武汉邦德艺考教育2013年高考数学复习资料(九)
2013年高考数学最后冲刺基础公式记忆六、立体几何文（最终版）
2013年高考数学最后冲刺基础公式记忆六、立体几何文（最终版）第一篇：2013年高考数学最后冲刺基础公式记忆六、立体几何文（最终版）六、立体几何39、证明直线与直线平行的方法（1）三角形中位线（2）平行四边形（一组对边平行且相等）40、证明直线与平面平行的方法（1）直线与平面平行的判定定理（证平面外一条直线与平面内的一条直线平行）（2）先证面面平行41、证明平面与平面平行的方法平面与平面平行的判定定理（一个平面内的两条相交直线分别与另一平面平行）．．．．42、证明直线与直线垂直的方法转化为证明直线与平面垂直43、证明直线与平面垂直的方法（1）直线与平面垂直的判定定理（直线与平面内两条相交直线垂直）．．．．（2）平面与平面垂直的性质定理（两个平面垂直，一个平面内垂直交线的直线垂直另一个平面）44、证明平面与平面垂直的方法平面与平面垂直的判定定理（一个平面内有一条直线与另一个平面垂直）45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式圆柱侧面积=2πrl，表面积=2πrl+2πr圆椎侧面积=πrl，表面积=πrl+πr 221V柱体=Sh（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.31V锥体=Sh（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.3432球的半径是R，则其体积V=πR,其表面积S=4πR． 346、异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角的平面角的定义及计算47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。
正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。
第二篇：高考数学最后冲刺大题高考数学最后冲刺大题汇编（高分必备）1.三角函数（1）求值：主要考角的变换（配角，二倍角正逆两用，齐次式，角度相对性）（2）图像性质：降幂公式、辅助角公式、五点作图（方法）、四大性质、有范围的值域问题（3）正余弦定理：正余弦定理、面积公式（俩公式）、向量数量积、测量航海等实际应用问题（4）与二次函数、斜率、圆、椭圆参数方程相关的最值问题2.概率统计（1）几何概型：分清数轴和线性规划（坐标系）、积分（两种问题）有关问题（2）条件概率：根据条件叙述判断得到（3）古典概型（4）二项分布3.立体几何（1）线面平行垂直位置关系、空间角（2）体积、面积、三视图、斜二侧画法4.导数（1）两种切线问题：已知是切点；不是切点（2）两种单调性问题：求单调区间；已知单调性（3）与之相关的不等式证明、零点个数问题5.数列,n=1⎧S1（1）an=⎨相关思想 S-S,n≥2n-1⎩n（2）累加、累乘、错位相减、列项相消（3）数学归纳法（4）二项式定理（5）递推、同除、凑配等方法（6）等差等比数列相关公式（7）分段数列（8）函数相关6.解析几何（1）求轨迹：直接、转代、参数（2）几何性质（3）与判别式、韦达定理、面积、中点、弦长、最值（本身隐含，函数，均值）直线设法相关的问题第三篇：高考数学专题复习专题七立体几何教案文专题七立体几何自查网络核心背记一、空间几何体的结构特征（一）多面体1．棱柱可以看成是一个多边形（包含图形所围成的平面部分）上各点都沿同一个方向移动____所形成的几何体．2．主要结构特征：棱柱有两个面互相平行，而其余的交线都互相平行，其余的这些面都是四边形．3．侧棱和底面____的棱柱叫做直棱柱，底面为的直棱柱叫做正棱柱．4．有一个面是多边形，而其余各面都的三角形的多面体叫做棱锥．5．如果棱锥的底面是一，它的顶点又在过且与底面垂直的直线上，则这个棱锥叫做正棱锥，正棱锥各侧面都是一的等腰三角形，这些等腰三角形____都相等，叫做棱锥的斜高．6.棱锥被一的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．一——7.由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台各侧面都是全等的等腰梯形，这些一叫做棱台的斜高．正棱台中两底面中心连线，相应的边心距和．组成一个直角梯形；两底面中心连线，和两底面相应的外接圆半径组成一个直角梯形．（二）旋转体1．分别以一、直角梯形中——、——____所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台．旋转轴叫做所围成的几何体的轴；在轴上的这条边叫做这个几何体的高；垂直于轴的边旋转而成的叫做这个几何体的底面；不垂直于轴的边旋转而成的叫做这个几何体的侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线，’ 2．-个半圆绕着____所在的直线旋转一周所形成的曲面叫球面，球面所围成的几何体称为 1球．球面也可以看做空间中到一个定点的距离等于定长的点的集合．3．球的截面性质：球的截面是；球心和截面（不过球心）圆心的连线于截面；设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面圆的距离d就是球心0到截面圆心0i的距离，它们的关系是一．4．球的大圆、小圆：球面被的平面截得的圆叫做球的大圆；球面被的平面截得的圆叫做球的小圆．（三）投影1．当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有如下性质：①直线或线段的平行投影是____；②平行直线的平行投影是；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段；④与投射面平行的平面图形，它的投影与这个图形；⑤在同一直线或平行线上，两条线段的平行投影的比等于____． 2.-个．把一个图形照射在一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．空间图形经过中心投影后，直线还是直线，但是平行线可能变成____．3．在物体的平行投影中，如果投射线与投射面____，则称这样的平行投影为正投影．4．除了平行投影的性质正投影还具备如下性质：直于投射面的直线或线段的正投影是．②于投射霹的平面图形的正投影是（四）斜二测画法与三视图1．斜二测画法的作图规则可以简记为：水平方向方向长度竖直方向线，变为方线，长度2.投射面与视图：通常，总是选取三个____的平面作为投射面，来得到三个投影图．一个投射面水平放置，叫做水平投射面，投射到水平投射面内的图形叫做，一个投射面放置在正前方，这个投射面叫做直立投射面．投射到直立投射面内的圆形叫做和直立、水平两个投射面都垂直的投射面叫做侧立投射l面．投射到侧立投射面内的圆形叫做3.三视图定义：将空间图形向水平投射面，直立投射面、侧立投射面作正投影．然后把这个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空闷图形的三视图．4．三视图的画法要求；三视图的主视图、俯视图、左视图分别是从物体的看到的物体的正投影围成的平面图形．5.一个物体的三视图的排列规则是：俯视图放在的下面，长度与一样；左视图放在主视图的，高度与____一样，宽度与——的宽度—样为了便于记忆．通常说：“长对正高平齐、宽相等”或“主左一样高、主俯—样长、左俯—样宽6．画三视图时应注意：被挡住的轮廓要画成瘦线，尺寸线用细实线标出；φ表示直径，R表示半径；单位不注明按mm计，二、空间几何体的表面积与体积（一）柱、锥、台的表面积公式1．设直棱柱的高为b，底面多边形的周长为c，则直棱柱侧面面积计算公式为——．设圆柱的底面半径为r 周长为C，侧面母线长为l，则圆柱的侧面积是____． 2.设正棱锥的底面边长为a，底面周长为C，斜高为h，则正n梭锥的侧面积计算公式为一·如果圆锥底面半径为r，周长为C，侧面母线长为l，那么圆锥的侧面积是一．3.如果设正棱台下底面边长为a、周长为C，上底面边长为a'、周长为C'斜高为h'，则正竹棱台的侧面积公式为____ ．如果圆台的上下底面半径分为r'，r，周长为C，C，侧面母线长为l，那么圆台的侧面积是（二）柱、锥、台的体积公式1.棱柱的底面面积为S，高为h，则体积为——’底面半径为r，高是h的圆柱体的体积计算公式是—一．2.若一个棱锥的底面面积为S．高为h，那么它的体积公式为____．若圆锥的底面圆的半径为r，高为h,则体积为____．3.若台体（棱台、圆台）上、下底面面积分别为S，S，高为h，则台体的体积公式为一，若圆台的上、下底面半径分别为r，r，高为h．则圆台的体积公式为（三）球的表面积与体积公式设球的半径为R．则球的表面积计算公式为-.即球面面积等于它的大圆面积的____．球的体积公式为三、平面的基本性质与推论（一）平面的定义平面是一个不加定义，只需理解的最基本的原始概念．在生活中平静的水面、镜面、书桌面都给我们平面的印象，立体几何中的平面就是由此抽象出来的．平面是处处平直的面，它是向四面八方一的．无大小、厚薄之分，它是不可度量的．（二）平面的基本性质及推论 1．平面的基本性质 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的都在这个平面内，这时我们说：直线在平面内或平面____直线．2.平面的基本性质2：经过____的三点，有且只有一个平面，即：____的三点确定一个平面．3.推论1：经过一条直线和____一点，有且只有一个平面．4.推论2：经过两条直线有且只有一个平面．5.推论3：经过两条直线有且只有一个平面．6．面面相交：如果两个平面有一条公共直线，则称之为两平面相交，这条公共直线也叫做两个平面的交线．平面口与p相交，交线是Z，符号表示为．7．平面的基本性质3：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们一条经过一的公共直线．（三）异面直线1．_ ___的直线叫做异面直线．2．异面直线的判定：与一平面相交于一点的直线与平面内一的直线是异面直线，用符号表示为：若ABn口-B，B垂z，Zc口，则直线AB与直线z是异面直线．四、空间中的平行关系（一）平面的基本性质4与等角定理1．平面的基本性质4：平行子同一直线的两条直线____．符号表示为：若直线矗∥6．c∥6，那么——．2.等角定理：如果一个角的p边与另一个角的两边分别对应平行，并且一，那么这两个角相等．（二）空间四边形顺次连接____ 的四点A．B，C．D所梅成的图形叫做空闻四边形．其中，四个点A，B，C．D，每个点都Ⅱq它的____ ．所连接的相邻顶点fa-的线段叫做它的____．连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的____．（三）直线与平面平行1.直线a和平面口只有一个公共点A，叫做直线与平面____．这个公共点A叫做直线与平面的交点．记作____．2．直线a与平面a没有公共点，叫做直线与平面平行．记作一一．3.判定定理：如果____的一条直线和——的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行．4．性质定理：如果一条直线与一个平面平行，____ 的平面和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的交线平行．（四）平面与平面平行1．两不重合平面有公共点就叫两平面相交，记作口n卢2 Z．若两个平面一，则称这两个平面为平行平面，“平面口平行于平面p"可以记作“口∥∥．2．平面与平面平行的判定定理；如果一个平面内有两条一直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．3．推论：如果—个平面内有两条____直线分别平行于另—个平面内的两条直线，则这两个平面平行．4．性质定理：如果两个____平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言表示为：口//p，a(l y=a，pffy=b净_，．。
2013高考数学 高频考点、提分密码 第九部分 排列组合与二项式定理 新人教版
第九部分 排列组合与二项式定理[知识点]一.排列与组合1.基本原理：分类计数原理 N=m 1+m 2+…+m n 分步计数原理 N=m 1m 2…m n二.二项式定理1.定理：(a+b)n =C n0a n +C n 1a n －1b+…+C n r a n －r b r +…+C n n b n ，n ∈N *2.二项式系数：C n r，r=0,1,2,,…n.3.通项T r+1=C n r a n －r b r(r=0,1,2…n) 4.二项式系数性质⑴对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。
即C n 0=C n n ，C n 1=C n n －1,C n 2=C n n －2,… ⑵增减性：f(r)=C n r，当r<21+n 时，C n r 递增，当r ≥21+n 时，C n r递减 ⑶最大值：n n n n n n n n n n 另：⑴二项式系数表（杨辉三角）略。
⑵1121++++++=++++m n m m n m m m m m m m C C C C C Λ⑶(a －b)n =C n 0a n －C n 1a n －1b+C n 2a n －2b 2－…+(－1)n C n n b n⑷(1+x)n =C n 0+C n 1x+C n 2x 2+…+C n n x n[易错点提示]1.应用两个基本原理解题时，应正确区分是分类还是分步.2.解排列组合应用题时，应注意方法及分类标准的选择，并做到层次清晰，不重不漏。
3.在二项式定理中，注意系数与二项式系数、奇数项与偶数项、奇次项与偶次项的区别. C n r a n －r b r是第r+1项.4.多项式展开通常化为二项式展开处理，求展开式中某些项的系数(值)关系时，常用赋值法.5.用二项式定理计算余数问题时，余数不能为负数.如：∵233=811=(9－1)11=9k －1∴233被9除余数为8.6.证明形如：2n>2n (n ≥3且n ∈N)，比较2n 与n 2 (n ∈N *)大小，此类问题常用二项式定理.。
2013高考数学必备复习资料高三
高中数学常用公式及结论（绝对全）1 元素与集合的关系:U x A x CA ∈⇔∉,U x CA x A ∈⇔∉.A A ∅⇔≠∅Ø2 集合12{,,,}n a a a 的子集个数共有2n个；真子集有21n -个；非空子集有21n -个；非空的真子集有22n -个. 3 二次函数的解析式的三种形式：(1) 一般式2()(0)f x a x b x c a =++≠; (2) 顶点式2()()(0)h f x a a k x =-+≠;（当已知抛物线的顶点坐标(,)h k 时，设为此式）(3) 零点式12()()()(0)fx a x x x a x =--≠；（当已知抛物线与x 轴的交点坐标为12(,0),(,0)x x 时，设为此式）（4）切线式：02()()(()),0x k xd fx a x a =-+≠+。
（当已知抛物线与直线y kx d =+相切且切点的横坐标为x 时，设为此式）4 真值表： 同真且真，同假或假5 常见结论的否定形式; 原结论 反设词原结论 反设词 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n 个至多有（1n -）个 小于不小于至多有n 个 至少有（1n +）个 对所有x ，成立 存在某x ，不成立 p 或qp ⌝且q ⌝对任何x ，不成立 存在某x ，成立 p 且qp ⌝或q ⌝6 四种命题的相互关系(下图):（原命题与逆否命题同真同假；逆命题与否命题同真同假.）原命题 互逆 逆命题若ｐ则ｑ 若ｑ则ｐ 互 互互 为 为 互 否 否逆 逆 否 否否命题 逆否命题 若非ｐ则非ｑ 互逆 若非ｑ则非ｐ充要条件： (1)、p q ⇒，则P 是q 的充分条件，反之，q 是p 的必要条件；（2）、p q ⇒，且q ≠> p ，则P 是q 的充分不必要条件； (3)、p ≠> p ，且q p ⇒，则P 是q 的必要不充分条件；4、p ≠> p ，且q ≠> p ，则P 是q 的既不充分又不必要条件。
2013年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解湖北文
2013年湖北文一、选择题（共10小题；共50分）1. 已知全集U=1,2,3,4,5，集合A=1,2，B=2,3,4，则B∩∁U A= A. 2B. 3,4C. 1,4,5D. 2,3,4,52. 已知0<θ<π4，则双曲线C1:x2sin2θ−y2cos2θ=1与C2:y2cos2θ−x2sin2θ=1的 A. 实轴长相等B. 虚轴长相等C. 离心率相等D. 焦距相等3. 在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是"甲降落在指定范围"，q是"乙降落在指定范围"，则命题"至少有一位学员没有降落在指定范围"可表示为 A. ¬p∨¬qB. p∨¬qC. ¬p∧¬qD. p∨q4. 四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y与x负相关且y=2.347x−6.423；②y与x负相关且y=−3.476x+5.648；③y 与x正相关且y=5.437x+8.493；④y与x正相关且y=−4.326x−4.578，其中一定不正确的结论的序号是 A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5. 小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶，与以上事件吻合得最好的图象是 A. B.C. D.6. 将函数y=3cos x+sin x（x∈R）的图象向左平移m（m>0）个单位长度后，所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值是 A. π12B. π6C. π3D. 5π67. 已知点A−1,1，B1,2，C−2,−1，D3,4，则向量AB在CD方向上的投影为 A. 322B. 3152C. −322D. −31528. x为实数，x表示不超过x的最大整数，则函数f x=x−x在R上为 A. 奇函数B. 偶函数C. 增函数D. 周期函数9. 某旅行社租用A,B两种型号的客车安排900名客人旅行，A,B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为 A. 31200元B. 36000元C. 36800元D. 38400元10. 已知函数f x=x ln x−ax有两个极值点，则实数a的取值范围是 C. 0,1D. 0,+∞A. −∞,0B. 0,12二、填空题（共7小题；共35分）11. i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z1=2−3i，则z2=．12. 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4.则：（1）平均命中环数为；（2）命中环数的标准差为．13. 阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入m的值为2，则输出的结果i=．．设圆O上到直线l的距离等于1的14. 已知圆O:x2+y2=5，直线l:x cosθ+y sinθ=10<θ<π2点的个数为k，则k=．15. 在区间[−2,4]上随机地取一个数x，若x满足∣x∣≤m的概率为5，则m=．616. 我国古代数学名著《数书九章》中有＂天池盆测雨＂题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸，若盆中积水深九寸，则平地降雨量是寸．（注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸）17. 在平面直角坐标系中，若点P x,y的坐标x，y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的顶点全是格点，则称该多边形为格点多边形，格点多边形的面积为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L．例如图中△ABC是格点三角形，对应的S=1，N=0，L=4．（1）图中格点四边形DEFG对应的S，N，L分别是；（2）已知格点多边形的面积可表示为S=aN+bL+c，其中a，b，c为常数．若某格点多边形对应的N=71，L=18，则S=（用数值作答）．三、解答题（共5小题；共65分）18. 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A−3cos B+C=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sin B sin C的值．19. 已知S n是等比数列a n的前n项和，S4，S2，S3成等差数列，且a2+a3+a4=−18．（1）求数列a n的通项公式．（2）是否存在正整数n，使得S n≥2013 ?若存在，求出符合条件的所有n的集合；若不存在，说明理由．20. 如图，某地质队自水平地面A，B，C三处垂直向地下钻探，自A点向下钻到A1处发现矿藏，再继续下钻到A2处后下面已无矿，从而得到在A处正下方的矿层厚度为A1A2=d1，同样可得在B，C 处正下方的矿层厚度分别为B1B2=d2，C1C2=d3，且d1<d2<d3，过AB，AC的中点M，N且与直线AA2平行的平面截多面体A1B1C1−A2B2C2所得的截面DEFG为该多面体的一个中截面，其面积记为S中．（1）证明：中截面DEFG是梯形．（2）在△ABC中，记BC=a，BC边上的高为 ，面积为S．在估测三角形ABC区域内正下方的矿藏储量（即多面体A1B1C1−A2B2C2的体积V）时，可用近似公式V估=S中⋅ 来估算．已知V=13d1+d2+d3S，试判断V估与V的大小关系，并加以证明．21. 设a>0，b>0，已知函数f x=ax+bx+1．（1）当a≠b时，讨论函数f x的单调性；（2）当x>0时，称f x为a，b关于x的加权平均数．（i）判断f1，f ba ，f ba是否成等比数列，并证明f ba≤f ba；（ii）a，b的几何平均数记为G，称2aba+b为a，b的调和平均数，记为H，若H≤f x≤G，求x 的取值范围．22. 如图，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m，2n m>n，过原点且不与x轴重合的直线l与C1，C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D，记λ=mn，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2．（1）当直线l与y轴重合时，若S1=λS2，求λ的值；（2）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2 ?并说明理由．答案第一部分1. B2. D3. A4. D5. C【解析】[答案] C[解析] 选项A，随时间的推移，小明离学校越远，不正确；选项B，先匀速，再停止，后匀速，不正确；选项C，与题意相吻合；选项D，中间没有停止，故选C．6. B 【解析】y=3cos x+sin x=2sin x+π3，向左平移m个单位后，得到的函数为y=2sin x+π3+m ，若所得到的图象关于y轴对称，则π3+m=π2+kπ,k∈Z，所以m=π6+kπ，k∈Z．当k=0时，m=π6．7. A 8. D 9. C 10. B【解析】由已知得fʹx=0有两个正实数根x1,x2x1<x2，即fʹx的图象与x轴有两个交点，从而得a 的取值范围．fʹx=ln x+1−2ax,依题意ln x+1−2ax=0有两个正实数根x1,x2x1<x2．设g x=ln x+1−2ax，函数g x=ln x+1−2ax有两个零点，显然当a≤0时不合题意，必有a>0；gʹx=1x−2a,令gʹx=0，得x=12a，于是g x在0,12a 上单调递增，在12a,+∞ 上单调递减，所以g x在x=12a处取得极大值，即fʹ12a=ln12a>0,12a>1,所以0<a<1 2 .第二部分11. −2+3i12. （1）7，（2）213. 414. 415. 316. 3【解析】由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸．因为积水深9寸，所以水面半径为1214+6=10寸．则盆中水的体积为13×π×962+102+6×10=588π（立方寸）．所以平地降雨量等于588ππ×14=3（寸）．17. 3，1，6，79【解析】（1）由图可知，四边形DEFG是直角梯形，高为，下底为2S=2+22×22=3,由图知，N=1，L=6．（2）取相邻四个小正方形组成一个正方形，其面积S=4，N=1，L=8，结合△ABC、四边形DEFG，可列方程组4b+c=1,a+6b+c=3,a+8b+c=4,解得a=1,b=12,c=−1,故S=1×71+12×18−1=79．第三部分18. （1）由cos2A−3cos B+C=1，得2cos2A+3cos A−2=0,即2cos A−1cos A+2=0.解得cos A=12或cos A=−2（舍去）．因为0<A<π，所以A=π3．（2）由S=12bc sin A=12bc⋅32=3 bc=53,得bc=20．又b=5，所以c=4．由余弦定理得a2=b2+c2−2bc cos A=25+16−20=21,所以a=21．从而由正弦定理，得sin B sin C=basin A⋅casin A=bc2⋅sin2A=20×3=5 7 .19. （1）设等比数列a n的公比为q，则a1≠0，q≠0．由题意得S2−S4=S3−S2,a2+a3+a4=−18,即−a1q2−a1q3=a1q2,a1q1+q+q2=−18,解得a1=3,q=−2.故数列a n的通项公式为a n=3×−2n−1.（2）由（1）有S n=31−−2n1−−2=1−−2n.假设存在n，使得S n≥2013，则1−−2n≥2013，即−2n≤−2012.当n为偶数时，−2n>0，上式不成立；当n为奇数时，−2n=−2n≤−2012，即2n≥2012．即n≥11．综上，存在符合条件的正整数n，且所有这样的n的集合为n∣n=2k+1,k∈N,k≥5.20. （1）依题意A1A2⊥平面ABC，B1B2⊥平面ABC，C1C2⊥平面ABC，所以A1A2∥B1B2∥C1C2.又A1A2=d1,B1B2=d2,C1C2=d3,且d1<d2<d3，所以四边形A1A2B2B1，A1A2C2C1均是梯形．由AA2∥平面MEFN，AA2⊂平面AA2B2B，且平面AA2B2B∩平面MEFN=ME，可得AA2∥ME，即A1A2∥DE．同理可证A1A2∥FG，所以DE∥FG．又点M，N分别为AB，AC的中点，则点D，E，F，G分别为A1B1，A2B2，A2C2，A1C1的中点，即DE，FG分别为梯形A1A2B2B1，A1A2C2C1的中位线，因此DE=12A1A2+B1B2=12d1+d2,FG=12A1A2+C1C2=1d1+d3,而d1<d2<d3，故DE<FG，所以中截面DEFG是梯形．（2）V估<V．证明如下：由A1A2⊥平面ABC，MN⊂平面ABC，可得A1A2⊥MN．而EM∥A1A2，所以EM⊥MN，同理可得FN⊥MN．由MN是△ABC的中位线，可得MN=1BC=1a,即为梯形DEFG的高．因此S 中=S梯形DEFG=1d1+d2+d1+d3⋅a =a82d1+d2+d3,即V 估=S中⋅=a2d1+d2+d3.又S=12a ，所以V=1d1+d2+d3S=a6d1+d2+d3.于是V−V估=a6d1+d2+d3−a82d1+d2+d3 =ad2−d1+d3−d1.由d1<d2<d3，得d2−d1>0,d3−d1>0,故V估<V．21. （1）f x的定义域为−∞,−1∪−1,+∞，fʹx=a x+1−ax+b2=a−b2.当a>b时，fʹx>0，函数f x在−∞,−1，−1,+∞上单调递增；当a<b时，fʹx<0，函数f x在−∞,−1，−1,+∞上单调递减．（2）（i）计算得f1=a+b>0,f b=2ab>0,f b= ab>0,故f1f ba=a+b2⋅2aba+b=ab= fba2, ⋯⋯①所以f1，f ba ，f ba成等比数列．因为a+b2≥ab，即f1≥f b a,由①得f ba ≤f ba．（ii）由①知f ba=H,fba=G,故由H≤f x≤G，得f b≤f x≤fb. ⋯⋯②当a=b时，f ba =f x=f ba=a．这时，x的取值范围为0,+∞；当a>b时，0<ba <1，从而ba<ba，由f x在0,+∞上单调递增与②式，得ba≤x≤ba,即x的取值范围为ba ,ba；当a<b时，ba >1，从而ba>ba，由f x在0,+∞上单调递减与②式，得b≤x≤b,即x的取值范围为ba ,ba．22. （1）依题意，可设C1，C2的方程分别为C1:x2a2+y2m2=1,C2:x2+y2=1,其中0<n<m<a，λ=mn>1．方法一：如图，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为x =0，则S 1=1∣BD∣⋅∣OM∣=1a∣BD∣,S 2=12∣AB∣⋅∣ON∣=12a∣AB∣,所以S 12=∣BD∣. 在C 1和C 2的方程中分别令x =0，可得y A =m ,y B =n ,y D =−m ,于是∣BD∣∣AB∣=∣y B −y D ∣∣y A −y B ∣=m +n=λ+1λ−1. 若S 1S 2=λ，则λ+1λ−1=λ，化简得λ2−2λ−1=0.由λ>1，可解得λ= 2+1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1=λS 2，则λ= 2+1． 方法二：如图，若直线l 与y 轴重合，则∣BD∣=∣OB∣+∣OD∣=m +n ,∣AB∣=∣OA∣−∣OB∣=m −n ;S 1=12∣BD∣⋅∣OM∣=12a∣BD∣,S 2=12∣AB∣⋅∣ON∣=12a∣AB∣.所以S 1S 2=∣BD∣∣AB∣=m +n m −n =λ+1λ−1. 若S1S 2=λ，则λ+1λ−1=λ，化简得λ2−2λ−1=0.由λ>1，可解得λ= 2+1.故当直线l 与y 轴重合时，若S 1=λS 2，则λ= 2+1．（2）方法一：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l:y=kx k>0，点M−a,0，N a,0到直线l的距离分别为d1，d2，则d1=∣−ak−0∣1+k2=ak1+k2d2=1+k2=1+k2所以d1=d2．又S1=12∣BD∣d1,S2=12∣AB∣d2,所以S1 2=∣BD∣=λ,即∣BD∣=λ∣AB∣．由对称性可知∣AB∣=∣CD∣，所以∣BC∣=∣BD∣−∣AB∣=λ−1∣AB∣,∣AD∣=∣BD∣+∣AB∣=λ+1∣AB∣,于是∣AD∣∣BC∣=λ+1λ−1. ⋯⋯①将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得x A=ama2k2+m2x B=a2k2+n2根据对称性可知x C=−x B，x D=−x A，于是∣AD∣=1+k2A D 1+k2∣x B−x C∣=2x A 2x B=mn a2k2+n2a2k2+m2. ⋯⋯②从而由①和②式可得a2k2+n2 222=λ+1. ⋯⋯③令t=λ+1λλ−1，则由m>n，可得t≠1，于是由③可解得k2=n2λ2t2−122.因为k≠0，所以k2>0．于是③式关于k有解，当且仅当n 2λ2t2−1a21−t2>0，等价于t2−1 t2−12<0.由λ>1，可解得1λ<t<1，即1λ<λ+1λλ−1<1.由λ>1，解得λ>1+ 2.所以当1<λ≤1+l，使得S1=λS2；当λ>1+2时，存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2．方法二：如图，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1=λS2，根据对称性，不妨设直线l:y=kx k>0，点M−a,0，N a,0到直线l的距离分别为d1，d2，因为d1=1+k2=1+k2d2=1+k2=1+k2所以d1=d2．又S1=12∣BD∣d1,S2=12∣AB∣d2,所以S1 2=∣BD∣=λ.因为∣BD∣∣AB∣=1+k2B D1+k2∣x A−x B∣=x A+x Bx A−x B=λ,所以x A B =λ+1.由点A x A,kx A，B x B,kx B分别在C1，C2上，可得x A 2a 2+k 2x A 2m 2=1,x B 2+k 2x B 2=1,两式相减可得x A 2−x B 2a 2+k 2 x A 2−λ2x B 2 m 2=0. ∗ 依题意得x A >x B >0，所以x A 2>x B 2．所以由 ∗ 式可得k 2=m 2 x A 2−x B 2 a 2 λ2x B 2−x A 2 . 因为k 2>0，所以由m 2 x A 2−x B 2a λx B 2−x A 2 >0，可解得 1<x A x B<λ. 从而1<λ+1λ−1<λ，解得 λ>1+ 2,所以当1<λ≤1+ 2时，不存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1=λS 2； 当λ>1+ 2时，存在与坐标轴不重合的直线l ，使得S 1=λS 2．。
2013年全国大纲高考数学文科试卷带详解
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合{}{}1,2,3,4,5,1,2,U U A A ===集合则ð ( )A.{}1,2B.{}3,4,5C.{}1,2,3,4,5D.∅ 【测量目标】集合的补集.【考查方式】直接给出集合，用列举法求集合补集. 【参考答案】B【试题解析】依据补集的定义计算. {}1,2,3,4,5U =，{}1,2A =，∴ U A =ð{3,4,5}. 2．已知α是第二象限角，5sin ,cos 13αα==则 （ ） A.1213- B.513- C.513 D.1213【测量目标】同角三角函数基本关系.【考查方式】直接给出角的象限和正弦值，求余弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用同角三角函数基本关系式中的平方关系计算.因为α为第二象限角，所以12cos .13α==-3．已知向量()()()()1,1,2,2,,=λλλ=+=++⊥-若则m n m n m n （ ）A.-4B.-3C.-2D.1- 【测量目标】平面向量的坐标运算与两向量垂直的坐标公式等.【考查方式】给出两向量的坐标表示，两向量坐标运算的垂直关系，求未知数.λ 【参考答案】B【试题解析】利用坐标运算得出+-与m n m n 的坐标，再由两向量垂直的坐标公式求λ， 因为()()23,3,1,1,λ+=+-=--m n m n 由()(),+⊥-m n m n 可得()()()()23,31,1260,λλ+-=+--=--= m n m n (步骤1)解得 3.λ=- (步骤2)4．不等式222x -<的解集是 （ ）A.()1,1-B.()2,2-C.()()1,00,1-D.()()2,00,2- 【测量目标】含绝对值的一元二次不等式的解.【考查方式】给出绝对值不等式，求出满足不等式的解集. 【参考答案】D【试题解析】将绝对值不等式转化为一元二次不等式求解.由222,x -<得2222,x -<-<即204,x <<(步骤1)所以20x -<<或02,x <<故解集为()()2,00,2.- (步骤2)5．()862x x +的展开式中的系数是 （ ）A.28B.56C.112D.224 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式，求满足条件的项的系数. 【参考答案】C【试题解析】写出二项展开式的通项，从而确定6x 的系数.该二项展开式的通项为88188C 22C ,r r r r r r r T x x --+==(步骤1)令2,r =得2266382C 112,T x x ==所以6x 的系数是112. (步骤2)6．函数()()21log 10f x x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的反函数1()f x -= ( ) A.()1021x x >- B.()1021xx ≠- C.()21x x -∈R D.()210x x -> 【测量目标】反函数的求解方法，函数的值域求法. 【考查方式】给出函数的解析式，求它的反函数.. 【参考答案】A【试题解析】由已知函数解出,x 并由x 的范围确定原函数的值域，按照习惯把,x y 互换，得出反函数. 由21log 1y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭得112,yx ⎛⎫+= ⎪⎝⎭故1.21yx =-(步骤1)把x 和y 互换，即得()11.21x f x -=-(步骤2) 由0,x >得111,x+>可得0.y > 故所求反函数为()11(0).21xf x x -=>-(步骤3) 7．已知数列{}n a 满足{}12430,,103n n n a a a a ++==-则的前项和等于 ( )A.()10613---B.()101139-- C.()10313-- D.()1031+3-【测量目标】等比数列的定义及等比数列前n 项和.【考查方式】给出一个数列{n a }、它的前后项的关系，判断是否为特殊数列，从而求出它的前n 项和. 【参考答案】C【试题解析】先根据等比数列的定义判断数列{}n a 是等比数列，得到首项与公比，再代入等比数列前n 项和公式计算. 由130,n n a a ++=得11,3n n a a +=-故数列{}n a 是公比13q =-的等比数列. (步骤1)又24,3a =-可得1 4.a =(步骤2)所以()1010101413313.113S -⎡⎤⎛⎫--⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(步骤3)8．()()1221,0,1,0,F F C F x -已知是椭圆的两个焦点过且垂直于轴的直线交于A B 、两点，且3AB =，则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】给出椭圆焦点，由椭圆与直线的位置关系，利用待定系数法求椭圆的标准方程. 【参考答案】C【试题解析】设出椭圆的方程，依据题目条件用待定系数法求参数.由题意知椭圆焦点在x 轴上，且1,c =可设C 的方程为()22221,1x y a a a +>-(步骤1)由过2F 且垂直于x 轴的直线被C 截得的弦长3,AB =知点21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭必在椭圆上，(步骤2)代入椭圆方程化简得4241740,a a -+=所以24a =或214a =（舍去）. (步骤3) 故椭圆C 的方程为221.43x y +=(步骤4) 9．若函数()()sin 0=y x ωϕωω=+>的部分图像如图，则 ( ) A.5 B.4 C.3 D.2第9题图【测量目标】根据函数的部分图象确定函数解析式.【考查方式】给出正弦函数的未知解析式及正弦函数的部分图象.根据图象求出T ，确定ω的值.【参考答案】B【试题解析】根据图象确定函数的最小正周期，再利用2πT ω=求.ω设函数的最小正周期为T ，由函数图象可知0ππ=,244T x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭所以π.2T =(步骤1)又因为2π,T ω=可解得 4.ω=(步骤2)10．已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为， ( )A.9B.6C.9-D.6- 【测量目标】导数的几何意义及求导公式等知识.【考查方式】已知曲线在未知点处的切线斜率，利用导数的几何意义求未知数a . 【参考答案】D【试题解析】先对函数求导，利用导数的几何意义得出点()1,2a -+处的切线斜率，解方程所得.342,y x ax '=+由导数的几何意义知在点(1,2)a -+处的切线斜率1|428,x k y a =-'==--=解得 6.a =-11．已知正四棱柱1111112,ABCD A B C D AA AB CD BDC -=中，则与平面所成角的正弦值等于 ( )A.23 D.13 【测量目标】直线与平面所成角和线面垂直的判定.【考查方式】已知正四棱柱，利用其性质和几何体中的垂直关系求线面角的正弦值. 【参考答案】A【试题解析】利用正四棱柱的性质，通过几何体中的垂直关系，判断点C 在平面1BDC 上的射影位置，确定线平面角，并划归到直角三角形中求解.如图，连接AC ，交BD 于点O ，由正四棱柱的性质，有.AC BD ⊥ 因为1CC ⊥平面ABCD ，所以 BD ⊥（步骤1）又1,CC AC C = 所以BD ⊥平面 O （步骤2） 在平面1CC O 内作1,CH C O ⊥垂足为H ，则.BD CH ⊥又1,BD C O O = 所以CH ⊥平面1,BDC （步骤3） 第11题图 连接DH ，则DH 为CD 在平面1BDC 上的射影，所以CDH ∠为CD 与1BDC 所成的角.（步骤4）设12 2.AA AB ==在1Rt COC △中，由等面积变换易求得2,3CH =在Rt CDH △中，2sin .3CH CDH CD ∠==（步骤5） 12．已知抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，若0MA MB =，则k = ( )A ．12 D.2 【测量目标】直线与抛物线的位置关系，平面向量的坐标运算等知识.【考查方式】已知抛物线标准方程,利用抛物线性质及直线与抛物线的位置关系求解过焦点的直线的斜率. 【参考答案】D【试题解析】联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由0MA MB =进行坐标运算解未知量k .抛物线C 的焦点为()2,0,F 则直线方程为()2,y k x =-与抛物线方程联立，消去y 化简得()22224840.k x k x k -++=(步骤1)设点()()1122,,,,A x y B x y 则1212284, 4.x x x x k +=+=所以()121284,y y k x x k k+=+-=()21212122416.y y k x x x x =-++=-⎡⎤⎣⎦(步骤2) ()()()()()()112212122,22,22222MA MB x y x y x x y y =+-+-=+++--()()121212122280,x x x x y y y y =+++-++=(步骤3)将上面各个量代入，化简得2440,k k -+=所以 2.k =(步骤4)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．设()[)()21,3=f x x f x ∈是以为周期的函数，且当时， . 【测量目标】函数周期的应用及根据函数解析式求值.【考查方式】给出函数()f x 的周期及取值范围，代入解析式求函数值.【参考答案】1-【试题解析】利用周期将自变量转化到已知解析式中x 的范围内，代入解析式计算 . 由于()f x 的周期为2，且当[)1,3x ∈时，()2,f x x =-(步骤1)()2,f x x =-()()()112112 1.f f f -=-+==-=-(步骤2)14．从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有 种.（用数字作答）【测量目标】简单的排列组合知识的应用. 【考查方式】直接利用排列组合知识列式求解. 【参考答案】60【试题解析】利用排列组合知识列式求解. 由题意知，所有可能的决赛结果有12365354C C C 61602⨯=⨯⨯=（种）.15．若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ⎧⎪+⎨⎪+⎩………则z x y =-+的最小值为 .【测量目标】二元线性规划求目标函数最值.【考查方式】直接给出函数的约束条件，利用线性规划性质及借助数形结合思想求z 的最小值.【参考答案】0【试题解析】作出定义域，借助数形结合寻找最优解.由不等式组作出可行域，如图阴影部分所示()包括边界，且()()41,1040,.3A B C ⎛⎫⎪⎝⎭，，，，由数形结合知，直线y x z =+过点()1,1A 时，min 110.z =-+= 16．已知圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，3602OK O K = ，且圆与圆所在的平面所成角为，则球O 的表面积等于 .【测量目标】球的大圆、小圆及球的截面性质，二面角的平面角，球的表面积公式等知识. 【考查方式】已知二面角的平面角，根据球的截面性质，直角三角形的性质，求出球的半径，并由球的表面积公式求球的表面积. 【参考答案】16π 【试题解析】根据球的截面性质以及二面角的平面角的定义确定平面角，把球的半径转化到三角形中计算，进而求得球的表面积.如图所示，公共弦为AB ，设球的半径为R ，则,AB R =取AB 为中点M ，连接OM 、,KM由圆的性质知,,OM AB KM AB ⊥⊥ 所以KMO ∠为圆O 与圆K 所在平面所成的一个二面角的平面角，则60.KOM ∠=(步骤1)Rt KOM △中，3,2OK =所以sin 60OK OM == (步骤2) 在Rt OMA △中，因为222,OA OM AM =+所以2213,4R R =+解得24,R =(步骤3)所以球O 的表面积为24π16π.R =(步骤4)三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）等差数列{}n a 中，71994,2,a a a ==（I ）求{}n a 的通项公式； （II ）设{}1,.n n n nb b n S na =求数列的前项和 【测量目标】等差数列的通项公式、裂项相消法求数列的前n 项和.【考查方式】（1）根据等差数列的通项公式求出首项和公差，进而求出等差数列的通项公式.（2）已知通项公式，利用裂项相消法求和.【试题解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则()11.n a a n d =+-因为71994,2,a a a =⎧⎨=⎩所以()11164,1828.a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩(步骤1)解得11,1.2a d =⎧⎪⎨=⎪⎩所以{}n a 的通项公式为1.2n n a +=(步骤2) （2）因为()222,11n b n n n n ==-++所以2222222.122311n n S n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭(步骤3) 18．（本小题满分12分）设ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，()()a b c a b c ac ++-+=.（I ）求B（II）若1sin sin 4A C =，求C . 【测量目标】余弦定理解三角形，三角恒等变换公式及其应用.【考查方式】已知三角形的三边及三边关系.（1）由已知关系式展开，利用余弦定理求角. （2）三角形内角和得出A C +,由给出的sin sin A C 的形式，联想构造与已知条件相匹配的余弦公式,求出角C .【试题解析】（1）因为()(),a b c a b c ac ++-+=所以222.a c b ac +-=-(步骤1)由余弦定理得2221cos ,22a cb B ac +-==-因此120.B =(步骤2)（2）由（1）知60,A C +=所以()cos cos cos sin sin A C A C A C -=+cos cos sin sin 2sin sin A C A C A C =-+()11cos 2sin sin 2242A C A C =++=+⨯=(步骤1) 故30A C -=或30,A C -=- 因此15C =或45.C =(步骤2) 19．（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，==90ABC BAD ∠∠，BC =2AD ,△P AB 与△PAD 都是边长为2的等边三角形. 图（1）（I ）证明：;PB CD ⊥（II ）求点.A PCD 到平面的距离【测量目标】空间垂直关系的证明和点到平面距离的求解.第19题图【考查方式】已知四棱锥，底面为特殊的直角梯形，侧面为特殊三角形（1）借助线线、线面垂直求解.（2）通过做辅助线将点面距离转化为图形中的线段，再求解.【试题解析】（1）证明：取BC 的中点E ，连接DE ,则四边形ABCD 为正方形. 过点P 作PO ABCD ⊥平面，垂足为O .连接OA ,OB,OD ,OE . 图（2） 由PAB △和PAD △都是等边三角形知,PA PB PD ==(步骤1)所以,O A O B O D ==即O 为正方形ABED 对角线的交点，故 ,OE BD ⊥从而.P B O E ⊥(步骤2)因为O 是BD 的中点，E 是BC 的中点，所以OE //CD .因此.PB CD ⊥(步骤3)(2)解：取PD 的中点F ，连接OF ，则//.OF PB 由（1）知，,PB CD ⊥故.OF CD ⊥(步骤4)又12OD BD ==OP ==故POD △为等腰三角形，(步骤5) 因此.OF PD ⊥又,PD CD D = 所以.OF PCD ⊥平面(步骤6)因为//,AE CD CD PCD ⊂平面，,AE PCD ⊄平面所以//.AE PCD 平面(步骤7) 因此点O 到平面PCD 的距离OF 就是点A 到平面PCD 的距离，(步骤8) 而112OF PB ==，所以点A 到平面PCD 的距离为1. (步骤9) 20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为1,2各局比赛的结果都相互独立，第1局甲当裁判.（I ）求第4局甲当裁判的概率；（II ）求前4局中乙恰好当1次裁判概率. 【测量目标】相互独立事件同时发生的概率，互斥事件概率加法公式的应用.【考查方式】（1）直接利用独立事件的概率公式求解.（2）由已知，直接利用互斥事件的加法公式求解.【试题解析】（1）记1A 表示事件“第2局结果为甲胜”，2A 表示“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，A 表示事件“第4局甲当裁判”.则12.A A A = ()()()()12121.4P A P A A P A P A === (步骤1)(2)记1B 表示事件“第1局比赛结果为乙胜”，2B 表示事件“第2局乙参加比赛，结果为乙胜”，3B 表示事件“第3局中乙参加比赛时，结果为乙胜”，B 表示事件“前4局中乙恰好当1次裁判”， 则1312312.B B B B B B B B =++ （步骤2）()()1312312P B P B B B B B B B =++=()()()1312312P B B P B B B P B B ++=()()()()()()()1312312P B P B P B P B P B P B P B ++=111+484+ =5.8(步骤3) 21．（本小题满分12分）已知函数()32=33 1.f x x ax x +++（I ）求();a f x =的单调性； （II ）若[)()2,0,x f x ∈+∞时，…求a 的取值范围. 【测量目标】导数在研究函数中的应用.【考查方式】已知含未知数a 的函数()f x （1）对()f x 求导，得出()f x =0时的根，根据导数性质讨论函数单调性.(2)利用特殊值法和放缩法求a 的范围.【试题解析】（1）当a =()3231,f x x x =-++()23 3.f x x '=-+(步骤1)令()0,f x '=得121, 1.x x ==(步骤2)当()1x ∈-∞时，()0,f x '>()f x 在()1-∞上是增函数；当)1x ∈时，()0,f x '<()f x 在)1上是减函数；当)1,x ∈+∞时，()0,f x '>()f x 在)1,+∞上是增函数. (步骤3) （2）由()20f …得4.5a -…当45a -…，()2,x ∈+∞时， ()()225321312f x x ax x ⎛⎫'=++-+ ⎪⎝⎭… =()1320,2x x ⎛⎫--> ⎪⎝⎭所以()f x 在()2,+∞上是增函数，(步骤4)于是当[)2+x ∈∞，时，()()20f x f 厖.综上，a 的取值范围是4,.5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭(步骤5) 22．（本小题满分12分） 已知双曲线()221222:10,0x y C a b F F a b-=>>的左、右焦点分别为，，离心率为3，直线2y C =与（I ）求,;a b（II ）2F l C A B 设过的直线与的左、右两支分别相交于、两点，且11,AF BF = 证明：22AF AB BF 、、成等比数列.【测量目标】双曲线的方程、性质，直线与双曲线的位置关系，等比中项等性质.【考查方式】(1)由双曲线与直线的位置关系、双曲线的几何性质求出a,b 值.(2)由直线方程和双曲线方程，利用双曲线与直线的位置关系及两点间距离公式证明线段的等比关系.【试题解析】（1）解：由题设知3,c a =即2229,a b a+=故228.b a = 所以C 的方程为22288.x y a -=(步骤1)将y=2代入上式，求得x =(步骤2)由题设知，=解得2 1.a =所以1,a b ==(步骤3)（2）证明：由（1）知，()()123,0,3,0,F F -C 的方程为2288.x y -=○1(步骤4)由题设可设l 的方程为()3,y k x k =-<将其代入○1并化简，得 ()222286980.k x k x k --++=(步骤5)设()1122,,(,),A x y B x y 则22121212226981,1,,.88k k x x x x x x k k +-+==--剠(步骤6)于是()1131,AF x ==-+123 1.BF x ==+(步骤7)由11,AF BF =得()123131,x x -+=+(步骤8) 即2122262,,383k x x k +=-=--故 解得212419,.59k x x ==-从而(步骤9)由于2113,AF x ===-2231,BF x ===- 故()2212234,AB AF BF x x =-=-+=(步骤10)()221212=39116,AF BF x x x x +--= 因而222,AF BF AB = 所以22AF AB BF 、、成等比数列(步骤11).。
武汉邦德艺考教育2013年高考数学复习资料(十四)
武汉邦德艺考教育2013年高考数学复习资料（十四）类型三：特例法根据题设和各选项的具体情况和特点，选取满足条件的特殊的数值、特殊的集合、特殊的点、特殊的图形或者特殊的位置状态，代替题设普遍条件，得出特殊结论，对各个选项进行检验，从而得到正确的判断的方法称为特例法。
常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.3．若，则（）A．B．C．D．解析：取，满足不等式，即，否定A、C、D。
∴应选B。
总结升华：本题是采用设特殊值的方法进行检验得解的。
用特例法解决问题时要注意以下两点：（1）所选取的特殊值或特殊点一定要简单，且符合题设条件；（2）有时因问题需要或选取数值或点不当可能会出现两个或两个以上的选择项都正确，这时应根据问题的题设再恰当地选取一个特殊值或点进行检验，以达到选择正确选项的目的。
举一反三：【变式1】函数的定义域为（）A．B．C．D．解析：取x=1，代入，无意义，否定C取x=2，代入，无意义，否定A取x=-4，代入，有意义，否定B∴应选D.【变式2】如果函数y=sin2x+acos2x的图象关于直线对称，则a等于（）A． B．C．1 D．－1解析：找满足题意的两个特殊位置：和时的函数值相等，故有，解得a=―1。
∴应选D。
【变式3】如图，过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长别是p、q，则等于（）A．2a B．C．4a D．解析：由y=ax2，得，于是抛物线的焦点，取过F且平行于x轴的直线交于P、Q两点，根据抛物线的对称性，得PF=QF，即p=q，且2p等于抛物线的通径，故。
∴应选C。
【变式4】函数（ω＞0），在区间[a，b]上是增函数，且，，则函数在[a，b]上（）A．是增函数B．是减函数C．可以取得最大值M D．可以取得最小值―M解析：设，，则M=1，ω=1，φ=0，从而在上不是单调函数且最小值为0而非―1。
∴应选C。
2013高考 数学(理)真题专业解析(湖北卷)汇总
2013年普通高等学校招生全国统一考试数学试卷（理科）（湖北卷）解析本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分．第I 卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．主题1． 在复平面内，复数2i 1iz =+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查复数的概念、运算、共轭复数及复平面等知识． 解题思路：先化简复数，然后求出复数对应的点的坐标． 解答过程：因为()()()2i 1i 2i 2i 21i 1i 1i 1i 2z -+====+++-，所以z 的共轭复数1i z =-．其对应的点的坐标为()1,1-，位于第四象限． 故选D ．规律总结：对于复数的除法运算，一般是分子分母同时乘以分子的共轭复数，从而化简;运算计算时要注意2i 1=-而不是1．主题2． 已知全集为R ，集合1{|()1}2x A x =≤，2{|680}B x x x =-+≤，则A B =R C （ ） A ．{|0}x x ≤ B ．{|24}x x ≤≤ C ．{}|024x x x ≤<>或D ．{}|024x x x <≤≥或答案：C思路分析：考点解剖：本题主要考查合的补集、交集运算，一元二次不等式的解法，指数函数的单调性等．解题思路：先化简集合，然后求B R C ，A B R C ．解答过程：易知集合{}|0A x x =≥，{}|24B x x =≤≤，故{}|24B x x x =<>R C 或，从而{}|024A B x x x =≤<>R C 或．故选C ．规律总结：集合的基本运算是高考热点之一，一般会与不等式等内容结合起来考查，难度较小．主题3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为（ ）A ．()()p q ⌝∨⌝B ．()p q ∨⌝C ．()()p q ⌝∧⌝D ．p q ∨ 答案：A思路分析：考点解剖：本题主要考查逻辑联结词、复合命题的判断．解题思路：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括“甲没有降落在指定范围或者乙没有降落在指定范围或者甲乙都没有降落在指定范围．”解答过程：“至少有一位学员没有降落在指定范围”即：甲没有降落在指定范围或者乙没有降落在指定范围或者甲乙都没有降落在指定范围．又命题p 是“甲降落在指定范围”，可知命题p ⌝是“甲没有降落在指定范围”； 同理，命题q ⌝是“乙没有降落在指定范围”，所以“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为()()p q ⌝∨⌝．规律总结：对于逻辑联结词问题，关键是要明白各个常见的逻辑联结词所表示的含义，同时理解命题本身的意义．主题4．将函数sin ()y x x x =+∈R 的图象向左平移(0)m m >个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）A ．12π B ．6π C ．3π D ．56π答案：B 思路分析：考点解剖：本题主要考查三角函数图象的对称性、奇偶性、平移以及辅助角公式等． 解题思路：先求出平移后函数的解析式，再根据奇偶性列式求解． 解答过程：将函数sin 2sin 3y x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移m 个单位后，得到函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的图象，由题意，函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭关于y 轴对称，所以函数2sin 3y x m π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭为偶函数，故()32m k k πππ+=+∈Z ，解得()6m k k ππ=+∈Z ．故当0k =时，m 取得最小正值6π．故选B ．规律总结：若三角函数()sin y a x ωϕ=+为偶函数，则()2k k πϕπ=+∈Z ；若三角函数()sin y a x ωϕ=+为奇函数，则()k k ϕπ=∈Z ．主题5． 已知04πθ<<，则双曲线22221222222:1:1cos sin sin sin tan x y y x C C θθθθθ-=-=与的（ ）A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查双曲线的实轴、虚轴、焦距、离心率的基本性质以及三角函数的恒等变换．解题思路：根据双曲线的定义求解． 解答过程：因为04πθ<<，所以cos 0sin 0θθ>>，． 对于双曲线1C ，实半轴cos a θ=，虚半轴sin b θ=，则半焦距1c =，故离心率为1cos c e a θ==；对于双曲线2C ，实半轴'sin a θ=，虚半轴2sin 'cos b θθ=，则半焦距sin 'cos c θθ==，故离心率为sin '1cos ''sin cos c e a θθθθ===； 故两双曲线满足离心率相等．故选D ．规律总结：求解本题的关键是要深刻理解双曲线的性质，以及仔细审题，切忌疏忽大意． 主题6．已知点(1,1)(1,2)(2,1)(3,4)A B C D ---、、、，则向量AB 在CD 方向上的投影为（ ）AB．2C．2D答案：A 思路分析：考点解剖：本题主要考查向量的基本运算、数量积和向量投影． 解题思路：先求出向量,AB CD 的坐标，然后运用cos AB θ求解．解答过程：由已知得()()2,1,5,5AB CD ==，所以2,15,5cos 5AB CD AB CDθ==10=．故向量AB 在CD 方向上的投影为cos 102AB θ==．故选A ．规律总结：向量a 在b 方向上的投影为cos θ==a b a ba a ab b．主题7．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度25()731v t t t=-++（t的单位：s ，v 的单位m/s ）行驶至停止，在此期间汽车继续行驶的距离（单位：m ）是（ ）A ．1+25ln 5B ．118+25ln3C ．4+25ln 5D ．4+50ln 2 答案：C思路分析：考点解剖：本题主要考查一元二次方程的求解，定积分计算和实际应用． 解题思路：弄清汽车从刹车到停止所花的时间，然后用定积分求解． 解答过程：由()257301v t t t=-+=+，化简得：()()3840t t +-=， 解得83t =-（舍去）或4t =．故汽车行驶4秒后停止． 所以在此期间汽车继续行驶的距离是：()()442400025373725ln 1|425ln 512S v t dt t dt t t t t ⎛⎫⎡⎤==-+=-++=+ ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎰⎰．故选C ．规律总结：定积分在不同的条件下所表达的含义是不一样的．本题中，速度和时间关系式的定积分的意义就是汽车行驶距离．如若未能理解这一点，将难以快速有效的解题．主题8．一个几何体的三视图如图所示，该几何体从上到下由四个简单几何体组成，其体积分别为1234V V V V ，，，，上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，则有（ ）A ．1243V V V V <<<B ．1324V V V V <<< C ．2134V V V V <<<D ．2314V V V V <<<第8题图答案：C 思路分析：考点解剖：本题主要考查空间几何体的体积计算以及旋转体、多面体的三视图的识别． 解题思路：弄清从上到下各几何体的形状，然后运用各尺寸及各形体体积公式求解． 解答过程：根据题目提供的信息：上面两个简单几何体均为旋转体，下面两个简单几何体均为多面体，观察几何体的三视图，可知：该几何体从下到上分别是棱台、正方体、圆柱、圆台．根据已知尺寸，可求得各几何体的体积分别为：()117433V πππππ=+=，22122V ππ=⨯⨯=，3328V ==，()412816433V =+=，因为7282833ππ<<<，所以2134V V V V <<<． 故选C ．规律总结：对于三视图求体积问题，一般先要将三视图还原为直观图，然后根据几何体的特征及体积公式求解；圆台（棱台）的体积公式为：()1'3V S S h=+． 主题9．如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中抽取一个小正方体，记它的涂漆面数为X ，则X 的均值()E X =（ ）A ．126125B ．65C ．168125D ．75答案：B 思路分析：考点解剖：本题主要考查概率、随机变量的均值，以及空间想象的能力，分类讨论的能力．解题思路：先观察求出面数分别为3，2，1，0的小正方体的个数，然后求各概率． 解答过程：通过观察可知，涂漆面数为3面的小正方体有8个，涂漆面数为2面的小正方体有31236⨯=个，涂漆面数为1面的小正方体有9654⨯=个，则涂漆面数为0面的小正方体有1258365427---=个．则()()()83654,,125125125P P P X X X =3==2==1=，()27125P X =0=．()2754368601231251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．故选B ．规律总结：求解均值关键是求各随机变量取值下的概率，本题难点在于涂漆面数分别为3，2，1的小正方体的个数的求解；另外，牢记一个公式：()()()121n P x P x P x +++=…，对于最后一个不好求的概率，往往可以利用该公式求解，事半功倍．主题10．已知a 为常数，函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点1212,()x x x x <，则（ ）A ．121()0,()2f x f x >>-B ．121()0,()2f x f x <<-C ．121()0,()2f x f x ><-D ．121()0,()2f x f x <>-答案：D 思路分析：考点解剖：本题主要考查导数的应用，函数的极值，不等关系以及函数与方程思想，数形结合的数学思想等．解题思路：先求出极值点()1212,x x x x <所满足的方程；然后通过假设方程l n 21x a x -+ ()00x =>只有一根，来求出12,,a x x 的范围;最后利用等量关系转化，结合不等式知识与导数知识求()()12,f x f x 的范围．解答过程：因为()1'ln ln 21f x x ax x a x ax x ⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭，又12,x x 是函数()f x 的两个极值点，所以12,x x 是方程ln 210x ax -+=的两根．假设方程()ln 2100x ax x -+=>只有一根，数形结合，即：直线21y ax =-与曲线ln y x =相切． 设切点为()00,ln x x ，则切线方程为()0001ln y xx x x -=-，即001ln 1y x x x =+-．又切线方程为21y ax =-，对比得012,1ln 1,a x x ⎧=⎪⎨⎪-=-⎩解得01,21.a x ⎧=⎪⎨⎪=⎩ 故若要使直线21y ax =-与曲线ln y x =相交， 即：函数()()ln f x x x ax =-有2个极值点，需满足1210,201,1.a x x ⎧<<⎪⎪<<⎨⎪>⎪⎩因为()()()111111ln 1f x x x ax x ax =-=-（利用11ln 210x ax -+=转化），且易知1112ax <<，所以()1110x ax -<．即()10f x <． 同理，()()()222222222ln 11ln ln ln 122x f x x x ax x x x x +⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭（利用22ln 210x ax -+=转化）． 令()()1ln 12g x x x =-，则()1'ln 2g x x=． 当1x >时，()'0g x >，故函数()g x 在()1,+∞上单调递增．又21x >，所以()()()22211ln 1122g x x x g =->=-．即：()()22211ln 122f x x x =->-．故选D．规律总结：巧妙利用导数求极值，利用数形结合思想解决方程根的问题是解决本题的关键所在．若按常规方法求解，则极易出错或加大解题难度．第Ⅱ卷共12小题，共100分．二、填空题：本大题共6小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上．答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11—14题）主题11．从某小区抽取100户居民进行月用电量调查，发现其用电量都在50至350度之间，频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）直方图中x的值为___________；（Ⅱ）在这些用户中，用电量落在区间[100，250)内的户数为___________．第11题图答案：（Ⅰ）0.0044；（Ⅱ）70思路分析：考点解剖：本题主要考查频率分布直方图、识图看图的能力．解题思路：（Ⅰ）利用频率和为1求解；（Ⅱ）先求出用电量落在区间[100，250）内的频率，再用100乘以频率，即得用电量落在区间[100，250)内的户数．解答过程：（Ⅰ）由频率分布直方图可知：()x+++++⨯=，0.00240.00360.00600.00240.0012501解得0.0044x=；（Ⅱ）用电量落在区间[100,250）内的频率是：()++⨯=，0.00360.00600.0044500.7则用户数为1000.770⨯=．规律总结：解决简单的统计知识在实际中的应用的问题的关键是正确识图、提取有用信息，理解统计图中各个量的意义．主题12．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果i=___________．答案：5思路分析：考点解剖：本题主要考查程序框图的应用．解题思路：分步求解,ia=时，输出的i值即为所求．a的值，只到4解答过程：由算法框图知：第一次运行时：5,i2a=；a==，不满足4第二次运行时：16,i3a=；a==，不满足4第三次运行时：8,i4a=；a==，不满足4第四次运行时：4,i5a=，a==，满足4故输出i5=．规律总结：程序框图问题，关键是要根据不同条件，执行不同的步骤，从而推理出正确的结论．主题13．设,,x y z ∈R，且满足：2221,23x y z x y z ++=++=则x y z ++=___________．思路分析：考点解剖：本题主要考查柯西不等式的应用．解题思路：利用柯西不等式，得到等号成立的条件，比较即可求得,,x y z 的值． 解答过程：根据柯西不等式，得：()()()222222212323x y z x y z ++++≥++，当且仅当存在实数k ，使得,2,3x k y k z k ===时，等号成立．由于题目已知2221,23x y z x y z ++=++=所以此时,2,3x k y k z k ===，代入23x y z ++=k =，所以x y ==，z =．所以7x y z ++=． 规律总结：三维形式的柯西不等式为：()()222222123123aa ab b b ++++≥()2112233a b a b a b ++，当且仅当()1,2,3i i a kb i ==时等号成立．主题14．古希腊毕达哥拉斯的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n 个三角形数为2(+1)11=+222n n n n ．记第n 个k 边形数为(,)(3)N n k k ≥，以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式：三角形数211(,3)=+22N n n n正方形数 2(,4)=N n n五边形数231(,5)=-22N n n n六边形数2(,6)=2-N n n n………………………………………可以推测(,)N n k 的表达式，由此计算(10,24)N =_________________． 答案：1000 思路分析：考点解剖：本题主要考查观察、猜想、推理能力．解题思路：将三角形数、正方形数、五边形数、六边形数的表达式通分，观察分子与项数n 的区别，归纳猜想即可．解答过程：通过观察，表达式可做如下变形： 三角形数：()()()223243,322n n n n N n -+-+==;正方形数：()()()22424420,422n n n n N n -+-+==;五边形数：()()()2252453,522n n n n N n -+--==;六边形数：()()()22624642,622n n n n N n -+--==;……………………………………………观察每个分式的分子，特别是2n 与n 前面系数的变化规律，发现2n 前的系数以1递增，n 前的系数以1递减，于是根据规律，可以推测：()()()224,2k n k n N n k -+-=． 所以()()()2242104241010,2410002N -+-==． 规律总结：在归纳、推理过程中，关键是要有敏锐的观察力．通过变形，找出前几项的表达式与项数之间的关系，从而推出一般形式下的表达式．对于一般表达式，还要代入题目条件进行验证，以免出错．（二）选考题（请考生在第15、16两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用2B 铅笔涂黑．如果全选，则按第15题作答结果计分．）主题15．（选修4-1：几何证明选讲）如图，圆O 上一点C 在直径AB 上的射影为D ，点D 在半径OC 上的射影为E ．若3AB AD =，则CE EO的值为 ．答案：8 思路分析：考点解剖：本题主要考查几何证明、圆、相似三角形的性质．解题思路：先求出,OD OC 的等量关系；然后利用相似三角形的性质求解． 解答过程：由已知3,2AB AD AB OA ==， 所以23AD OA=， 所以13OD OA=． 又由圆的性质可知，OA OC =，得：13OD OC=． 又因为C 在直径AB 上的射影为D ，D 在半径OC 上的射影为E ， 知：CDO DEO ∆∆，所以ODEO OC OD=，所以19EO OC=． 故8CEEO=．规律总结：几何证明选讲主要考查简单推理证明能力，难度一般较小．在证明过程中要严谨，以免出错．主题16．（选修4-4：坐标系与参数方程） 在直线坐标系xOy 中，椭圆C 的参数方程为cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴为正半轴为极轴）中，直线l 与圆O的极坐标方程分别为sin 4πρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭()m m 为非零常数与=b ρ．若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆O 相切，则椭圆C 的离心率为 ．思路分析：考点解剖：本题主要考查椭圆的参数方程，直线、圆的极坐标方程与平面直角坐标系方程的转化．解题思路：先将参数方程，极坐标方程化为直角坐标方程，进而结合直线与圆的位置关系求解．解答过程：由已知椭圆C 的参数方程cos ,sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数，0a b >>），求出其直角坐标方程为()222210x y a b a b +=>>；同样， 由已知条件可求出直线l 与圆O 的直角坐标方程分别为：0x y m +-=，222x y b +=． 因为直线l 经过椭圆C 的焦点，所以||c m =． 又直线l 与圆O 相切，则圆心()0,0O 到直线l的距离为b=，得：||m =．故c =．又因为222a b c =+，所以3ca =， 即：椭圆C规律总结：坐标系和参数方程问题，一般步骤都是将参数方程、极坐标方程转化为直角坐标方程，再利用圆锥曲线的性质解题．在不同的坐标系的转化过程中要小心，避免造成不必要的失分．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 主题17．（本小题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 对应的边分别是,,a b c ．已知()cos23cos 1A B C -+=．（Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若ABC ∆的面积S =，5b =，求sin sin B C 的值． 思路分析：考点解剖：本题主要考查三角恒等变换，正弦定理及余弦定理的应用． 解题思路：（Ⅰ）利用二倍角公式、和角公式进行恒等变换求解；（Ⅱ）先利用三角形的面积公式求得c ，再利用余弦定理求得a ，最后利用正弦定理求解．解答过程：解：（Ⅰ）由cos23cos()1A B C -+=，得：22cos 3cos 20A A +-=， 即：(2cos 1)(cos 2)0A A -+=，解得：1cos 2A =或cos 2A =-（舍去）． 因为0πA <<，所以π3A =．（Ⅱ）由11sin 22S bc A bc ====得：20bc =． 又5b =，知4c =．由余弦定理得：2222cos 25162021,a b c bc A =+-=+-=故a = 又由正弦定理得：222035sin sin sin sin sin 2147b c bc B C A A A a a a =⋅==⨯=．规律总结：解三角形问题主要考查正弦定理、余弦定理及利用三角公式进行恒等变换的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形的形状为主，考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力以及转化的数学思想，一般难度不大．主题18．（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 满足：2310a a -=，123125a a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥？若存在，求m 的最小值；若不存在，说明理由．思路分析：考点解剖：本题主要考查等比数列的性质，通项公式，前n 项和与不等式的综合应用．同时考查分类讨论的数学方法．解题思路：（Ⅰ）利用等比数列的通项公式表示123,,a a a ，然后联立方程组求解；（Ⅱ）先利用{}na 的通项公式表示出1{}na 的通项公式，然后利用等比数列求和公式及分类讨论求解．解答过程：解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q ，则由已知可得331211125,||10,a q a q a q ⎧=⎪⎨-=⎪⎩解得15,33,a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩或15,1.a q =-⎧⎨=-⎩ 故：1533n n a -=⋅，或15(1)n n a -=-⋅-． （Ⅱ）若1533n n a -=⋅，则1131()53n n a -=⋅，故：1{}n a 是首项为35，公比为13的等比数列，从而131[1()]191953[1()]11031013mmm n na =⋅-==⋅-<<-∑． 若1(5)(1)n na -=-⋅-，则111(1)5n n a -=--， 故1{}n a 是首项为15-，公比为1-的等比数列．从而11,21(),1502().mn n m k k a m k k +=+⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩∑N N ,故111m n n a =<∑． 综上，对任何正整数m ，总有111mn na =<∑．故不存在正整数m ，使得121111ma a a +++≥成立． 规律总结：本题考查等差数列的通项公式、求和公式与解方程、不等式的综合运用．解决数列与其他知识的综合应用问题应对等差、等比数列的概念、性质有深刻的理解，然后运用数列的性质进行分析、转化从而解题．主题19．（本小题满分12分）如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于,A B 的点，直线PC ⊥平面ABC ，E ，F 分别是PA ，PC 的中点．（Ⅰ）记平面BEF 与平面ABC 的交线为l ，试判断直线l 与平面PAC 的位置关系，并加以证明；（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 与圆O 的另一个交点为D ，且点Q 满足12DQ CP=．记直线PQ 与平面ABC 所成的角为θ，异面直线PQ 与EF 所成的角为α，二面角E l C --的大小为β，求证：sin sin sin θαβ=．思路分析：考点解剖：本题主要考查空间中线线、线面、面面关系的应用及空间想象能力，推理能力．解题思路：（Ⅰ）先证明直线//EF 平面ABC ，再证明//EF l ，从而得出：直线//l 平面PAC ；（Ⅱ）方法一：利用线面、面面关系、二面角的性质先找出直线l 为直线BD ，角θ为CDF ∠，角α为BDF ∠，角β为CBF ∠，然后求证．方法二：建立适当的空间直角坐标系，将几何问题转化为向量的坐标运算．解答过程：解：（Ⅰ）直线l ∥平面PAC ，证明如下：连接EF ，因为E ，F 分别是PA ，PC 的中点，所以EF ∥AC ． 又EF ⊄平面ABC ，且AC ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． 而EF ⊂平面BEF ，且平面BEF平面ABC l =，所以EF ∥l ．因为l ⊄平面PAC ，EF ⊂平面PAC ，所以直线l ∥平面PAC ．（Ⅱ）（综合法）如图1，连接BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ，且l ∥AC ． 因为AB 是O 的直径，所以AC BC ⊥，于是l BC ⊥． 已知PC ⊥平面ABC ，而l ⊂平面ABC ，所以PC l ⊥． 而PCBC C =，所以l ⊥平面PBC ．连接BE ，BF ，因为BF ⊂平面PBC ，所以l BF ⊥．故CBF ∠就是二面角E l C --的平面角，即CBF β∠=． 由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12DQ CP=． 连接PQ ，DF ，因为F 是CP 的中点，2CP PF =，所以DQ PF =． 从而四边形DQPF 是平行四边形，PQ ∥FD ．连接CD ，因为PC ⊥平面ABC ，所以CD 是FD 在平面ABC 内的射影， 故CDF ∠就是直线PQ 与平面ABC 所成的角，即CDF θ∠=． 又BD ⊥平面PBC ，有BD BF ⊥，知BDF ∠为锐角，故BDF ∠为异面直线PQ 与EF 所成的角，即BDF α∠=， 于是在Rt △DCF ，Rt △FBD ，Rt △BCF 中，分别可得sin CF DF θ=，sin BF DF α=，sin CF BF β=，从而sin sin sin CF BF CFBF DF DFαβθ=⋅==，即sin sin sin θαβ=． （Ⅱ）（向量法）如图2，由12DQ CP =，作DQ ∥CP ，且12DQ CP=． 第19题解答图1 第19题解答图2连接PQ ，EF ，BE ，BF ，BD ，由（Ⅰ）可知交线l 即为直线BD ． 以点C 为原点，向量,,CA CB CP所在直线分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设,,2CA a CB b CP c ===， 则有(0,0,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,2),(,,)C A a B b P c Q a b c ，1(,0,),(0,0,)2E a cF c ． 于是1(,0,0)2FE a =，(,,)QP a b c =--，(0,,)BF b c =-， 所以||cos||||FE QP FE QP aα⋅==⋅，从而sin α=又取平面ABC 的一个法向量为(0,0,1)=m ，可得：||sin ||||QP QP a θ⋅==⋅m m ，设平面BEF 的一个法向量为(,,)x y z =n ， 所以由0,0,FE BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 可得：10,20.ax bycz ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩ 取(0,,)c b =n ．于是|||cos |||||β⋅=⋅m n m n ，从而sinβ=． 故：sin sin sin αβθ===，即：sin sin sin θαβ=．规律总结：常规方法解决立体几何问题要注意充分利用各种性质定理、判定定理，挖掘出隐含的条件；利用空间向量解决立体几何问题时，关键是建立适当的空间直角坐标系．以上两点，可有效减少出错的几率．主题20．（本小题满分12分）假设每天从甲地去乙地的旅客人数X 是服从正态分布2(800,50)N 的随机变量．记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为0p ．（Ⅰ）求0p 的值；（参考数据：若X ～2(,)N μσ，有()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=．） （Ⅱ）某客运公司用A 、B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每车每天往返一次．A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1600元/辆和2400元/辆．公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B 型车不多于A 型车7辆．若每天要以不小于0p 的概率运完从甲地去乙地的旅客，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A 型车、B 型车各多少辆?思路分析：考点解剖：本题主要考查正态分布、线性规划的实际应用． 解题思路：（Ⅰ）利用正态分布的定义和性质求解；（Ⅱ）根据题目条件先列出A B 、型号汽车数量需要满足的关系式，然后作图，利用可行域解题．解答过程：解：（Ⅰ）由于随机变量X 服从正态分布2(800,50)N ，故有800μ=，50σ=． (700900)0.9544P X <≤=．由正态分布的对称性，可得：0(900)(800)(800900)p P X P X P X =≤=≤+<≤11(700900)0.977222P X =+<≤=． （Ⅱ）设A 型、B 型车辆的数量分别为, x y 辆，则相应的营运成本为16002400x y +． 依题意，, x y 还需满足:021, 7, (3660)x y y x P X x y p +≤≤+≤+≥．由（Ⅰ）知，0(900)p P X =≤，故0(3660)P X x y p ≤+≥等价于3660900x y +≥．于是问题等价于求满足约束条件21, 7,3660900,, 0, ,x y y x x y x y x y +≤⎧⎪≤+⎪⎨+≥⎪⎪≥∈⎩N ，且使目标函数16002400z x y =+达到最小的,x y ． 作可行域如图所示，可行域的三个顶点坐标分别为(5,12), (7,14), (15,6)P Q R ．由图可知，当直线16002400z x y =+经过可行域的点P 时，直线16002400z x y =+在y 轴上截距2400z 最小，即取得最小值． 故应配备A 型车5辆、B 型车12辆．规律总结：线性规划问题，目标函数的最值一般在可行域边界的几个顶点处取得．但当顶点坐标(,)x y 中的,x y 为非整数或负数时，我们还必须注意考虑,x y 的实际意义，以免出错．主题21．（本小题满分13分）如图，已知椭圆1C 与2C 的中心在坐标原点O ，长轴均为MN 且在x 轴上，短轴长分别为()2,2m n m n >，过原点且不与x 轴重合的直线l 与1C ，2C 的四个交点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．记m nλ=，BDM ∆和ABN ∆的面积分别为1S 和2S ．（Ⅰ）当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，求λ的值；（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=？并说明理由．思路分析：考点解剖：本题主要考查椭圆的性质、圆锥曲线的综合应用以及分类讨论的思想方法．解题思路：（Ⅰ）方法一：先利用椭圆的代数性质求出12,S S 的值，然后利用方程12S S λ=求解．方法二：利用椭圆的几何性质求出12,S S 的值，然后利用方程12S S λ=求解．（Ⅱ）方法一：先假设存在λ，然后根据12S S λ=得出||||AD BC 关于λ的方程，同时利用直线与椭圆的性质，得出||||AD BC 关于椭圆代数式的方程，最后联立方程组求解．方法二：先假设存在λ，然后根据12S S λ=得出A Bx x 关于λ的方程，同时利用直线与椭圆的性质，得出A Bx x 关于椭圆代数式的方程，最后联立方程组求解．解答过程：解：依题意可设椭圆1C 和2C 的方程分别为1C ：22221x y a m +=，2C ：22221x y a n +=．其中0a m n >>>， 1.m n λ=> （Ⅰ）解法1：如图1，若直线l 与y 轴重合，即直线l 的方程为0x =，则： 111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=，所以12||||S BD S AB =． 在C 1和C 2的方程中分别令0x =，可得A y m =，B y n =，D y m =-，于是||||1||||1B D A B y y BD m n AB y y m n λλ-++===---．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得：2210λλ--=．由1λ>，可解得：1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=．解法2：如图1，若直线l 与y 轴重合，则：||||||BD OB OD m n =+=+，||||||AB OA OB m n =-=-;111||||||22S BD OM a BD =⋅=，211||||||22S AB ON a AB =⋅=．所以12||1||1S BD m n S AB m n λλ++===--．若12S S λ=，则11λλλ+=-，化简得2210λλ--=．由1λ>，可解得1λ=．故当直线l 与y 轴重合时，若12S S λ=，则1λ=．（Ⅱ）解法1：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=．根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则：因为1d ==，2d ==，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==，即||||BD AB λ=． 由对称性可知||||AB CD =，所以||||||(1)||BC BD AB AB λ=-=-， ||||||(1)||AD BD AB AB λ=+=+，于是：||1||1AD BC λλ+=-． ① 将l 的方程分别与C 1，C 2的方程联立，可求得A x =，B x =．根据对称性可知C B x x =-，D Ax x =-，于是：2||||2A B x AD BC x ==②从而由①和②式可得第21题解答图1第21题解答图21(1)λλλ+-． ③令1(1)t λλλ+=-，则由m n >，可得1t ≠，于是由③可解得222222(1)(1)n t k a t λ-=-．因为0k ≠，所以20k >．于是③式关于k 有解，当且仅当22222(1)0(1)n t a t λ->-，等价于2221(1)()0t t λ--<．由1λ>，可解得11t λ<<，即111(1)λλλλ+<<-，由1λ>，解得1λ>当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=．解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l ，使得12S S λ=．根据对称性，不妨设直线l ：(0)y kx k =>，点(,0)M a -，(,0)N a 到直线l 的距离分别为1d ，2d ，则：因为1d ==，2d ==，所以12d d =．又111||2S BD d =，221||2S AB d =，所以12||||S BD S AB λ==．因为||||A B A Bx x BD AB x x λ+==-，所以11AB xx λλ+=-．由点(,)A A A x kx ，(,)B BB x kx 分别在C 1，C 2上，可得：222221A A x k x a m +=，222221B Bx k x a n +=，两式相减可得：22222222()0A B A B x x k x x a m λ--+=， 依题意0A B x x >>，所以22A Bx x >．所以由上式解得：22222222()()A B B A m x x k a x x λ-=-．因为20k >，所以由2222222()0()A BB A m x x a x x λ->-，可解得：1AB x x λ<<． 从而111λλλ+<<-，解得：1λ>+当11λ<≤+l ，使得12S S λ=；当1λ>l 使得12S S λ=．规律总结：本题是涉及圆锥曲线的存在性问题，此类问题一般分为探究条件和探究结论两种，若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，否则不存在．若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论．主题22．（本小题满分14分） 设n 是正整数，r 为正有理数．（Ⅰ）求函数1()(1)(1)1(1)r f x x r x x +=+-+->-的最小值； （Ⅱ）证明：1111(1)(1)11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++；（Ⅲ）设x ∈R ，记x ⎡⎤⎢⎥为不小于．．．x 的最小整数，例如22=⎡⎤⎢⎥，π4=⎡⎤⎢⎥，312⎡⎤-=-⎢⎥⎢⎥．令3125S =+，求S ⎡⎤⎢⎥的值．（参考数据：4380344.7≈，4381350.5≈，43124618.3≈，43126631.7≈）思路分析：考点解剖：本题主要考查导数、函数单调性、不等式证明以及分类讨论、推理能力． 解题思路：（Ⅰ）先求出函数()f x 的导函数，然后利用导函数的性质求最小值； （Ⅱ）通过取11,x x n n==-，利用函数()f x 的单调性求证；（Ⅲ）令13r =，n 分别取值81,82，…，125，利用（Ⅱ）的结论解题．解答过程：解：（Ⅰ）因为()(1)(1)(1)(1)[(1)1]r r f x r x r r x '=++-+=++-，令()0f x '=，解得0x =． 当10x -<<时，()0f x '<，所以()f x 在(1,0)-内是减函数； 当0x >时，()0f x '>，所以()f x 在(0,)+∞内是增函数．故函数()f x 在0x =处取得最小值(0)0f =． （Ⅱ）由（Ⅰ），当(1,)x ∈-+∞时，有()(0)0f x f ≥=，即：1(1)1(1)r x r x ++≥++，且等号当且仅当0x =时成立，故当1x >-且0x ≠时，有1(1)1(1)r x r x ++>++． ① 在①中，令1x n =（这时1x >-且0x ≠），得111(1)1r r n n+++>+．上式两边同乘1r n +，得：11(1)(1)r r r n n n r +++>++，即：11(1).1r r rn n n r +++-<+ ②当1n >时，在①中令1x n=-（这时1x >-且0x ≠），类似可得： 11(1).1r r rn n n r ++-->+ ③ 且当1n =时，③也成立． 综合②，③得：1111(1)(1).11r r r r rn n n n n r r ++++--+-<<++ ④ （Ⅲ）在④中，令13r =，n 分别取值81，82，83，…，125，得： 44443333338180(8281)44-<-（）， 44443333338281(8382)44--（）， 44443333338382(8483)44-<<-（， ………4444333333125124(126125)44-<<-（）． 将以上各式相加，并整理得：444433333312580(12681)44S -<<-（）． 代入数据计算，可得：4433312580210.24-≈（），4433312681210.94-≈（）．由S ⎡⎤⎢⎥的定义，得211S =⎡⎤⎢⎥． 规律总结：本题要注意通过取特殊值1x n=-，从而与不等式的证明巧妙的联系在一起．在解题过程中要注意定义域的范围的确定，否则极易出错．。
武汉乐学艺考教育2013年高考数学复习资料
武汉乐学艺考教育2013年高考数学复习资料（四）1．准确理解、熟练运用，不断深化有关函数的基础知识在中学阶段函数只限于定义在实数集合上的一元单值函数，其内容可分为两部分．第一部分是函数的概念和性质，这部分的重点是能从变量的观点和集合映射的观点理解函数及其有关概念，掌握描述函数性质的单调性、奇偶性、周期性等概念；第二部分是七类常见函数(一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数)的图象和性质．第一部分是理论基础，第二部分是第一部分的运用与发展．例9．已知函数f(x)，x ∈F ，那么集合{(x ，y)|y=f(x)，x ∈F}∩{(x ，y)|x=1｝中所含元素的个数是．（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．1或2分析：这里首先要识别集合语言，并能正确把集合语言转化成熟悉的语言．从函数观点看，问题是求函数y=f(x)，x ∈F 的图象与直线x=1的交点个数(这是一次数到形的转化)，不少学生常误认为交点是1个，并说这是根据函数定义中“惟一确定”的规定得到的，这是不正确的，因为函数是由定义域、值域、对应法则三要素组成的．这里给出了函数y=f(x)的定义域是F ，但未明确给出1与F 的关系，当1∈F 时有1个交点，当1 F 时没有交点，所以选C ．2．掌握研究函数的方法，提高研究函数问题的能力高中数学对函数的研究理论性加强了，对一些典型问题的研究十分重视，如求函数的定义域，确定函数的解析式，判断函数的奇偶性，判断或证明函数在指定区间的单调性等，并形成了研究这些问题的初等方法，这些方法对分析问题能力，推理论证能力和综合运用数学知识能力的培养和发展是十分重要的．函数、方程、不等式是相互联系的．对于函数f(x)与g(x)，令f(x)=g(x)，f(x)＞g(x)或f(x)＜g(x)则分别构成方程和不等式，因此对于某些方程、不等式的问题用函数观点认识是十分有益的；方程、不等式从另一个侧面为研究函数提供了工具．例10．方程lgx+x=3的解所在区间为（ ）A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，3)D ．(3，+∞)分析：在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx 与y=-x+3的图象(如图2)．它们的交点横坐标0x ，显然在区间(1，3)内，由此可排除A ，D ．至于选B 还是选C ，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了．实际上这是要比较0x 与2的大小．当x=2时，lgx=lg2，3-x=1．由于lg2＜1，因此0x ＞2，从而判定0x ∈(2，3)，故本题应选C ． 说明：本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间．数形结合，要在结合方面下功夫．不仅要通过图象直观估计，而且还要计算0x 的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断．例11．(1)一次函数f(x)=kx+h(k ≠0)，若m ＜n 有f(m)＞0，f(n)＞0，则对于任意x ∈(m ，n)都有f(x)＞0，试证明之；(2)试用上面结论证明下面的命题：若a ，b ，c ∈R 且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，则ab+bc+ca ＞-1．分析：问题(1)实质上是要证明，一次函数f(x)=kx+h(k≠0)， x∈(m， n)．若区间两个端点的函数值均为正，则对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0．之所以具有上述性质是由于一次函数是单调的．因此本问题的证明要从函数单调性入手．(1)证明：当k＞0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是增函数，m＜x＜n，f(x)＞f(m)＞0；当k＜0时，函数f(x)=kx+h在x∈R上是减函数，m＜x＜n，f(x)＞f(n)＞0．所以对于任意x∈(m，n)都有f(x)＞0成立．(2)将ab+bc+ca+1写成(b+c)a+bc+1，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1．则f(a)=(b+c)a+bc+1．当b+c=0时，即b=-c， f(a)=bc+1=-c2+1．因为|c|＜1，所以f(a)=-c2+1＞0．当b+c≠0时，f(x)=(b+c)x+bc+1为x的一次函数．因为|b|＜1，|c|＜1，f(1)=b+c+bc+1=(1+b)(1+c)＞0， f(-1)=-b-c+bc+1=(1-b)(1-c)＞0．由问题(1)对于|a|＜1的一切值f(a)＞0，即(b+c)a+bc+1=ab+ac+bc+1＞0．说明：问题(2)的关键在于“转化”“构造”．把证明ab+bc+ca＞-1转化为证明ab+bc+ca+1＞0，由于式子ab+bc+ca+1中， a，b，c是对称的，构造函数f(x)=(b+c)x+bc+1，则f(a)=(b+c)a+bc+1，问题转化为在|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1的条件下证明f(a)＞0．(也可构造 f(x)=(a+c)x+ac+1，证明f(b)＞0)。
2013年高考数学复习专题系列-----《解析几何》部分-推荐下载
所截得弦为 AB ，其中点设为 P ，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为常数，
即 kl AkPO
【证明】设
椭圆上，所以满足
两式相减得，
b2 a2
A( x1 ,
；（利用“点差法”证明，过程如下）
y1), B(x2 ,
x12 x22 a2
x12 a2
x22 a2
为 d ，圆的半径为 r ，则 （1） d r 直线与圆相交 直线与圆有两个公共点； （2） d r 直线与圆相离 直线与圆无公共点； （3） d r 直线与圆相切 直线与圆有且只有一个公共点；
【方法二】代数法：把直线的方程圆的方程联立方程组，消去其中一个未知数得到关于另外一 个数的未知数的一元二次方程，则
的直线方程为 (D1 D2 )x (E1 E2 ) y (F1 F2 ) 0 ；
13、 若直线与圆相交，设弦长为 l ，弦心距为 d ，半径为 r ，则 l 2 r2 d 2
14、 直线与圆的位置关系的判断： 【方法一】几何法：根据圆心与直线的距离与半径的大小关系进行判断；设圆心到直线的距离
18、 在椭圆中，如果一个三角形的两个顶点是焦点 F1, F2 ，另一个顶点 P 在椭圆上，称该三角
形为焦点三角形，则三角形 F1PF2
其中 b 是短半轴的长；
b2 a2
的周长为定值等于 2a
19、 在双曲线中，如果一个三角形的两个顶点是焦点 F1, F2 ，另一个顶点 P 在椭圆上，称该三
b2 角形为焦点三角形，则面积等于 tan F1PF2
且切线长为 (x0 a)2 ( y0 b)2 r2
11、 若二元二次方程 Ax2 By2 Cxy Dx Ey F 0( A 0, B 0) 表示圆，则满足
2013年高考理科数学湖北卷word解析版(2021年整理)
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2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类(湖北卷)本试题卷共6页，22题，其中第15、16题为选考题．全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．用统一提供的2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用统一提供的2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用统一提供的签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．答在试题卷、草稿纸上无效．4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用统一提供的2B铅笔涂黑．考生应根据自己选做的题目准确填涂题号，不得多选．答题答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2013湖北，理1)在复平面内，复数2i=1iz+（i为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（)．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案：D解析：∵2i2i1i=1i1i1iz(-)=+(+)(-)＝i(1－i)＝1＋i，∴复数2i=1iz+的共轭复数z＝1－i，其在复平面内对应的点(1，－1）位于第四象限．2．(2013湖北,理2）已知全集为R，集合112xA x⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，B＝｛x|x2－6x＋8≤0}，则A∩＝（)．A．｛x｜x≤0｝ B．{x|2≤x≤4}C．{x｜0≤x＜2或x＞4｝ D．｛x|0＜x≤2或x≥4｝答案：C解析:由题意知集合112xA x⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭＝｛x｜x≥0｝,集合B＝{x｜x2－6x＋8≤0｝＝｛x｜2≤x≤4}，＝｛x｜x＜2或x＞4}．因此A∩（）＝{x|0≤x＜2或x＞4｝．3．（2013湖北，理3）在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p是“甲降落在指定范围”,q是“乙降落在指定范围"，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )．A．（⌝p)∨（⌝q) B．p∨（⌝q)C ．（⌝p )∧(⌝q )D ．p ∨q 答案:A解析：“至少有一位学员没有降落在指定范围”包括甲或乙没有落在指定范围或者两人均没有落在指定范围,因此应为（⌝p ）∨（⌝q ）．4．（2013湖北，理4)将函数y ＝cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0）个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是（ ）.A ．π12B ．π6C ．π3D ．5π6答案：B解析：∵y x ＋sin x ＝π2sin 3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴函数y x ＋sin x （x ∈R ）的图象向左平移m (m ＞0）个单位长度后,变为函数π=2sin 3y x m ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象.又∵所得到的图象关于y 轴对称,则有 π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z , ∴m ＝ππ6k +,k ∈Z .∵m ＞0，∴当k ＝0时，m 的最小值为π6.5．(2013湖北，理5)已知π0<<4θ，则双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-与C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-的( ）．A ．实轴长相等B ．虚轴长相等C ．焦距相等D ．离心率相等 答案：D解析:对于双曲线C 1：2222=1cos sin x y θθ-，21a ＝cos 2θ,21b ＝sin 2θ,21c ＝1； 对于双曲线C 2：22222=1sin sin tan y x θθθ-，22a ＝sin 2θ，22b ＝sin 2θtan 2θ，22c ＝sin 2θ＋sin 2θtan 2θ＝sin 2θ(1＋tan 2θ）＝22222sin sin sin 1cos cos θθθθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝tan 2θ. ∵只有当θ＝ππ4k +（k ∈Z )时，21a ＝22a 或21b ＝22b 或21c ＝22c ，而π0<<4θ，∴排除A ，B ，C.设双曲线C 1,C 2的离心率分别为e 1,e 2,则2121cos e θ=，22222tan 1sin cos e θθθ==. 故e 1＝e 2，即两双曲线的离心率相等． 6．（2013湖北，理6)已知点A (－1,1)，B (1，2），C （－2，－1)，D (3，4），则向量AB 在CD 方向上的投影为( )．A ．2BC ．2-D ．答案：A解析：由题意可知AB＝(2,1），CD＝（5,5)，故AB在CD方向上的投影为2AB CDCD⋅==.7．（2013湖北，理7）一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车，以速度v（t）＝25731tt-++（t的单位:s，v的单位：m/s）行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是（）．A．1＋25ln 5 B．118+25ln3C．4＋25ln 5 D．4＋50ln 2答案:C解析：由于v（t）＝7－3t＋251t+，且汽车停止时速度为0，因此由v（t）＝0可解得t＝4，即汽车从刹车到停止共用4 s。
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武汉邦德艺考教育2013年高考数学复习资料（九）
类型二：等价转化
2．已知函数的值域为[―1，4]，求实数a、b的值.
思路点拨：设，将所给函数看作关于x的方程.则由题意可知当y∈[―1，4]时，关于x的方程有实数解.
解析：∵的定义域为R，
故可等价转化为yx2―ax+y―b=0.
令Δ=a2―4y(y―b)≥0，即4y2―4by―a2≤0，
则由题意可知，不等式4y2―4by―a2≤0的解集为[―1，4].
也就是―1，4是关于y的方程4y2―4by―a2=0的两根.
∴，∴a=±4，b=3.
所以所求实数a=±4，b=3.
总结升华：本题是利用函数、不等式与方程的关系一步一步地等价转化使问题得以解决，常见的转化类型有高次向低次的转化，多元向一元的转化，分式向整式的转化，无理向有理的转化，空间向平面的转化等.
举一反三：
【变式1】已知奇函数在定义域（－1，1）上是减函数，且，求实数的取值范围.
答案：
【变式2】若的图象在（0，1）内与x轴恰好有一个交点，则a的取值范围为_______.
解析：的图象是直线，
在（0，1）内与x轴恰有一个交点，
则，
则a＞3（当a=0时不合题意）.
【变式3】已知函数，满足，，求的
最大值、最小值及取得最大值和最小值时对应a，c的值.
答案：，此时；，此时
类型三：正面与反面的转化问题
3．已知非空集合A={x|x2―Amx+2m+6=0，x∈R}，若A∩R－≠，求实数m的
取值范围（R―表示负实数集，R+表示正实数集）.
思路点拨：本题可以根据A∩R－≠的反面——A∩R―=时的取值范围进行求解.
解析：设全集U={m|Δ=16m2―8m―24≥0}={m|m≤―1或}.
方程x2―4mx+2m+6=0的两根均非负的充要条件是，可得.
∴A∩R－=时，实数m的取值范围为；
∴A∩R－≠时，实数m的取值范围为{m|m≤―1}.
知识升华：正面难以解决的问题，可采用补集的思想，转化为反面问题来解决.一个题目若出现多种成立的情况，则不成立的情况一般较少，易从反而考虑，比如题目中出现“至多”，“至少”等字眼时.
举一反三：
【变式1】试求常数m的范围，使曲线y=x2的所有弦都不能被直线y=m(x-3)垂直平分.
解析：问题可以转化为：
为使曲线y=x2有两个对称于直线y=m(x-3)的点，求m的取值范围.
易得，因此原问题的解是.
【变式2】已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1，若区间[-1，1]内至少存在一个实数c，使f(c)＞0, 则实数p的取值范围是（）.
A、B、C、D、
解析：问题转化为先求在[-1，1]内没有一个实数C使f(c)＞0，
即对任意x∈[-1,1]，f(x)≤0的P的取值范围.
由二次函数f(x)在[-1，1]的图形易知：
f(1)≤0且f(-1)≤0,
解得：或P≥3.
∴满足已知条件的P的取值范围为.
【变式3】已知三条抛物线：，，
中至少有一条与x轴相交，求实a的取值范围.
答案：或.。