第3章2_流体动力学基础-伯努利方程的应用(1)
流体力学第3章(第二版)知识点总结经典例题讲解
相应的流线方程是:
dy dx y x z z0 ( xdx ydy) 0 z z0 x2 y2 C z z0
y
x
习题1:已知空间流场的速度分布(欧拉法)
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x , y , z , t ) 0
流线的性质
（1）流线彼此不能相交(除了源和汇)
交点
v1 v2
s1
（2）流线是一条光滑的曲线， 不可能出现折点(除了激波问题)
（3）定常流动时流线形状不变， 非定常流动时流线形状发生变化
s2
v1 v 折点 2
s
[例1] 由速度分布求质点轨迹
已知: 求： 解： 已知用欧拉法表示的流场速度分布规律为
作业3:已知流速场为: 试求: t=0时通过(1,1,0)点的迹线方程
§3.2 流体的加速度
一.流体的加速度
加速度是流体质点运动的速度变化(拉格朗日意义上). 流体质点速度： u
dx u( t ) dt v dy v(t ) dt w dz w( t ) dt
d2x d2y d 2z a a 流体质点加速度： a x 2 ， y 2 ， z 2 dt dt dt
(2)
由于在欧拉法中速度只和当地坐标以及时间有关,所以必须消 去初始座标,观察(1)式和(2)式可得:
u( x , y , z , t ) y v ( x , y , z , t ) x w( x, y, z, t ) 0
讨论：本例说明虽然给出的是流体质点在不同时刻经历的空间位置，即 运动轨迹,即可由此求出空间各点速度分布式（欧拉法），即各 空间点上速度分量随时间的变化规律。 此例中空间流场分布与时间无关,属于定常流场.
流体力学第三章
ｖｘ ＝（ａ＋１）ｅｔ－１＝ｘ＋ｔ
ｖｙ ＝（ｂ＋１）ｅｔ－１＝ｙ＋ｔ
可进一步求得欧拉变数下的加速度为：
ａｘ ＝ｖｔｘ ＋ｖｘｖｘｘ ＋ｖｙｖｙｘ ＋ｖｚｖｚｘ ＝ｘ＋ｔ＋１
ａｙ ＝ｖｔｙ ＋ｖｘｖｘｙ ＋ｖｙｖｙｙ ＋ｖｚｖｚｙ ＝ｙ＋ｔ＋１
（４）有效断面、流量和平局流速等
流管
流管———在流场中作一条不与流线重合的任意封闭曲线，则通过此曲线上任一点的所有流线将 — 5—
如上图，一条迹线表示一个流体质点在一段时间内描述的路径。 特点：迹线上各点的切线方向表示的是同一流体质点在不同时刻的速度方向。 （２）流线 流线：流线是用来描述流场中各点流动方向的曲线，即矢量场的矢量线。在某一时刻该曲线上任 意处质点的速度矢量与此曲线相切。 注：矢量线———线上任一点的切线方向与该点的矢量方向重合，称为矢量线。
— 3—
２）二元流动：流体的运动参数只有两个坐标的函数。平面流动是二元流动。实际流体由于具有 黏性，故其流动至少是二元的，例如实际流体在圆管内的流动。由于水的黏性影响，靠近管壁的流速 低于中部的流速，即管道中的流速随管道的半径和流动方向的位移而变化，所以是二元流动。
３）三元流动：流体在空间流动一般说都是三元流动，运动参数是空间三坐标的函数。 考点四 流体运动学的基本概念和相关计算 （１）迹线 迹线：流体质点在不同时刻的运动轨迹。
构成一个管状曲面，这个管状曲面称为流管。
流束———充满在流管内部的流体。微小流束：断面无穷小的流束。 总流———管道内流动的流体的集合。 流管特点： ①流管表面不可能有流体穿过；②稳定流动时流管的形状和位置都不随时间变化，就像固体管道 的管壁；非稳定流动时，流管的形状及位置有可能随时间变化；③流管不可能在流场内部中断。 有效断面 有效断面———流束或总流上垂直于流线的断面。（有效断面可能是平面，也可能是曲面）
伯努利方程及其工程应用
v1
1
D 1 d
4
2 gh c h
理想情况下的流量 实际流量
式中
π 2 Q Q0 d c h 4
π 2 Q0 A1v1 d c h 4
——流量系数，主要与管子材料、尺寸、加工精
度、安装质量、流体的黏性及其运动速度等
因素有关，
c ——结构常数。
v H hl1 2 2g
2 2
将上式就
v2
加以整理
出流量
v2 2 g H hl12
Q A2 2 g H hl12
取虹吸管最高点所在断面为3—3，对1—1、3—3再列伯 努利方程，可知，虹吸管断面3—3处将产生负压。 虹吸原理在生产、生活中的应用 1、黄河汲水灌溉 2、高位水箱引水 3、抽水马桶 想一想虹吸原理在 生产生活中还有哪 些应用？
基本内容： 1、测量流速与流量的仪表； 2、虹吸现象； 3、孔口、管嘴的出流问题。 重点：分析方法
一、测量流速与流量的仪表
、毕托管(Pitot Tube)
如图，对1、2两点列出伯努利方程：
2 p1 u12 p2 u 2 γ 2g γ 2g
u ——动压（dynamical pressure) 2g
二、虹吸现象
3 3 H 1 1
2
O
2
v1 0
O
虹吸原理：如图，对1—1，2—2断面列伯努利方程
2 pa α1v12 p 2 α 2 v2 H hl12 γ 2g γ 2g
由于 A1 A 2 ，所以 上式变成
v1 0 ；p 1 p 2 p a ，并取 2 1 ，则
收缩系数ε与孔口边缘状况有关。
A
流体力学理论基础
3.2.2 伯努利方程
3.3 流动阻力基本概念
流体旳平衡—流体静力学基础
3.1.1 平衡状态下流体中旳应力特征
1、流体静压力方向必然重叠于受力面旳内法向方向
n
A
c
b
B
P
a
2、平衡流体中任意点旳静压强只能由该点旳坐标位置
决定，而与该压强作用方向无关。
z
c
pn
dz py
px dy O dx b
a
pz
x
PyD g sin J x
PyD ghc AyD gyc sin AyD
gyc sin AyD g sin J x
根据面积二次力矩平行移轴定理
J x Jc yc2 A
yD
yC
JC yC A
常见图形旳几何特征量
常见截面旳惯性矩
y
z h
b
Jc
bh3 12
y
dz
Jc
d4
64
0
0'
p0=p=pa+ρgh0
h0=(p-pa) /ρg =(119.6-100)×103/(1000×9.81)=2.0m
3.1.5 均质流体作用在平面上旳液体总压力
p0
O
C点为平面壁旳形心，
a
hD
hc h dp P
y
yc
D点为总压力P旳作用点 取微元面积dA，设形
bα
yD
dA
心位于液面下列h深处
T
A hE
hc
HP
D
B 60
解：闸门形心
hc 1.5m
总压力
P hc A
98001.5 ( 3 1) sin 60
流体力学 第三章
（1）有压流动 总流的全部边界受固体边界的约束， 即流体充满流道，如压力水管中的流动。
（2）无压流动 总流边界的一部分受固体边界约束，另 一部分与气体接触，形成自由液面，如明渠中的流动。
图 3-1 流体的出流
一、定常流动和非定常流动
这种运动流体中任一点的流体质点的流动参数(压强和 速度等)均不随时间变化，而只随空间点位置不同而变化的 流动，称为定常流动。
现将阀门A关小，则流入水箱的水量小于从阀门B流出的 水量，水箱中的水位就逐渐下降，于是水箱和管道任一点流 体质点的压强和速度都逐渐减小，水流的形状也逐渐向下弯 曲。
（2）如果流体是定常的，则流出的流体质量必然等于流 入的流体质量。
二、微元流束和总流的连续性方程 在工程上和自然界中，流体流动多数都是在某些周界
所限定的空间内沿某一方向流动，即一维流动的问题。 所谓一维流动是指流动参数仅在一个方向上有显著的
变化，而在其它两个方向上的变化非常微小，可忽略不计。 例如在管道中流动的流体就符合这个条件。在流场中取一 微元流束如图所示。
图 3-6 流场中的微元流束
假定流体的运动是连续、定 常的，则微元流管的形状不随时 间改变。根据流管的特性，流体 质点不能穿过流管表面，因此在 单位时间内通过微元流管的任一 过流断面的流体质量都应相等， 即
ρ1v1dA1=ρ2v2dA2=常数 dA1 、dA2—分别为1、2两个过 图 3-6 流场中的微元流束 流断面的面积，m2；
§ 3-1描述流体运动的两种方法
连续介质模型的引入，使我们可以把流体看作为由无 数个流体质点所组成的连续介质，并且无间隙地充满它所 占据的空间。
伯努利流体动力学-概述说明以及解释
伯努利流体动力学-概述说明以及解释1.引言1.1 概述引言是一篇文章的开头部分，旨在为读者提供一个概述，引起读者的兴趣并引导他们进入后续内容的阅读。
本文将介绍伯努利流体动力学的相关概念和原理。
伯努利流体动力学是流体力学研究的重要领域之一。
流体动力学是研究流体运动规律和性质的学科，而伯努利原理是其中一个基本概念。
伯努利原理指出，在理想流体中，当流体在沿流线流动过程中速度增加时，压力会降低，而速度减小时，则压力增加。
这一原理可以通过数学公式来描述，即伯努利方程。
伯努利方程是伯努利原理的数学表达方式，它将流体动能、压力能和势能联系起来。
通过应用伯努利方程，可以分析流体在不同位置的速度、压力和高度等参数的关系，从而帮助解释和预测流体运动中的现象和现象背后的物理本质。
本文将探讨伯努利原理的基本概念、流体动力学的基本概念，以及阐述伯努利方程的应用。
通过深入了解伯努利流体动力学，可以对流体运动的原理和性质有更清晰的认识，并且可以为未来的研究提出新的方向和可能性。
在结论部分，我们将总结伯努利流体动力学的重要性，并展望未来的研究方向。
通过本文的研究，我们能够更好地理解和应用伯努利流体动力学的原理，为工程和科学领域的相关研究提供重要的理论基础。
总而言之，本文将以伯努利流体动力学为主题，介绍伯努利原理和伯努利方程的基本概念以及应用。
通过深入研究这一领域，我们可以更好地理解流体运动的本质和特性，为相关领域的研究和应用提供有益的借鉴和启示。
1.2文章结构1.2 文章结构本篇文章将围绕伯努利流体动力学展开讨论。
文章分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分，将首先对伯努利流体动力学进行概述，介绍其基本概念和重要性。
然后，阐述文章的结构和目的，以及对伯努利流体动力学的总结。
正文部分将详细介绍伯努利原理及其基本概念，以及流体动力学基本概念和伯努利方程。
通过对这些理论的深入讨论和分析，读者将能够全面了解伯努利流体动力学的原理和应用。
伯努利方程流体能量转换实验
实验注意事项
1 确保实验器材完好
在实验开始前检查实验器 材的完整性和连接情况。
2 安全操作
严格按照操作规程进行实 验，遵守实验室的安全规 定。
3 准确记录数据
实验过程中要准确记录各 项数据，以便后续分析和 总结。
实验结果展示
实验数据
通过图表和曲线展示实验结果， 直观地观察流体的行为。
流型变化
通过实验结果展示流体在通道内 的速度分布和流量分布的变化。
伯努利方程流体能量转换 实验
伯努利方程流体能量转换实验将帮助我们深入了解流体的行为和能量转换原 理。通过实验，了解流体静压力、动压力以及流量的测量方法，探索流体能 量转换的应用领域。
实验介绍
通过伯努利方程流体能量转换实验，我们可以观察流体在不同条件下的行为， 并研究流体能量转换原理。这个实验将帮助我们更深入地理解流体力学和能 量传递的过程。
流量的测量方法
1 容积流ห้องสมุดไป่ตู้法
通过测量单位时间内通过管道的体积计算流体的流量。
2 速度流量法
根据流体速度和管道截面积的关系计算流体的流量。
3 质量流量法
基于质量守恒原理，通过测量流体质量和单位时间计算流体的流量。
各种流通器件
流量计
用于测量流体通过管道或通道的 流量的设备。
阀门
用于控制流体流动的设备，如调 节流量和压力。
能量转换
流体的能量可以转换为不同形 式，如压力能、动能和位能等。
流动状态的变化
流体在通道内会产生不同的流 型和流量分布，研究这些变化 能帮助我们更好地理解流体行 为。
实验器材及材料
流体实验装置
包括流量计、压力传感器和流体管道等。
流体样品
流体力学知识点总结
流体力学知识点总结流体力学知识点总结第一章绪论1液体和气体统称为流体，流体的基本特性是具有流动性，只要剪应力存在流动就持续进行，流体在静止时不能承受剪应力。
2流体连续介质假设：把流体当做是由密集质点构成的，内部无空隙的连续体来研究。
3流体力学的研究方法：理论、数值、实验。
4作用于流体上面的力（1）表面力：通过直接接触，作用于所取流体表面的力。
ΔFΔPΔTAΔAVτ法向应力pA周围流体作用的表面力切向应力作用于A上的平均压应力作用于A上的平均剪应力应力为A点压应力，即A点的压强法向应力为A点的剪应力切向应力应力的单位是帕斯卡（pa），1pa=1N/㎡，表面力具有传递性。
（2）质量力：作用在所取流体体积内每个质点上的力，力的大小与流体的质量成比例。
（常见的质量力：重力、惯性力、非惯性力、离心力）单位为5流体的主要物理性质（1）惯性：物体保持原有运动状态的性质。
质量越大，惯性越大，运动状态越难改变。
常见的密度（在一个标准大气压下）：4℃时的水20℃时的空气（2）粘性huu+duUzydyx牛顿内摩擦定律：流体运动时，相邻流层间所产生的切应力与剪切变形的速率成正比。
即以应力表示τ—粘性切应力，是单位面积上的内摩擦力。
由图可知——速度梯度，剪切应变率（剪切变形速度）粘度μ是比例系数，称为动力黏度，单位“pa·s”。
动力黏度是流体黏性大小的度量，μ值越大，流体越粘，流动性越差。
运动粘度单位：m2/s同加速度的单位说明：1）气体的粘度不受压强影响，液体的粘度受压强影响也很小。
2）液体T↑μ↓气体T↑μ↑无黏性流体无粘性流体，是指无粘性即μ=0的液体。
无粘性液体实际上是不存在的，它只是一种对物性简化的力学模型。
（3）压缩性和膨胀性压缩性：流体受压，体积缩小，密度增大，除去外力后能恢复原状的性质。
T一定，dp增大，dv减小膨胀性：流体受热，体积膨胀，密度减小，温度下降后能恢复原状的性质。
P一定，dT增大，dV增大A液体的压缩性和膨胀性液体的压缩性用压缩系数表示压缩系数：在一定的温度下，压强增加单位P，液体体积的相对减小值。
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VC 19.85(m / s)
Q
VC
AC
=19.85
（0.2）2 4
0.00623(m3
/
s)
7
B点的压强可通过列A、B或B、C断面的伯努利方程求 解。例如，列A、B断面的伯努利方程：
zA
pA
VA2 2g
zB
pB
VB2 2g
hAB
其中，zA 0、pA 2atm 202650Pa zB 3m、pB ?、VB VA，hAB 0.5m
代入伯努利方程
7 0 0 0 50662.5 V22 1.5 9800 2g
4
【解】
解出
V2 2*9.8*(7 1.5 5.17) 2.54(m / s)
流量
Q
V2
A
V2
*
4
D2
2.54 *
4
* (0.1)2
1.99 102 (m3 / s)
即水管的流量为 1.99 102(m3 / s)
可以求出 pB 108350(Pa)
所以，水龙带出口速度为19.85m/s，该泵排量为 0.00623m3/s，B点的压力为108350Pa。
8
【例3-3】有一喷水装置如
图所示。已知h1=0.3m， h2=1.0m，h3=2.5m， p0
为表压，求喷水出口流速及
水流喷射高度h(注：不计水
头损失)。
练习题
9
【解】
以3-3断面为基准面，列1-1、3-3两个断面的伯努利方
程：
z1
p1
V12 2g
z3
p3
V32 2g
其中，z1 1.0 2.5 3.5m、p1 0、V1 0， z3 0、p3 p0、V3 0
以2-2断面为基准面，列2-2、4-4两个断面的伯努利方
程：
z2
p2
zA
pA
VA2 2g
zC
pC
VC2 2g
hAC
其中，zA 0、pA 2atm 202650Pa， zC 3.2m、pC 0，hAC 0.5 0.1 0.6m
根据连续性方程
VA AA VC AC
所以，解出
2
VA =
AC AA
VC
dC dA
VC
0.16VC
泵排量
V22 2g
z4
p4
V42 2g
其中，z2 0、p2 p0、V2 0， z4 0.3 1.0 1.3m、p4 0、V4 ?
10
【解】 联立以上两个方程，解得
喷射高度：
V4 6.57(m / s) h V42 2.2(m)
2g
即，喷水出口流速为6.57m/s，喷射高度为2.2m。
流体动力学基础
伯努利方程的应用 泵对液流能量的增加
1
伯努利方程的应用 1、一般的水力计算 2、节流式流量计 3、驻压强和测速管 4、流动吸力问题
2
1、一般的水力计算
【例3-1】从水池接一管路，如图所示。H=7m，管内 径D=100mm，压力表读数0.5 atm，从水池到压力表 之间的水头损失是1.5m，求流量。
A1
14
v
1
2g p1 p2
( A )2 ( A )2
A2
A1
Q理论 Av
A 流量 2g p1 p2
( A )2 ( A系)2数
A
2g p1 p2
压差
水头
A2
A1
Q d 2 2g p1 p2 d 2 2g p
4
4
15
对于液-气压差计
对于水-汞压差计
p h
p
5
【例3-2】如图所示为一救火水龙带，喷嘴和泵的相对位 置如图。泵出口A压力为2atm(表压)，泵排出管断面直径 50mm，喷嘴出口C直径20mm；水龙带水头损失为 0.5m；喷嘴水头损失0.1m。试求喷嘴出口流速、泵排量 和B点压强。
6
【解】 以A所在位置为基准面，列A、C两个断面的伯努利方程：
z1
p1
V12 2g
z2
p2
V22 2g
其中，z1 0、V1 Q A1 = (4 0.1) (3.14 0.32) =1.42m/s z2 z h、V2 Q A2 = (4 0.1) (3.14 0.12) =12.74m/s
0 p1 V12 z h p2 V22
Hg 水
1 h
16
【例3-4】如图所示，一U型水银压差计连接于一直角弯 管处。已知，水平段管径d1=300mm，垂直段管径d2 =100mm。管中的流量为Q=100L/s。试问：压差计∆h 读数等于多少？（不计水头损失）
17
【解】 以0-0为基准面，列1-1、2-2两个断面的伯努利方程：
住。
在分岔的流线上选择上游离开障碍很远的一点(p0、u0)，和A 点列伯努利方程，两点的高差为0，且A点速度uA=0。
19
p0 u02 pA
2g
动压强：流动流体中加一障碍物，在驻点处升高的压强，即由动能 转化而来的压强。
p0：静压强,
3
【解】
流量Q=VA，管径A已知，只需求出流速V。
基准面取在管道处，取1-1和2-2两个断面，列伯努 利方程。
z1 2
V22 2g
h12
11断面：z1 H 7m，p1 0，V1 0； 2 2断面：z2 0，p2 0.5atm 50662.5Pa，V2 ？，h12 1.5m。
11
2、节流式流量计
工业上常用的节流式流量计主要有三种类型，即孔板、喷嘴和 圆锥式（又叫文丘里管）。
节流式流量计 特点：装置中断面逐渐 收缩
12
基本原理：
当管路中液体流经节流装置时，液流断面收缩，在收缩断面处 流速增加，压强降低，使节流装置前后产生压差。在选择一定 的节流装置的情况下，液体流量越大，节流装置前后压差也越 大，因而可以通过测量压差来计算流量大小。
气体
△h
1
2
D
1
2
d
13
因孔板在水平管路上，位置水头相等，列伯努利方程
p1 v12 p2 v22
2g 2g
当孔眼断面积为A，流速为v时，根据连续性条件：
vA v1A1 v2 A2
v1
A A1
v
v2
A A2
v
p1 p2 v22 v12 v2 [( A )2 ( A )2 ]
2g 2g A2
2g
2g
h
1
(
p1
p2
z)
V12 2g
V22 2g
由等压面a-a得压强关系
p1 z p2 Hgh p1 p2 z Hgh
所以，
h
V22 2g
V12 2g
Hg
1
0.649m
即压差计 读数为 649mm
18
3、驻压强和测速管
A点称为驻点， 表明流体在障 碍前要发生停