1.1两个基本计数原理(1)备课笔记
1.1基本计数原理(刘大川修改)
基本计数原理昌邑三中付世安修改：刘大川课标点击：（一）学习目标:掌握加法原理和乘法原理，能根据具体问题的特征，选择加法原理和乘法原理解决一些简单问题。
（二）教学重点：从实例入手理解加法原理和乘法原理。
难点：在练习中熟练应用加法原理和乘法原理。
教学过程：【课前准备】（一）知识链接：张、王、李、赵四人在寒假中要互寄一张贺年卡，他们一共寄了几张张贺年卡？（二）问题导引：从甲地到乙地，可以坐火车，也可以坐汽车，还可以乘轮船。
已知火车每日1班，汽车每日3班，轮船每日2班，那么从甲地到乙地有多少种不同的走法？（三）学习探究自学导引：阅读自学课本掌握下列内容自主阅读课本第3—4页，回答1、探究（1）：请举出用分类形式完成工作的一个实例。
探究（2）：请举出用分布形式完成工作的一个实例。
2、知识梳理：（1）分类加法原理：_____________________________________________________________ 公式N=_____________________（2）分步乘法原理：_____________________________________公式N=_________________________2、思考与讨论：（1）两个计数原理的作用是什么？（2）两个计数原理的区别和联系是什么？（四）典例示范例１：一个三层书架的上层放有5本不同的数学书，中 层放有3本不同的语文书，下层放有2本不同的英语书。
（1） 从书架上任取一本书，有多少种不同的取法？（2） 从书架上任取3本书，其中数学书语文书英语各一本，有多少种不同的取法？ 解：（1）N=10（种）（2）N=523⨯⨯=30（种）例２：用0、.1、2、3、4 这五个数可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码？（2）四位数？（3）四位奇数？解：（1）N=5⨯4⨯3⨯2=120（个）（2）N=4⨯4⨯3⨯2=96(个)（3）N=3⨯3⨯2+3⨯3⨯2=36(个)。
计数原理必备知识点总结
计数原理必备知识点总结一、计数原理的基本概念1.1 事件和样本空间在概率论中，事件是指可能发生的结果，样本空间是指所有可能的结果的集合。
在计数原理中，我们通常需要计算在一定条件下事件发生的次数，因此需要对事件和样本空间进行分析和计算。
1.2 事件的互斥和独立在计数原理中，我们需要考虑事件之间的互斥和独立关系。
互斥事件是指两个事件不能同时发生，而独立事件是指两个事件之间没有相互影响。
1.3 条件概率和联合概率在计数原理中，我们需要考虑事件的条件概率和联合概率。
条件概率是指在给定某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率；联合概率是指两个事件同时发生的概率。
1.4 达成事件的概率在计数原理中，我们需要计算事件发生的概率。
达成事件的概率是指在一定条件下事件发生的可能性，通常通过计数原理来进行计算。
二、排列组合2.1 排列在计数原理中，排列是指从给定的元素中选取一定数量的元素进行排列，排列中元素的顺序是重要的。
在计算排列时，通常使用阶乘的方法进行计算。
2.2 组合在计数原理中，组合是指从给定的元素中选取一定数量的元素进行组合，组合中元素的顺序是不重要的。
在计算组合时，通常使用二项式系数的方法进行计算。
2.3 组合公式在计数原理中，我们可以使用组合公式来计算组合的数量。
组合公式是指C（n，k）=n!/(k!(n-k)!)，其中n表示元素的总数，k表示选取的元素的数量。
2.4 排列组合的应用在计数原理中，排列组合的方法具有广泛的应用。
在实际问题中，我们常常需要考虑元素的排列和组合，例如在排列组合中考虑位置的排列和顺序的组合等。
三、二项式系数3.1 二项式定理在计数原理中，二项式定理是指一个式子的平方等于两个式子相乘的和。
例如，（a+b）^2=a^2+2ab+b^2，这就是一个二项式定理的例子。
3.2 二项式系数的计算在计数原理中，我们可以使用二项式系数来计算二项式的展开式。
二项式系数是通过排列组合的方法进行计算的，通常使用组合公式来计算。
1.1.1两个基本计数原理
种不同的方法。
练习：用一个大写的英文字母或一个阿拉伯数字给教 室里的座位编号，总共能够编出多少种不同的号码？ （阿拉伯数字为0、1、2……9）
26+10=36种
1 完成一件事需要分类 2 每类方式中的每种方法都
可以独立完成这件事 3 都是采用加法运算
思考
老师想要从公主岭尽快到北 京,可以先乘动车从公主岭到长 春龙嘉,再乘飞机从长春龙嘉到 北京.乘这些交通工具从公主岭 到北京共有多少种不同的走法?
两个计数原理的相同点和不同点
分类计数原理
分步计数原理
相同点 用来计算“完成一件事”的方法种数
分类完成
分步完成
不同点 类类独立
步步相依
类类相加
步步相乘
练习1
给程序模块命名,需要用3个字符,首 个字符要求用字母A-G或U-Z,后两个 要求用数字1-9,问最多可以给多少 个程序命名？
练习2
集合A={1,2,-3},B={-1,2,3,4} .从A,B 中各取1个元素作为点P(x,y)的坐标,可 以得到多少个不同的点？
公主岭
动车1
动车2 动车3 动车4
长春
飞机1 飞机2
北京
问题剖析 我们要做的一件事情是什么
完成这个事情需要分几步
每步中的任一方法能否独立完成这件 事情 每步方法中分别有几种不同的方法
完成这件事情共有多少种不同的方法
公主岭到北京 2步 不能
4种 2种 4×2=8种
11
完成一件事需要n个步骤： 第1步：有m1 种不同的方法 第2步：有m2 种不同的方法
解：分3步完成： 第一步在第1层取书有4种， 第二步在第2层取书有3种， 第三步在第3层取书有2种． 根据分步乘法计数原理，
1.1两个基本计数原理
解：因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法， 所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地， 共有 3×2＝6 种不同的走法。
完成一件事，需要分 成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第 2步有m2 种不同的方法，…，做第n步时有mn 种不同的方法。那么完成这件事共有
分步计数原理
N m1 m2 mn
两个基本计数原理
问题一：从甲地到乙地，可以乘火车， 也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车 有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从 甲地到乙地共有多少种不同的走法？
解：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2 种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所 以共有 3＋2＝5 种不同的走法。
完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法， 在第2类方式中有m2种不同的方法，…，在 第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成 这件事共有：
例2、在下面两个图中，使电路接通的 不同方法各有多少种？ A
B
A
B （ 2）
（ 1）
例3、为了确保电子信箱的安全，在注册 时，通常要设置电子信箱密码。在某网站设 置的信箱中， （1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个数字，这样的密码共有多少个？ （2）密码为4位，每位均为0到9这10个数字 中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的1 个。这样的密码共有多少个？ （3）密码为4到6位，每位均为0到9这10个数 字中的一个。这样的密码共有多少个？
种不同的方法。
分步计数原理又称为乘法原理。
1、分类计数原理(加法原理)中，“完成 一件事，有n类方式”，即每种方式都可以独 立地完成这件事。进行分类时，要求各类方式 彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的 哪一种方法，都能独立完成这件事。只有满足 这个条件，才能直接用加法原理，否则不可以。 2、分步计数原理(乘法原理)中，“完成一 件事，需要分成n个步骤”，是说每个步骤都不 足以完成这件事。如果完成一件事需要分成几 个步骤，各步骤都不可缺少，需要依次完成所 有步骤才能完成这件事，而各步要求相互独立， 即相对于前一步的每一种方法，下一步有m种不 同的方法，那么完成这件事的方法数就可以直 接用 事情是“分类”还是“分步”。 例1、某班共有男生28名、女生20名， 从该班选出学生代表参加校学代会。 （1)若学校分配给该班1名代表，有多少种 不同的选法？
高二数学两个基本原理
分类计数原理 完成一件事，有n类方 式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在 第2类方式中有m2种不同的方法，…，在第 n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这 件事共有：
N m1 m2 mn
种不同的方法。
分类计数原理又称为加法原理。
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，使得收敛送终，尽其子道”夏五月，诏曰“父子之亲，夫妇之道，天性也。虽有患祸，犹蒙死而存之。诚爱结於心，仁厚之至也，岂能违之哉。自今，子首匿父母、妻匿夫、孙匿大父母，皆勿坐。其父母匿子、夫匿妻、大父母匿孙，罪殊死，皆上请廷尉以闻”立广川惠王孙文为广川王。秋七月， 大司马霍禹谋反。诏曰“乃者，东织室令史张赦使魏郡豪李竟报冠阳侯霍云谋为大逆，朕以大将军故，抑而不扬，冀其自新。今大司马博陆侯禹与母宣成侯夫人显及从昆弟冠阳侯云、乐平侯山、诸姊妹婿度辽将军范明友、长信少府邓广汉、中郎将任胜、骑都尉赵平、长安男子冯殷等谋为大逆。显前 又使女侍医淳于衍进药杀共哀后，谋毒太子，欲危宗庙。逆乱不道，咸伏其辜。诸为霍氏所诖误未发觉在吏者，皆赦除之”八月已酉，皇后霍氏废。九月，诏曰“朕惟百姓失职不赡，遣使者循行郡国问民所疾苦。吏或营私烦扰，不顾厥咎，朕甚闵之。今年郡国颇被水灾，已振贷。盐，民之食，而贾 咸贵，众庶重困。其减天下盐贾”又曰“令甲，死者不可生，刑者不可息。此先帝之所重，而吏未称。今系者或以掠辜若饑寒瘐死狱中，何用心逆人道也。朕甚痛之。其令郡国岁上系囚以掠笞若瘐死者所坐名、县、爵、里，丞相、御史课殿最以闻”十二月，清河王年有罪，废迁房陵。元康元年春， 以杜东原上为初陵，更名杜县为杜陵。徙丞相、将军、列侯、吏二千石、訾百万者杜陵。三月，诏曰“乃者凤皇集泰山、陈留，甘露降未央宫。朕未能章先帝休烈，协宁百姓，承天顺地，调序四时，获蒙嘉瑞，赐兹祉福，夙夜兢兢，靡有骄色，内省匪解，永惟罔极。《书》不云乎
高中数学 第一章 计数原理 1.1 两个基本计数原理 深刻领会两个原理素材 苏教版选修2-3
1.1 深刻领会两个原理分类计数原理与分步计数原理是关于计数的两个基本原理，它们不仅是推导排列数、组合数计算公式的依据，而且这两个原理的运用贯穿于全章学习的始终，其基本思想方法，贯穿在解全章应用问题的始终。
一、对两个原理的理解1、理解两个原理的关键在于明确分类计数原理，强调完成一件事情的几类办法互不干扰，彼此之间交集为空集，并集为全集，不论哪一类办法中的哪一种方法都能单独完成事件；分步计数原理强调各步骤缺一不可，需要依次完成所有步骤才能完成事件，步与步之间互不影响，即前一步用什么方法不影响后一步采取什么方法。
两个原理的共同点是把一个原始事件分解成若干个分事件来完成。
2、使用分类计数原理还是分步计数原理要根据我们完成某件事情时采取的方式而定，分类来完成这件事情时用分类计数原理，分步骤来完成这件事情时用分步计数原理。
在具体运用环境中去理解应用分类计数原理和分步计数原理的关键是分清“类”和“步”。
用分类计数原理的关键在于恰当分类，分类时要做到“不重不漏”，各类的每一种方法都能独立完成；应用分步计数原理的关键在于分步，分步时必须做到“不重叠不跳步”，各步均是完成事件必须经由的缺一不可的步骤。
3、正确理解分类和分步：“分类”指做“一件事情，完成它可以有n类办法”，这是对完成这件事的所有办法的一个分类。
分类时首先要根据问题的特点确定一个适合于它的分类标准，然后在这个标准上进行分类；其次，分类时要注意满足两条基本原则：①完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类；②分别属于不同两肋的两种方法是不同的方法。
“分步”指“做一件事，完成它需要分成n个步骤”，这是说完成这件事情的任何一种方法，都要分成n个步骤。
分步时，首先要根据问题的特点，确定一个可行的分步标准；其次，步骤的设置要满足完成这件事情必须并且只需连续完成这n个步骤后，这件事才算最终完成。
4、分类分步计数原理是本章知识的起点，又是重点。
分类分步计数原理是处理问题的基本手段。
两个基本计数原理教案
两个基本计数原理教案第一章：概述1.1 计数原理的定义解释计数原理的概念和重要性强调计数原理在数学和实际生活中的应用1.2 两个基本计数原理介绍两个基本计数原理：排列原理和组合原理解释排列原理：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列方式的个数解释组合原理：从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组合方式的个数第二章：排列原理2.1 排列原理的公式介绍排列公式：P(n, m) = n! / (n-m)!解释排列公式的含义和推导过程2.2 排列原理的应用举例说明排列原理在实际问题中的应用练习题：根据给定的问题，运用排列原理计算不同的排列方式个数第三章：组合原理3.1 组合原理的公式介绍组合公式：C(n, m) = n! / [m! (n-m)!]解释组合公式的含义和推导过程3.2 组合原理的应用举例说明组合原理在实际问题中的应用练习题：根据给定的问题，运用组合原理计算不同的组合方式个数第四章：排列与组合的综合应用4.1 排列与组合的区别与联系解释排列与组合的概念及其区别强调排列与组合在解决实际问题中的综合应用4.2 综合应用举例举例说明排列与组合在实际问题中的综合应用练习题：根据给定的问题，运用排列与组合原理计算不同的方式个数第五章：练习与拓展5.1 练习题提供一系列练习题，巩固排列与组合原理的应用鼓励学生自主思考，提高解题能力5.2 拓展与应用探讨排列与组合原理在其他领域的应用鼓励学生发现生活中的数学问题，运用排列与组合原理解决第六章：排列与组合在概率论中的应用6.1 排列与组合在概率计算中的作用解释排列与组合在概率计算中的重要性介绍排列与组合在计算事件概率时的应用6.2 具体案例分析通过具体案例，展示排列与组合在概率计算中的应用练习题：根据给定的概率问题，运用排列与组合原理进行计算第七章：排列与组合在日常生活中的应用7.1 排列与组合在日常生活中的实例探讨排列与组合原理在日常生活中的应用实例强调排列与组合原理在解决实际问题中的重要性7.2 练习题提供一系列与日常生活相关的练习题，运用排列与组合原理进行解答鼓励学生自主思考，提高解决实际问题的能力第八章：排列与组合在算法与编程中的应用解释排列与组合在算法与编程中的应用介绍排列与组合在解决算法与编程问题时的作用第八章：排列与组合在算法与编程中的应用8.1 排列与组合在算法中的应用解释排列与组合在算法中的重要性介绍排列与组合在算法设计中的应用实例8.2 排列与组合在编程语言中的应用探讨排列与组合在编程语言中的应用实例强调排列与组合在编程问题解决中的重要性第九章：排列与组合在数学竞赛中的应用9.1 排列与组合在数学竞赛中的题目特点分析数学竞赛中排列与组合题目的特点解释排列与组合在数学竞赛中的重要性9.2 练习题提供一系列数学竞赛中的排列与组合题目，进行练习鼓励学生自主思考，提高解决竞赛题目的能力第十章：总结与提高10.1 排列与组合原理的总结回顾本教案的主要内容，总结排列与组合原理的重要性和应用强调排列与组合原理在数学和实际生活中的重要性10.2 提高题与研究性学习提供一系列提高题，鼓励学生深入研究排列与组合原理鼓励学生开展研究性学习，探索排列与组合原理在其他领域的应用重点和难点解析六、排列与组合在概率论中的应用重点：排列与组合在概率计算中的作用，具体案例分析难点：理解排列与组合在概率计算中的应用，以及如何将实际问题转化为概率问题七、排列与组合在日常生活中的应用重点：排列与组合在日常生活中的实例，练习题难点：将抽象的排列与组合原理应用到具体的生活情境中，提高解决实际问题的能力八、排列与组合在算法与编程中的应用重点：排列与组合在算法与编程中的应用，练习题难点：理解算法与编程中排列与组合的概念，以及在实际编程中应用这些概念九、排列与组合在数学竞赛中的应用重点：排列与组合在数学竞赛中的题目特点，练习题难点：解决数学竞赛中的排列与组合问题，需要学生具备较高的逻辑思维和解题能力十、总结与提高重点：排列与组合原理的总结，提高题与研究性学习难点：巩固所学知识，进一步探索排列与组合原理在其他领域的应用全文总结与概括：本教案主要介绍了排列与组合两个基本计数原理，通过讲解排列与组合的概念、公式及其在概率论、日常生活、算法与编程、数学竞赛等领域的应用，使学生能够理解并掌握这两个基本计数原理。
计数原理笔记整理
计数原理笔记整理1. 引言计数原理是数字电路中的基本原理，它描述了数字信号的计数方式和原理。
在数字系统中，计数器是一种常用的电子元件，用于对事件进行计数。
本文将对计数原理进行整理和总结，包括计数器的基本概念、计数器类型、计数器的设计方法等内容。
2. 计数器的基本概念计数器是一种能够根据输入的时钟脉冲信号对事件进行计数的电子元件。
计数器通常由锁存器和触发器组成，其中锁存器用于存储计数器的当前值，触发器则负责进行状态转换。
计数器的工作原理是根据输入的时钟脉冲信号，在每个时钟周期内，计数器的值加一。
3. 计数器的类型计数器可以分为同步计数器和异步计数器两种类型。
3.1 同步计数器同步计数器是指计数器的各个触发器在同一个时钟脉冲信号的控制下，同时进行状态转换。
同步计数器的设计中，所有触发器的时钟输入都连接到同一时钟信号。
同步计数器通常具有较高的稳定性和可靠性。
3.2 异步计数器异步计数器是指计数器的各个触发器在不同的时钟脉冲信号的控制下，分别进行状态转换。
异步计数器的设计中，各个触发器之间没有直接的耦合关系，它们的时钟信号可以是不同的。
异步计数器相比同步计数器，具有较简单的电路结构。
4. 计数器的设计方法计数器的设计方法根据计数器的位数和计数模式的不同，可以采用不同的设计方法。
以下列举了常见的计数器设计方法。
4.1 二进制计数器二进制计数器是最简单的计数器类型，它的计数范围是0到2^n-1 (n为计数器的位数)。
二进制计数器的设计中，每个触发器的输出信号与前一个触发器的时钟信号连接，形成级联。
4.2 二进制同步计数器二进制同步计数器是一种常见的计数器类型，它的计数模式是按照顺序进行的。
在二进制同步计数器中，每个触发器的输出信号都与前一个触发器的时钟信号连接，同时还与所有其他触发器的输出信号进行与门操作，从而实现了计数模式的控制。
4.3 其他计数器类型除了二进制计数器和二进制同步计数器，还有很多其他的计数器类型，如BCD计数器、循环计数器、分频计数器等。
专题47 两个基本计数原理知识点
1．两个计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理条件完成一件事有两类方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法结论完成这件事共有N m n=+种不同的方法完成这件事共有N m n=⨯种不同的方法【注意】区分分类与分步的依据在于“一次性”完成．若能“一次性”完成，则不需分步，只需分类；否则就分步处理．2．两个计数原理的区别与联系原理分类加法计数原理分步乘法计数原理联系两个计数原理都是对完成一件事的方法种数而言区别一每类办法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，缺少任何一步也不可，只有各步骤都完成了才能完成这件事区别二各类办法之间是互斥的、并列的、独立的各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏1．设某班有男生30名，女生24名．现要从中选出男、女生各一名代表班级参加比赛，则不同的选法共有A．24种B．30种C．54种D．720种2．在填写高考志愿时，一名高中毕业生了解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的强项专业，具体情况如下表所示：A大学B大学生物学数学化学会计学医学信息技术学物理学法学工程学如果这名同学只能选择一个专业，则这名同学可能的专业选择有A．4种B．5种C．9种D．20种3．某艺术小组有9人，每人至少会钢琴和小号中的一种乐器，其中7人会钢琴，3人会小号，从中选出会钢琴和会小号的各1人，则不同的选法有A．8种B．12种C．16种D．20种4．某商店现有甲种型号电视机10台，乙种型号电视机8台，丙种型号电视机12台，从这三种型号的电视机中各选一台检验，则不同的选法有A．30种B．80种C．96种D．960种5．某公共汽车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有A．510种B．105种C．50种D．以上都不对6．(2013年高考山东卷)用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为A．243 B．252C．261 D．279。
第1章 1.1 两个基本计数原理
1.1 两个基本计数原理1．掌握分类计数原理与分步计数原理．(重点)2．会用两个基本计数原理解决一些简单的应用问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 分类计数原理阅读教材P5～P6“例1”以上部分，完成下列问题．如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法，……在第n类方式中有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分类计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．( )(2)在分类计数原理中，每类方案中的方法都能完成这件事．( )(3)从甲地到乙地有两类交通方式：坐飞机和乘轮船，其中飞机每天有3班，轮船有4班．若李先生从甲地去乙地，则不同的交通方式共有7种．( )(4)某校高一年级共8个班，高二年级共6个班，从中选一个班级担任星期一早晨升旗任务，安排方法共有14种．( )【解析】 (1)× 在分类计数原理中，分类标准是统一的，两类不同方案中的方法是不能相同的．(2)√ 在分类计数原理中，是把能完成这件事的所有方法按某一标准分类的，故每类方案中的每种方法都能完成这些事．(3)√ 由分类计数原理，从甲地去乙地共3＋4＝7(种)不同的交通方式．(4)√ 根据分类计数原理，担任星期一早晨升旗任务可以是高一年级，也可以是高二年级，因此安排方法共有8＋6＝14(种)．【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)√教材整理2 分步计数原理阅读教材P5～P6“例1”以上部分，完成下列问题．如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在分步计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．( )(2)在分步计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．( )(3)已知x∈{2,3,7}，y∈{－3，－4,8}，则x·y可表示不同的值的个数为9个．( )(4)在一次运动会上有四项比赛，冠军在甲、乙、丙三人中产生，那么不同的夺冠情况共有43种．( )【解析】 (1)√ 因为在分步计数原理中的每一步都有多种方法，而每种方法各不相同．(2)× 因为在分步计数原理中，要完成某件事需分几个步骤，而每步都不能完成这件事，只有各步都完成了，这件事才算完成．(3)√ 因为x从集合{2,3,7}中任取一个值共有3个不同的值，y从集合{－3，－4,8}中任取一个值共有3个不同的值，故x·y可表示3×3＝9个不同的值．(4)× 因为每个项目中的冠军都有3种可能的情况，根据分步计数原理共有34种不同的夺冠情况．【答案】 (1)√ (2)× (3)√ (4)×[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑： [小组合作型]分类计数原理 (1)从高三年级的四个班中共抽出22人，其中一、二、三、四班分别为4人，5人，6人，7人，他们自愿组成数学课外小组，选其中一人为组长，有多少种不同的选法？(2)在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？【精彩点拨】 (1)按所选组长来自不同年级为分类标准．(2)按个位(或十位)取0～9不同的数字进行分类．【自主解答】 (1)分四类：从一班中选一人，有4种选法；从二班中选一人，有5种选法；从三班中选一人，有6种选法；从四班中选一人，有7种选法．共有不同选法N＝4＋5＋6＋7＝22种．(2)法一 按十位上的数字分别是1,2,3,4,5,6,7,8的情况分成8类，在每一类中满足题目条件的两位数分别是8个，7个，6个，5个，4个，3个，2个，1个．由分类计数原理知，符合题意的两位数共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(个)．法二 按个位上的数字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8类，在每一类中满足条件的两位数分别是1个，2个，3个，4个，5个，6个，7个，8个，所以按分类计数原理知，满足条件的两位数共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(个)．1．应用分类计数原理解题的策略(1)标准明确：明确分类标准，依次确定完成这件事的各类方法．(2)不重不漏：完成这件事的各类方法必须满足不能重复，又不能遗漏．(3)方法独立：确定的每一类方法必须能独立地完成这件事．2．利用分类计数原理解题的一般思路[再练一题]1．(1)某学生去书店，发现2本好书，决定至少买其中一本，则购买方式共有________种．(2)有三个袋子，分别装有不同编号的红色小球6个，白色小球5个，黄色小球4个．若从三个袋子中任取1个小球，有________种不同的取法．【解析】 (1)分两类：买1本或买2本书，各类购买方式依次有2种、1种，故购买方式共有2＋1＝3种．(2)有3类不同方案：第1类，从第1个袋子中任取1个红色小球，有6种不同的取法；第2类，从第2个袋子中任取1个白色小球，有5种不同的取法；第3类，从第3个袋子中任取1个黄色小球，有4种不同的取法．其中，从这三个袋子的任意一个袋子中取1个小球都能独立地完成“任取1个小球”这件事，根据分类计数原理，不同的取法共有6＋5＋4＝15种．【答案】 (1)3 (2)15分步计数原理 一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共十个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数的号码(各位上的数字允许重复)?【精彩点拨】 根据题意，必须依次在每个拨号盘上拨号，全部拨号完毕后，才拨出一个四位数号码，所以应用分步计数原理．【自主解答】 按从左到右的顺序拨号可以分四步完成：第一步，有10种拨号方式，所以m1＝10；第二步，有10种拨号方式，所以m2＝10；第三步，有10种拨号方式，所以m3＝10；第四步，有10种拨号方式，所以m4＝10.根据分步计数原理，共可以组成N＝10×10×10×10＝10 000个四位数的号码．1．应用分步计数原理时，完成这件事情要分几个步骤，只有每个步骤都完成了，才算完成这件事情，每个步骤缺一不可．2．利用分步计数原理解题的一般思路(1)分步：将完成这件事的过程分成若干步；(2)计数：求出每一步中的方法数；(3)结论：将每一步中的方法数相乘得最终结果．[再练一题]2．张涛大学毕业参加工作后，把每月工资中结余的钱分为两部分，其中一部分用来定期储蓄，另一部分用来购买国债．人民币储蓄可以从一年期、二年期两种中选择一种，购买国债则可以从一年期、二年期和三年期中选择一种．问：张涛共有多少种不同的理财方式？【解】 由题意知，张涛要完成理财目标应分步完成．第1步，将一部分钱用来定期储蓄，从一年期和二年期中任意选择一种理财方式；第2步，用另一部分钱购买国债，从一年期、二年期和三年期三种国债中任意选择一种理财方式．由分步计数原理，得2×3＝6种．[探究共研型]两个计数原理的辨析探究1汤的套餐，试问要“完成的这件事”指的是什么？若配成“一荤一素”是否“完成了这件事”？【提示】 “完成这件事”是指从6种荤菜中选出一种，再从5种素菜中选出一种，最后从3种汤中选出一种，这时这件事才算完成．而只选出“一荤一素”不能算“完成这件事”．探究2 在探究1中，要“完成配成套餐”这件事需分类，还是分步？为什么？【提示】 要配成一荤一素一汤的套餐，需分步完成．只配荤菜、素菜、汤中的一种或两种都不能达到“一荤一素一汤”的要求，即都不能完成“配套餐”这件事．探究3 在探究1中若要配成“一素一汤套餐”试问可配成多少种不同的套餐？你能分别用分类计数原理和分步计数原理求解吗？你能说明分类计数原理与分步计数原理的主要区别吗？【提示】 5种素菜分别记为A，B，C，D，E.3种汤分别记为a，b，c.利用分类计数原理求解：以选用5种不同的素菜分类：选素菜A时，汤有3种选法；选素菜B时，汤有3种选法；选素菜C时，汤有3种选法；选素菜D时，汤有3种选法；选素菜E时，汤有3种选法．故由加法计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有3＋3＋3＋3＋3＝15(种)不同的套餐．利用分步计数原理求解：第一步：从5种素菜中，任选一种共5种不同的选法；第二步：从3种汤中，任选一种共3种不同的选法．由分步计数原理，配成“一素一汤”的套餐共有5×3＝15(种)不同套餐．两个计数原理的主要区别在于分类计数原理是将一件事分类完成，每类中的每种方法都能完成这件事，而分步计数原理是将一件事分步完成，每步中的每种方法都不能完成这件事． 有A，B，C型高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4个操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型电脑，而丁只会操作A型电脑．从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有多少种？【精彩点拨】 从这4个操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，首先将问题分类，可分为4类，然后每一类再分步完成．即解答本题可“先分类，后分步”．【自主解答】 第1类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型电脑，分2步安排这3人操作电脑，有2×2＝4种方法；第2类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型电脑，这时安排3人操作电脑，有2种方法；第3类，选甲、丙、丁3人，这时安排3人操作电脑只有1种方法；第4类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种方法．根据分类计数原理，共有4＋2＋1＋1＝8种选派方法．1．能用分步计数原理解决的问题具有如下特点：(1)完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可；(2)完成每一步有若干种方法；(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数．2．利用分步计数原理应注意：(1)要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的．(2)“步”与“步”之间是连续的、不间断的、缺一不可的，但也不能重复、交叉．(3)若完成某件事情需n步，则必须依次完成这n个步骤后，这件事情才算完成．[再练一题]3．一个袋子里有10张不同的中国移动手机卡，另一个袋子里有12张不同的中国联通手机卡．(1)某人要从两个袋子中任取一张自己使用的手机卡，共有多少种不同的取法？(2)某人手机是双卡双待机，想得到一张移动和一张联通卡供自己使用，问一共有多少种不同的取法？【解】 (1)第一类：从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二类：从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分类计数原理，共有10＋12＝22种取法．(2)第一步，从第一个袋子取一张移动卡，共有10种取法；第二步，从第二个袋子取一张联通卡，共有12种取法．根据分步计数原理，共有10×12＝120种取法．[构建·体系]1．一项工作可以用2种方法完成，有3人会用第1种方法完成，另外5人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法有________种．【解析】 由分类计数原理知，有3＋5＝8种不同的选法．【答案】 82．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则监考的方法有________种. 【导学号：29440000】【解析】 分四步完成：第一步：第1位教师有3种选法；第二步：由第一步教师监考班的数学老师有3种选法；第二步：第3位教师有1种选法；第四步：第4位教师有1种选法．共有3×3×1×1＝9种监考的方法．【答案】 93．3名学生报名参加艺术体操、美术、计算机、游泳课外兴趣小组，每人选报一种，则不同的报名种数有______种．【解析】 第1名学生有4种选报方法；第2,3名学生也各有4种选报方法，因此，根据分步计数原理，不同的报名种数有4×4×4＝64.【答案】 644．某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成．如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有________种．(用数字作答)【解析】 分两类，第一棒是丙有1×2×4×3×2×1＝48(种)；第一棒是甲、乙中一人有2×1×4×3×2×1＝48(种)．根据分类计数原理得，共有方案48＋48＝96(种)．【答案】 965．某公园休息处东面有8个空闲的凳子，西面有6个空闲的凳子，小明与爸爸来这里休息．(1)若小明爸爸任选一个凳子坐下(小明不坐)，有几种坐法？(2)若小明与爸爸分别就坐，有多少种坐法？【解】 (1)小明爸爸选凳子可以分两类：第一类：选东面的空闲凳子，有8种坐法；第二类：选西面的空闲凳子，有6种坐法．根据分类计数原理，小明爸爸共有8＋6＝14(种)坐法．(2)小明与爸爸分别就坐，可以分两步完成：第一步，小明先就坐，从东西面共8＋6＝14(个)凳子中选一个坐下，共有14种坐法；(小明坐下后，空闲凳子数变成13)第二步，小明爸爸再就坐，从东西面共13个空闲凳子中选一个坐下，共13种坐法．由分步计数原理，小明与爸爸分别就坐共有14×13＝182(种)坐法．我还有这些不足：(1) (2) 我的课下提升方案：(1) (2) 。
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姜堰
千岛湖
1．1两个基本计数原理（一）
一、教学目标
1．通过实例，总结出分类计数原理、分步计数原理；
2．了解分类、分步的特征，合理分类、分布；
3．体会计数原理的基本原则：不重复，不遗漏．
二、教学重点：
1．分类计数原理与分步计数原理的区别与联系；
2．如何选用分类计数原理与分步计数原理．
三、教学难点
1．准确理解分类计数原理与分步计数原理；
2．初步运用分类计数原理与分步计数原理解决简单的实际问题．
四、教学过程
1．问题情境一：五一期间，某家庭自助旅游，欲从姜堰去千岛湖（浙江淳安县），一天中有火车3班，有汽车2班，那么一天中乘坐这些交通工具从姜堰到千岛湖有多少种不同的走法？
思考：假使一天中还有航班1次，轮船
2次，那么从姜堰到千岛湖有多
少种不同的方法？
2．由情境一，你能归纳猜想出一般结论吗？
分类计数原理（加法原理）：完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2中不同的方法，…，在第n类方式中有m n中不同的方法，那么完成这件事共有
N = m1 + m2 +…+ m n
种不同的方法．
要点分析：
（1）分类；
（2）相互独立；
（3）N = m1 + m2 +…+ m n（各类方法之和）．
Ⅰ
Ⅱ
3．问题情境二：后来听说衢州（浙江省西部）是中国著名影视明星周迅的故乡，有被誉为“世界第九大奇迹”的龙游石窟，于是改变行程，先乘火车从姜堰到衢州，再乘汽车从衢州到千岛湖，一天中火车有3班，汽车有2班，那么从姜堰到千岛湖有多少种不同的走法？（不考虑时间因素）
4．由情境二，你能归纳猜想出一般结论吗？
分步计数原理（乘法原理）：完成一
件事，需要分成n 个步骤，做第1步有
m 1种不同的方法，做第2步有m 2种不同的方法，…，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事共有
N = m 1 × m 2 × … × m n
种不同的方法．
要点分析：
（1）分步；
（2）每步缺一不可，依次完成；
（3）N = m 1 × m 2 × … × m n （各步方法之积）．
5．数学运用
（课本P6页例2）（1）在图Ⅰ的电路中，只合上一只开关以接通电路，有多少种不同
的方法？（2）在图Ⅱ的电路中，合上两只开关以接通电路，有多少种不同的方法？
江 苏 省 姜 堰 中 学 备 课 用 纸 总结，提升：
变式训练：如下图，从A到B共有多少条不同的线路可通电？（每条线路仅含一条通道）
（补充）现有高一年级的学生4名，高二年级的学生5名，高三年级的学生3名．（1）从中任选一人参加夏令营，有种不同的选法？
（2）从每个年级的学生中各选一人参加夏令营，有种不同的选法？
变式训练：从不同年级中选两名学生参加夏令营，一共有多少种不同的选法？
（课本P7页例3）为了确保电子信箱的安全，在注册时，通常要设置电子信箱密码．在某网站设置的信箱中，
（1）密码为4位，每位均为0到9这10个数字中的一个数字，这样的密码共有多少个？
（2）密码为4位，每位是0到9这10个数字中的一个，或是从A到Z这26个英文字母中的一个．这样的密码共有多少个？
（3）密码为4～6位，每位均为0到9这10个数字中的一个．这样的密码共有多少个？
变式训练：若在登陆某网站时弹出一个4位的验证码：XXXX（如2a8t），第一位和第三位为0到9中的数字，第二位和第四位为a到z这26个英文字母中的一
个，则这样的验证码最多有个？
江苏省姜堰中学备课用纸
6．随堂练习
（1）书架的上层放有4本不同的英语书，中层放有5本不同的语文书，下层放有6本不同的数学书，从中任取1本书的不同取法的种数是．
（2）在上题中，如果从中任取3本，英语、语文、数学各1本，则不同的取法的种数是．
（3）（课本P8页例4）用4种不同颜色给下图所示的地图上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有多少种不同的涂法？
7．课堂小结
弄清两个原理的区别与联系，是正确使用这两个原理的前提与条件．
这两个原理都是指完成一件事，区别在于：
（1）分类计数原理（加法原理）是“分类”，每类办法中的每一种方法都能独立完成一件事；
（2）分步计数原理（乘法原理）是“分步”，每种方法都只能做这件事的一步，不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成才算完成这件事！
8．布置作业。