第二章 光波场的描述(1)

e
it
它表示沿z轴正方向 传播的平面简谐波
时间相位因子，代表由 时间所决定的相位变化
采用复指数函数的波函数中，时间相位因子和 空间相位因子完全分开，在讨论简谐波场中同一时 刻各点的空间分布时，时间因子 e i t总是相的，常 ~( z ) 可略去不写，剩下不含时间的空间分布相因子 叫做复振幅 ( z ) Aei ( kz 0 ) 复振幅
( P , t ) A cos[ (t kr0 0 )]
若用复指数函数形式表示，则其复振幅为
复振幅
( P) Ae
i ( k r 0 )
若传播方向的方向余弦为(cos， cos， cos)，则 k k x e x k y e y kz e z k cos e x k cos e y k cos ez k 的三个分量为： kx k cos , k y k cos , kz k cos k r kx x k y y kz z
的整数倍的两点具有 z ψ ( z , t ) A cos[ ω( t ) φ0 ] 相同的振动状态。 1/称为空间频率， V 它表示传播方向上单 t z ( z , t ) A cos[2 ( ) 0 ] 位长度内的波长数。 T 波的相位，它是余弦函数 ( z , t ) A cos(t kz 0 ) 的整个自变量。相位决定 波数或空间圆频率， 它表示沿传播方向 2长度内的波长数。 振动状态，相位恒定则振 动状态也一定，在波动过 程中，振动状态的传播就 是恒定相位状态的传播。
x 2 y2 x 2 y2 ( x 2 y2 )2 r z 1 [z ] 2 3 2z z 8z
rz
a ikr ~ (P) e r
x 2 y2 rz 2z
在傍轴条件下，发散球面波在xy平面上的复振幅
欧拉公式： cos
e
i
e 2
i
, sin
e
i
e 2i
i
1.2 三维平面简谐波
设一列波长为 的平 面简谐波沿矢量 k 的方 向传播，k 称为波矢量， P0 其大小等于波沿 k 方向 r0 P 的空间圆频率 ( 波数 ) 。 o r k k 2 / y z 该波的波面是垂直于波 矢 k 的平面，如图所示。 设相邻两波面的距离为波长，某波面上有一点 P0，其矢径为 r0，且 r0与 k同方向，则其波函数为
振幅 园（角）频率
2 且 2 T
简谐振动在t 时刻的相位， 它描写t 时刻振动的状态 初相位，即 t = 0 时刻的 相位，它描 写t = 0时刻 的振动状态
简谐振动表达式 ( t ) A cos(t 0 )
波的基本概念
波动是振动的传播过程，被传播的是一个分 布在某一空间范围的物理量，而这个量又是随时 间变化的。所以一个波动过程也称为一个波场， 波场中各点的振动之间存在着相互关联性。波动 的特点是它具有时空周期性。
波函数：描述波动过程中被传播的物理量随空间 r 位置 和时间 t 而变化的函数关系式 (r , t ) 。
1.1 一维平面简谐波 简谐波 — 简谐振动的传播。 平面简谐波 — 波面是平面的简谐波 。 （1）平面简谐波的波函数 设一维平面简谐波以速度 V 沿 z 轴正方向传 播，则其波函数： 波长，相隔为波长
a i[( kr (r, t ) e r
振源到场点P的距离
到振源为单位距 离的场点的振幅
0
) t ]
A( P )e i ( kr ) e it
0
A(P)=a/r是P点的振幅
在光学中，波场中的任一曲面或平面称为波前， 而实验和应用中大多数是在平面上观察波的分布， 所以现在讨论球面波在x–y平面上的表示方法。
复振幅描述了波场的振幅和它的相对空间相 位分布，也称为波场分布。其共轭复数为： i ( kz ) ~ 复振幅的共轭复数 ( z ) Ae
0
光波强度可用下式求得 ~ ( z ) ~ ( z ) Ae i ( kz ) Ae i ( kz
0
0
)
A2
1 1 1 , y , z 空间周期 x f x cos f y cos f z cos
空间周期和空间频率的物理意义 例：沿平面上 k 方向传播的平面简谐波的波长为， 就是沿 k方向的空间周期，即相位相差2的波面 的间隔。显然，波面随空间的分布与考察的方向有 关。在 k 方向相距为的两个波面在x方向的距离为 x / cos ，同样，这两个波面在y轴上的截距为 y / cos ，x和y 分别表示在x y v 方向和y方向具有相同振动相位的 k 两相邻点之间的距离， 它就是沿x y 轴和y轴方向的空间周期， 而它们 的倒数就是相应的空间频率。它 O 们分别表示沿x轴和y轴方向每增 x x 加单位长度，简谐波场增加的周期数。
球面波的点源
P0到P的距离
P0
r
z

y
(x , y )
P

场点
x
o
设0=0，则在 xy平面上波的复 振幅为 a ikr ~ (P) e r
xy平面到P0的距离
式中 r z 2 x 2 y2
当xy平面远离P0点时，常考虑两种近似条件 (1) 傍轴近似，满足条件：x2 + y2 << z2
Ae 此式表明，一组空间频率(fx，fy，fz)对应于一 定方向传播的单色平面波。不同的空间频率分量组， 对应于不同方向传播的单色平面波。
i[ 2 ( f x x f y y f z z ) 0 ]
此波在直角坐标系中三个坐标轴方向的空间周 期，空间频率，空间圆频率列表如下
空间周期 空间频率 空间圆频率
k 方向
x方向

x / cos
k 2 / 2f f 1/ f x cos / kx 2 / x 2f x
f y cos / k y 2 / y 2f y
fz cos /
kz 2 / z 2fz k 空间频率矢量 f 2
i 2π ( f x x + f y y+ fz z )
从上式可知，平面简谐波具有两个特点： ① 振幅A是常量，它与场点P的坐标无关。 ② 相位的空间分布是直角坐标的线性函数。
上式中的fx、fy、fz分别称为x、y、z方向的 cos cos cos , fy , fz 空间频率 f x
k cos x k cos y k cos z cos cos cos 2 ( x y z)



i(k ~ ψ ( P ) = Ae
x
x + k y y + k z z + φ0 )
= Ae
= Ae
iφ0
iφ0
e
e
i 2π (
cos α cos β cos γ x+ y+ z) λ λ λ
y方向 y / cos
z方向
z / cos
且 f
f x2 f y2 fz2
k 也叫空间圆频率矢量
例2.1一列平面波的传播方向平行于xz平面，与z轴 成倾角，写出它在z = 0面上的复振幅分布。 解：kx k sin , k y 0, kz k cos 设0=0，则

f k

=2 v
（3）平面简谐波的复指数函数形式 为了运算方便，可把平面简谐波的波函数写 成复指数函数形式 0 = 0 ) A cos[(t kz 0 )] ( z, t ) Acos(t kz 0
( z, t ) Re[ Ae
i ( t kz 0 )
x
k
( P0 , t ) A cos[(t kr0 0 )]
式中r0为O至P0的距离
现考察在某一时刻，同
x
一波面上任一点P(x, y, z)的
振动，因P与P0处于同一波 面，故P与P0点振动相同， 则P点的波函数取为：
o
k
r0
P0

y
P r
z
k 设O至P的矢径为 r ，则有 r0 r 代入上式得： k 波函数在P点的值 ( P , t ) Acos[(t k r 0 )]
]
可见，复指数函数形式的波函数的实部就是 波函数，为简单起见，在书写时可省略表示实数 部分的符号Re，而将波函数写成：
( z , t ) Ae ~ ( z ) e it
复振幅，描写t 时刻空间各点的 振幅和相位分布
i ( t kz 0 )
Ae
i ( kz 0 )
(z , t)= t – kz + 0 = 常量
色散： 在介质中，相速随波长(频率)变化的现象。
下表列出了描述时间周期性物理量和空间周
期性物理量之间的对应关系。
时间周期性物理量 符号 T v 名称 周期 频率 圆频率 备注 时间周期 v =1/T 符号 空间周期性物理量 名称 波长 空间频率 波数 备注 空间周期 f =1/ k =2 f
（2）平面简谐波的相速 如果跟踪某一振动状态，则它在不同时刻 t出 现于不同地点 z 时应满足：
dz ω 两边取全微分 dt kdz 0 dt k 某一振动状态或恒定相位状态沿z轴传播的速度称为 dz 相速 V p dt k T 在平面简谐波中，相速也就是 波函数表达式中的波的传播速度， V T p 通常称为波速。波动的时间周期性 和空间周期性通过相速Vp相联系。