高中数学《抛物线》练习题

高中数学《抛物线》练习题

一、选择题：

1. (浙江)函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )

(A)

18 (B)41 (C) 2

1

(D)1 2. （上海）过抛物线x y 42

=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线（ ）

A ．有且仅有一条

B ．有且仅有两条

C ．有无穷多条

D ．不存在

3. 抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为( )

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5

4. （辽宁卷）已知双曲线的中心在原点，离心率为3.若它的一条准线与抛物线x y 42

=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42

=的交点到原点的距离是 （ ）

A ．23+6

B ．21

C ．21218+

D ．21

5 .（江苏卷）抛物线y=42x 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) ( A )

1617 ( B ) 1615 ( C ) 8

7 ( D ) 0 6. （湖北卷）双曲线)0(12

2≠=-mn n

y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为

（ ）

A ．

163

B ．

8

3 C ．

3

16 D ．

3

8 二、填空题：

7．顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线方程是 . 8．若抛物线m x x y +-=

22

12

的焦点在x 轴上，则m 的值是 . 9．过（－1，2）作直线与抛物线x y 42

=只有一个公共点，则该直线的斜率为 . 10．抛物线2

2x y =为一组斜率为2的平行弦的中点的轨迹方程是 .

三、解答题：

11. （江西卷）如图，M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB.

（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值；

（2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹

12. （上海）本题共有3个小题,第1小题满分4分, 第2小题满分6分, 第3小题满分6分.

已知抛物线y 2=2px(p>0)的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4、且位于x 轴上方的点,A 到抛物线准线的

距离等于5,过A 作AB 垂直于y 轴,垂足为B,OB 的中点为M. (1)求抛物线方程;

(2)过M 作MN ⊥FA, 垂足为N,求点N 的坐标;

(3)以M 为圆心,MB 为半径作圆M.当K(m,0)是x 轴上一动点时,丫讨论直线AK 与圆M 的位置关系.

当m<1时, AK 与圆M 相交.

13、(全国卷III)

设()11A x y ，，()22B x y ，两点在抛物线2

2y x =上，l 是AB 的垂直平分线。

（Ⅰ）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围。

14.（广东卷）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2

y x =上异于坐标原点Ｏ的两不同动点Ａ、Ｂ满足AO BO ⊥（如图４所示）．

（Ⅰ）求AOB ?得重心Ｇ（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；

（Ⅱ）AOB ?的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．

抛物线练习题答案

解答：一。BB D BB A

三.1. 解：（1）设M （y 2

0,y 0），直线ME 的斜率为k(l>0)

则直线MF 的斜率为－k ，方程为200().y y k x y -=-

∴由2

002

()y y k x y y x

?-=-??=??，消2

00(1)0x ky y y ky -+-=得 解得20021(1),F F ky ky y x k k --=∴= ∴00220000

222

112

14(1)(1)2E F EF

E F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+-

--===

=---+--

(定值) 所以直线EF 的斜率为定值 （2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==o o 当时所以直线ME 的方程为2

00()y y k x y -=-

由2

002y y x y y x ?-=-??=??得200((1),1)E y y -- 同理可得200((1),(1)).F y y +-+

设重心G （x , y ），则有2222

00000000(1)(1)23333(1)(1)333M E F M E F y y y y x x x x y y y y x x x x ?+-+++++===???

+--+++?===-??

消去参数0y 得2122().9273

y x x =

-> 4. [解](1) 抛物线y 2=2px 的准线为x=-

2p ,于是4+2

p

=5, ∴p=2. ∴抛物线方程为y 2=4x. (2)∵点A 是坐标是(4,4), 由题意得B(0,4),M(0,2), 又∵F(1,0), ∴k FA =

34;MN ⊥FA, ∴k MN =-4

3

,

则FA 的方程为y=

34(x-1),MN 的方程为y-2=-43x,解方程组得x=58,y=54, ∴N 的坐标(58,5

4). (1) 由题意得, ,圆M.的圆心是点(0,2), 半径为2,

当m=4时, 直线AK 的方程为x=4,此时,直线AK 与圆M 相离. 当m ≠4时, 直线AK 的方程为y=

m -44

(x-m),即为4x-(4-m)y-4m=0, 圆心M(0,2)到直线AK 的距离d=2

)

4(1682-++m m ,令d>2,解得m>1∴当m>1时, AK 与圆M 相离;

当m=1时, AK 与圆M 相切; 当m<1时, AK 与圆M 相交.

8. ．解：（Ⅰ）F l FA FB A B ∈?=?、两点到抛物线的准线的距离相等， ∵抛物线的准线是x 轴的平行线，1200y y ≥≥，，依题意12y y ，不同时为0

∴上述条件等价于()()22

121212120y y x x x x x x =?=?+-= ∵12x x ≠

∴上述条件等价于120x x += 即当且仅当120x x +=时，l 经过抛物线的焦点F 。

（Ⅱ）设l 在y 轴上的截距为b ，依题意得l 的方程为2y x b =+；过点A B 、的直线方程可写为

12y x m =-+，所以12x x 、满足方程21202x x m +-= 得1214

x x +=-

A B 、为抛物线上不同的两点等价于上述方程的判别式1804m ?=+f ，即1

32

m -f

13.解：（I ）设△AOB 的重心为G(x,y),A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则???

????+=+=33

2121y y y x x x (1)

∵OA ⊥OB ∴1-=?OB OA k k ,即12121-=+y y x x ， (2)

又点A ，B 在抛物线上，有2

222

11,x y x y ==，代入（2）化简得121-=x x ∴3

2332)3(31]2)[(31)(31322212212

22121+=+?=-+=+=+=

x x x x x x x x y y y 所以重心为G 的轨迹方程为3

2

32+=x y （II ）2

2

21212222212221222221212

1))((21||||21y y y x y x x x y x y x OB OA S AOB +++=++==

? 由（I ）得

1

22

12)1(221222122166

2616261=?=+-=+?≥++=

?x x x x S AOB

当且仅当6

261x x =即121-=-=x x 时，等号成立。 所以△AOB 的面积存在最小值，存在时求最小值1；