别是椭圆的左、右焦点，且1260F PF∠=︒，则12F PF∆的面积是．（Ⅱ）双曲线221916x y-=的左、右焦点分别是12F F、，点P在双曲线上，且直线1PF、2PF倾斜角之差为3π，则12F PF∆的面积为．（Ⅲ）在椭圆2214520x y+=上求一点P，使它与两焦点12F F、的连线互相垂直．（Ⅳ）12F F、是椭圆22194x y+=的两个焦点，点P为其上一动点，当12F PF∠为钝角时，点P的横坐标的取值范围是．（Ⅴ）设12F F、是双曲线2214xy-=的两个焦点，点P在双曲线上，当12F PF∆的面积为1时，12PF PF⋅的值是．【利用第一定义求最值】例3．（Ⅰ）已知F是椭圆22195x y+=的左焦点，P是椭圆上一动点，(1,1)A为一定点，求PA PF+的最值．（Ⅱ）若P为双曲线2213xy-=的右支上一动点，F为双曲线右焦点，已知()3,1A，求P A P F+的最小值．二、第二定义【利用第二定义求轨迹】例4．（Ⅰ）已知动点(),M x y 满足|43|)2()1(22y x y x +=-+-，则点M 的轨迹是A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．两条相交直线（Ⅱ）已知圆A ：()2221x y ++=与定直线l ：1x =，动圆M 和圆A 外切且与直线l 相切，求动圆的圆心M 的轨迹方程．（Ⅲ）已知圆的方程为224x y +=，动抛物线过点(1,0)A -、(1,0)B ，且以圆的切线为准线，求抛物线焦点的轨迹方程．（Ⅳ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅱ）、例9（Ⅱ）（Ⅸ）．【利用第二定义求最值】例5．（Ⅰ）已知F 是椭圆22195x y +=的左焦点，P 是椭圆上一动点，(1,1)A 为一定点，求32PA PF +的最小值．（Ⅱ）若P 为双曲线2213x y -=的右支上一动点，F 为双曲线右焦点，已知()3,1A ，求（1）PA 的最小值．（Ⅲ）若F 为抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动，)2,3(A ，求MF MA +的最小值．（Ⅳ）已知点P 是抛物线2y = 2x 上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点A 的坐标是7,42⎛⎫⎪⎝⎭，则PA PM +的最小值是 A ．211B ．4C ．29 D ．5【焦半径公式】例6．（Ⅰ）已知点P 在椭圆()222210x ya b a b +=>>上，12F F 、为椭圆的左右焦点，求12PF PF ⋅的取值范围．（Ⅱ）双曲线222x y a -=的两个焦点分别为12F F 、，P 为双曲线上的任意一点，求证：1PF 、PO 、2PF 成等比数列．（Ⅲ）已知抛物线24y x =的一条焦点弦被焦点分成为m 、n 的两部分，求证：m n m n +=⋅．（Ⅳ）若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，在右支上有一点P ，且P 到左焦点1F 与到右焦点2F 的距离之比为4：3，求P 点的横坐标．（Ⅴ）在双曲线2211213y x -=的一支上有不同的三点()11,A x y 、()2,6B x ，()33,C x y 与焦点()0,5F 的距离成等差数列，求13y y +．三、标准方程【待定系数法求圆锥曲线方程】例7．（Ⅰ）已知椭圆焦点在x 轴上，焦距等于4，并且经过点(3,P ，求椭圆的标准方程．（Ⅱ）已知椭圆经过两点)2A-，()B -，求椭圆的标准方程．（Ⅲ）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，且过点()2,6-，求椭圆的标准方程． （Ⅳ）双曲线2222mx my -=的一条准线是1y =，则m 的值为 ．（Ⅴ）已知双曲线的右准线为4x =，右焦点为()10,0F ，离心率2e =，求双曲线方程．（Ⅵ）求与双曲线221916x y -=有共同的渐近线，且经过点(M -的双曲线方程． （Ⅶ）求以椭圆221133x y +=的焦点为焦点，以直线12y x =±为渐近线的双曲线的方程． （Ⅷ）k 为何值时，方程22121x y k k +=--表示①圆；②椭圆；③双曲线？ （Ⅸ）抛物线()210y x a a=≠的焦点坐标是 ．（Ⅹ）已知抛物线的准线为2y =，求抛物线的标准方程．（Ⅺ）已知抛物线的焦点在x 轴上，且()2,3A -到焦点的距离是5，求抛物线的标准方程．（Ⅻ）已知抛物线焦点在x 轴上且截直线210x y -+=【利用椭圆的参数方程求最值】例8．已知实数x 、y 满足2214x y +=，①求222u x y y =+-的取值范围；②求v x y =+的取值范围．四、几何性质【求离心率】例9．（Ⅰ）已知12F F 、为椭圆()222210x y a b a b+=>>的焦点，M 为椭圆上一点，1MF 垂直于x 轴，且1260F MF ∠=︒，求离心率．（Ⅱ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，(),0A a -，()0,B b 是两个顶点，如果F 到直线AB（Ⅲ）椭圆()222210x y a b a b+=>>的两焦点为12F F 、，以12F F 、为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两条边，则椭圆的离心率为 ．（Ⅳ）已知双曲线的两条渐近线方程是34y x =±，求此双曲线的离心率．（Ⅴ）设双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率是 ．（Ⅵ）已知12F F 、是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ⋅=的点总在椭圆内部，求椭圆离心率的取值范围．（Ⅶ）已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是 A ．(]1,2B ．()1,2C ．[)2,+∞D ．()2,+∞五、直线与圆锥曲线的位置关系【有一个公共点】例10．（Ⅰ）已知椭圆2288x y +=，在椭圆上求一点P ，使P 到直线l ：40x y -+=的距离最小并求出最小值． （Ⅱ）求经过点1,22⎛⎫⎪⎝⎭且与双曲线2241x y -=仅有一个公共点的直线方程．【有两个不同交点】——韦达定理【弦长】例11．（Ⅰ）抛物线212y x =截直线21y x =+所得弦长等于．（Ⅱ）已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线1y x =+与该椭圆相交于P 和Q ，且OP OQ ⊥，PQ =，求椭圆方程． 【弦中点】例12．（Ⅰ）已知椭圆2212x y +=，①求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；②过()2,1A 的直线l 与椭圆相交，求l 被截得的弦的中点轨迹方程；③过点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭且被P 点平分的弦所在直线的方程．（Ⅱ）已知双曲线2212y x -=，①过定点()2,1P 作直线交双曲线于12P P 、点，使P 点是12PP 的中点，求此直线方程；②过定点()1,1Q 能否作直线l ，使l 与双曲线相交于两点1Q 、2Q ，且Q 是12Q Q 的中点？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由．【垂直】例13．（Ⅰ）若直线l ：1y ax =+与双曲线2231x y -=交于A 、B 两点,且以AB 为直径的圆过原点，求a 的值.（Ⅱ）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．①求椭圆C 的标准方程；②若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A 、B 不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．【对称】例14．（Ⅰ）已知椭圆C 的方程为22143x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆C 上有不同的两个点关于该直线对称．（Ⅱ）已知抛物线212y x =上总存在关于直线4y x m =+对称的两点，则实数m 的取值范围是．【数量积】例15．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为()2,0，右顶点为)，①求双曲线C 的方程；②若直线y kx =C 有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB ⋅>（O为原点），求k 的取值范围．【面积】例16．（Ⅰ）已知双曲线C ：()222210,0xy a b a b-=>>的两个焦点为()12,0F -、()22,0F ，点(P 在双曲线C 上．①求双曲线C 的方程；②记O 为坐标原点，过点()0,2Q 的直线l 与双曲线C 相交于不同两点E 、F ，若OEF ∆的面积为l 的方程．（Ⅱ）已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是()13,0F -20y -=． ①求双曲线C 的方程；②若以()0k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于不同两点,M N ，且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k 的取值范围． 答案一、第一定义【利用第一定义求轨迹】例1．（Ⅰ）()2210259x y y +=≠．（Ⅱ）224412521x y +=（Ⅲ）221412x y -=（Ⅳ）222x y a +=（Ⅴ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅲ）（Ⅳ）． 【焦点三角形问题】 例2．（Ⅱ）（Ⅲ）()3,4()3,4-()3,4-()3,4--（Ⅳ）x <<（Ⅴ）0． 【利用第一定义求最值】例3．（Ⅰ）66二、第二定义【利用第二定义求轨迹】例4．（Ⅰ）B （Ⅱ）28y x =-（Ⅲ）22143x y += （Ⅳ）——见《直线和圆的方程脑图》例8（Ⅱ）、例9（Ⅱ）（Ⅸ）．【利用第二定义求最值】 例5．（Ⅰ）112（Ⅱ）32（Ⅲ）72（Ⅳ）C 【焦半径公式】例6．（Ⅰ）2212b PF PF a ≤⋅≤（Ⅱ）证略（Ⅲ）证略（Ⅳ）20x =12三、标准方程【待定系数法求圆锥曲线方程】例7．（Ⅰ）2213632x y +=（Ⅱ）221155x y +=（Ⅲ）22114837x y +=或2215213x y +=（Ⅳ）43-． （Ⅴ）()22211648x y --=（Ⅵ）2219164x y -=或221944x y -=（Ⅶ）22182x y -= （Ⅷ）①32k =②3122k k <<≠且③21k k ><或（Ⅸ）0,4a ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（Ⅹ）28x y =-（Ⅺ）28y x =或224y x =- （Ⅻ）212y x =或24y x =-【利用椭圆的参数方程求最值】 例8．①131,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；②⎡⎣四、几何性质【求离心率】例9．（Ⅱ）121．（Ⅳ）54e =或53（Ⅵ）0,2⎛ ⎝⎭（Ⅶ）C 五、直线与圆锥曲线的位置关系【有一个公共点】例10．（Ⅰ）31,83P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，min 2d =（Ⅱ）5324y x =+，21y x =+，23y x =-+和12x =【有两个不同交点】——韦达定理【弦长】例11．（Ⅱ）221223x y +=或221223x y += 【弦中点】例12．（Ⅰ）①444033x y x ⎛⎫+=-<< ⎪⎝⎭②222220x y x y +--=③2430x y +-=（Ⅱ）①470x y --=②不存在【垂直】例13．（Ⅰ）1a =±（Ⅱ）①22143x y +=②2(,0)7 【对称】例14．（Ⅰ）x <<（Ⅱ）216m <-． 【数量积】例15．31,,1⎛⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【面积】例16．（Ⅰ）①22122x y -=②2y =+ （Ⅱ）①22145x y -=②5555,,00,,4224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∞--+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭。
数学高考复习名师精品教案：第70课时：第八章 圆锥曲线方程-圆锥曲线小结
数学高考复习名师精品教案第70课时：第八章 圆锥曲线方程——圆锥曲线小结课题：圆锥曲线小结 一．课前预习：1．设抛物线22y x =，线段AB 的两个端点在抛物线上，且||3AB =，那么线段AB 的中点M 到y 轴的最短距离是（B ）()A 32 ()B 1 ()C 12()D 2 2．椭圆22221x y a b +=(0)a b >>与x 轴正半轴、y 轴正半轴分别交于,A B 两点，在劣弧AB 上取一点C ，则四边形OACB 的最大面积为（B ）()A 12ab ()B 2()C 2()D ab 3．ABC ∆中，A 为动点，1(,0)2B -，1(,0)2C ，且满足1sin sin sin 2C B A -=，则动点A 的轨迹方程是（D ）()A 2216161(0)3x y y -=≠()B 2216161(0)3y x x -=≠ ()C 22161161(34x y x -=<-()D 22161161(34x y x -=>4．已知直线1y x =+与椭圆221mx ny +=(0)m n >>相交于,A B 两点，若弦AB 中点的横坐标为13-，则双曲线22221x y m n-=的两条渐近线夹角的正切值是43．5．已知,,A B C 为抛物线21y x =-上三点，且(1,0)A -，AB BC ⊥，当B 点在抛物线上移动时，点C 的横坐标的取值范围是(,3][1,)-∞-+∞ ． 二．例题分析：例1．已知双曲线C ：22221x y a b-=(0,0)a b >>，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x轴正半轴上，且满足||,||,||OA OB OF 成等比数列，过点F 作双曲线在第一、三象限内的渐近线的垂线l ，垂足为P ，（1）求证：PA OP PA FB ⋅=⋅；（2）若l 与双曲线C 的左、右两支分别交于点,D E ，求双曲线C 的离心率e 的取值范围．（1）证明：设l ：()ay x c b=--，由方程组()a y x c bb y x a ⎧=--⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得2(,)a ab Pc c ，∵||,||,||OA OB OF 成等比数列，∴2(,0)a A c ，∴(0,ab PA c =- ，2(,)a ab OP c c = ，2(,)b abFP c c=- ，∴222a b PA OP c ⋅=- ，222a b PA FP c⋅=- ，∴PA OP PA FB ⋅=⋅ ．（2）设1122(,),(,)D x y E x y ，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩得444222222222(()0a a c a c b x x a b b b b -+-+=， ∵120x x ⋅<，∴42222422()0a b a b c a b b-+<-，∴22b a >，即222c a >，∴e >所以，离心率的取值范围为)+∞．例2．如图，过抛物线24x y =的对称轴上任一点(0,)P m (0)m >作直线与抛物线交于,A B 两点，点Q 是点P 关于原点的对称点，（1）设点P 分有向线段AB 所成的比为λ，证明：()QP QA QB λ⊥-；（1） 设直线AB 的方程是2120x y -+=，过,A B 两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求圆C 的方程． （2）解：（1）设直线AB 的方程为y kx m =+，代入抛物线方程24x y =得2440x kx m --= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则124x x m =-，∵点P 分有向线段AB 所成的比为λ，得1201x x λ+=+，∴12xx λ=-，又∵点Q 是点P 关于原点的对称点，∴(0,)Q m ，∴(0,2)QP m =，∴1212(,(1))QA QB x x y y m λλλλ-=--+-∴12()2[(1)]QP QA QB m y y m λλλ⋅-=-+-221121222[(1]44x x x x m m x x =+⋅++121212224442()2()44x x m m m m x x m x x x x +-+=+⋅=+⋅=∴()QP QA QB λ⊥-．（2）由221204x y x y-+=⎧⎨=⎩得点(6,9),(4,4)A B -，由24x y =得214y x =，∴12y x '=，∴抛物线在点A 处切线的斜率为6|3x y ='=， 设圆C 的方程是222()()x a y b r -+-=，则22229163(6)(9)(4)(4)b a a b a b -⎧=-⎪-⎨⎪-+-=++-⎩， 解得2323125,,222a b r =-==，∴圆C 的方程是22323125()(222x y ++-=，即22323720x y x y ++-+=． 三．课后作业：1．直线143x y +=与抛物线221169x y +=相交于,A B 两点，该椭圆上的点P 使ABP ∆的面积等于6，这样的点P 共有（ ）()A 1个 ()B 2个 ()C 3个()D 4个2．设动点P 在直线1x =上，O 为坐标原点，以OP 为直角边，点O 为直角顶点作等腰Rt OPQ ∆，则动点Q 的轨迹是（ ）()A 圆()B 两条平行线 ()C 抛物线()D 双曲线3．设P 是直线4y x =+上一点，过点P 的椭圆的焦点为1(2,0)F ，2(2,0)F -，则当椭圆长轴最短时，椭圆的方程为 ．4．椭圆221123x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，如果线段1PF 的中点在y 轴上，那么1||PF 是2||PF 的 倍．5．已知双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在双曲线的右支上，且12||4||PF PF =，则此双曲线的离心率e 的最大值为 ． 6．直线l ：1y kx =+与双曲线C ：2221x y -=的右支交于不同的两点,A B ， （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．7．如图，P 是抛物线C ：212y x 上一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 的切线垂直，l 与抛物线C 相交于另一点Q ， （1）当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程；（2）当点P 在抛物线C 上移动时，求线段PQ 中点M 的轨迹方程，并求点M 到x 轴的最短距离．。
2025数学大一轮复习讲义苏教版 第八章 圆锥曲线中范围与最值问题
则 x1＋x2＝3＋8k4k2，x1x2＝－3＋84k2， 直线 FQ 的方程 y－y1＝xy22＋－xy11(x＋x1)，设 G(0，yG)，
则 yG－y1＝yx22－＋yx11·x1，yG＝kxx1x2＋2－xk1x21＋kx1－1＝x22k＋x1xx21－1＝－3，
S△PQG＝HG|x21－x2|＝|x1－x2|＝ x1＋x22－4x1x2＝
则 4 6×
4t＋11t ＋4∈0，4
3
6，
所以△PQG
面积的取值范围为0，4
3
6.
思维升华
圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围. (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参 数之间的等量关系. (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围. (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围. (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确 定参数的取值范围.
(2)M，N是C右支上的两动点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2， 若k1k2＝－2，求点A到直线MN的距离d的取值范围.
显然直线MN不可能与x轴平行， 故可设直线MN的方程为x＝my＋n，
x＝my＋n， 联立3x2－y2＝3， 消去 x 整理得(3m2－1)y2＋6mny＋3(n2－1)＝0， 在条件3m2－1≠0， 下，
由题意知直线l的斜率一定存在且不为0，F(1,0)，设直线l的方程为x ＝ty＋1，t≠0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)， 易知x1＝ty1＋1>0，x2＝ty2＋1>0， 联立xy＝2＝ty4＋x，1， 消去x得y2－4ty－4＝0.
数学高考复习名师精品教案：第64课时：第八章 圆锥曲线方程-直线与圆锥的位置关系(1)
数学高考复习名师精品教案第64课时：第八章圆锥曲线方程——直线与圆锥的位置关系（1）课题：直线与圆锥的位置关系（1）一．复习目标：1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二．知识要点：1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：直线l：(,)0f x y=和曲线的公共:(,)0C g x y=点坐标是方程组(,)0(,)0f x yg x y=⎧⎨=⎩的解，l和C的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l和C的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．2．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．三．课前预习：1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ．3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（ ）()A 312x x x =+()B 121323x x x x x x =+()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则n m 的值为（ ） ()A 22 ()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有（ ）()A 1 条 ()B 2条 ()C 3条 ()D 4条四．例题分析：例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ， （I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 例3．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．五．课后作业：1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为（ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ）()A 325y x = ()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为 ．5．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 ．6．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点,F Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF = ，求直线l 的斜率． 7．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．8．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．。
新高考数学 第8章 第8讲 第1课时 直线与圆锥曲线的位置关系
相交于 A，B 两点，则直线 l 倾斜角 α 的取值范围是
( B)
A．[0，π)
B．π4，π2∪π2，34π
C．0，π2
D．π4，π2∪π2，34π
第八章 解析几何
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[解析] (1)直线 y＝kx＋2 恒过定点(0，2)，若直线 y＝kx＋2 与椭圆x72 ＋ym2＝1 总有公共点，则点(0，2)在椭圆x72＋ym2＝1 内部或在椭圆上，所以 m4 ≤1，由方程x72＋ym2＝1 表示椭圆，则 m>0 且 m≠7，综上知 m 的取值范 围是 m≥4 且 m≠7.
注：(1)研究直线与圆的位置关系，只需抓住圆心到直线的距离与半 径的关系；(2)当直线过定点时，注意定点与圆锥曲线的位置关系；(3)注 意“直线与抛物线只有一个交点”与“直线与抛物线相切”的区别．
第八章 解析几何
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考点二
直线与圆锥曲线相交的弦的问题——多维探究
角度 1 弦长问题
＋x2)＋p＝8.又 AB 的中点到 y 轴的距离为 2，∴－x1＋2 x2＝2，∴x1＋x2＝
－4，∴p＝4，∴所求抛物线的方程为 y2＝－8x.故选 B．
第八章 解析几何
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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3．(2021·安徽宣城调研)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)的右
焦点为 F，若过点 F 且倾斜角为 45°的直线与双曲线的右支有且只有一个
第八章 解析几何
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[解析] (1)设动点 P(x，y)(x≠± 2)，
则 kPM＝x＋y 2，kPN＝x－y 2.
2025数学大一轮复习讲义人教A版 第八章 §8.10 圆锥曲线中常见结论及应用
思维升华
周角定理：已知点 P 为椭圆(或双曲线)上异于顶点的任一点，A，B 为长轴 (或实轴)端点，则椭圆中 kPA·kPB＝－ba22，双曲线中 kPA·kPB＝ba22. 周角定理的推广：已知 A，B 两点为椭圆(或双曲线)上关于原点对称的两点， 点 P 为椭圆(或双曲线)上异于 A，B 的任一点，则椭圆中 kPA·kPB＝－ba22， 双曲线中 kPA·kPB＝ba22.
设椭圆C1中，a1＝2，b1＝1， 又四边形AF1BF2为矩形， 所以△AF1F2 的面积为 b21tan 45°＝tanb422 5°， 即 b22＝b21＝1.
所以 a22＝c22－b22＝3－1＝2. 故双曲线 C2 的离心率 e＝ac22＝
32＝
6 2.
命题点2 周角定理 例 2 已知椭圆 C：x22＋y2＝1 的左、右两个顶点分别为 A，B，点 M1，M2，…，
解得||MNFF||＝＝36， 或||MNFF||＝＝63，， 所以 λ＝2 或12.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2.已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，直线
l：y＝kx(k≠0)与 C 交于 M，N 两点，且|F1F2|＝|MN|，四边形 MF1NF2 的
A.2
B.4
C.6
√D.12
由 e＝12，得ac＝12，即 a＝2c.
①
设△F1PF2的内切圆的半径为r，
因为△F1PF2的内切圆的面积为3π，
所以 πr2＝3π，解得 r＝ 3(舍负)，
在△F1PF2中，根据椭圆的定义及焦点三角形的面积公式，
知 S△F1PF2 ＝b2tan ∠F21PF2＝12r(2a＋2c)，
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08--第八章圆锥曲线方程第八章圆锥曲线方程●考点阐释圆锥曲线是解析几何的重点内容，这部分内容的特点是：（1）曲线与方程的基础知识要求很高，要求熟练掌握并能灵活应用.（2）综合性强．在解题中几乎处处涉及函数与方程、不等式、三角及直线等内容，体现了对各种能力的综合要求．（3）计算量大．要求学生有较高的计算水平和较强的计算能力．●试题类编一、选择题1.（2003京春文9，理5）在同一坐标系中，方程a2x2+b2y2=1与ax+b y2=0（a＞b＞0）的曲线大致是（）«Skip Record If...»2.（2003京春理，7）椭圆«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为参数）的焦点坐标为（）A.（0，0），（0，－8）B.（0，0），（－8，0）C.（0，0），（0，8）D.（0，0），（8，0）3.（2002京皖春，3）已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点．如果延长F1P到Q，使得|PQ|＝|PF2|，那么动点Q的轨迹是（）A.圆B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线4.（2002全国文，7）椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k等于（）A.－1B.1C.«Skip Record If...»D. －«Skip Record If...»5.（2002全国文，11）设θ∈（0，«Skip Record If...»），则二次曲线x2cotθ－y2tanθ＝1的离心率的取值范围为（）A.（0，«Skip Record If...»）B.（«Skip Record If...»）C.（«Skip Record If...»）D.（«Skip Record If...»，＋∞）6.（2002北京文，10）已知椭圆«Skip Record If...»和双曲线«Skip Record If...»＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是（）A.x＝±«Skip Record If...»B.y＝±«Skip Record If...»C.x＝±«Skip Record If...»D.y＝±«Skip Record If...»7.（2002天津理，1）曲线«Skip Record If...»（θ为参数）上的点到两坐标轴的距离之和的最大值是（）A.«Skip Record If...»B.«Skip Record If...»C.1D.«Skip Record If...»8.（2002全国理，6）点P（1，0）到曲线«Skip Record If...»（其中参数t∈R）上的点的最短距离为（）A.0B.1C.«Skip Record If...»D.29.（2001全国，7）若椭圆经过原点，且焦点为F1（1，0），F2（３，0），则其离心率为（）A.«Skip Record If...»B.«Skip Record If...»C.«Skip Record If...»D.«Skip Record If...»10.（2001广东、河南，10）对于抛物线y2=4x上任意一点Q，点P（a，0）都满足|PQ|≥|a|，则a的取值范围是（）A.（－∞，0）B.（－∞，2«Skip Record If...»C.［0，2］D.（0，2）11.（2000京皖春，9）椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到其准线距离是（）A.«Skip Record If...»B.«Skip Record If...»C.«Skip Record If...»D.«Skip Record If...»12.（2000全国，11）过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F用一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q，则«Skip Record If...»等于（）A.2aB.«Skip Record If...»C.4aD.«Skip Record If...»13.（2000京皖春，3）双曲线«Skip Record If...»＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A.2B.«Skip Record If...»C.«Skip Record If...»D.«Skip Record If...»14.（2000上海春，13）抛物线y=－x2的焦点坐标为（）A.（0，«Skip Record If...»）B.（0，－«Skip Record If...»）C.（«Skip Record If...»，0）D.（－«Skip Record If...»，0）15.（2000上海春，14）x=«Skip Record If...»表示的曲线是（）A.双曲线B.椭圆C.双曲线的一部分D.椭圆的一部分16.（1999上海理，14）下列以t为参数的参数方程所表示的曲线中，与xy=1所表示的曲线完全一致的是（）A.«Skip Record If...»B.«Skip Record If...»C.«Skip Record If...»D.«Skip Record If...»17.（1998全国理，2）椭圆«Skip Record If...»=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的（）A.7倍B.5倍C.4倍D.3倍18.（1998全国文，12）椭圆«Skip Record If...»=1的一个焦点为F1，点P 在椭圆上.如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标是（）A.±«Skip Record If...»B.±«Skip Record If...»C.±«Skip Record If...»D.±«Skip Record If...»19.（1997全国，11）椭圆C与椭圆«Skip Record If...»，关于直线x+y=0对称，椭圆C的方程是（）A.«Skip Record If...»B.«Skip Record If...»C.«Skip Record If...»D.«Skip Record If...»20.（1997全国理，9）曲线的参数方程是«Skip Record If...»（t是参数，t≠0），它的普通方程是（）A.（x－1）2（y－1）＝1B.y＝«Skip Record If...»C.y＝«Skip Record If...»D.y＝«Skip Record If...»＋121.（1997上海）设θ∈（«Skip Record If...»π，π），则关于x、y的方程x2cscθ－y2secθ=1所表示的曲线是（）A.实轴在y轴上的双曲线B.实轴在x轴上的双曲线C.长轴在y轴上的椭圆D.长轴在x轴上的椭圆22.（1997上海）设k＞1，则关于x、y的方程（1－k）x2+y2=k2－1所表示的曲线是（）A.长轴在y轴上的椭圆B.长轴在x轴上的椭圆C.实轴在y轴上的双曲线D.实轴在x轴上的双曲线23.（1996全国文，9）中心在原点，准线方程为x=±4，离心率为«Skip Record If...»的椭圆方程是（）A.«Skip Record If...»＝1B.«Skip Record If...»＝1C.«Skip Record If...»＋y2＝1D.x2＋«Skip Record If...»＝124.（1996上海，5）将椭圆«Skip Record If...»＝1绕其左焦点按逆时针方向旋转90°，所得椭圆方程是（）A.«Skip Record If...»B.«Skip Record If...»C.«Skip Record If...»D.«Skip Record If...»25.（1996上海理，6）若函数f（x）、g（x）的定义域和值域都为R，则f （x）>g（x）（x∈R）成立的充要条件是（）A.有一个x∈R，使f（x）>g（x）B.有无穷多个x∈R，使得f（x）>g（x）C.对R中任意的x，都有f（x）>g（x）+1D.R中不存在x，使得f（x）≤g（x）26.（1996全国理，7）椭圆«Skip Record If...»的两个焦点坐标是（）A.（－3，5），（－3，－3）B.（3，3），（3，－5）C.（1，1），（－7，1）D.（7，－1），（－1，－1）27.（1996全国文，11）椭圆25x2－150x+9y2+18y+9=0的两个焦点坐标是（）A.（－3，5），（－3，3）B.（3，3），（3，－5）C.（1，1），（－7，1）D.（7，－1），（－1，－1）28.（1996全国）设双曲线«Skip Record If...»=1（0＜a＜b）的半焦距为c，直线l过（a，0），（0，b）两点.已知原点到直线l的距离为«Skip Record If...»c，则双曲线的离心率为（）A.2B.«Skip Record If...»C.«Skip Record If...»D.«Skip Record If...»29.（1996上海理，7）若θ∈［0，«Skip Record If...»］，则椭圆x2+2y2－2«Skip Record If...»x cosθ+4y sinθ=0的中心的轨迹是（）«Skip Record If...»30.（1995全国文6，理8）双曲线3x2－y2＝3的渐近线方程是（）A.y=±3xB.y＝±«Skip Record If...»xC.y＝±«Skip Record If...»xD.y＝±«Skip Record If...»31.（1994全国，2）如果方程x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（）A.（0，＋∞）B.（0，2）C.（1，＋∞）D.（0，1）32.（1994全国，8）设F1和F2为双曲线«Skip Record If...»y2＝1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积是（）A.1B.«Skip Record If...»C.2D.«Skip Record If...»33.（1994上海，17）设a、b是平面α外任意两条线段，则“a、b的长相等”是a、b在平面α内的射影长相等的（）A.非充分也非必要条件B.充要条件C.必要非充分条件D.充分非必要条件34.（1994上海，19）在直角坐标系xOy中，曲线C的方程是y=cos x，现在平移坐标系，把原点移到O′（«Skip Record If...»，－«Skip Record If...»），则在坐标系x′O′y′中，曲线C的方程是（）A.y′=sin x′+«Skip Record If...»B.y′=－sin x′+«Skip Record If...»C.y′=sin x′－«Skip Record If...»D.y′=－sin x′－«Skip Record If...»二、填空题35.（2003京春，16）如图8—1，F1、F2分别为椭圆«Skip Record If...»=1的左、右焦点，点P在椭圆上，△POF2是面积为«Skip Record If...»的正三角形，则b2的值是_____.图8—136.（2003上海春，4）直线y=x－1被抛物线y2=4x截得线段的中点坐标是_____.37.（2002上海春，2）若椭圆的两个焦点坐标为F1（－1，0），F2（5，0），长轴的长为10，则椭圆的方程为．38.（2002京皖春，13）若双曲线«Skip Record If...»＝1的渐近线方程为y＝±«Skip Record If...»x，则双曲线的焦点坐标是．39.（2002全国文，16）对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．能使这抛物线方程为y2＝10x的条件是．（要求填写合适条件的序号）40.（2002上海文，8）抛物线（y－1）2＝4（x－1）的焦点坐标是．41.（2002天津理，14）椭圆5x2－ky2＝5的一个焦点是（0，2），那么k ＝．42.（2002上海理，8）曲线«Skip Record If...»（t为参数）的焦点坐标是_____.43.（2001京皖春，14）椭圆x2＋4y2＝4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是．44.（2001上海，3）设P为双曲线«Skip Record If...»y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则点M的轨迹方程是．45.（2001上海，5）抛物线x2－4y－3＝0的焦点坐标为．46.（2001全国，14）双曲线«Skip Record If...»＝1的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为 .47.（2001上海春，5）若双曲线的一个顶点坐标为（3，0），焦距为10，则它的标准方程为_____.48.（2001上海理，10）直线y=2x－«Skip Record If...»与曲线«Skip Record If...»（«Skip Record If...»为参数）的交点坐标是_____.49.（2000全国，14）椭圆«Skip Record If...»＝1的焦点为F1、F2，点P为其上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是_____.50.（2000上海文，3）圆锥曲线«Skip Record If...»＝1的焦点坐标是_____.51.（2000上海理，3）圆锥曲线«Skip Record If...»的焦点坐标是_____.52.（1999全国，15）设椭圆«Skip Record If...»=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是 .53.（1999上海5）若平移坐标系，将曲线方程y2+4x－4y－4=0化为标准方程，则坐标原点应移到点O′ ( ) .54.（1998全国，16）设圆过双曲线«Skip Record If...»=1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则圆心到双曲线中心的距离是 .55.（1997全国文，17）已知直线x－y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点，那么线段AB的中点坐标是_____.56.（1997上海）二次曲线«Skip Record If...»（θ为参数）的左焦点坐标是_____.57.（1996上海，16）平移坐标轴将抛物线4x2－8x＋y＋5＝0化为标准方程x′2＝ay′（a≠0），则新坐标系的原点在原坐标系中的坐标是．58.（1996全国文，16）已知点（－2，3）与抛物线y2=2px（p＞0）的焦点的距离是5，则p=_____.59.（1996全国理，16）已知圆x2+y2－6x－7=0与抛物线y2=2px（p＞0）的准线相切，则p=_____.60.（1995全国理，19）直线L过抛物线y2＝a（x+1）（a>0）的焦点，并且与x轴垂直，若L被抛物线截得的线段长为4，则a= .61.（1995全国文，19）若直线L过抛物线y2＝4（x+1）的焦点，并且与x 轴垂直，则L被抛物线截得的线段长为 .62.（1995上海，15）把参数方程«Skip Record If...»（α是参数）化为普通方程，结果是．63.（1995上海，10）双曲线«Skip Record If...»=8的渐近线方程是 .64.（1995上海，14）到点A（－1，0）和直线x=3距离相等的点的轨迹方程是 .65.（1994全国，17）抛物线y2＝8－4x的准线方程是，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是．66.（1994上海，7）双曲线«Skip Record If...»－x2=1的两个焦点的坐标是 .三、解答题67.（2003上海春，21）设F1、F2分别为椭圆C：«Skip Record If...» =1（a ＞b＞0）的左、右两个焦点.（1）若椭圆C上的点A（1，«Skip Record If...»）到F1、F2两点的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；（2）设点K是（1）中所得椭圆上的动点，求线段F1K的中点的轨迹方程；（3）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k PM、k PN时，那么k PM与k PN之积是与点P位置无关的定值.试对双曲线«Skip Record If...»写出具有类似特性的性质，并加以证明.图8—268.（2002上海春，18）如图8—2，已知F1、F2为双曲线«Skip Record If...»（a＞0，b＞0）的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°．求双曲线的渐近线方程．69.（2002京皖文，理，22）已知某椭圆的焦点是F1（－4，0）、F2（4，0），过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|＋|F2B|＝10．椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y2）满足条件：|F2A|、|F2B|、|F2C|成等差数列．（Ⅰ）求该椭圆的方程；（Ⅱ）求弦AC中点的横坐标；（Ⅲ）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx＋m，求m的取值范围．70.（2002全国理，19）设点P到点M（－1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2．求m的取值范围．71.（2002北京，21）已知O（0，0），B（1，0），C（b，c）是△OBC的三个顶点．如图8—3.（Ⅰ）写出△OBC的重心G，外心F，垂心H的坐标，图8—3并证明G、F、H三点共线；（Ⅱ）当直线FH与OB平行时，求顶点C的轨迹．72.（2002江苏，20）设A、B是双曲线x2«Skip Record If...»＝1上的两点，点N （1，2）是线段AB的中点．（Ⅰ）求直线AB的方程；（Ⅱ）如果线段AB的垂直平分线与双曲线相交于C、D两点，那么A、B、C、D四点是否共圆，为什么?73.（2002上海，18）已知点A（«Skip Record If...»，0）和B（«Skip Record If...»，0），动点C到A、B两点的距离之差的绝对值为2，点C的轨迹与直线y=x－2交于D、E两点，求线段DE的长．74.（2001京皖春，22）已知抛物线y2＝2px（p＞0）.过动点M（a，0）且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A、B，|AB|≤2p.（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若线段AB的垂直平分线交x轴于点N，求△NAB面积的最大值.75.（2001上海文，理，18）设F1、F2为椭圆«Skip Record If...»＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点．已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1|＞|PF2|，求«Skip Record If...»的值．76.（2001全国文20，理19）设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴.证明直线AC经过原点O.77.（2001上海春，21）已知椭圆C的方程为x2+«Skip Record If...»=1，点P（a，b）的坐标满足a2+«Skip Record If...»≤1，过点P的直线l与椭圆交于A、B两点，点Q为线段AB的中点，求：（1）点Q的轨迹方程；（2）点Q的轨迹与坐标轴的交点的个数.78.（2001广东河南21）已知椭圆«Skip Record If...»+y2=1的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在右准线l上，且BC∥x轴.求证：直线AC经过线段EF的中点.79.（2000上海春，22）如图8—4所示，A、F分别是椭圆«Skip Record If...»＝1的一个顶点与一个焦点，位于x轴的正半轴上的动点T（t，0）与F的连线交射影OA于Q．求：图8—4 （1）点A、F的坐标及直线TQ的方程；（2）△OTQ的面积S与t的函数关系式S=f（t）及其函数的最小值；（3）写出S=f（t）的单调递增区间，并证明之．80.（2000京皖春，23）如图8—5，设点A和B为抛物线y2＝4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB，求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线．81.（2000全国理，22）如图8—6，已知梯形ABCD中，|AB|＝2|CＤ|，点E分有向线段«Skip Record If...»所成的比为λ，双曲线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当«Skip Record If...»≤λ≤«Skip Record If...»时，求双曲线离心率e的取值范围．«Skip Record If...»图8—5 图8—6 图8—782.（2000全国文，22）如图8—7，已知梯形ABCD中|AB|＝2|CD|，点E 分有向线段«Skip Record If...»所成的比为«Skip Record If...»，双曲线过C、D、E 三点，且以A、B为焦点．求双曲线离心率．83.（2000上海，17）已知椭圆C的焦点分别为F1（«Skip Record If...»，0）和F2（2«Skip Record If...»，0），长轴长为6，设直线y=x+2交椭圆C于A、B两点，求线段AB的中点坐标．84.（1999全国，24）如图8—8，给出定点A（a，0）（a＞0）和直线l：x=－1.B是直线l上的动点，∠BOA的角平图8—8分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.注：文科题设还有条件a≠185.（1999上海，22）设椭圆C1的方程为«Skip Record If...»=1（a＞b＞0），曲线C2的方程为y=«Skip Record If...»，且C1与C2在第一象限内只有一个公共点P.（Ⅰ）试用a表示点P的坐标.（Ⅱ）设A、B是椭圆C1的两个焦点，当a变化时，求△ABP的面积函数S（a）的值域；（Ⅲ）设min｛y1，y2，…，y n｝为y1，y2，…，y n中最小的一个.设g（a）是以椭圆C1的半焦距为边长的正方形的面积，求函数f（a）=min｛g（a），S （a）｝的表达式.86.（1998全国理，24）设曲线C的方程是y=x3－x，将C沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位长度后得曲线C1.（Ⅰ）写出曲线C1的方程；（Ⅱ）证明曲线C与C1关于点A（«Skip Record If...»）对称；（Ⅲ）如果曲线C与C1有且仅有一个公共点，证明s=«Skip Record If...»－t 且t≠0.87.（1998全国文22，理21）如图8—9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1.以A、B为端点的曲线段C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等.若△AMN为图8—9锐角三角形，|AM|=«Skip Record If...»，|AN|=3，且|BN|=6.建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.88.（1998上海理，20）（1）动直线y=a与抛物线y2=«Skip Record If...»（x －2）相交于A点，动点B的坐标是（0，3a），求线段AB中点M的轨迹C的方程；（2）过点D（2，0）的直线l交上述轨迹C于P、Q两点，E点坐标是（1，0），若△EPQ的面积为4，求直线l的倾斜角α的值.89.（1997上海）抛物线方程为y2=p（x+1）（p＞0），直线x+y=m与x轴的交点在抛物线的准线的右边.（1）求证：直线与抛物线总有两个交点；（2）设直线与抛物线的交点为Q、R，OQ⊥OR，求p关于m的函数f （m）的表达式；（3）（文）在（2）的条件下，若抛物线焦点F到直线x+y=m的距离为«Skip Record If...»，求此直线的方程；（理）在（2）的条件下，若m变化，使得原点O到直线QR的距离不大于«Skip Record If...»，求p的值的范围.90.（1996全国理，24）已知l1、l2是过点P（－«Skip Record If...»，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2－x2＝1各有两个交点，分别为A1、B1和A2、B2.（Ⅰ）求l1的斜率k1的取值范围；（Ⅱ）（理）若|A1B1|＝«Skip Record If...»|A2B2|，求l1、l2的方程.（文）若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值.91.（1996上海，23）已知双曲线S的两条渐近线过坐标原点，且与以点A（«Skip Record If...»，0）为圆心，1为半径的圆相切，双曲线S的一个顶点A′与点A关于直线y=x对图8—称.设直线l过点A，斜率为k.（1）求双曲线S的方程；（2）当k=1时，在双曲线S的上支上求点B，使其与直线l的距离为«Skip Record If...»；（3）当0≤k＜1时，若双曲线S的上支上有且只有一个点B到直线l的距离为«Skip Record If...»，求斜率k的值及相应的点B的坐标，如图8—10.92.（1995全国理，26）已知椭圆如图8—11，«SkipRecord If...»＝1，直线L：«Skip Record If...»＝1，P是L上一点，射线OP交椭圆于点R，又点Q在OP上且满足图8—|OQ|·|OP|＝|OR|2.当点P在L上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.93.（1995上海，24）设椭圆的方程为«Skip Record If...»＝1（m，n>0），过原点且倾角为θ和π－θ（0＜θ＜«Skip Record If...»＝的两条直线分别交椭圆于A、C和B、D两点，（Ⅰ）用θ、m、n表示四边形ABCD的面积S；（Ⅱ）若m、n为定值，当θ在（0，«Skip Record If...»］上变化时，求S的最小值u；（Ⅲ）如果μ>mn，求«Skip Record If...»的取值范围.94.（1995全国文，26）已知椭圆«Skip Record If...»=1，直线l：x=12.P是直线l上一点，射线OP交椭圆于点R.又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP|=|OR|2.当点P在直线l上移动时，求点Q的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.95.（1994全国理，24）已知直线L过坐标原点，抛物线C的顶点在原点，焦点在x轴正半轴上，若点A（－1，0）和点B（0，8）关于L的对称点都在C 上，求直线L和抛物线C的方程.96.（1994上海，24）设椭圆的中心为原点O，一个焦点为F（0，1），长轴和短轴的长度之比为t．（1）求椭圆的方程；（2）设经过原点且斜率为t的直线与椭圆在y轴右边部分的交点为Q、点P在该直线上，且«Skip Record If...»，当t变化时，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.●答案解析1.答案：D解析一：将方程a2x2+b2y2=1与ax+by2=0转化为标准方程：«Skip Record If...».因为a＞b＞0，因此，«Skip Record If...»＞0，所以有：椭圆的焦点在y 轴，抛物线的开口向左，得D选项.解析二：将方程ax+by2=0中的y换成－y，其结果不变，即说明：ax+by2=0的图形关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴.故选D.评述：本题考查椭圆与抛物线的基础知识，即标准方程与图形的基本关系.同时，考查了代数式的恒等变形及简单的逻辑推理能力.2.答案：D解析：利用三角函数中的平方和关系消参，得«Skip Record If...»=1，∴c2=16，x－4=±4，而焦点在x轴上，所以焦点坐标为：（8，0），（0，0），选D.如果画出«Skip Record If...»=1的图形，则可以直接“找”出正确选项.评述：本题考查将参数方程化为普通方程的思想和方法，以及利用平移变换公式进行逻辑推理，同时也考查了数形结合的思想方法.3.答案：A解析：由第一定义得，|PF1|+|PF2|为定值∵|PQ|=|PF2|，∴|PF1|+|PQ|为定值，即|F1Q|为定值.4.答案：B解析：椭圆方程可化为：x2+«Skip Record If...»=1∵焦点（0，2）在y轴上，∴a2=«Skip Record If...»，b2=1，又∵c2=a2－b2=4，∴k=15.答案：D解析：∵θ∈（0，«Skip Record If...»），∴sinθ∈（0，«Skip Record If...»），∴a2=tanθ，b2=c otθ∴c2=a2+b2=tanθ+c otθ，∴e2=«Skip Record If...»，∴e=«Skip Record If...»，∴e∈（«Skip Record If...»，+∞）6.答案：D解析：由双曲线方程判断出公共焦点在x轴上∴椭圆焦点（«Skip Record If...»，0），双曲线焦点（«Skip Record If...»，0）∴3m2－5n2=2m2+3n2∴m2=8n2又∵双曲线渐近线为y=±«Skip Record If...»·x∴代入m2=8n2，|m|=2«Skip Record If...»|n|，得y=±«Skip Record If...»x7.答案：D解析：设曲线上的点到两坐标轴的距离之和为d∴d=|x|+|y|=|co sθ|+|sinθ|设θ∈［0，«Skip Record If...»］∴d=sinθ+cosθ=«Skip Record If...»sin（θ+«Skip Record If...»）∴d max=«Skip Record If...».8.答案：B解法一：将曲线方程化为一般式：y2=4x∴点P（1，0）为该抛物线的焦点图8—由定义，得：曲线上到P点，距离最小的点为抛物线的顶点.解法二：设点P到曲线上的点的距离为d∴由两点间距离公式，得d2=（x－1）2+y2=（t2－1）2+4t2=（t2+1）2∵t∈R∴d min2=1 ∴d min=19.答案：C解析：由F1、F2的坐标得2c＝3－1，c＝1，又∵椭圆过原点a－c＝1，a＝1＋c＝2，又∵e＝«Skip Record If...»，∴选C.10.答案：B解析：设点Q的坐标为（«Skip Record If...»，y0），由 |PQ|≥|a|，得y02+（«Skip Record If...»－a）2≥a2.整理，得：y02（y02+16－8a）≥0，∵y02≥0，∴y02+16－8a≥0.即a≤2+«Skip Record If...»恒成立.而2+«Skip Record If...»的最小值为2.∴a≤2.选B.11.答案：D解析：由题意知a=2，b=1，c=«Skip Record If...»，准线方程为x=±«Skip Record If...»，∴椭圆中心到准线距离为«Skip Record If...»．12.答案：C解析：抛物线y=ax2的标准式为x2＝«Skip RecordIf...»y，∴焦点F（0，«Skip Record If...»）.取特殊情况，即直线PQ平行x轴，则p=q.图8—如图8—13，∵PF＝PM，∴p＝«Skip Record If...»，故«Skip Record If...»．13.答案：C解析：渐近线方程为y=±«Skip Record If...»x，由«Skip Record If...»·（－«Skip Record If...»）＝－1，得a2＝b2，∴c＝«Skip Record If...»a，e＝«Skip Record If...»．14.答案：B解析：y=－x2的标准式为x2＝－y，∴p＝«Skip Record If...»，焦点坐标F （0，－«Skip Record If...»）．15.答案：D解析：x=«Skip Record If...»化为x2＋3y2＝1（x＞0）．16.答案：D解析：由已知xy=1可知x、y同号且不为零，而A、B、C选项中尽管都满足xy=1，但x、y的取值范围与已知不同.17.答案：A解析：不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±«Skip Record If...»），即|PF2|=«Skip Record If...»，|PF1|=«Skip Record If...»，因此|PF1|=7|PF2|，故选A.评述：本题主要考查椭圆的定义及数形结合思想，具有较强的思辨性，是高考命题的方向.18.答案：A解析：由条件可得F1（－3，0），PF1的中点在y轴上，∴P坐标（3，y0），又P在«Skip Record If...»=1的椭圆上得y0=±«Skip Record If...»，∴M的坐标（0，±«Skip Record If...»），故选A.评述：本题考查了椭圆的标准方程及几何性质，中点坐标公式以及运算能力.19.答案：A解析：将已知椭圆中的x换成－y，y换成－x便得椭圆C的方程为«Skip Record If...»＝1，所以选A.评述：本题考查了椭圆的方程及点关于直线的对称问题.20.答案：B解法一：由已知得t＝«Skip Record If...»，代入y＝1－t2中消去t，得y＝1«Skip Record If...»，故选B.解法二：令t＝1，得曲线过（0，0），分别代入验证，只有B适合，故选B.评述：本题重点考查参数方程与普通方程的互化，考查等价转化的能力．21.答案：C解析：由已知得方程为«Skip Record If...»=1由于θ∈（«Skip Record If...»，π），因此sinθ＞0，cosθ＜0，且|sinθ|＜|cos θ|∴原方程表示长轴在y轴上的椭圆.22.答案：C解析：原方程化为«Skip Record If...»=1由于k＞1，因此它表示实轴在y轴上的双曲线.23.答案：A解析：由已知有«Skip Record If...»a＝2，c＝1，b2＝3,于是椭圆方程为«Skip Record If...»＝1,故选A.评述：本题考查了椭圆的方程及其几何性质，以及待定系数法和运算能力.24.答案：C解析：如图8—14，原点O逆时针方向旋转90°到O′，图8—则O′（－4，4）为旋转后椭圆的中心，故旋转后所得椭圆方程为«Skip Record If...»＝1．所以选C.25.答案：D解析：R中不存在x，使得f（x）≤g（x），即是R中的任意x都有f （x）>g（x），故选D.26.答案：B解析：可得a＝3，b＝5，c＝4，椭圆在新坐标系中的焦点坐标为（0，±4），在原坐标系中的焦点坐标为（3，3），（3，－5），故选B.评述：本题重点考查椭圆的参数方程、坐标轴的平移等基本知识点，考查数形结合的能力．27.答案：B解析：把已知方程化为«Skip Record If...»=1，∴a=5，b=3，c=4∵椭圆的中心是（3，－1），∴焦点坐标是（3，3）和（3，－5）.28.答案：A解析：由已知，直线l的方程为ay+bx－ab=0，原点到直线l的距离为«Skip Record If...»c，则有«Skip Record If...»，又c2=a2+b2，∴4ab=«Skip Record If...»c2，两边平方，得16a2（c2－a2）=3c4，两边同除以a4，并整理，得3e4－16e2+16=0∴e2=4或e2=«Skip Record If...».而0＜a＜b，得e2=«Skip Record If...»＞2，∴e2=4.故e=2.评述：本题考查点到直线的距离，双曲线的性质以及计算、推理能力.难度较大，特别是求出e后还须根据b＞a进行检验.29.答案：D解析：把已知方程化为标准方程，得«Skip Record If...»+（y+sinθ）2=1.∴椭圆中心的坐标是（«Skip Record If...»cosθ，－sinθ）.其轨迹方程是«Skip Record If...»θ∈［0，«Skip Record If...»］.即«Skip Record If...»+y2=1（0≤x≤«Skip Record If...»，－1≤y≤0）.30.答案：C解法一：将双曲线方程化为标准形式为x2－«Skip Record If...»＝1，其焦点在x轴上，且a=1，b=«Skip Record If...»，故其渐近线方程为y＝±«Skip Record If...»x＝±«Skip Record If...»x，所以应选C.解法二：由3x2－y2＝0分解因式得y＝±«Skip Record If...»x，此方程即为3x2－y2＝3的渐近线方程，故应选C.评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质.31.答案：D解析：原方程可变为«Skip Record If...»＝1，因为是焦点在y轴的椭圆，所以«Skip Record If...»，解此不等式组得0<k<1，因而选D.评述：本题考查了椭圆的方程及其几何意义以及解不等式的方法，从而考查了逻辑思维能力和运算能力.32.答案：A解法一：由双曲线方程知|F1F2|＝2«Skip Record If...»，且双曲线是对称图形，假设P（x，«Skip Record If...»），由已知F1P⊥F2 P，有«Skip Record If...»，即«Skip Record If...»，因此选A.解法二：S△=b2cot«Skip Record If...»=1×cot45°=1.评述：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两条直线垂直的条件、三角形面积公式以及运算能力.33.答案：A解析：a、b长相等a、b在平面α内的射影长相等，因此选A.34.答案：B解析：由已知得平移公式«Skip Record If...»代入曲线C的方程，得y′－«Skip Record If...»=cos（x′+«Skip Record If...»）.即y′=－sin x′+«Skip Record If...».35.答案：2«Skip Record If...»解析：因为F1、F2为椭圆的焦点，点P在椭圆上，且正△POF2的面积为«Skip Record If...»，所以S=«Skip Record If...»|OF2|·|PO|sin60°=«Skip Record If...»c2，所以c2=4.∴点P的横、纵坐标分别为«Skip Record If...»c，即P（1，«Skip Record If...»）在椭圆上，所以有«Skip Record If...»=1，又b2+c2=a2，«Skip Record If...»解得b2=2«Skip Record If...».评述：本题主要考查椭圆的基本知识以及基本计算技能，体现出方程的思想方法.36.答案：（3，2）解法一：设直线y=x－1与抛物线y2=4x交于A(x1，y1),B（x2，y2）,其中点为P（x0，y0）.由题意得«Skip Record If...»，（x－1）2=4x，x2－6x+1=0.∴x0=«Skip Record If...»=3.y0=x0－1=2.∴P（3，2）.解法二：y22=4x2，y12=4x1，y22－y12=4x2－4x1«Skip Record If...»=4.∴y1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3.故中点为P（3，2）.评述：本题考查曲线的交点与方程的根的关系.同时应注意解法一中的纵坐标与解法二中的横坐标的求法.37.答案：«Skip Record If...» =1解析：由两焦点坐标得出椭圆中心为点（2，0），焦半径c=3∵长轴长为10，∴2a=10，∴a=5，∴b=«Skip Record If...»=4∴椭圆方程为«Skip Record If...»=138.答案：（±«Skip Record If...»，0）解析：由双曲线方程得出其渐近线方程为y=±«Skip Record If...»x∴m=3，求得双曲线方程为«Skip Record If...»=1，从而得到焦点坐标.39.答案：②，⑤解析：从抛物线方程易得②，分别按条件③、④、⑤计算求抛物线方程，从而确定⑤.40.答案：（2，1）解析：抛物线（y－1）2=4（x－1）的图象为抛物线y2=4x的图象沿坐标轴分别向右、向上平移1个单位得来的.∵抛物线y2=4x的焦点为（1，0）∴抛物线（y－1）2=4（x－1）的焦点为（2，1）41.答案：－1解析：椭圆方程化为x2+«Skip Record If...»=1∵焦点（0，2）在y轴上，∴a2=«Skip Record If...»，b2=1又∵c2=a2－b2=4，∴k=－142.答案：（0，1）解析：将参数方程化为普通方程：（y－1）2=4（x+1）该曲线为抛物线y2=4x分别向左，向上平移一个单位得来.43.答案：«Skip Record If...»解析：原方程可化为«Skip Record If...»＋y2＝1，a2＝4，b2＝1∴a＝2，b＝1，c＝«Skip Record If...»当等腰直角三角形，设交点（x，y）（y＞0）可得2－x＝y，代入曲线方程得：y＝«Skip Record If...»∴S＝«Skip Record If...»×2y2＝«Skip Record If...»44.答案：x2－4y2＝1解析：设P（x0，y0）∴M（x，y）∴«Skip Record If...»∴2x＝x0，2y＝y0∴«Skip Record If...»－4y2＝1«Skip Record If...»x2－4y2＝145.答案：（0，«Skip Record If...»）解析：x2＝4y＋3«Skip Record If...»x2＝4（y＋«Skip Record If...»）∴y＋«Skip Record If...»＝1，y＝«Skip Record If...»，∴坐标（0，«Skip Record If...»）46.答案：«Skip Record If...»解析：设|PF1|＝M，|PF2|＝n（m＞n）a＝3 b＝4 c＝5∴m－n＝６m2＋n2＝4c2m2＋n2－（m－n）2＝m2＋n2－（m2＋n2－2mn）＝2mn＝4×25－36＝64mn＝32.又利用等面积法可得：2c·y＝mn，∴y＝«Skip Record If...»47.答案：«Skip Record If...» =1解析：由已知a=3，c=5，∴b2=c2－a2=16又顶点在x轴，所以标准方程为«Skip Record If...»=1.48.答案：（«Skip Record If...»）①代入②得y＝1－2x2«Skip Record If...»2x2＋y＝1 «解方程得：«Skip Record If...»∴交点坐标为（«Skip Record If...»）49.答案：«Skip Record If...»解析：已知a2＝9，b2＝4，∴c＝«Skip Record If...»，∵«Skip Record If...»由余弦定理，«Skip Record If...»，∵∠F1PF2是钝角，∴－1＜cos F1PF2＜0，即«Skip Record If...»，解得«Skip Record If...»．评述：本题也可以通过PF1⊥PF2时，找到P点的横坐标的值.类似问题，在高考命题中反复出现，本题只是改变了叙述方式.50.答案：（6，0），（－4，0）解析：令«Skip Record If...»原方程化为标准形式«Skip Record If...»．∵a2＝16，b2＝9，∴c2＝25，c＝5，在新坐标系下焦点坐标为（±5，0）．又由«Skip Record If...»解得«Skip Record If...»和«Skip Record If...»所以焦点坐标为（6，0），（－4，0）．51.答案：（－4，0），（6，0）解析：由«Skip Record If...» 得«Skip Record If...» 由③2－④2，得«Skip Record If...»＝1． 令«Skip Record If...»把上式化为标准方程为«Skip Record If...»＝1．在新坐标系下易知焦点坐标为（±5，0），又由«Skip Record If...»解得«Skip Record If...» 和«Skip Record If...»，所以焦点坐标为（6，0），（－4，0）.52.答案：«Skip Record If...»解析：由题意知过F 1且垂直于x 轴的弦长为«Skip Record If...»∴«Skip Record If...» ∴«Skip Record If...»∴«Skip Record If...»，即e =«Skip Record If...»评述：本题重点考查了椭圆的基本性质.53.答案：（2，2）解析：将曲线方程化为（y －2）2=－4（x －2）.令x ′=x －2，y ′=y －2，则y ′2=－4x ′，∴h =2，k =2∴坐标原点应移到（2，2）.54.答案：«Skip Record If...»①②③④解析：如图8—15所示，设圆心P（x0，y0）则|x0|＝«Skip Record If...»＝4，代入«Skip Record If...»＝1，得y02＝«Skip Record If...»∴|OP|＝«Skip Record If...»．评述：本题重点考查双曲线的对称性、两点间距离公式以及数形结合的思想.55.答案：（4，2）解析：将x－y=2代入y2＝4x得y2－4y－8＝0，由韦达定理y1＋y2＝4，AB 中点纵坐标y＝«Skip Record If...»＝2，横坐标x＝y＋2＝4．故AB中点坐标为（4，2）．评述：本题考查了直线与曲线相交不解方程而利用韦达定理、中点坐标公式以及代入法等数学方法.56.答案：（－4，0）解析：原方程消去参数θ，得«Skip Record If...»=1∴左焦点为（－4，0）.57.答案：（1，－1）解析：将4x2－8x＋y＋5＝0配方，得（x－1）2＝«Skip Record If...»（y＋1），令«Skip Record If...»则«Skip Record If...»即新坐标系的原点在原坐标系中的坐标为（1，－1）.58.答案：4解析：∵抛物线y2=2px（p＞0）的焦点坐标是（«Skip Record If...»，0），由两点间距离公式，得«Skip Record If...»=5.。